1

Pengantar Penerjemah

Saya awali tulisan ini dengan Nama Alloh Sang Maha Pengasih Sang Maha Penyayang. Segala

Puji bagi-Nya yang telah mengajarkan ilmu kepada siapa saja yang dikehendaki-Nya.

Sungguh, saya merasa terbantu dengan dokumen “Introduction to Kalman Filter” oleh Greg

Welch & Gary Bishop, 2012, dalam memahami esensi kalman filter diskrit. Saya coba

terjemahkan, mungkin dapat membantu pembaca yang enggan berlama-lama dengan bahasa

Inggris namun tertarik memahami konsep kalman filter diskrit. Bagian tentang Extended

Kalman Filter belum sempat saya terjemahkan, semoga bisa dilanjutkan di lain waktu. Semoga

bermanfaat.

Surabaya, 4 Maret 2014 / 2 Jumadil ula 1435H

Penerjemah: mochamad nur qomarudin, alfiyahibnumalik@gmail.com

Dokumen ini saya publish di: mnurqomarudin.blogspot.com

Daftar Istilah

Beberapa istilah yang banyak disebut dalam dokumen ini

Estimasi: pencarian nilai sebenarnya dari nilai yang sudah tercampur dengan noise

Filter: alat/algoritma untuk estimasi

Step: waktu diskrit, bilangan bulat, disimbolkan dengan k

Diskrit: sinyal yang hanya memiliki nilai pada saat-saat tertentu, dengan interval waktu yang

konstan, cth. memiliki nilai setiap 5 detik

Noise: gangguan yang menimpa sinyal

Kovarian: yg dimaksud dalam dokumen ini adalah Varian, yaitu besaran statistik yang

menyatakan kuadrat dari standar deviasi

Momen: istilah lain dari fungsi ekspektasi, cth. ekspektasi orde satu disebut momen pertama

White noise: noise yang memiliki magnitude yang tetap untuk semua frekuensi

2

[TERJEMAHAN]

Pengenalan Kalman Filter

Greg Welch1 Gary Bishop2

19 Juni 2012

TR 95-041 Department of Computer Science

University of North Carolina Chapel Hill Chapel Hill, NC 27599-3175

Diperbarui: Senin, 24 Juli 2006

Abstrak

Di tahun 1960, R. E. Kalman mempublikasikan makalahnya yang menjelaskan sebuah solusi

rekursif terhadap persoalan filter linier untuk data diskrit. Sejak saat itu, Kalman Filter menjadi

topik penelitian dan terapan yang luas, terutama di bidang navigasi otomatis atau terpandu.

Kalman Filter merupakan sekumpulan persamaan matematik yang menawarkan cara

komputasi rekursif dan efisien untuk mengestimasi state dari sebuah proses, sedemikian rupa

sehingga meminimumkan rata-rata dari kuadrat error. Filter ini sangat berguna dalam

beberapa aspek: mendukung estimasi state yang telah lalu, saat ini, dan juga state masa

depan, dan mampu bekerja meskipun sifat-sifat model sistem tidak diketahui.

Tujuan dari makalah ini adalah untuk memberi pengenalan praktis tentang Kalman Filter

diskrit. Pengenalan ini meliputi deskripsi dan beberapa diskusi tentang dasar Kalman Filter

diskrit, penurunan, deskripsi dan beberapa diskusi tentang Extended Kalman Filter, dan

contoh sederhana dengan bilangan nyata beserta hasilnya.

Kalman Filter Diskrit

Di tahun 1960, Kalman mempublikasikan makalahnya yang menjelaskan sebuah persoalan

penyaringan linier data diskrit [Kalman, 60]. Sejak saat itu, Kalman Filter menjadi topik

penelitian dan terapan yang luas, terutama di bidang navigasi otomatis atau terpandu.

Pengenalan tentang gagasan umum Kalman Filter yang paling mudah dipahami dapat disimak

dalam Bab 1 dari [Maybeck79], sedangkan pengenalan yang lebih kompleks dapat dibaca di

dalam [Sorenson70], yang juga memuat beberapa cerita sejarah yang menarik. Pustaka lain

untuk lebih lanjut meliputi [Gelb74; Grewal93; Maybeck79; Lewis86; Brown92; Jacobs93].

1 welch@cs.unc.edu, http://www.cs.unc.edu/welch 2 gb@cs.unc.edu, http://www.cs.unc.edu/gb

3

Proses yang Diestimasi

Persoalan umum untuk Kalman Filter diskrit adalah mencoba untuk mengestimasi state 𝑥 ∈

ℜ𝑛 dari sebuah proses waktu diskrit yang dinyatakan oleh persamaan beda stokastik linier

111 kkkk wBuAxx (1.1)

dengan pengukuran 𝑧 ∈ ℜ𝑚 yang dinyatakan

kkk vHxz (1.2)

wk dan vk adalah variabel acak yang mewakili noise proses dan noise pengukuran, keduanya

independen, jenis white noise, dengan probabilitas berdistribusi normal.

),0(~)( QNwp (1.3)

),0(~)( RNvp (1.4)

Dalam praktik, kovarian noise proses Q dan kovarian noise pengukuran R bisa berubah dalam

tiap waktu atau pengukuran, namun di sini keduanya diasumsikan konstan.

Matriks A (nxn) dalam persamaan beda (1.1) menghubungkan state pada waktu diskrit

sebelumnya, yaitu k-1, dengan state pada waktu diskrit sekarang, yaitu k, tanpa pengaruh

fungsi pemicu u atau noise proses w. Dalam praktik, A bisa berubah dalam tiap waktu, tapi di

sini kita asumsikan konstan. Matriks B (nxl) menghubungkan input kontrol u ϵ Rl dengan state

x, u bersifat opsional (bisa ada / tidak). Matriks H (mxn) dalam persamaan pengukuran (1.2)

menghubungkan state dengan pengukuran 𝑧𝑘 . Dalam praktik, H bisa berubah dalam tiap

waktu atau pengukuran, tapi di sini kita asumsikan konstan.

Komputasi Filter

Kita definisikan �̂�𝑘− ∈ ℜ𝑛 (perhatikan notasi “minus” di atas) sebagai pra-estimasi state pada

step k berdasarkan data dari proses (1.1) sebelum step k, dan �̂�𝑘 ∈ ℜ𝑛 sebagai pasca estimasi

state pada step k berdasarkan nilai 𝑧𝑘. Lalu, kita definisikan pra dan pasca estimasi untuk error

sebagai

kkk xxe

, dan

kkk xxe

Kovarian pra-estimasi error adalah

]E[ Tkkk eeP (1.5)

dan kovarian pasca-estimasi error adalah

4

]E[ Tkkk eeP (1.6)

Dalam menurunkan persamaan untuk kalman filter, kita mulai dengan persamaan yang

menghitung pasca-estimasi state �̂�𝑘 yang dibangun dari kombinasi pra-estimasi �̂�𝑘− dan

selisih antara nilai ukur aktual 𝑧𝑘 dan prediksi nilai ukur 𝐻�̂�𝑘− sebagai berikut (1.7). Beberapa

pertimbangan untuk (1.7) dapat dibaca dalam buku “The Probabilistic Origins of the Filter”

kami sertakan di bawah

�̂�𝑘 = �̂�𝑘− + K(𝑧𝑘 − 𝐻�̂�𝑘

−) (1.7)

selisih (𝑧𝑘 − 𝐻�̂�𝑘−) di (1.7) disebut perbaikan atau selisih pengukuran. Selisih ini mewakili

ketidaksesuaian antara nilai ukur yang diprediksi 𝐻�̂�𝑘− dan nilai ukur sebenarnya 𝑧𝑘. Selisih

nol berarti nilai keduanya sama persis.

Matrix K (nxm) di (1.7) dipilih sebagai faktor penguat (gain) yang meminimumkan kovarian

pasca-estimasi error (1.6). Untuk penjelasan detil, lihat [Maybeck79; Brown92; Jacobs93].

Salah satu formulasi K yang meminimumkan (1.6) adalah3

𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−𝐻𝑇(𝐻𝑃𝑘

−𝐻𝑇 + 𝑅)−1 (1.8)

𝐾𝑘 =𝑃𝑘−𝐻𝑇

𝐻𝑃𝑘−𝐻𝑇 + 𝑅

Pada (1.8) kita lihat bahwa kovarian error pengukuran R mendekati nol, sehingga gain K

membuat selisih pengukuran berpengaruh lebih besar. Secara matematis,

lim𝑅𝑘→0

𝐾𝑘 = 𝐻−1

Di sisi lain, bila kovarian pra-estimasi error 𝑃𝑘− mendekati nol, maka gain K membuat selisih

pengukuran berpengaruh lebih kecil. Secara matematis,

lim𝑃𝑘−→0

𝐾𝑘 = 0

Cara lain untuk memahami peran gain K adalah: bila kovarian error pengukuran R mendekati

nol, nilai ukur aktual 𝑧𝑘 jauh lebih dipercaya kebenarannya, sedangkan prediksi nilai ukur

𝐻�̂�𝑘− semakin tidak dapat dipercaya kebenarannya. Bila kovarian pra-estimasi error 𝑃𝑘

−

mendekati nol, nilai ukur aktual 𝑧𝑘 semakin tidak dapat dipercaya, sedangkan prediksi nilai

ukur 𝐻�̂�𝑘− semakin dapat dipercaya kebenarannya.

3 Semua persamaan Kalman filter dapat direkayasa menjadi beberapa bentuk. Persamaan (1.8) mewakili salah satu formulasi Kalman gain yang populer.

5

Konsep Probabilitas dalam Filter

Pertimbangan dalam penentuan (1.7) berakar pada probabilitas pra-estimasi �̂�𝑘− yang

bersyarat pada semua nilai ukur 𝑧𝑘 sebelumnya (aturan Bayes). Kalman filter melibatkan dua

momen pertama dari distribusi variabel state,

𝐸[𝑥𝑘] = �̂�𝑘

𝐸[(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)𝑇] = 𝑃𝑘

Nilai pasca-estimasi state (1.7) mewakili rata-rata / mean (momen pertama) dari distribusi

state – nilai ini berdistribusi normal bila kondisi (1.3) dan (1.4) dipenuhi. Kovarian pasca-

estimasi error (1.6) mewakili varian dari distribusi state (momen ke dua non-sentral). Dengan

kalimat lain,

𝑝(𝑥𝑘|𝑧𝑘)~𝑁(𝐸[𝑥𝑘], 𝐸[(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)𝑇])

𝑝(𝑥𝑘|𝑧𝑘) = 𝑁(�̂�𝑘, 𝑃𝑘)

Penjelasan lebih lanjut, baca [Maybeck79; Brown92; Jacobs93].

Algoritma Kalman Filter Diskrit

Kita awali bagian ini dengan pengantar ringkas, memuat konsep operasional umum dari salah

satu tipe Kalman filter diskrit (lihat catatan kaki sebelumnya). Selanjutnya, kita akan fokus

pada persamaan-persamaan spesifik dan kegunaannya untuk tipe ini.

Kalman filter mengestimasi satu proses melalui mekanisme kontrol umpan-balik: Filter

mengestimasi state dari proses kemudian mendapat umpan balik berupa nilai hasil

pengukuran yang bercampur noise. Persamaan untuk Kalman filter dikelompokkan dalam dua

bagian: persamaan update waktu dan persamaan update pengukuran. Persamaan update

waktu bertugas untuk mendapatkan nilai pra-estimasi untuk waktu step selanjutnya.

Persamaan update pengukuran bertugas untuk keperluan umpan balik, seperti memadukan

hasil pengukuran terbaru dengan nilai pra-estimasi untuk mendapatkan nilai pasca-estimasi

yang lebih baik.

Persamaan update waktu disebut juga persamaan prediksi, sedangkan persamaan update

pengukuran disebut persamaan koreksi. Algoritma estimasi Kalman filter menyerupai

algoritma prediksi-koreksi untuk menyelesaikan masalah numerik sebagaimana pada Gambar

1-1.

6

Gambar 1-1. Siklus kerja Kalman filter diskrit. Update waktu membuat prediksi nilai

state. Update pengukuran, menyesuaikan nilai prediksi dengan nilai ukur aktual.

Persamaan spesifik untuk update waktu dan pengukuran disertakan dalam Tabel 1-1 dan

Tabel 1-2.

Tabel 1-1: Persamaan update waktu untuk Kalman filter diskrit

�̂�𝑘− = 𝐴�̂�𝑘−1 + 𝐵𝑢𝑘−1 (1.9)

𝑃𝑘− = 𝐴𝑃𝑘−1𝐴

𝑇 + 𝑄 (1.10)

Perhatikan, persamaan update waktu memproyeksikan (memprediksi) nilai state dan estimasi

kovarian dari waktu step k-1 menuju step k. A dan B dari (1.1), dan Q dari (1.3). Kondisi awal

untuk filter telah dibahas pada referensi terdahulu.

Tabel 1-2: Persamaan update pengukuran untuk Kalman filter diskrit

𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−𝐻𝑇(𝐻𝑃𝑘

−𝐻𝑇 + 𝑅)−1 (1.11)

�̂�𝑘 = �̂�𝑘− + K(𝑧𝑘 − 𝐻�̂�𝑘

−) (1.12)

𝑃𝑘 = (1 − 𝐾𝑘𝐻)𝑃𝑘− (1.13)

Tugas pertama dalam Update pengukuran adalah menghitung Kalman Gain, Kk. Persamaan

Kalman gain di sini (1.11) sama dengan (1.8). Selanjutnya mengukur nilai proses aktual 𝑧𝑘,

kemudian menghitung pasca-estimasi state dengan melibatkan nilai hasil pengukuran

sebagaimana (1.12). Persamaan (1.12) sama dengan (1.7). Tugas terakhir adalah

mendapatkan nilai pasca-estimasi kovarian error melalui (1.13).

Setelah menjalani satu siklus update waktu dan pengukuran, siklus ini diulang yang mana nilai

pasca-estimasi sebelumnya digunakan untuk memprediksi nilai pra-estimasi yang baru. Sifat

rekursif ini adalah satu sifat penting dari Kalman filter – membuat implementasi praktis jauh

lebih sederhana daripada implementasi Wiener filter [Brown92] yang dirancang untuk

beroperasi dengan melibatkan semua data secara langsung dalam setiap kali estimasi.

Gambar 1-2 menampilkan operasi Kalman filter secara menyeluruh.

Parameter Filter dan Penyesuaiannya

Dalam implementasi filter, kovarian noise pengukuran R biasanya diukur sebelum filter

dioperasikan. Pengukuran koverian error pengukuran R umumnya dapat dilakukan karena

7

kita dapat mengambil sampel pengukuran secara offline untuk menentukan varian dari noise

pengukuran.

Penentuan kovarian noise proses Q umumnya lebih sulit, karena kita tidak dapat mengamati

proses secara langsung. Terkadang satu model proses yang sederhana dapat menghasilkan

estimasi yang baik dengan pemilihan Q yang tepat, bila pengukuran terhadap proses dapat

diandalkan.

Pada keadaan yang lain, seringkali penyesuaian (tuning) parameter filter Q dan R dapat

menghasilkan performansi filter yang “superior” (secara statistik). Mekanisme penyesuaian

ini biasanya dijalankan secara offline, terkadang dengan bantuan Kalman filter tipe yang lain.

Proses penyesuaian ini disebut identifikasi sistem.

Gambar 1-2: Skema lengkap Operasi Kalman filter, menggabungkan diagram pada

Gambar 1-1 dan persamaan pada Tabel 1-1 dan Tabel 1-2.

Karena Q dan R adalah konstan, kovarian error estimasi Pk dan Kalman gain Kk akan stabil

dengan cepat kemudian bernilai konstan (lihat persamaan update filter di Gambar 1-2). Jika

demikian, kedua parameter ini dapat dihitung dulu dengan menjalankan filter secara offline,

atau (misal) dengan menentukan nilai steady-state dari Pk sebagaimana pada [Grewal93].

Seringkali, error pengukuran tidak bernilai konstan, demikian juga noise proses, ada kala tidak

bernilai konstan atau berubah secara dinamis selama filter sedang bekerja – menjadi Qk –

untuk menyesuaikan dengan dinamika proses yang berbeda. Contoh, dalam pelacakan posisi

kepala seorang user di lingkungan virtual 3D, kita perlu mengurangi magnitud Qk bila user

bergerak lambat, dan menignkatkan magnitudnya bila bergerak cepat. Pada kasus ini, Qk

8

dipilih dengan mempertimbangkan ketidakpastian pada kehendak user dan ketidakpastian

pada model.

Aplikasi Kalman Filter: Estimasi Nilai Konstan

Kita akan coba untuk mengestimasi satu nilai konstan acak skalar, misalnya nilai tegangan.

Anggaplah kita mampu mengukur nilai konstan tersebut, tetapi pengukuran yang dilakukan

terganggu dengan noise pengukuran sebesar 0,1 volt RMS dengan tipe white noise (misal,

konverter analog ke digital yang digunakan tidak cukup akurat). Dalam contoh ini, proses

dinyatakan dengan persamaan beda linier

𝑥𝑘 = 𝐴𝑥𝑘−1 + 𝐵𝑢𝑘−1 +𝑤𝑘

𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + 𝑤𝑘

dengan pengukuran 𝑧 ∈ ℜ1, yaitu

𝑧𝑘 = 𝐻𝑥𝑘 + 𝑣𝑘

𝑧𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑣𝑘

State x tidak berubah dari step ke step, jadi A=1. Tidak ada input kontrol, jadi u=0.

Pengukuran yang bercampur noise langsung didapatkan dari state x, jadi H=1.

Parameter dan Persamaan Filter

Persamaan update waktu adalah

�̂�𝑘− = �̂�𝑘−1

𝑃𝑘− = 𝑃𝑘−1 + 𝑄

dan persamaan update pengukuran adalah

𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−(𝑃𝑘

− + 𝑅)−1 (3.1)

𝐾𝑘 =𝑃𝑘−

𝑃𝑘− + 𝑅

�̂�𝑘 = �̂�𝑘− + 𝐾(𝑧𝑘 − �̂�𝑘

−)

𝑃𝑘 = (1 − 𝐾𝑘)𝑃𝑘−

Anggaplah varian noise proses sangat kecil, Q = 1x105. (Kita bisa saja menetapkan Q = 0, tapi

menetapkan Q yang kecil namun tidak nol akan memberikan fleksibilas dalam “tuning” atau

penyesuaian parameter filter, akan kita contohkan di bawah). Anggaplah, berdasarkan

pengalaman yang kami tahu, nilai sebenarnya dari nilai konstan acak tersebut berdistribusi

probabilitas normal, jadi kita beri filter kita dengan nilai tebakan nol. Dengan kata lain,

sebelum menjalankan filter, kita tetapkan �̂�𝑘−1 = 0

9

Kita juga perlu menetapkan nilai awal untuk Pk-1, sebut saja P0. Bila kita yakin bahwa nilai awal

estimasi state �̂�0 = 0 adalah benar, kita boleh menetapkan P0 = 0. Tetapi bila ada

ketidakpastian pada nilai awal estimasi �̂�0 yang kita tetapkan, maka memilih P0 = 0

mengakibatkan filter percaya sejak awal bahwa �̂�𝑘 = 0 . Dengan demikian, kita perlu

menetapkan P0 dengan nilai yang lain. Kita bisa menetapkan sembaran nilai 𝑃0 ≠ 0 dan filter

pada akhirnya akan konvergen. Kita mulai dengan menetapkan P0 = 1.

Simulasi

Untuk permulaan, kita tetapkan secara acak satu nilai konstan x = -0,37727 (tidak ada “topi”

di atas x karena ini mewakili “nilai sebenarnya”). Lalu kita simulasikan 50 pengukuran 𝑧𝑘 yang

memiliki error berdistribusi normal di sekitar nol dengan standar deviasi 0.1 (ingat, kita

anggap pengukuran terganggu dengan white noise pengukuran sebesar 0.1 volt rms).

Sebenarnya, kami bisa saja melakukan pengukuran ketika filter sedang bekerja, tapi dengan

melakukan pengukuran 50 data sebelum filter dijalankan, kami dapat menjalankan beberapa

macam simulasi dengan data pengukuran yang sama persis (maksudnya, dengan noise

pengukuran yang sama) sehingga perbandingan antara beberapa simulasi dengan parameter

yang berbeda akan lebih bermakna.

Dalam simulasi pertama, kami tetapkan varian error pengukuran R=(0,1)2=0,01. Karena ini

adalah nilai varian error pengukuran sebenarnya, maka kami berharap mendapat performansi

filter “terbaik” dalam arti keseimbangan antara kecepatan respon filter dan varian estimasi.

Hal ini akan nampak jelas pada simulasi ke dua dan ke tiga. Gambar 3-1 menampilkan hasil

simulasi pertama. Nilai konstan acak yang sebenarnya x = -0,37727, ditampilkan dalam garis

lurus tebal, pengukuran yang bercampur noise diwakili tanda plus, dan estimasi filter diwakili

dengan kurva.

Gambar 3-1. Simulasi pertama: R=(0,1)2=0,01. Nilai konstan acak yang sebenarnya x=-

0,37727 dinyatakan dengan garis lurus tebal, pengukuran yang bercampur noise

diwakili tanda plus, dan estimasi filter diwakili kurva.

10

Ketika pemilihan P0, kami nyatakan bahwa pemilihan ini tidak terlalu penting selama 𝑃0 ≠ 0,

karena pada akhirnya estimasi filter akan konvergen (menuju pada satu nilai). Gambar 3-2 di

bawah, kami telah plot nilai Pk terhadap iterasi. Pada iterasi ke-50, nilai Pk, yang semula

ditetapkan 1 (volt2), bergerak konvergen dan menetap di sekitar 0,0002 (volt2).

Gambar 3-2. Setelah 50 iterasi, nilai awal kovarian error Pk=1 bergerak konvergen dan

menetap di sekitar 0,0002 (volt2).

Dalam bagian 1, topik “Parameter Filter dan Penyesuaiannya” kami paparkan secara singkat

tentang pengubahan dan “penyesuaian” parameter Q dan R untuk mendapatkan

performansi filter yang berbeda. Dalam Gambar 3-3 dan Gambar 3-4 di bawah, kita dapat

amati apa yang terjadi ketika R diperbesar atau diperkecil dengan faktor 100. Di Gambar 3-3,

filter diberi tahu bahwa varian error pengukuran adalah 100 kali lebih besar (maksudnya R=1)

jadi filter “lebih lambat” dalam mempercayai data pengukuran.

Gambar 3-3. Simulasi ke dua: R=1. Filter lebih lambat dalam merespon data

pengukuran, akibatnya varian estimasi filter berkurang.

11

Pada Gambar 3-4, Filter diberi tahu bahwa varian error pengukuran adalah 100 kali lebih kecil

(maksudnya R=0,0001), jadi filter “sangat cepat” mempercayai data pengukuran yang

bercampur noise.

Gambar 3-4. Simulasi ke empat: R=0,0001. Filter merespon data pengukuran dengan

cepat sekali, akibatnya varian estimasi filter meningkat.

Meskipun estimasi satu nilai konstan adalah topik yang relatif sederhana, namun mampu

mendemonstrasikan unjuk kerja Kalman filter dengan jelas. Pada Gambar 3-3 nampak jelas

bahwa estimasi Kalman filter lebih halus daripada data pengukuran yang bercampur noise.

12

Daftar Pustaka

[Brown92] Brown, R. G. and P. Y. C. Hwang. 1992. Introduction to Random Signals and Applied

Kalman Filtering, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.

[Gelb74] Gelb, A. 1974. Applied Optimal Estimation, MIT Press, Cambridge, MA.

[Grewal93] Grewal, Mohinder S., and Angus P. Andrews (1993). Kalman Filtering Theory and

Practice. Upper Saddle River, NJ USA, Prentice Hall.

[Jacobs93] Jacobs, O. L. R. 1993. Introduction to Control Theory, 2nd Edition. Oxford

University Press.

[Julier96] Julier, Simon and Jeffrey Uhlman. “A General Method of Approximating Nonlinear

Transformations of Probability Distributions,” Robotics Research Group, Department of

Engineering Science, University of Oxford [cited 14 November 1995]. Available from

http://www.robots.ox.ac.uk/~siju/work/publications/Unscented.zip. Also see: “A New

Approach for Filtering Nonlinear Systems” by S. J. Julier, J. K. Uhlmann, and H. F. Durrant-

Whyte, Proceedings of the 1995 American Control Conference, Seattle, Washington,

Pages:1628-1632.

Available from http://www.robots.ox.ac.uk/~siju/work/publications/ACC95_pr.zip. Also see

Simon Julier's home page at http://www.robots.ox.ac.uk/~siju/.

[Kalman60] Kalman, R. E. 1960. “A New Approach to Linear Filtering and Prediction

Problems,” Transaction of the ASME—Journal of Basic Engineering, pp. 35-45 (March 1960).

[Lewis86] Lewis, Richard. 1986. Optimal Estimation with an Introduction to Stochastic Control

Theory, John Wiley & Sons, Inc.

[Maybeck79] Maybeck, Peter S. 1979. Stochastic Models, Estimation, and Control, Volume 1,

Academic Press, Inc.

[Sorenson70] Sorenson, H. W. 1970. “Least-Squares estimation: from Gauss to Kalman,” IEEE

Spectrum, vol. 7, pp. 63-68, July 1970