(173-177)--erry
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 (173-177)--Erry
1/6
PROSES BERPIKIR ARITMETIKA DAN
BERPIKIR ALJABAR SISWA
DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA
Erry Hidayanto
Jurusan Matematika FMIPA UM
e rr y h i d a y an t ou m @ g m a il .com
Abstrak Soal cerita merupakan salah satu bentuk soal pemecahan masalah
( problem solving . Untuk menyelesaikan soal cerita tersebut sis!a perlu melakukan
suatu proses" yang dinamakan proses berpikir" sehingga dapat menemukan #a!ab
dari soal yang ditanyakan. Penulisan artikel ini bertu#uan untuk mendeskripsikan bagaimana proses berpikirnya sis!a dalam menyelesaikan soal cerita. $alam
makalah ini dibicarakan hasil suatu sur%ei tentang bagaimana proses berpikir sis!a
ketika menyelesaikan soal cerita. Subyek yang disur%ei adalah sis!a sekolah
menengah tingkat pertama kelas & dan ' di Malang. asil sur%ei menun#ukkan
bah!a dalam menyelesaikan soal cerita ini" ternyata masih ada sis!a menggunakan
proses berpikir aritmetika tetapi sudah ada pula sudah menggunakan proses berpikir
al#abar..
Kata k!n"i proses berpikir" berpikir aritmetika" berpikir al#abar" soalcerita.
Soal cerita merupakan salah satu bentuk
soal pemecahan masalah ( problem
solving . Soal cerita ini muncul pada
pela#aran matematika di semua #en#ang
studi" mulai #en#ang sekolah dasar sampai
ke #en#ang sekolah menengah tingkat atas.
Soal cerita #uga hampir muncul pada
setiap topik bahasan pada pela#aran
matematika di berbagai #en#ang. Untuk
menyelesaikan soal cerita tersebut sis!a
perlu melakukan suatu proses" yang
dinamakan proses berpikir" sehingga dapat
menemukan #a!ab dari soal yangditanyakan. Pada tulisan ini penulis
bertu#uan ingin mendeskripsikan bagai)
mana proses berpikir yang mungkin
dilakukan sis!a yaitu apakah proses
berpikir aritmetika atau proses berpikir
al#abar.
Secara sederhana kemampuan kogni)
ti* dapat diartikan sebagai suatu proses
berpikir atau kegiatan intelektual seseo)
rang yang tidak dapat secara langsung ter)
lihat dari luar. Apa yang ter#adi pada se)
seorang yang sedang bela#ar tidak dapat
diketahui secara langsung tanpa orang itu
menampakkan kegiatan yang merupakan
*enomena bela#ar.
+emampuan kogniti* yang dapat dili)
hat adalah tingkah laku sebagai akibat ter)
#adinya proses berpikir seseorang. $ari
tingkah laku yang tampak itu dapat ditarik
kesimpulan mengenai kemampuan kogni)
ti*nya. +ita tidak dapat melihat secara
langsung proses berpikir yang sedang ter)
#adi pada seorang sis!a yang sedang diha)dapkan pada se#umlah pertanyaan" akan
tetapi kita dapat mengetahui kemampuan
kogniti*nya dari #enis dan kualitas respon
yang diberikan. Pada kesempatan ini penu)
lis menyampaikan hasil sur%ey terhadap
terhadap sis!a sekolah menengah pertama
dalam menyelesaikan soal cerita.
B#r$ikir Arit%#tika
,&-
-
8/17/2019 (173-177)--Erry
2/6
,& , Prosiding Seminar Nasional Aljabar dan Pembelajarannya, UM, 20 April Hidayanto, Erry, Proses erpi!ir Aritmeti!a dan Aljabar Sis"a,
/erpikir aritmetika merupakan pola
berpikir yang mengutamakan masalah
menghitung bilangan" terutama tentang
hasil dari operasi)operasi pada bilangan.
$alam aritmetika pendekatan yang
dilakukan sis!a dapat dari kondisi yang
diketahui dan menemukan #a!aban antara
untuk sampai pada #a!aban dari masalah
yang diberikan. Menurut +ieran (011
dalam kerangka aritmetika operasi yang
dilakukan sis!a cenderung tidak melihat
untuk dilakukan" mengingat pada a!alnya
semua upaya telah dilakukan untuk
menguasai aritmetika. Sehingga ketika
mereka dihadapkan pada masalah al#abar
maka pendekatan sederhana dengan cara
aritmetika ini yang dilakukan. /ahkan
sis!a yang berpikir aritmetikanya kuat"
akan dapat berkembang semakin #auh
dalam al#abar dengan menggunakan
berpikir aritmetika. Sebagai contoh sis!a
dapat memecahkan masalah persamaan
aspek relasional dari operasi" mereka kuadrat %0− % − 2 = 1 hanya dengan
hanya *okus pada menghitung (&al&'(
lating . Jadi menurut pendapat +ieran ini"
berpikir aritmetika hanya *okus pada
perhitungan #a!aban numerik (n'meri&al
ans"er bukan pada relasinya dan pada
bilangan sendiri" bukan pada bilangan dan
huru*.
Pola berpikir dengan mengutamakan
menghitung #umlah pada masing)masing
sisi yang dinamakan berpikir aritmetika.
Jika diberikan suatu masalah dalam
matematika maka masalah itu akan diba!a
ke dalam bentuk)bentuk perhitungan
(komputasi serta hasil operasi)oprasi pada bilangan" yaitu operasi pen#umlahan pada
bilangan" operasi pengurangan pada
bilangan" operasi perkalian pada bilangan
atau operasi pembagian pada bilangan.
Pola berpikir di sini masih belum
mengenal bentuk bilangan secara umum
yang di!u#udkan bentuknya dalam huru*
sebagai simbolnya.
B#r$ikir A&'abar/erpikir al#abar tidak hanya meng)
aritmetika)kan huru* berdasarkan suatu
bilangan" tetapi berpikir al#abar ini
merupakan berpikir yang berbeda dengan
berpikir aritmetika. $alam al#abar" operasi
dasar merupakan sesuatu yang penting
seperti pada artimetika. +etika sis!a
mulai bela#ar al#abar" mereka pasti
mencoba memecahkan masalah dengan
berpikir aritmetika. Itu hal yang !a#ar
menggunakan aritmetika dasar tanpa
menggunakan al#abar sama sekali. 3etapi
sebagai akibat adanya *enomena ini
mungkin sis!a #ustru akan merasa
kesulitan untuk bela#ar al#abar. +arena
untuk bela#ar al#abar sis!a harus berhenti
memikirkan cara berhitung seperti dalam
aritmetika dan harus bela#ar untuk berpikir
secara al#abar.
/erpikir al#abar atau penalaran al#a)
bar melibatkan pembentukan generalisasi
dari pengalaman dengan bilangan dan
perhitungan" mem*ormalkan ide)ide de)
ngan menggunakan simbol yang berarti"
dan mengeksplorasi konsep dari pola dan
*ungsi. /erpikir al#abar dimulai pada saat
sebelum taman kanak)kanak dan dilan)
#utkan sampai pada sekolah yang lebih
tinggi. /erpikir al#abar terus dimasukkan
dalam setiap tingkat sekolah (4an de
5alle dkk" 01,1. Secara garis besar" 4an
de 5alle dkk (01,1 menulis ada tiga
aspek dari berpikir al#abar" yaitu gene)
ralisasi ( generali)ations" pola ( patterns"dan *ungsi ( *'n&tions.
Sementara +aput (dalam 4an de
5alle" 01,1" mendiskripsikan lima
bentuk berpikir al#abar" yaitu6 menggene)
ralisasikan dari aritmetika dan dari pola
dalam semua dari matematika ( genera(
li)ation *rom arit+meti& and *rom patterns
in all o* mat+emati&s" penggunaan simbol
yang bermakna (meaning*'l 'se o*
symbols" mengka#i struktur dalam sistem
-
8/17/2019 (173-177)--Erry
3/6
bilangan ( st'dy o* str'&t're in t+e n'mber
systems" mengka#i pola dan *ungsi ( st'dy
o* patterns and *'n&tions" dan mengolah
model)model matematika dan menginte)
grasikan item tersebut ( pro&ess o*
mat+emati&al modeling, integrating t+e
*irst *o'r list items. 7ebih lan#ut +aput
men#elaskan bah!a berpikir al#abar
bukanlah merupakan ide tunggal tetapi
disusun dari bentuk)bentuk berbeda dari
pikiran dan pemahaman dari suatu simbol.
Se#alan dengan +aput" 4an de 5alle dkk
(01,1 berpendapat bah!a dalam berpikir
al#abar ada lima tema yang dibicarakan
yaitu6 generalisasi dari aritmetika dan dari
pola ( generali)ation *rom arit+meti& and *rom patterns" penggunaan simbol yang
bermakna (meaning*'l 'se o* symbols"
membuat struktur dalam sistem bilangan
secara eksplisit (ma!ing str'&t're in t+e
n'mber system e%pli&it " mengka#i pola
dan *ungsi ( st'dy o* patterns and
*'n&tions" dan memodelkan matematika
(mat+emati&al modeling .
Hasi& danP#%ba(asan
Soal cerita yang penulis gunakan adalah se)
bagai berikut6
Andi mempunyai dua kantong kosong"
yaitu kantong A dan kantong / seperti
pada gambar berikut ini
kosong
+antong)kantong tersebut akan diisi keler)
eng ber#umlah 0 butir " seperti pada gam)
bar
,. Menurut pendapatmu berapa sa#a ban)
yaknya kelereng yang mungkin dapat
diisikan masing)masing ke kantong Adan ke kantong / tersebut8
0. Jika banyaknya kelereng di kantong A
tertentu" tentukan banyaknya kelereng
yang dapat dimasukkan ke kantong /8
-. Jika banyaknya kelereng di kantong A
harus dua kali lipat dari banyaknya
kelereng di kantong /" tentukan ban)
yaknya kelereng yang dapat dima)
sukkan masing)masing ke kantong A
dan ke kantong /8. Jika banyaknya kelereng di kantong A
harus tiga kali lipat dari banyaknya
kelereng di kantong /" tentukan ban)
yaknya kelereng yang dapat dimasuk)
kan masing)masing ke kantong A dan
ke kantong /8
Ja!aban sis!a terhadap soal tersebut
adalah sebagai berikut.
Untuk sis!a kelas &" dalam men#a!ab per)
tanyaan nomor ," mereka menda*tar se)
mua kemungkinan dengan cara mema)
sangkan bilangan)bilangan yang ber#umlah
0" yaitu kelereng di kantong A sebanyak
, butir dan kelereng di kantong / 0- butir"
yaitu kelereng di kantong A sebanyak 0
butir dan kelereng di kantong / 00 butir"
yaitu kelereng di kantong A sebanyak -
butir dan kelereng di kantong / 0, butir"
yaitu kelereng di kantong A sebanyak
butir dan kelereng di kantong / 01 butir"
dan seterusnya sehingga menuliskan ada
sebanyak ,0 kemungkinan. $alam men)
#a!ab pertanyaan nomor 0" sis!a #uga
men#a!ab dengan cara yang sama seperti
men#a!ab soal nomor ," yaitu bilangan
tertentu dimisalkan ," makakelereng di
kantong / ada 0-" #ika di kantong A ada 0"
maka di kantong / ada 00" dan seterusnya.
$alam men#a!ab soal nomor -" sis!a
membagi 0 dengan -" hasilnya '" ke)
-
8/17/2019 (173-177)--Erry
4/6
mudian ' dikalikan 0" hasilnya ,2 itu yang
dimasukkan ke kantong A. Sedangkan di
kantong / diisikan sisanya ' butir keler)
eng. $alam men#a!ab soal nomor " ca)
ranya sama seperti dalam men#a!ab soal
nomor -" yaitu membagi 0 dengan " ha)
silnya 2" kemudian 2 dikalikan - yaitu ,'.
Selan#utnya ,' kelereng dimasukkan ke
kantong A" sedangkan sisanya 2 kelereng
dimasukkan ke kantong /.
$ari #a!aban sis!a kelas & tersebut" penu)
lis menyimpulkan bah!a pola berpikir
sis!a tersebut adalah berpikir aritmetika
dalam menyelesaikan soal cerita. al ini
sesuai dengan pendapat +ieran (011
bah!a berpikir aritmetika hanya *okus pada perhitungan #a!aban numerik
(n'meri&al ans"er .
Sedangkan untuk sis!a kelas ' yang
penulis temui" dalam men#a!ab perta)
nyaan nomor ," ternyata mereka #uga
masih menda*tar semua kemungkinan
dengan cara memasangkan bilangan)
bilangan yang ber#umlah 0" yaitu
kelereng di kantong A sebanyak , butir
dan kelereng di kantong / 0- butir" yaitukelereng di kantong A sebanyak 0 butir
dan kelereng di kantong / 00 butir" yaitu
kelereng di kantong A sebanyak - butir
dan kelereng di kantong / 0, butir" yaitu
kelereng di kantong A sebanyak butir
dan kelereng di kantong / 01 butir" dan
seterusnya sehingga menuliskan ada
sebanyak ,0 kemungkinan. $alam men)
#a!ab pertanyaan nomor 0" sis!a)sis!a
kelas ' ini teryata sudah memisalkan bi)
langan tertentu yang diamsukkan ke kan)
tog A adalah %" sehingga #umlah kelereng
yang diamsukkan ke kantong / adalah 0)
%. Jadi sis!a sudah tidak lagi menda*tar
semua kemungkinan seperti dalam men)
#a!ab soal nomor ,.
$alam men#a!ab soal nomor -" sis!a ke)
las ' ini sudah memisalkan #umlah keler)
eng di kantong A adalah A" sedangkan
#umlah keereng di kantong / adalah /"
selan#utnya dibuat persamaan � =
2�.
Selan#utnya menyelesaikan persamaan
sebagai berikut 24 = � + �.
+emudian A
diganti dengan 2 sehingga diperoleh
24 = 2� + �. $iperoleh 24
= 3�.Sehingga akhirnya diperoleh � = 8.
Jadi
kelereng yang diisikan ke kantong A
adalah 0 kali ' yaitu ,2 butir sedangkan
kelereng yang dimasukkan ke kantong /
ada ' butir.$alam men#a!ab soal nomor " sis!a ke)
las ' ini #uga sudah memisalkan #umlah
kelereng di kantong A adalah A" sedang)
kan #umlah keereng di kantong / adalah
/" selan#utnya dibuat persamaan � =
3�.
Selan#utnya menyelesaikan persamaan
sebagai berikut 24 = � + �.
+emudian A
diganti dengan 3 sehingga diperoleh
24 = 3� + �. $iperoleh 24 = 4�.Se) hingga akhirnya diperoleh � = 6.Jadikelereng yang diisikan ke kantong A
adalah - kali 2 yaitu ,' butir sedangkan
kelereng yang dimasukkan ke kantong /
ada 2 butir.
$ari #a!aban sis!a kelas ' ini penulis
menyimpulkan bah!a sis!a kelas ' ini
ketika men#a!ab soal nomor ," berpikir
aritmetika" tetapi ketika men#a!ab soal
nomor 0" nomor -" dan nomor berpikir
al#abar. al ini merupakan salah satu ben)
tuk berpikir al#abar yang dikemukakan
oleh +aput (dalam 4an de 5alle" 01,1"
yaitu6 penggunaan simbol yang bermakna
(meaning*'l 'se o* symbols.
KESIMP)LAN
$ari pembahasan di atas menun)
#ukkan bah!a dalam menyelesaikan soal
cerita ini" ternyata masih ada sis!a
menggunakan proses berpikir aritmetikatetapi sudah ada pula sudah menggunakan
proses berpikir al#abar. /erpikir arit)
metika dalam menyelesaikan soal cerita
dilakukan oleh sis!a kelas &" sedangkan
-
8/17/2019 (173-177)--Erry
5/6
berpikir al#abar dalam menyelesaikan soal
cerita dilakukan oleh sis!a kelas '. $ari
-
8/17/2019 (173-177)--Erry
6/6
kesimpulan tersebut penulis membidik
suatu dugaan untuk diteliti lebih lan#ut
tentang adanya suatu transisi berpikir dari
berpikir aritmetika ke berpikir al#abar.
DA*TAR R)J)KAN
+ieran" 9arolyn. 011. Algebraic 3hink)
ing in the :arly ;rades6 5hat Is
It8 +e Mat+emati&s Ed'&ator-
4ol. '.