STATISTIK - I

PENGUKURAN DISPERSI(MEASURES OF DISPERSION)

MENGAPA PERLU UKURAN DISPERSI.

RATA – RATA DAN MEDIAN HANYA MENGGAMBARKAN SENTRAL DARI SEKELOMPOK DATA, TETAPI TIDAK MENGGAMBARKAN BAGAIMANA PENYEBARANNYA..

DUA KELOMPOK DATA DENGAN RATA-RATA SAMA, BELUM TENTU MEMILIKI PENYEBARAN YANG SAMA. OLEH KARENA ITU, HANYA DENGAN RATA-RATA KITA TIDAK DAPAT MELIHAT GAMBARAN YANG JELAS DARI KELOMPOK DATA TERSEBUT.

UKURAN DISPERSI YANG KECIL MENUNJUKKAN NILAI DATA SALING BERDEKATAN (PERBEDAAN KECIL), SEDANGKAN NILAI DISPERSI YANG BESAR MENUNJUKKAN BAHWA NILAI DATA MENYEBAR (PERBEDAAN NILAI MASING-MASING DATA BESAR)

UKURAN DISPERSI DIGUNAKAN UNTUK MELENGKAPI PERHITUNGAN NILAI SENTRAL

CONTOH:

Data A terdiri dari nilai-nilai : 52 56 60 64 68

Data B terdiri dari nilai-nilai : 40 50 60 70 80

Rata-rata kedua kelompok data tersebut adalah sama (60) akan tetapi vasiasinilai-nilainya terhadap nilai sentral berbeda.

40 50 60 70 80

52 56 60 6864

Pengukuran Dispersi Absolud, digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data.

Metoda pengukuran dispersi absolud ada 4: Range; Deviasi Quartile; Deviasi Rata-Rata dan Deviasi Standar.

Pengukuran Dispersi Relatif, digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai- nilai observasi data lainnya.

Metoda pengukuran dispersi relatif ada 2: Koefisien Variasi dan Koefisien

Variaso Quartile.

ADA 2 MACAM PENGUKURAN DISPERSI

RANGE: HIGHEST VALUE – LOWEST VALUE

Contoh: 30; 25; 32; 35; 43; 37; 46

Highest Value = 46Lowest Value = 25Range: 46 – 25 = 21

INTERQUARTILE RANGE : Q3 – Q1

Contoh: 95 103 105 110 114 115 121Q1 = 103Q3 = 115Interquartile Range = 115 – 103 = 12

DEVIASI QUARTILE (Dk)

Dk = Q3 – Q1

2

Contoh: 95 103 105 110 114 115 121Q1 = 103Q3 = 115

Dk =

Q3 – Q1 = 115 – 103 = 12

Dk = 12/2 = 6

Q3 – Q1

2

Deviasi Rata-rata (Dx) = The arithmatic mean of the absolute value of the deviation from the arithmatic mean.

Σ | x - x |

n MD = Dx =

Contoh: 103 97 101 106 103

Rata-rata = (103 + 97 + 101 + 106 + 103)/5Rata-rata = 102n = 5Dx = {|103 - 102| + |97 – 102| + |101 - 102| + |106 - 102| + |103 - 102|}/5 = {1 + 5 + 1 + 4 + 1}/5 = 12/5 = 2,4.

DEVIASI RATA-RATA =MEAN DEVIATION

Deviasi Rata-rata untuk data berkelompok

Dx = Σ f | x – x |

n

f = frekwensi kelas ke – ix = titik tengah kelas ke Ix = rata-ratan= jumlah frkwensi data

i

i ii

Contoh:

Nilai Ujian Frkuensi

20 – 29 130 – 39 240 – 49 450 – 59 2

Jumlah 9

Nilai Ujian f x f x x – x | x – x | fi iii i i i

20 – 29 1 24,5 24,5 -17,8 17,830 – 39 2 34,5 69 -7,8 15,640 – 49 4 44,5 178 2,2 8,850 – 59 2 54,5 109 12,2 24,4

Jumlah 9 380,5 66,6

Σ f | x – x |Dx =

n

iii=1

nx =

x = 380,5/9 = 42,20

Σ f x

n

Dx = (66,6)/9 = 7,4

Jawab:

VARIANCE & STANDARD DEVIATION

Variance (Varian): The aritmatic mean of squared deviation from the mean

Standard Deviation (Deviasi Standar): The squared root of the variance

Populatin Variance : (σ ) = 2∑ (x - µ)

2

N

Population Standard Deviation (σ) = √∑ (x - µ)

2

N

Sample Variance (S ) = 2 Σ (x – x)

2

n - 1

Sample Standard Deviation (S) = √ { } Σ (x – x)

2

n -1

S = 2

Σx - (Σx) /n2 2

n - 1

n - 1S = √

{Σx - (Σx) /n}2 2

S = √ 1/(n-1) [ Σx - {(Σ x ) /n}]2 2i i

Catatan: untuk n > 100, (n – 1) dapat diganti dengan n

Rumus I

Rumus II

Contoh:

Hitung Varian dan Deviasi Standar dari data: 40, 50, 60, 70, 80.

Jawab:Rata-rata data = (40 + 50 + 60 + 70 + 80)/5 = 60

x x - x (x - x) x2

40 -20 400 160050 -10 100 250060 0 0 360070 10 100 490080 20 400 6400

300 1000 19000

Varian (s ) = (1000)/ 5-1 = 250

Deviasi Standar = √250 = 15,81

Atau: Varians := 1/(5-1){(19000 – 300)/5= 250Deviasi Standar:= √ 250= 15,81.

2

2

Untuk Data Berkelompok:

Variance = Σ f (x – x )

n - 1

i ii

2

Deviasi Standar = √Σ f (x – x )

n - 1

i i2

Contoh : Hitung Varians dan Deviasi Standar menggunakan rumus I & II

Waktu (Menit) f

0 - < 10 210 - < 20 620 - < 30 1630 - < 40 1240 - < 50 750 - < 60 460 - < 70 270 - < 80 1Jumlah 50

0 - < 10 2 5 10 -28,2 795,24 1590,4810 - < 20 6 15 90 -18,2 331,24 1987,4420 - < 30 16 25 400 -8,2 67,24 1075,8430 - < 40 12 35 420 1,8 3,24 38,8840 - < 50 7 45 315 11,8 139,24 974,6850 - < 60 4 55 220 21,8 475,24 1900,9660 - < 70 2 65 130 31,8 1011,24 2022,4870 - < 80 1 75 75 41,8 1747,24 1747,24

Jumlah 50 1160 4569,92 11388,00

Waktu (Menit) f x fx x - x (x - x ) f ( x - x)

x = (Σf x )/n = 1600/50 = 33,2

S = {Σf (x - x)}/(n-1) = 11388/(50 – 1) = 11338/49 = 231,388

S = √231,388 = 15,21

i i

i i

22

PENGUKURAN DISPERSI RELATIF

Coeficien Variasi (Coeficient of Variation) (V/CV)):

The ratio of the standard deviation to thearithmatic mean, expressed as a percent.

V(CV) = x 100%S

x

Coeficien Variasi Quartil (Vk):

Adalah Deviasi Kwartil dibagi Median

Vk =Q3 – Q1

Q3 + Q1

PENGUKURAN KEMENCENGANSUATU DISTRIBUSI FREKUENSI

DISTRIBUSI SIMETRIS

Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilairata-rata.

Curve B :Skewed Left

Curve A :Skewed Right

KEMENCENGAN

Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata.

Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)

METODA PENGUKURAN KEMENCENGAN

Koefisien Karl Pearson:

Sk = ( x – mo)/s

Catatan:Jika Sk positif artinya distribusi frekwensi menceng ke kanan.Jika Sk negatif artinya distribusi frekwensi menceng ke kiri.Jika Sk = 0 artinya distribusi frekwensi simetris.

Sk = Kemencenganx = Rata-rataMo = Moduss = deviasi standar

Hubungan Rata-rata Hitung, Median dan Modus

X - Mo = 3(X - Md)

Mo = X – 3 (X – Md)

Sk = (X – Mo)/s

X – {X – 3 (X – Md)}

sSk =

3 (X – Md)}s

Sk =

X > Md > Mo X < Md < Mo

X = Md = Mo

Sk = ( x – mo)/s

Contoh:Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut:

Upah/Jam Jumlah Karyawan

300 – 349 68350 – 399 142400 – 449 100450 – 499 60500 – 549 40550 – 599 20600 – 649 10

440

Jawab:1. Menghitung Median: Letak Median = 440/2 =220

Jawab:1. Menghitung Median: Letak Median = 440/2 =220

Md = Lmd + x CiN/2 - Fk

Fmd

100Md = 399,5 +

440/2 - 21050

Md = 404,5

Upah/Jam Jml Kary x fx fk (x – x) f (x – x)

300 – 349 68 324,5 22.066 68 9158,5 622778350 – 399 142 374,5 53.179 210 2088,5 296567400 – 449 100 424,5 42.450 310 18,5 1850450 – 499 60 474,5 28.470 370 2948,5 176910500 – 549 40 524,5 20.980 410 10878,5 435139,6550 – 599 20 574,5 11.490 430 2948,5 58969,8600 – 649 10 624,5 6.245 440 10878,5 108785

440 184.880 1700999,4

2 2

2. Menghitung Rata-rata:

X = ∑(fi.xi)

n

X = (184.880)/440

X = 420,18

3. Menghitung Modus:

Mo = Lmo +d1

d1 + d2x Ci

Mo = 349,5 +74

74 + 4250

Mo = 381,39

4. Menghitung Deviasi Standar

Deviasi Standar = √Σ f (x – x )

n - 1

i i2

= √ (1700999,4)/(440 -1)

= 62,25S

S

5. Koefisien Karl Pearson:

Sk = ( x – mo)/s

Sk = (420,18 – 381,39)/62,25

Sk = 0,6231

Sk = 62,31%

3 (X – Md)}s

Sk =

Atau:

Sk = 3(420,18 – 404,5)/62,31

Sk = 75,56%

Hasil perhitungan berbeda, karena adanya perbedaan nilai antara Median danModus. Apabila kita berkeyakinan bahwa Modus bukan merupakan ukuran nilai sentral yang baik, sebaiknya kita menggunakan Median.

Catatan: Semakin besar nilai koefisien Karl Pearson, semakin tinggi tingkat kemencengan sebuah distribusi frekwensi (kurva).

Koefisien Bowley

Sk =(Bowley)(Q - Q )

(Q - Q ) – (Q - Q )3 2 2 1

3 1

Q = Kwartil ke 1

Q = Kwartil ke 2

Q = Kwartil ke 3

1

2

3

y x

Q Q Q1 2 3

Jika nilai Koefisien Bowley positif artinya (Q - Q ) > (Q - Q ), maka distribusi frekwensi menceng ke kanan. Sedangkanapabila koefisien Bowley negatif artinya

3 2 2

(Q - Q ) < (Q - Q ) maka distribusi frekwensi menceng ke kiri. Bila koefisien Bowley = 0, artinya

3 2 2

(Q - Q ) = (Q - Q ) maka distribusi frakwensi adalah simetris.

3 2 2 1

1

1

(Q - Q ) > (Q - Q )3 2 2 1

X > YMenceng ke kanan

(Q - Q ) < (Q - Q )3 2 2 1

X < YMenceng ke kiri

xy

Q Q Q1 2 3 Q Q Q1 2 3

(Q - Q ) = (Q - Q )3 2 2 1

X = YSimetris

xy

Contoh:Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut menggunakan rumus koefisien Bowley:

Upah/Jam Jumlah Karyawan

300 – 349 68350 – 399 142400 – 449 100450 – 499 60500 – 549 40550 – 599 20600 – 649 10

440

300 – 349 68 68 350 – 399 142 210 400 – 449 100 310 450 – 499 60 370 500 – 549 40 410 550 – 599 20 430 600 – 649 10 440

440

Upah/Jam Jml Kary fk Jawab:1. Menghitung Quartile 1, 2 & 3 :

Letak Q1 = 440/4 =110Letak Q2 = 2 (440)/4 = 220Letak Q3 = 3 (440)/3 = 330

Qi = LQi + [ ] x(in/4) - fk

fQiCi

Q1 = 349,5 + 50

Q1 = 364,3

440/4 - 68

142

Q2 = 399,5 + 50

Q2 = 404,5

2(440)/4 - 210

100

Q3 = 449,5 + 50

Q3 = 466,1

3(440)/4 - 310

60

Menghitung Koefisien Bowley:

Sk =(Bowley)(Q - Q )

(Q - Q ) – (Q - Q )3 2 2 1

3 1

Sk =(Bowley)(466,1 - 364,3)

(466,1 – 404,5 ) – (404,5 - 364,3)

Sk = 21,02 %(Bowley)

Sk (Bowley)

Catatan:Menurut Bowley, apabila > +30% atau < -30%, menunjukkan bahwa distribusi frekwensi memiliki tingkat kemencengan yang tinggi.

ANGKA INDEKS

Angka Indeks: merupakan suatu metoda statistik untuk mengukur perubahan atau mengadakan perbandingan antara variable-variable ekonomi dan sosial dari waktu ke waktu.

Dalam menyusun angka indeks, nilai pada suatu periode dibandingkan dengan nilai pada tahun dasar (base year). Angka indeks pada tahun dasar (base year) selalu 100.

Tujuan penyusunan Angka Indeks adalah untuk memudahkan kita membandingkan nilai-nilai observasi dari waktu ke waktu.

Rumus : x 100 V

V

n

0

Dimana : V = Nilai tahun ke n V = Nilai tahun Dasar

n

0

Contoh:

Tahun Harga Beras/Kg

1980 2501981 3001982 3001983 4001984 500

Apabila tahun 1980 ditentukan sebagai tahun dasar, hitung anka indeks tahun 1981,1982,1983, dan 1984.

Jawab:

I (1981) = (300)/(250) x 100 = 120I (1982) = (300)/(250) x 100 = 120I (1983) = (400)/(250) x 100 = 160I (1984) = (500)/(250) x 100 = 200

1. Angka Indeks Sederhana.

Adalah angka indeks yang menyatakan perbandingan satu macam komoditi

Rumus : I = x 100 V

V

n

0

n

Dimana : V = Nilai tahun ke - n V = Nilai tahun Dasar

I = Angka Indeks Tahun ke – n

n

0

n

Contoh:Harga komoditi susu selama 3 tahun adalah sebagai berikut:

Hitung Indeks Harga (IH) tahun 1990 dan 1991 dengan tahun 1989 sebagai tahun dasar.

Tahun Harga (Rp)

1989 5001990 7501991 1000

Jawab:

IH(1990) = (750)/(500) x 100 = 150IH(1991) = (1000)/(500) x 100 = 200

2. Angka Indeks Agregatif

Adalah Angka Indeks yang menyatakan perbandingan sekelompok komoditi.

Rumus:

IA = x 100Σ Vn

∑ V0

Keterangan:IA = Angka Indeks Agregatif Σ Vn = Jumlah nilai komoditi th ke-n∑ V0 = Jumlah nilai komoditi th dasar

Contoh:

Komoditi Harga Th 89 Harga Th 90 Harga Th 91

Susu 500 750 1000Gula 200 400 600Beras 300 150 450

Jumlah 1000 1300 2050

Jawab: IHA 90 = (1300)/(1000) x 100 = 130

IHA 91 = (2050)/(1000) x 100 = 205

3. Angka Indeks Agregatif Tertimbang

Rumus:

AIw = x 100∑Vn x W

∑V0 x W

Dimana W adalah faktortimbangan.

AIw = x 100∑Vn x W

∑V0 x W(Las Peyres)

0

0Rumus Angka Indeks Agregatif Las Peyres

AIw = x 100∑Vn x W

∑V0 x W(Paasche)

n

n

Note: Untuk menghitung Indeks Harga, Las Peyres menggunakan kuantitas tahun dasar (W0) sebagai penimbang, sedangkan Paasche menggunakan kuantitas tahun ke n (Wn) sebagai penimbang.

Rumus Angka Indeks Agregatif Paasche

Contoh:

Komoditi Harga(p) Jumlah(q) (p) (q) (p) (q)

1989 1990 1991

Susu 500 20 750 20 1000 40Gula 200 10 400 50 600 60Beras 300 10 150 15 450 30

Jumlah 1000 40 1300 85 2050 130

Jika tahun 1989 dijadikan tahun dasar, maka:a. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Laspayer.b. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Paasche.

Jawab:a. Rumus Indeks Harga Agregatif Laspeyres & Paasche:

IH = x 100∑pn x q0

∑p0 x q0

(Las Peyres)

Untuk tahun 1990, Indeks Harga:

IH(Laspeyres) = x 100 Σp1990 x q1989

Σp1989 x q1989

IH = x 100∑pn x qn

∑p0 x qn

(Paasche)

IH(Paasche) = x 100 Σp1990 x q1990

Σp1989 x q1990

p89 p90 q89 q90 p90xq89 p89xq89 p90xq90 p89x q90

500 750 20 20 15000 10000 15000 10000200 400 10 50 4000 2000 20000 10000300 150 10 15 1500 3000 2250 4500

20500 15000 37250 24500

IH90 = x 100∑p90 x q89

∑p89 x q89

(Las Peyres)

= {(2050)/(15000)} x100= 136,67

IH90(Paasche) = x 100 Σp1990 x q1990

Σp1989 x q1990

= {(37250)/(24500)} x100 = 152,04IH90(Paasche)

IH90(Las Peyres)

IH91(Laspeyres) = x 100 Σp1991 x q1989

Σp1989 x q1989

= x 100

= {(30500)/15000} x 100

= 203,33

(1000x20) + (600x10) + (450x10)

15000

IH91(Laspeyres)

IH91(Paasche) = x 100 Σp1991 x q1991

Σp1989 x q1991

{(1000x40) + (600x60) + (450x30)}

{(500x40) + (200x60) + (300x30)= x 100

= (89500)/(41000) x 100= 218,29IH91(Paasche)

Tahun IH Laspeyers IH Paasche

1989 100 1001990 136,67 152,041991 203,33 218,29

Hasil selengkapnya:

Note:1. Angka Indeks Laspeyres lebih banyak digunakan karena lebih praktis.2. Angka Indeks Laspeyres menggunakan kuantitas tahun dasar sebagai

penimbang (tetap) sehingga hanya perubahan harga yang memperngaruhi indeks.

3. Angka Indeks Paasche menggunakan kuantitas tahun ke-n sebagai penimbang. Sehingga disamping dipengaruhi oleh perubahan harga, AngkaIndeks Harga Paasche tidak murni karena dipengaruhi juga oleh perubahan kuantitas.

4. Kelemahan Angka Indeks Harga Paasche adalah karena untuk dapat menghitung Angka Indek diperlukan waktu dan biaya untuk mengumpulkan data kuantitas yang terakhir.

Selain digunakan untuk menghitung Angka Indeks Harga, rumus Las Peyres dan Paasche dapat digunakan untuk menghitung Angka Indeks Kuantitas.

Rumus Angka Indeks Kuantitas Las Peyres:

IK = x 100∑qn x p0

∑q0 x p0

(Las Peyres)

Rumus Angka Indeks Kuantitas Paasche:

IK = x 100∑qn x pn

∑q0 x pn

(Paasche)

Contoh:

Komoditi Harga Kuantitas Harga Kuantitas

Daging 100 40 115 50Roti 200 1 220 1Cabai 20 100 27 90

1990 1991

IK 1991 = x 100∑q91 x p90

∑q90 x p90

(Las Peyres)

= x 100 (50 x 100) + (1 x 200) + (90 x 20)

(40 x 100) + (1 x 200) + (100 x 20)

= 112,9

IK1991 = x 100∑q91 x p91

∑q90 x p91

(Paasche)

= x 100(50 x 115) + (1 x 220) + (90 x 27)

(40 x 115) + (1 x 220) + (100 x 27)

= 117,7

Angka Indeks Fisher

AIw (Fisher) = √ (Angka Indeks Las Peyres x Angka Indeks Paasche)

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√AIw (Fisher) =

Pengujian Matematis Angka Indeks.

Untuk mengetahui baik tidaknya rumusan Angka Indeks, dapat digunakan 2cara pengujian:

a. Pengujia Pembalikan Waktu (Time Reversal Test)b. Pengujian Pembalikan Faktor (Factor Reversal Tes)

a. Pengujian Pembalikan Waktu.Suatu Angka Indeks adalah baik jika memenuhi kondisi:

(Angka Indeks 0,n) x (Angka Indeks n,0) = 1

Dimana: Angka Indeks 0,n = Angka Indeks dengan periode 0 sebagai tahun dasar.Angka Indeks n,0 = Angka Indeks dengan periode n sebagai tahun dasar.

Contoh:

Angka Indeks Las Peyers:

AI 0,n =∑pn x q0

∑p0 x q0

∑p0 x qn

∑pn x qn

AI n,0 =

(AI 0,n) x (AI n,0) = =/= 1∑p0 x qn

∑pn x qn

∑pn x q0

∑p0 x q0

X

Angka Indeks Paasche:

AI 0,n =∑pn x qn

∑p0 x qn

∑p0 x q0

∑pn x q0

AI n,0 =

(AI 0,n) x (AI n,0) = =/= 1∑p0 x q0

∑pn x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

X

Angka Indeks Fisher:

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√AI 0,n =

∑p0 x qn

∑pn x qn

∑p0 x q0

∑pn x q0

x√AI n,0 =

(AI 0,n) x (AI n,0) = ∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√ ∑p0 x qn

∑pn x qn

∑p0 x q0

∑pn x q0

xx = 1

Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.

b. Pengujian Pembalikan FaktorSuati rumusan Angka Indeksbaik jika memenuhi kondisi:Bila faktor p dan q pada suatu rumus Angka Indeks dipertukarkan sehingga diperoleh rumus baru, maka hsil perkalian rumus baru dengan rumus lama

Indeks Las peyers

AI = ; ∑pn x q0

∑p0 x q0

∑qn x p0

∑q0 x p0

AI setelah pembalikan faktor =

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑qn x p0

∑q0 x p0

x =/=Σpn . qn

Σp0 . q0.

Σpn . qn

Σp0 . q0.harus sama dengan :

Indeks Paasche

AI = ; ∑pn x qn

∑p0 x qn

∑qn x pn

∑q0 x pn

AI setelah pembalikan faktor =

∑pn x qn

∑p0 x qn

∑qn x pn

∑q0 x pn

x =/=Σpn . qn

Σp0 . q0.

Indeks Fisher

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√AI =

∑qn x p0

∑q0 x p0

∑qn x pn

∑q0 x pn

x√

AI setelah pembalikan faktor:

∑pn x q0

∑p0 x q0

∑pn x qn

∑p0 x qn

x√ ∑qn x p0

∑q0 x p0

∑qn x pn

∑q0 x pn

x√X

=∑pn x qn

∑p0 x q0

Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.

Karena melalui dua cara pengujian ini hanya Indeks Fisher yang memenuhi syarat,maka Angka Indeks Fisher disebut angka indeks yang ideal (Fisher Ideal Index)

Perubahan Tahun dasar Angka Indeks.

Perubahan tahun dasar Angka Indeks dilakukan dengan 2 tujuan:a. Untuk memudahkan dalam membandingkan dua kelompok angka

indeks yang tidak samatahun dasarnya.b. Untuk memperbaharui tahun dasar yang sudah terlalu jauh dari tahun

sekarang.

Contoh: Angka Indeks harga mobil dengan tahun dasar 1985.

Tahun Angka Indeks Tahun Angka Indeks

1985 1001986 1101987 1201988 1201989 1301990 1501991 1601992 200

1985 401986 501987 601988 801989 901990 1001991 1201992 150

Angka Indeks harga rumahdengan tahun dasar 1990.

Agar kita dapat membandingkan perubahan harga mobi dan garga rumah, kita harus menyamakan tahun dasar kedua Angka Indekstersebut di atas. Dalam contoh ini kita harus merubah tahundasar Angka Indeks harga mobil dari tahun 1985 ke tahun 1990 dengan menggunakan rumus sbb.:

A.In = x 100 AI tahun ke n

AI tahun dasar yang baru

Tahun AI Harga Mobil (Th Dasar 1990)

1985 (100/150)x100 = 66,671986 (110/150)x100 = 73,331987 (120/150)x100 = 801988 (120/150)x100 = 801989 (130/150)x100 = 86,671990 (150/150)x100 = 1001991 (160/150)x100 = 106,671992 (200/150)x100 = 133,33

Tahun AI Harga Mobil AI Harga Rumah

1985 66,671986 73,331987 80,001988 80,001989 86,671990 100,001991 106,671992 133,33

40,00 50,00 60,00 80,00 90,00 100,00 120,00 150,00

Dengan menyamakan tahun dasar, maka kita dapat membandingkan perubahan harga mobil dan harga rumah menggunakan Angka Indeks seperti dibawah ini:

Kesimpulan: Harga rumah lebih cepat berubah (naik) jika dibandingkan dengan harga mobil.

TIME SERIES(DERET BERKALA)

Suatu rangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan.

Komponen Time Series.

Trend (T)Variasi Musim (V)Variasi Sikli (S)Irregular atau Random (R)

Time Series merupakan hasil perkalian dari T, V, S, dan R

Time Series = T x V x S x R

Time Series:

1. Trend

Trend merupakan gerakan jangka panjang yang mempunyai kecenderungan menuju pada satu arah, yaitu naik dan turun.

Contoh:

Tahun Triwulan 1 Triwulan 2 Triwulan 3 Triwulan 4

1983 187 243 209 291 1984 198 263 270 2971985 274 363 295 3351986 233 273 240 2901987 207 295 239 3161988 237 367 300 4301989 282 425 383 4781990 375 430 392 5601991 373 423 387 433

PENJUALAN MOBIL

0

100

200

300

400

500

600

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

TAHUN

JU

ML

AH

PE

NJ

UA

LA

N

Series1

Series2

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

1991

Data dalam tabel di atas dapat disajikan dalam gambar sebagai berikut:

Triwulan

PENJUALAN MOBIL

0

100

200

300

400

500

600

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

TAHUN

JU

ML

AH

PE

NJ

UA

LA

N

Series1

Series2

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

1991

Pada gambargrafik dapat ditarik garis Trend seperti berikut:

Long Term Trend

VARIASI MUSIM

0

200

400

600

800

1000

1 2 3 4

TRIWULAN

JU

ML

AH

PE

NJU

AL

AN

Series3

Series2

Series1

2. Variasi Musim.

Adalah gerakan jangka pendek (kurang dari satu tahun) yang berulang secara teratur dari tahun ke tahun

Contoh: Penjualan pakaian naik setiap menjelang lebaranPenjualan buku naik setiap tahun ajaran baru.

1983

1984

1985

3. Sikli

Adalah suatu gerakan jangka panjang yang memiliki unsur siklus, yaitu perluasan (expansion), puncak (peak), kemunduran (contraction) dan depresi (trough).

PENJUALAN MOBIL

0

20

40

60

80

100

1 3 5 7 9 11 13 15 17

TAHUN

JU

ML

AH

PE

NJU

AL

AN

Series1

Peak

Contraction Trough

Expansion

Long term Trend

4. Random

Random atau irregular adalah gerakan yang bersifat acak atau tidak beraturan sehingga tidak dapat diprediksi sebelumnya. Contoh, naiknya harga minyak karena perang teluk, naiknya harga gabah karena gagal panen, dsb.

TREND LINEAR DENGAN METODA LEAST SQUARE

Trend jangka panjang dari berbagai data bisnis sering diperkirakan menggunakan persamaan garis lurus sebagai berikut:

Ŷ = a + bx

Dimana:

Ŷ(baca Y prime) = nilai proyeksi variable Y untuk nilai x tertentu.a = konstanta, nilai Y apabila x = 0b = slope, menunjukkan berapa satuan Y apabila x berubah satu unit.

PENJUALAN KENDARAAN

0

10

20

30

40

50

0 5 10

TAHUN

VO

LU

ME

Series1

Garis Trend

Proyeksi nilai penjualan yang digambarkan dengan Garis Trend, memiliki perbedaan (selisih) bila dibandingkan dengan nilai aktualnya.Besar perbedaan atau deviasi adalah (Y –Ŷ). Trend yang baik adalah yang memiliki deviasi yang terkecil. Semakin kecil deviasinya berarti trend tersebut semakin representatif.

Metoda selisih kuadrat terkecil Least Square Method merupakan metoda menghitung persamaan trend linear yang menghasilkan selisih atau deviasi kuadrat (Y – Ŷ) terkecil.

Dengan menggunakan Least Square Method, nilai a dan b pada persamaan trend linear dapat dihitung dengan rumus sbb.:

2

b = Σ XY

Σ X2

a = Σ Y

n Dimana:

ΣY = Jumlah penjualan aktualn = Jumlah tahun dalam dataΣXY = Jumlah perkalian variabel X dan YΣX = Jumlah kuadrat dari variabel X

2

Varabel X adalah waktu (misal tahun 1999,2000, 2001, dst.). Untuk menyederhanakan perhitungan, variaable waktu tidak dinyatakan dalam tahun, akan tetapi dalam kode seperti 1, 2, 3, dst.

Contoh:

Untuk data ganjil

Tahun Koding

1980 -21981 -11982 01983 11984 2

Note: Tahun yang terletak ditengah (1982) diberi koding 0. Jarak antar tahun ± 1

Untuk data genap

Tahun Koding

1980 -51981 -31982 -11983 11984 31985 5

Note: Kode 0 diletakkan diantar 2 tahun yang ditengah (1982 dan 1983. Jarak antar tahun ± 2

0

Contoh:

Volume penjualan PT. X selama 5 tahun adalah sebagai berikut:

Tahun Penjualan (ribu Unit)

1985 71986 101987 91988 111989 13

a. Buatlah persamaan garis trend linear menggunakan metoda Least Squareb. Hitung proyeksi penjualan selama 1985 – 1989 menggunakan persamaan

garis trend linearc. Buatlah ramalan penjualan untuk tahun 1990 dan tahun 1991

Jawab:

Tahun Penjualan (Y) X XY X

1985 7 -2 -14 41986 10 -1 -10 11987 9 0 0 01988 11 1 11 11989 13 2 26 4

2

50 13 10

Menghitung a dan b:

b = Σ XY

Σ X2

a = Σ Y

n

a = (50)/5 = 10 b = (13)/10 = 1,3

Ŷ = 10 + 1,3X

a. Persamaan garis trendnya adalah : Ŷ = 10 + 1,3X

b. Proyeksi penjualan

Tahun X Proyeksi Penjualan

1985 -2 Ŷ = 10 + 1,3 (-2) = 7,41986 -1 Ŷ = 10 + 1,3 (-1) = 8,71987 0 Ŷ = 10 + 1,3 (0) = 101988 1 Ŷ = 10 + 1,3 (1) = 11,31989 2 Ŷ = 10 + 1,3 (2) = 12,6

c. Penjualan tahun 1990 (X =3) dan tahun 1991 (X = 4)

Ŷ1990 = 10 + 1,3 (3) = 13,9 (ribu unit)

Ŷ1991 = 10 + 1,3 (4) = 15,2 (ribu unit)

1985 2 1986 41987 31988 61989 51990 10

Tahun Penjualan (Y)

Data penjualan PT Y selama 6 tahun (dlm juta unit)

Pertanyaan:

a. Buatlah persamaan trend linear dengan menggunakan metoda least square.b. Hitung proyeksi penjualan menurut persamaan trend linear.c. Buat ramalan penjualan tengan tahun 1991 dan awal 1992.

Tahun Penjualan (Y) X XY X

1985 2 -5 -10 25 1986 4 -3 -12 91987 3 -1 -3 1 1988 6 1 6 1 1989 5 3 15 91990 10 5 50 25

2

30 46 70

Jawab:

a = Σ Y

nb =

Σ XY

Σ X2

a. Persamaan garis trend:

a = (30)/6 = 5 b = (46)/70 = 0,657

Ŷ = 5 + 0,657X

a. Persamaan garis trend : Ŷ = 5 + 0,657X

b. Proyeksi berdasarkan trend:

Tahun X Proyeksi Penjualan

1985 -5 Ŷ = 5 + 0,657 (-5) = 1,7151986 -3 Ŷ = 5 + 0,657 (-3) = 3,0291987 1 Ŷ = 5 + 0,657 (-1) = 4,3431988 1 Ŷ = 5 + 0,657 (1) = 5,6571989 3 Ŷ = 5 + 0,657 (3) = 6,9711990 5 Ŷ = 5 + 0,657 (5) = 8,285

c. Ramalan penjualan untuk pertengahan tahun 1991 (x = 7)

Ŷ = 5 + 0,657(7) = 9,599

Ramalan penjualan awal tahun 1992 (x = 7 + 1 = 8)

Ŷ = 5 + 0,657(8) = 10,256

Merubah tahun dasar Trend

Tahun dasar trend yang sudah terlalu jauhdapat diubah. Perubahan tahun dasar tidak berpengaruh pada nilai slope (b), akan tetepi berpengaruh pada nilai konstanta (a).

Contoh:

Diketahui persamaan trend Ŷ = 15 + 1,7X dengan tahun dasar 1983 (tahun 1983 x = 0). Kita ingin mengubah tahun dasar menjadi tahun 1985, maka:

a = nilai Ŷ pada tahun dasar baruNilai (X) untuk tahun dasar yang baru (1985) = 2a = Ŷ = 15 + 1,7 (2)a = 18,4b tetap = 1,7Jadi, persamaan trend yang baru (dengan tahun dasar 1985) menjadi:

Ŷ = 18,4 + 1,7X

Nilai X untuk masing-masing tahun berubah menjadi sbb.:

Sehingga, kalau kota akan menghitung nilai trend tahun 1986:

Dengan rumus lama: Ŷ = 15 + 1,7XŶ = 15 + 1,7(3) = 20,1

Dengan rumus baru:Ŷ = 18,4 + 1,7XŶ = 18,4 + 1,7(1) =20,1

Tahun X lama (1983 = 0) Xbaru(1985=0)

78 -5 -779 -4 -680 -3 -581 -2 -482 -1 -383 0 -284 1 -185 2 086 3 187 4 2

Merubah Periode.

Periode tren dapat dirubah dati tahunan menjadi a) bulanan, b) kwartalanc) rata-rata bulanan dan d) rata-rata kwartalan

a. Trend Rata-rata Bulanan

Untuk mengubah trend rata-rata tahunan menjadi trand rata-rata bulanan:a dan b dibagi 12, atau:

Ŷ = a/12 + b/12 U

Contoh:

Diketahui trend tahunan Ŷ = 120 + 24 X, dengan tahun dasar 1982

Trend rata-rata bulanan menjadi:

Ŷ = (120)/12 + (24)/12 U

Ŷ = 12 + 2 U

b. Trend rata-rata kwartalan.

Untuk mengubah trend tahuna menjadi trend rata-rata kwartalan:a dan b dibagi 4, atau

Ŷ = a/4 + b/4 U

c. Trend BulananTrend bulana tidak sama dengan trend rata-rata bukanan. Pada trend rata-rata bulanan, nilai Y untuk setiap bulan dianggap sama, sedangkan pada trend bulanan nilainya berbeda. Untuk mengubah trend tahunan menjadi trend bulanan:a dibagi 12 dan b dibagi (12) Koding berubah menjadi U, dimana 1 X = 12 U

2

Ŷ = + Ua b

12 122

Contoh:

Ŷ = 120 + 24 X , tahun dasar tengah tahun 1982 Jika dirubah menjadi trend bulanan, menjadi:

Ŷ = (120)/12 + (24)/(12) U2

Ŷ = 10 + 0,167 U

Selanjutnya koding berubah menjadi:Untuk tahun 1982, koding tengah Juli adalah U = ½, tengah Agustus = 1½,sedangjan untuk tengah Juni = - ½, dan tengah Mei = - 1½, dan seterusnya.

Trend bulan Desember 1982 (U = 5½)

Ŷ = 10 + 0,167 (5½) = 10,91

Bulan (U)

Januari -5½ Februari -4½Maret -3½April -2½Mei -1½Juni -½Juli +½Agustus 1½September 2½Oktober 3½November 4½Desember 5½

Tahun 1982

U = 0

d. Trend Kwartalan.

Untuk merubah trend tahunan menjadi trend kwartalan:a dibagi 4 dan b dibagi (4), atau:2

Ŷ = + Ua b

4 42

Contoh:

Ŷ = 120 + 24 X Diubah menjadi trend kwartalan:

Ŷ = 120/4 + 24/4 (U)2

Ŷ = 30 + 1,5 (U)

Untuk tahun 1982: Tengah kwartal I, U = -1,5 Tengah kwartal II, U = -0,5 Tengah kwartal III, U = 0,5 Tengah kwartal IV, U = 1,5

U = 0

Trend kwartal III 1982Ŷ = 30 + 1,5 (U)U = 0,5Ŷ = 30 + 1,5 (0,5) = 30,75

Trend kwartal IV 1982 Ŷ = 30 + 1,5 (U)U = 1,5Ŷ = 30 + 1,5 (1,5) = 32,25

Trend kwartal I 1983Ŷ = 30 + 1,5 (U)U = 2,5Ŷ = 30 + 1,5 (2,5) = 33,75

Ada 2 cara mencari trend kwartalan:

1. Berdasarkan data tahunan dihitung trend tahunan, kemudian diubah menjadi trend kwartalan.

2. Menghitung langsung trend kwartalan berdasarkan data kwartalan.

Catatan: Jika data yang dianalisis cukup banyak, hasil dari kedua cara tersebut tidak banyak berbeda. Akan tetapi, jika jumlah data

yang dianalisis terbatas, maka perbedaan hasilnyanya cukup nyata.

5. Trend Non LinearAdalah garis trend yang tidak linear, misalnya trend kuadratik dan trend exponential.

a. Trend Kuadratik

Yt = a + b.X + c.X2

Bentuk-bentuk trend kuadratik

Naik dengan jumlah yang menurun

Nila

i

tNaik dengan jumlah yang semakin menaik

t

Nila

i

a = ;

2(Σ Y)(ΣX ) – (Σ X Y)(Σ X )

4 2

nΣX - (ΣX )4 2 2

b = (Σ XY)/ ΣX 2

n(ΣX Y) – (ΣX )(ΣY)2 2

c = ; nΣX - (ΣX )

4 2 2

Turun dengan jumlah yang menurun

Nilai

tTurun dengan jumlah yang semakin meningat t

Nilai

Contoh:Data penjualan mie instant merek “X” selama 11 tahun adalah sbb.: (dlm jutaan)

Tahun Penjualan Tahun Penjualan

1989 93 1995 881990 91 1996 861991 96 1997 871992 89 1998 941993 90 1999 921994 82

Tahun Unit Penj (Y) X XY X X Y X

1989 93 -5 - 465 25 2325 6251990 91 -4 - 364 16 1456 2561991 96 -3 - 288 9 864 811992 89 -2 - 178 4 356 161993 90 -1 - 90 1 90 11994 82 0 0 0 0 01995 88 1 88 1 88 11996 86 2 172 4 344 161997 87 3 261 9 783 811998 94 4 376 16 1504 2561999 92 5 460 25 2300 625

Jumlah 989 -28 110 10110 1958

2 2 4

Tabel Perhitungan:

n(ΣX Y) – (ΣX )(ΣY)2 2

c = ; nΣX - (ΣX )

4 2 2

Σ Y = 989

Σ XY = - 28

Σ X = 110

Σ X Y = 10110

Σ X = 19582

2

4

a = ;

2(Σ Y)(ΣX ) – (Σ X Y)(Σ X )

4 2

nΣX - (ΣX )4 2 2

a = (989)(1958) – (10110)(110)

11(1958) – (110)2

a = [(1936462) – (1112100)]/[(21538 – 12100

a = (824362)/(9438)

a = 87,34

b = (Σ XY)/ ΣX 2

b = (28)/ (110)

b = 0,2545

c = 11(10110) – (110)(989)

11(1958) – (110)2

c = 0,2564

Maka persamaam Trend Kuadratik adalah:

Yt = 87,34 + 0,2545 X + 0,2564 X2

(Dengan tahun dasar 1994)

Berapa trend penjualan untuk tahun 1997 dan 1999?

Untuk tahun 1997, X = 3

Y’97 = 87,34 + 0,2545 (3) + 0,2564 (9)

Y’97 = 90,4111

Untuk tahun 1999, X = 5

Y’99 = 87,34 + 0,2545 (5) + 0,2564 (25)

Y’99 = 96,9750

Trend Eksponential:

Dimana: Ln adalah logaritma bilangan alam e-log

Yt = a . bx

Ln Yt = Ln a + X Ln b

Atau:

Untuk mencari a dan b digunakan rumus:

a = anti Ln Σ Ln Y

n

b = anti LnΣ (X Ln Y)

Σ X 2

Contoh:

Tahun Koding (X) Penjualan (Y) Ln Y X Ln Y X2

1981 -5 210 5,3471 -26,7355 251982 -4 250 5,5215 -22,0858 161983 -3 260 5,5607 -16,6820 91984 -2 240 5.4806 -10,9613 41985 -1 300 5,7037 -5,7037 11986 0 310 5,7365 0 01987 1 330 5,7991 5,7991 11988 2 380 5,9401 11,8803 41989 3 470 6,1527 18,4582 91990 4 530 6,2728 25,0915 161991 5 560 6,3279 31,6397 25

Jumlah 63,8431 10,7004 110

a = anti Ln Σ Ln Y

n

b = anti Ln10,7004

110

a = anti Ln

63,8431

11

a = 331,6

b = anti LnΣ (X Ln Y)

Σ X 2

b = 1,1022

Persamaan trend eksponensial adalah:

Yt = (331,6) (1,022) x

Kriteria Memilih Trend

Untuk memilih trend mana yang sebaiknya digunakan ada 3 cara:

1. Menganalisis grafik data atau scatter-plotJika data observasi menunjukkan gejala linear, kita sebaiknya menggunakan trend linear.Jika data observasi menunjukkan ciri-ciri bentuk kuadratik, gunakan trend kuadratik.

**

*

*

*

*

*

*

*

****

**

*

*

* *

* *

*

*

*

*

**

****

*

**

**

*

*

*

***

*

**

Cenderung Linear Cenderung Kuadratik Cenderung Eksponensial

2. Menganalisa Selisih Data.

Jika selisih pertama data observasi cenderung konstant, gunakan trend linear.

Contoh:

Y Selisih Pertama

10 10

20 9

29 10

39 11

50 10

60

Jika selisih kedua dari data observasi cenderung konstant, gunakan trend kuadratik>

Contoh:

Y Selisih Pertama Selisih Kedua

10 10

20 5 15

35 5 20

55 5 25

80 5 30

110 5 35

145

Jika selisih pertama dari nilai logaritma data observasi cenderung konstant, gunakan trend exponensial.

Contoh: Y Log Y Selisih Pertama

10 10,176

15 1,1760,222

25 1,3980,204

40 1,6020,301

80 1,9030,273

150 2,1760,125

200

MSE = Σ (Yi – Ŷi)

2

n

3. Menghitung Mean Square Error (MSE).

Hitung MSE untuk setiap jenis trend, dan pilih garis trend yang memberikan MSE terkecil.

Dimana: Yi = observasi aktual petiode I Ŷi = nilai trend periode I

n = jumlah observasi.

**

*

{{ŶiYi

{{e

e

Yi – Ŷi

Yi – Ŷi

Yi – Ŷi

6. Variasi Musim

Alasan mempelajari variasi musim:a. Kita bisa membuat pola perubahan dimasa lalub. Kita dapat memproyeksikan kondisi dimasa mendatang menggunakan

pola masa laluc. Kita dapat menghilangkan efek musim dari time series.

Variasi musim diukur dengan Indeks Musim (Seasonal Index)

Cara menghitung Indeks Musim

1) Metoda Rata-Rata

Tahun TRW I TRW II TRW III TRW IV

1999 250 290 260 3102000 290 270 340 4102001 310 480 325 3802002 305 360 340 38529932 330 440 410 450

Jml 1485 1840 1675 1935

Total 6935

Rata2 Trw 297 368 335 387

Rata2 Total 346,75

Index Trw 85,7 106,1 96,6 111,6

Jml Indeks Musim 400

Keterangan:

1) Total = 1485 + 1840 + 1675 + 1935 = 69352) Rata2 Trw = Jumlah setiap triwulan dibagi jumlah tahun (5)3) Rata2 Total = Jumlah rata2 trw dibagi 4 = 1387/4 =346,754) Indeks trw = Rata2 trw dibagi rata2 total.

Trw I = 85,7; Trw II = 106,1; Trw III = 96,6; Trw IV = 111,65) Jml Indeks Musim = 85,7 + 106,1 + 96,6 + 111,6 = 400

Catatan: Metoda rata-rata ini sangat tepat digunakan untuk data deret berkala (time series) yang tidak memiliki variasi pada trend atau variaso siklus.

2) Metoda Ratio to Moving Average

Time Series(T,S,V,R)

Hilangkan V,Rdengan rrata-rata bergerak. Sisanya

T, S

Bagi time series dengan T,S

(T,S,V,R)/(T,S) =V,R

Hilangkan Rdengan rata-rata

V,R. Sisanya adalah V

Contoh:

Mencari Indeks Musim untuk data triwulanan sebagai berikut: (Data Penjualan dari tahun: 1988 – 1992)

Tahun Trw I Trw II Trw III Trw IV

1988 125 125 90 1401989 130 130 95 1461990 138 138 98 1501991 149 149 102 1591992 163 114 112 186

Penyelesaian: Langkah I: Mencari Nilai V x R ( V= Variasi Musim& R = Random)

Tahun Trw Penjualan Mov. Tot. Mov Av. Mov Av Persentase Thd(4Trw) (4Trw) yg dipstkan Mov Av

1988 I 125

2 87 442 110,5

3 90 111,125 80,99 447 111,75

4 140 112,25 124,72 451 112,751989 1 130 113,375 114,66

456 1142 91 114,75 79,30

462 115,53 95 116,5 81,55

470 117,54 146 118,125 123,60

475 118,751990 1 138 119,25 115,72 478 119,75

2 96 120,5 79,92 482 120,5

3 98 123,25 80,41 493 123,25

4 150 124,375 120,60 502 125,5

Penyelesaian: Mencari Nilai V x R ( V= Variasi Musim& R = Random)

Tahun Trw Penjualan Mov. Tot. Mov Av. Mov Av Persentase Thd(4Trw) (4Trw) yg dipstkan Mov Av

1991 I 149 126 118,25 506 126,5

2 105 127,625 82,27 515 128,75

3 102 130,5 78,16 529 132,25

4 159 133,375 119,21 538 134,51992 1 163 1135,75 120,07

548 1372 114 140,375 81,21

575 143,753 112

4 186

Keterangan: Kolom (4) Moving Total: Jumlah bergerak 4 trw yang berurutan.442 merupakan penjumlahan angka penjualan trw I s.d trw IV 1988 (125 + 87 + 90 + 140)447 merupakan penjumlahan anglka penjualan trw II s,d trw IV 1988 dan trw I 1999 ( 87 +90 + 140 + 130).

Kolom (5) Moving Average: diperoleh dengan cara membagi Moving Total dengan 4.Contoh: 110,5 diperoleh dari 442/4

111,75 diperoleh dari 447/4

Kolom (6) Moving Average yang dipusatkan diperoleh dengan cara membagi 2 jumlahnilai moving average yang berurutan. Contoh: 111,125 diperoleh dari (110,50 + 111,75)/2

112,25 diperoleh dari (111,75 + 112,75)/2

Nilai kolom (6) ini adalah nilai T x S atau deret berkala yang telah dihilangkan unsurmusiman (V) dan random (R).

Kolom (7) Prosentase terhadap Moving Average, diperoleh dengan cara membagi nilai aktual dengan nilai rata-rata bergerak yang dipusatkan.Contoh: 80,99 diperoleh dari 90/111,125

124,72 diperoleh dari 140/112,25

Nilai kolom (7) adalah nilai V x R. Ingat bahwa kolom (3) dibagi kolom (6) adalah:

(T.S.V.R)/(T.S) = V.R

Langkah II: Menghilangkan unsur Random dari nilai V.R. Caranya dengan menjumlahkan nilai V.R. untuk masing-masing triwulan kemudian dihitung rata-ratanya. Hasilnya adalah nilai V (variasi musim)

Tahun triwulan 1 triwulan 2 triwulan 3 triwulan 4

1988 - - 80,99 124,721989 114,66 79,30 81,55 123,601990 115,84 80 80,41 120,601991 118,25 82,27 78,16 119,211992 120,07 81,21 - -

Rata-rata V 117,045 80,605 80,70 122,10

Langkah III: Mencari Indeks Musim dengan rumus:

Indeks Musim = x jml indeks musimVi

Σ Vi

Catatan: Jumlah Indeks Musim = 400

Triwulan Variasi Musim Indeks Musim

I 117,045 (117,045/400,45) x 400 = 116,91II 80,605 (80,605/400,45) x 400 = 80,51III 80,70 (80,70/400,45) x 400 = 80,61IV 122,10 (122,10/400.45) x 400 = 121,96

Jumlah 400,45

Catatan: Metoda Ratio to Moving Average ini merupakan metoda yang paling sering digunakanuntuk menghitung angka indeks musim. Metoda ini memberikan indeks musim yang berharga untuk data dengan variasi trend dan sikli yang kuat.Angka Indeks Musim digunakan untuk menghilangkan efek unsur musim dari suatu deret berkala. Proses ini disebut deseasonalizing suatu time series. Karena deret berkala adalah TxVxSxR, untuk menghilangkan unsur musim, kita harus membagi deret berkala dengan indeks musimnya (indeks musim terlebih dahulu dibagi 100)

Contoh:

Tahun Trw Penjualan Indeks Musim Penjualan tanpa 100 efek musim

2001 I 1861 (91,6)/100 2032II 2203 (106,7)/100 2065III 2415 (110,9)/100 2178IV 1908 (90,9)/100 2099

Proses kebalikan dari deseasonalizing juga dapat dilakukan. Jika kita telah memprediksi penjualan dimasa mendatang yang belum dipengaruhi faktor musiman. Untuk memasukkan faktor muasiman, kita cukup mengalikan nilai trend (tanpa unsur musiman) dengan angka indeks yang telah dibagi 100.

Contoh:

Triwulan Prediksi Penjualan Indeks Musim Prediksi (tanpa unsur musim) 100 Penjualan

I 100 1,05 105II 150 1,10 165III 125 0,90 112,5IV 200 1,20 240

Variasi Sikli

Adalah komponen deret berkala yang cenderung berada di atas dan dibawah garis trend untuk periode lebih dari satu tahun. Prosedur yang biasa dipakai untuk mengidentivikasi variasi sikli adalah metoda residual.

Langkah-langkah Metoda Residual.(1) Mencari Nilai Trend (Ŷ)(2) Membandingkan Nilai Trend dengan nilai aktual (Y) atau mencari presentase dari Trend.

Presentase dari Trend = x 100 Y

Ŷ

Contoh:

Periode Y (aktual) Ŷ (trend) ---- x 100YŶ

90 75 76 98,791 78 78 10092 82 80 102,593 82 82 10094 84 84 10095 85 86 98,896 87 88 98,8

Keterangan:

Angka 98,7 menunjukkan bahwa pada tahun 1990, penjualan aktual hanya 98,7 % dari penjualan menurut garis trend.Angka 100 menunjukkan bahwa pada tahun 1991, penjualan aktual sama dengan penjualan menurut garis trend.

Selain menghitung presentase dari trend, kita juga dapat melihat variasi sikli dengan menghitung sisa siklus relatif (relative syclucal residual) sebagai berikut:

Relative Sycklical Residual = x 100 Y - Ŷ

Ŷ

Contoh:

Periode Y (aktual) Ŷ (trend) ------ x 100 Ŷ

90 75 76 - 1,391 78 78 092 82 80 2,593 82 82 094 84 84 095 85 86 -1,296 87 88 -1,1

Y - Ŷ

PERSENTASE TREND

96

97

98

99

100

101

102

103

1 2 3 4 5 6 7

TAHUN KE

IND

EK

SSeries1

Catatan :Pada umumnya variasi sikli merupakan gerakan yang relatif tidak teratur dibanding dengan gerak trend dan variasi musim. Oleh sebab itu, variasi sikli jarang digunakan dalam suatu peramalan. Demikian juga dengan gerakan random yang tidak mungkin diprediksi.

Peramalan dengan Time Series

Langkah-langkah melakukan peramalan dengan mengabaikan unsur sikli dan random:

Time SeriesMenghitung

Indeks Musim

Menghitung UnsurMusiman dariTime Series

Memprediksi Trend

Memasukkan UnsurMusiman dariTime Series

Contoh:Buatlah peramalan untuk penjualan PT “X” triwulan I,II,III,IV tahun 1984 menggunakan metoda time series dan data historis sebagai berikut:

Tahun Triwulan I II III IV

1979 16 21 9 181980 15 20 10 181981 17 24 13 221982 17 25 11 211983 18 26 14 25

1. Menghitung Indeks Musim dengan metoda Ratio to Moving Average.

Catatan:Indeks Musim = rata-rata triwulan dibagi rata-rata total

Contoh: Indeks Musim Triwulan I = (94,45)/99,36 = 95,1.

Tahun Triw I II III IV

1979 - - 56,7 115,21980 96 127 62,5 107,51981 96,5 129,7 68,4 1151982 89,5 134,2 59,1 113,31983 92,9 128,4 - -Rata-rata 94,45 129,05 60,8 113,15Jml Rata 2 397,45(Jml Rata2)/4 99,36Indeks Musim 95,1 129,9 61,2 113,9

Menghilangkan unsur musiman dari Time Series

Tahun Trw Penjualan (Indeks Musim)/100 Penj. tanpa pengaruh musim

1979 I 16 0,951 16/0,951 = 16,8 II 21 1,299 16,2 III 9 0,612 14,7 IV 18 1,139 15,8

1980 I 15 0,951 15,8 II 20 1,299 20/1,229 = 15,4 III 10 0,612 16,3 IV 18 1,139 15,8

1981 I 17 0,951 17/0,951 = 17,9 II 24 1,299 18,5 III 13 0,612 21,2 IV 22 1,139 19,3

1982 I 17 0,951 17/0,951 = 17,9 II 25 1,299 19,2 III 11 0,612 18 IV 21 1,139 18,4

1983 I 18 0,951 18/0,951 = 18,9 II 26 1,299 20 III 14 0,612 22,9 IV 25 1,139 21,9

Membuat Persamaan Garis Trend

Tahun Trw Penjualan X XY X

1979 I 16,8 -19 -319,2 361 II 16,2 -17 -275,4 289 III 14,7 -15 -220,5 225 IV 15,8 -13 -205,4 169

1980 I 15,8 -11 -173,8 121 II 15,4 -9 -138,6 81 III 16,3 -7 -114,1 49 IV 15,8 -5 -79 25

1981 I 17,9 -3 -53,7 9 II 18,5 -1 -18,5 1 III 21,2 1 21,2 1 IV 19,3 3 57,9 9

1982 I 17,9 5 89,5 25 II 19,2 7 134,4 49 III 18 9 162 81 IV 18,4 11 202,4 121

1983 I 18,9 13 245,76 169 II 20 15 300 225 III 22,9 17 289,3 289 IV 21,9 19 416,1 361

2

360,9 420,5 2660

a = (Σ Y) /n = (360,9) /20 = 18

b = = (420,5) / 2660 = 0,16 Σ XY

Σ X2

Maka : Y = 18 + 0,16 X

Dengan tahun dasar tengah tahun 1981.

Melakukan Peramalan:

1. Peramalah tanpa memasukkan unsur musiman:1984 Trw I: Y = 18 + (0,16) (21) = 21,361984 Trw II: Y = 18 + (0,16) (23) = 21,681984 Trw III: Y = 18 + (0,16) (25) = 221984 Trw IV: Y = 18 + (0,16) (27) = 22,32

2. Peramalan dengan memasukkan unsur musiman

Tahun triwulan prediksi (Indeks Musim) prediksi dg 100 unsur musiman

1984 I 21,36 0,951 20,3II 21,68 1,299 28,16III 22 0,612 13,5IV 22,32 1,139 25,42