1.39. pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m b.pdf · 1.39. pada sistem dibawah ini...

23
Mekanika I 21 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m 1. Anggap benda m 2 bergerak ke bawah. Jawab: Karena massa katrol diabaikan maka 2T 1 - T = m k a k = 0 atau T = 2T 1 . Kasus pada soal ini mirip dengan kasus soal sebelumnya, hanya disini a 0 -nya arah ke bawah. a 1 = a - a 0 a 2 = a + a 0 Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh: a 1 = m m m mm m m m mm 2 1 0 1 2 1 2 0 1 2 4 4 - ( 29 - + ( 29 + g 1.40. Pada sistem dibawah ini massa batang M lebih besar dari massa bola m. Abaikan massa dan gesekan katrol. Pada keadaan awal bola terletak sejajar ujung batang bawah. Tentukan tegangan tali bila setelah t detik bola sejajar dengan ujung batang atas! Panjang batang L. Jawab: M bergerak ke bawah dengan percepatan a 1 sedangkan m bergerak ke atas dengan percepatan a 2 , sehingga percepatan relatif m terhadap M adalah: a rel = a 1 + a 2 = a + a = 2a Panjang batang L. Panjang ini ditempuh oleh benda m dengan percepatan relatif a rel dalam waktu t, sehingga; L = 1 2 a rel t 2 Selesaikan persamaan-persamaan di atas, kita akan peroleh; T = 2 2 LMm t M m - ( 29 T mg T - mg = ma 2 Mg - T = Ma 1 m 0 m 1 m 2 T 1 - m 1 g = m 1 a 1 T 1 T = m 0 a 0 T m 2 g - T 1 = m 2 a 2 M m T 1

Upload: phamdang

Post on 06-Feb-2018

263 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 21

1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. Anggap bendam2 bergerak ke bawah.

Jawab:

Karena massa katrol diabaikan maka 2T1 − T = mkak = 0 atau T = 2T1.

Kasus pada soal ini mirip dengan kasus soal sebelumnya, hanyadisini a0-nya arah ke bawah.

a1 = a − a0

a2 = a + a0

Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh:

a1 = m m m m m

m m m m m

2 1 0 1 2

1 2 0 1 2

4

4

−( ) −+( ) +

g

1.40. Pada sistem dibawah ini massa batang M lebih besar dari massa bola m.Abaikan massa dan gesekan katrol. Pada keadaan awal bola terletaksejajar ujung batang bawah. Tentukan tegangan tali bila setelah tdetik bola sejajar dengan ujung batang atas! Panjang batang L.

Jawab:

M bergerak ke bawah dengan percepatan a1 sedangkan m bergerakke atas dengan percepatan a2, sehingga percepatan relatif m terhadapM adalah:

arel = a1 + a2 = a + a = 2a

Panjang batang L. Panjang ini ditempuh oleh benda m denganpercepatan relatif arel dalam waktu t, sehingga;

L = 12 arelt

2

Selesaikan persamaan-persamaan di atas, kita akan peroleh;

T = 2

2

LMm

t M m−( )

T

mg

T − mg = ma2Mg − T = Ma1

m0

m1

m2

T1 − m1g = m1a1

T1

T = m0a0

T m2g − T1 = m2a2

M

m

T1

Page 2: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I22

M

m

1.41. Dalam sistem berikut ini massa bola adalah η = 1,8 kali massa batang.Panjang batang L = 100 cm. Abaikan massa katrol dan massa tali,serta gesekan. Bola mula-mula ditempatkan sejajar ujung bawahbatang, kemudian dilepaskan. Kapan bola akan sejajar dengan tinggiujung atas batang?

Jawab:

Karena katrol tidak bermassa maka:

T = 2T1

Seperti soal sebelumnya (a1 = 2 a2), kita akan gunakan percepatanrelatif untuk menghitung t.

arel = a1 + a2 dan L = 12 arelt

2

Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh,

t = 2L

arel

t = 2 4

3 2

L

g

+( )−( )

η

η

atau dengan memasukkan nilai besaran yang diketahui, kita peroleh:

t = 1,4 detik.

1.42. Pada sistem dibawah ini massa benda 1 adalah η = 4,0 massa benda 2.Tinggi h = 20 cm. Abaikan massa katrol, massa tali dan gesekan.Pada saat tertentu benda 2 dilepaskan, berapakah tinggi maksimumyang dicapai benda 2?

Jawab:

Perhatikan bahwa ketika benda 1 turun sejauh s, benda 2 akan naiksejauh 2s sehingga percepatan benda 2 dua kali percepatan benda 1.

a2 = 2a1

T1

m1g

m1g − T1 = m1a1

T2

m2g

T2 − m2g = m2a2

Mg − T1 = Ma1

T

Mg

T − mg = ma2

T

mg

m1

hm2

Page 3: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 23

Karena katrol yang bergerak tidak bermassa maka;

T1 = 2T2

Selesaikan persamaan-persamaan di atas, kita akan peroleh,

a1 = m m

m m

1 2

1 2

2−( )+

g

atau

a1 = η

η

−+

2

4g

Waktu yang diperlukan benda 1 mencapai tanah dicari dengan rumus:

h = 12 a1t1

2

atau

t1 = 2

1

h

a

Dalam waktu t1 ini benda 2 akan mencapai ketinggian h2 dankecepatan v2.

h2 = 12 a2t1

2 = 2h

v2 = a2t1

Setelah benda 1 mencapai lantai, gerakan benda 2 adalah sepertigerakan benda yang dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal v2dari ketinggian h2.

Benda 2 akan mencapai tinggi maksimum setelah waktu t'.

v = v0 − gt

0 = v2 − gt’

t’ = vg

2

Ketinggian maksimum benda 2 dicari dengan rumus:

hmaks = h0 + v0t − 12 gt2

= h2 + v2t’ − 12 gt’2

hmaks = 2 8 4 8

4

h h h hη η

η

+ + −+

= 6

4

η +

atau hmaks = 0,6 m.

Page 4: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I24

1

2

1.43. Pada gambar dibawah ini batang A bergerak turun vertikal sehinggabidang miring B akan terdorong horizontal (bidang miring dan lantailicin). Tentukan percepatan batang A dan bidang miring B jikaperbandingan massa bidang miring terhadap batang adalah η!

Jawab: Anggap batang A bergerak turun dengan percepatan aA danbidang miring akan bergerak ke kanan dengan percepatan aB.

Anggap batang menekan bidang miring dengan gaya R dan bidangmiring bereaksi dengan memberi gaya pada batang sebesar R juga.

Hubungan perpindahan A dan B adalah:

tan α = SSA

B

sehingga:

tan α = aaAB

Selesaikan persamaan di atas, kita akan peroleh:

aA = m g

m m

A

B Acot2 α +

atau,

aA = g

η αcot2 1+dan

aB = g

η α αcot tan+

1.44. Pada susunan sistem di bawah ini massa bidang miring m1 dan massabenda m2. Gesekan hanya ada antara dinding kanan bidang miringdan benda m2 dengan koefisien gesekan µ. Abaikan massa katrol dantali. Tentukan percepatan m2 relatif terhadap tanah!

Jawab: Ketika benda 2 bergerak ke bawah, benda 1 akan tertarikke kanan. Percepatan benda 1 memberi tekanan N pada benda 2.

Sebagai reaksinya benda 2 akan menekan benda 1 sebesar N pula.

F − N = m1a1

Benda 2 mempunyai gerakan arah sumbu y dan x.

A

B

B

αR sin α = mBaB

A

α

mAg − R cos α = mAaA

N

F1

R

Page 5: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 25

A

m1

m2

m2g − T − µN = m2a2y

N = m2a2x

Sekarang bayangkanlah bahwa ketika m2 turun sejauh L, bidangmiring m1 akan bergerak ke kanan sejauh L juga. Gerakan bidangmiring ini akan memindahkan benda m2 kearah mendatar sejauh Ljuga, sehingga;

a1 = a2x = a2y = a

Gunakan F = T (mengapa bukan 2T?), selesaikan persamaan -persamaan diatas kita akan peroleh:

a = m g

m m m

2

2 2 12 + +µ

Percepatan benda m2 terhadap tanah adalah;

atot = a ax y2 2+

atau

atot = 2

2 12

gmm+ +µ

1.45. Berapakah percepatan minimum yang harus diberikan pada balok Aagar benda 1 dan benda 2 diam relatif terhadap A? Koefisien gesekanantara balok dan benda-benda µ. Abaikan massa katrol dan tali. Anggapjuga katrol licin.

Jawab: Jika A bergerak cepat sekali maka benda 1 akan terdorongke kiri (benda 2 ke atas). Tetapi jika A bergerak lambat benda 1akan bergerak ke kanan (karena massa benda 2 lebih besar). Darisini kita memperoleh ide bahwa ada suatu keadaan dimana benda 1dan 2 akan diam.

T − µm1g = m1a1

Catatan: a1 adalah relatif terhadap tanah (ingat hukum Newtonhanya berlaku pada sistem inersial, dalam hal ini tanah adalah sisteminersial).

Benda 2 bergerak kearah mendatar (relatif terhadap tanah).Percepatan arah y-nya nol.

N = m2a2x

m2g − T − µN = m2a2y

= 0

T

N

Tf

m2g

N

T1f

a1

Page 6: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I26

Karena a1 = a2x = a maka persamaan-persamaan di atas dapatdiselesaikan untuk memperoleh:

a = m m

m m

2 1

1 2

−+µ

µg

1.46. Prisma 1 dengan balok 2 di atasnya disusun seperti pada gambar.Sistem bergerak ke kiri dengan percepatan a. Hitung berapa nilaipercepatan maksimum agar balok diam relatif terhadap prisma!Koefisien gesekan antara kedua benda ini adalah µ < cot α.

Jawab: Bayangkan jika a terlalu besar maka balok akan bergerakke atas, sebaliknya jika terlalu kecil balok akan bergerak ke bawah.Dari sini kita dapat ide bahwa ada nilai a tertentu dimana baloktetap diam relatif terhadap prisma.

Gaya yang bekerja pada prisma adalah gaya tekan dari balok.Sedangkan gaya pada balok disamping gaya berat, juga ada gayatekan dari prisma dan gaya gesek. Arah gaya gesek tergantung padakecenderungan benda ini bergerak.

"Benda yang berada dalam sistem yang dipercepat dengan percepatana akan mengalami gaya fiktif sebesar F = ma". Arah gaya iniberlawanan dengan arah percepatan. Sistem dipercepat ke kiri denganpercepatan a, akibatnya balok mengalami gaya fiktif F = m2a yangarahnya ke kanan. Kasus 1 (balok hampir bergerak ke bawah).

N = ma sin α + mg cos αma cos α + µN = mg sin α

a = g sin cos

cos sin

α µ α

α µ α

−( )+

Kasus 2 (balok hampir bergerak ke atas).

N = ma' sin α + mg cos α

ma' cos α = µN + mg sin α

a = g sin cos

cos sin

α µ α

α µ α

+( )−

Karena yang ditanyakan adalah percepatan maksimum, maka kita ambilkasus 2 (a' > a).

amaks = g 1 +( )

−µ α

α µ

cot

cot

1.47. Sebuah balok 2 bermassa m2 ditempatkan diatas prisma 1 yang bermassa m1.Sudut miring prisma α. Abaikan gesekan, hitung percepatan prisma!

Jawab: Ketika balok 2 bergerak turun, prisma 1 akanbergerak ke kanan.

1

2

α

N

f

ma'

mg

α

α

2

α

α

f

ma

mg

N

Page 7: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 27

Catatan: Semua percepatan diatas diukur menurut pengamat yangberdiri di tanah.

Misalkan percepatan benda 2 relatif terhadap bidang miring adalah a.Hubungan antara a2x dan a2y dengan a dan a1 adalah (Anda boleh jugagunakan konsep gaya fiktif seperti pada soal sebelumnya):

a2x = a cos α − a1

a2y = a sin α

Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh:

a1 = gmm

sin cos

sin

α α

α12

2+

1.48. Dalam sistem dibawah ini hitung percepatan segitiga jika gesekan, massatali dan massa katrol diabaikan!

Jawab: Pada kasus ini balok 2 turun mengakibatkan segitiga 1 bergerakke kanan.

T cos α − N sin α = -ma2x

T sin α + N cos α − mg = -ma2y

N sin α + T − T cos α = m1a1

Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif terhadapbenda 1 adalah a maka,

a2x = a cos α − a1

a2y = a sin α

Dengan mengambil a = a1 (mengapa?) kita peroleh:

a1 = m g

m m

2

2 12 1

sin

cos

α

α−( ) +

1.49. Sebuah pesawat terbang bergerak dalam suatu lintasan melingkar vertikalberjari-jari R = 500 m dengan kecepatan konstan v = 360 km/jam.Tentukan berat semu penerbang (m = 70 kg) dititik terendah (C), titiktertinggi (A) dan titik tengah (B) dari lintasan!

m2g − N cos α = m2a2y

N sin α = m2a2xN sin α = m1a1

α1

N

m2g

α

2

α N

1

T

T

12

Page 8: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I28

Jawab:

Di titik A penerbang mengalami gaya sentrifugal F ke atas, akibatnyaberat semunya akan berkurang:

WA = mg − F

Catatan: F = mvR

2

Di titik B gaya berat orang ini merupakan resultan dari mg dan F.

WB = F mg2 2+ ( )

Sedangkan di titik C gaya berat ini ditambah dengan gaya sentrifugal.

WC = mg + F

1.50. Bandul A dapat meluncur bebas sepanjang suatu lintasan berbentuk setengahlingkaran berjari-jari R (lihat gambar). Sistem berputar dengan kecepatansudut ω terhadap sumbu vertikal OO'. Hitung sudut θ dimana bandulberada pada keseimbangan!

Jawab: Bandul A mengalami gaya normal. Jika kita meninjau dari sisibandul A maka kita harus perhitungkan gaya fiktif (gaya sentrifugal).

Gaya-gaya pada arah mendatar:

N sin θ = mrω2 = m(R sin θ)ω2

Gaya-gaya vertikal:

N cos θ = mg

Dari dua persamaan di atas kita peroleh:

cos θ = g

Rω2

Ini adalah syarat keseimbangan. Kemungkinan lain adalah benda akanseimbang jika θ = 0.

1.51. Sebuah senapan diarahkan ke suatu sasaran yang terletak di sebelah utara.Tentukan berapa jauh menyimpangnya peluru dari garis yangmenghubungkan sasaran dan senapan! Peluru ditembakkan mendatar padagaris lintang φ = 60o, kecepatan peluru v = 900 m/s, dan jarak dari targetke senapan adalah s = 1,0 km.

Jawab: Akibat rotasi bumi, suatu benda yang bergerak dengan kecepatanv di permukaan bumi akan merasakan gaya koriolis Fk sebesar:

Fk = -2mωωωωω 3 v

dengan ωωωωω adalah kecepatan sudut rotasi bumi. Arah ωωωωω didefinisikanseperti pada gambar.

Gaya koriolis ini sebenarnya adalah gaya fiktif. Gaya ini akan dirasakanoleh benda-benda yang bergerak dalam suatu sistem dipercepat (bumi

A

B

Cv v

v

mg

mg

mg

O

O’

N

θA

Page 9: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 29

merupakan contoh sistem yang dipercepat, percepatannya adalahpercepatan sentripetal).

Besar percepatan koriolis:

ak = F mk = 2ωv sin φ

φ adalah sudut antara ω dan v dalam hal ini sama dengan sudut lintang.Arah percepatan koriolis keluar bidang kertas (perhatikan arah perkalianvektor ini). Jadi simpangan akibat ak adalah:

h = 12 akt2 = 12 (2ωv sin φ)t2

Karena t = s v , maka:

h = ω φs

v

2 sin

1.52. Sebuah disk yang diletakkan mendatar berputar dengan kecepatan sudutkonstan ω = 6,0 rad/s terhadap sumbu vertikal yang melalui pusat disk.Sebuah benda kecil bermassa m = 0,5 kg bergerak sepanjang diameter diskdengan kecepatan v' = 50 cm/s yang selalu konstan relatif terhadap disk.Tentukan gaya yang dirasakan benda ketika benda berada pada jarak r = 30cm dari sumbu putaran!

Jawab: Pada sistem ini benda akan merasakan 3 gaya:

• gaya sentrifugal: Fc = mω2r

• gaya gravitasi: Fg = mg

• gaya koriolis: Fk = 2mωv’

Gaya-gaya ini tegak lurus satu terhadap lainnya. Jadi resultan gayayang dikenakan pada benda oleh disk adalah:

F = F F Fg c k2 2 2+ +

F = m g r v2 4 2 22+ + ( )ω ω'

Dengan memasukkan angka-angkanya kita peroleh, F = 8 N.

1.53. Sebuah batang licin AB yang diletakkan mendatar berputar dengan kecepatansudut ω = 2,0 rad/s terhadap suatu sumbu vertikal yang melalui ujung batangA. Sebuah beban bermassa m = 0,50 kg meluncur bebas sepanjang batang darititik A dengan kecepatan awal v

0 = 1,00 m/s. Tentukan gaya koriolis yang

bekerja pada beban ini ketika beban terletak pada jarak r = 50 cm darisumbu putar!

Jawab: Ketika benda berada pada jarak r dari titik A, kecepatan linearnyaadalah: (gunakan hukum kekekalan energi dimana usaha oleh gaya

sentrifugal adalah m rω2 2

2)

v = r vω( ) +202

Jadi, gaya coriolis yang dialami benda adalah:

arah putar

ω

123456789012345123456789012345123456789012345A

m

Page 10: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I30

Fk = m|2ωωωωω 3 v| = 2mωv

= 2mω r vω( ) +202

Dengan memasukan data yang diketahui, kita peroleh: Fk = 2,8 N.

1.54. Sebuah bola digantung pada seutas tali dan berayun dalam bidang vertikalsedemikian sehingga nilai percepatan efektifnya pada titik tertinggi dantitik terendah adalah sama. Tentukan sudut simpangan ini!

Jawab: Di titik tertinggi kecepatan bola sama dengan nol, sehinggapercepatan sentrifugalnya nol (yang ada hanya percepatan tangensialsebesar aA = g sin θ).

Di titik terendah percepatan tangensial sama dengan nol. Tetapi

percepatan sentrifugalnya ada yaitu sebesar: aB = vL

2.

Untuk mencari v kita bayangkan benda berada pada posisi Amempunyai energi potensial sebesar mg(L − L cos θ) acuan diambil padatitik B. Kemudian benda bergerak dan energi potensial benda diubahmenjadi energi kinetik. Sampai di titik B seluruh energi potensial telahmenjadi energi kinetik.

mg(L − L cos θ) = 12 mv2

Dari persamaan ini kita peroleh v.

Karena aA = aB maka kita peroleh,

sin θ = 2(1 − cos θ)

atau θθθθθ = 2 cot-1(2) = 53°.

1.55. Sebuah benda kecil A mulai meluncur dari puncak suatu lingkaran yangjari-jarinya R. Tentukan sudut θ dimana benda meninggalkan lingkaran.Hitung kecepatan jatuh benda itu!

Jawab: Di titik A, gaya tekan lingkaran pada benda N = mg.

Sedangkan di titik B, gaya tekannya sama dengan nol (bendameninggalkan lingkaran).

mg cos θ = F

F = mvR

2 adalah gaya sentrifugal.

Untuk mencari v kita gunakan hukum kekekalan energi seperti soalsebelumnya.

Kita ambil acuan di pusat lingkaran. Energi di titik A adalah:

EA = mgR

sedangkan energi di titik B adalah:

EB = mgR cos θ + 12 mv2

Karena energi kekal maka EA = EB.

Dari sini kita peroleh cos θθθθθ = 2 3 .

B A

g

θ

θ

A

B

Page 11: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 31

1.56. Sebuah benda kecil diletakkan pada puncak suatu lingkaran licin berjari-jari R. Kemudian lingkaran bergerak mendatar dengan percepatankonstan ao dan benda mulai menggelincir ke bawah. Tentukan:(a) kecepatan benda relatif terhadap lingkaran pada saat jatuh;(b) sudut θ0 antara garis vertikal dan vektor radius yang digambar

dari pusat lingkaran ke titik jatuh; θ0 untuk a0 = g!

Jawab:

(a) Pada waktu lingkaran diberi percepatan a0, benda akan mengalamigaya fiktif sebesar m•a0 berlawanan dengan arah a0 (gaya fiktifdapat anda rasakan ketika mobil yang Anda naiki di percepat).Pada gambar terlihat bahwa,

mg cos θ + ma0 sin θ − N = mvR

2

dan

mg sin θ − ma0 cos θ = mat

Ketika benda jatuh N = 0 dan θ = θ0, sehingga kita peroleh:

mg cos θ0 + ma0 sin θ0 = mvR

2

Energi potensial benda di A diubah menjadi energi kinetik di B(perhatikan baik-baik bahwa usaha gaya fiktif juga harusdiperhitungkan disini) sehingga kita peroleh,

12 mv2 = mg (R − R cos θ0) − ma0 R sin θ0

Dari kedua persamaan diatas kita peroleh,

v = 2

3

gR

(b) Dengan memasukkan nilai v ke persamaan energi di atas kitaakan peroleh,

g cos θ0 + g sin θ0 = 2

3

gR

R

atau,(3 cos θ0 − 2)2 = 9 sin2 θ0

atau,

18 cos2 θ0 − 12 cos θ0 + 4 − 9 = 0

Sehingga kita peroleh,

cos θ0 = 2 14

6

+

atau, θθθθθ0 = 17o.

1.57. Sebuah benda kecil bermassa m = 0,30 kg meluncur ke bawah daripuncak suatu lingkaran berjari-jari R = 1,0 m. Lingkaran berputardengan kecepatan sudut konstan ω = 6,0 rad/s terhadap sumbu vertikalyang melalui pusat lingkaran. Tentukan gaya sentrifugal dan gayakoriolis ketika benda meninggalkan lingkaran!

θ

AB

ma0

N

mg

Page 12: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I32

Jawab: Anggap benda meninggalkan lingkaran pada sudut θ. Dapatdihitung dengan mudah bahwa (lihat soal 1.55).

θ = cos-1 23( )

Karena lingkaran berputar dengan kecepatan sudut ω, maka bendaakan merasakan gaya sentrifugal selama bergerak di bidang lingkaranini. Besar gaya sentrifugal adalah:

Fc = mrω2 = mR sin θ ω2

= mRω2 1 2− cos θ

= 8N

Gaya koriolis: -2mωωωωω 3 v

Fk = 2mω ω θ θ θ2 + −( )R gR2 2 22 1sin cos cos

= 23 mRω2 58

3 2+ g

= 17N

Catatan: nilai v diatas diperoleh dari resultan kecepatan akibat rotasi

v1 = ωR sin θ dan kecepatan akibat gravitasi v2 = 2 1gR −( )cosθ sin (90

+ θ) = 2 1gR −( )cosθ cos θ (dicari dari hukum kekekalan energi).

1.58. Sebuah benda bermassa m ditarik keatas sebuah bukit oleh gaya Fyang arahnya senantiasa menyinggung lintasan. Hitung usaha yangdilakukan gaya ini, jika tinggi bukit adalah h, panjang mendatarbukit L, dan koefisien gesekan µ!

Jawab: Usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan adalah:

Wf = µmgL.

Untuk membuktikan ini silahkan Anda menghitung Wf inijika bukit dianggap berbentuk segitiga, Anda akan mendapatibahwa usaha gaya gesekan tidak tergantung pada bentuklintasan tetapi hanya tergantung pada jarak mendatarnya.(dapatkah anda memikirkan apa alasan fisis untuk hasil ini?)

Usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi adalah: Wg = mgh.

Usaha oleh gaya F digunakan untuk melawan usaha gaya gesek +usaha gaya gravitasi. Jadi:

W = Wf + Wg = µmgL + mgh

Disini kita anggap tidak terjadi perubahan energi kinetik (energikinetik awal dan energi kinetik akhirnya nol). Dengan kata lain kitaanggap ketika benda sampai dipuncak bidang miring, benda tepatberhenti.

"Bagaimana?Cukup senangbelajar fisika?"

"Daripadamerenung lebih

baik mengerjakansoal fisika..."

θ

θ = cos-1 (2/3)

h

L

Page 13: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 33

1.59. Sebuah benda bermassa m = 50 g meluncur tanpa kecepatan awalpada suatu bidang miring dengan sudut miring 30o (lihat gambar).Benda ini kemudian melewati lintasan mendatar dan berhenti setelahmenempuh jarak 50 cm. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya gesekansepanjang lintasan yang dilalui benda ini! Anggap koefisien gesekanantara bidang dengan benda µ = 0,15.

Jawab: Pada proses ini gravitasi melakukan usaha dari puncak sampaidasar bidang miring sebesar: Wg = mgL sin α. Disini terjadi perubahanenergi potensial menjadi energi kinetik. Energi kinetik ini kemudiandiubah lagi menjadi energi panas melalui gesekan. Usaha oleh gayagesekan adalah:

Wf = µmgL cos α + µmgx

Usaha oleh gaya gravitasi ini sama dengan gaya gesekan.

mgL sin α = µmg cos α L + µmgx

L = µ

α µ α

mgx

mg mgsin cos−

Masukkan harga L ini ke rumus Wf di atas kita peroleh:

W = µ

µ α

mgx

1 − cot = 0,05 J

1.60. Dua balok bermassa m1 dan m2 dihubungkan dengan pegas ringanpada suatu lantai datar. Koefisien gesekan antara batang-batang danlantai µ. Hitung gaya minimum (mendatar) yang harus diberikan agarbatang bermassa m1 dapat menggeser balok lainnya!

Jawab: Anggap penambahan panjang pegas x. Usahayang dilakukan oleh gaya F adalah: WF = Fx. Energiyang diterima F ini akan disimpan sebagai energi potensialdan sebagai usaha untuk melawan gaya gesek.

Fx = 12 kx2 + µm1gx

Perhatikan bahwa pada kasus ini usaha oleh gaya gesekan hanyabekerja pada m1 saja (benda m2 tidak berubah tempat).

Untuk benda 2 gaya pegas yang dialaminya sama besar dengangaya gesekan yang dialaminya.

kx = µm2g

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:

F = µg(m2

2 + m1)

1.61. Sebuah benda bermassa m dilempar dengan sudut elevasi α dan dengankecepatan awal v0. Hitung daya rata-rata yang dilakukan oleh gayagravitasi selama gerakan dan daya sesaat sebagai fungsi waktu!

Jawab: Daya rata-rata adalah usaha total yang dilakukan olehgravitasi dibagi waktu total. Karena usaha total yang dilakukan oleh

F

x

Page 14: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I34

gravitasi sama dengan nol (benda kembali keketinggian semula), maka:

<P> = 0

Karena kecepatan sesaat partikel adalah

v = vxi + vyj

= (v0 cos α)i + (v0 sin α − gt)j

dan gaya gravitasi yang bekerja pada benda adalah F = -mgj.

Maka daya sesaat,

P = F?????v = mg(gt − v0 sin α)

1.62. Sebuah benda kecil bermassa m diletakan pada pada suatu bidangdatar di titik O. Benda tersebut diberi kecepatan awal mendatar v0.Hitung daya rata-rata yang dilakukan oleh gaya gesekan selama gerakan(hingga ia berhenti), bila koefisien gesekan µ = 0,27, m = 1,0 kg, danv0 = 1,5 m/s!

Jawab: Daya rata-rata oleh gaya gesekan adalah usaha yangdilakukan oleh gaya gesekan dibagi dengan waktu total. Usaha yangdilakukan gaya gesekan sama dengan perbedaan energi kinetik awaldengan akhir (ingat bahwa pengurangan kecepatan benda adalahkarena pengaruh gaya gesekan).

W = ∆Ek

Waktu total dapat dihitung dengan:

v = v0 − at atau t = v a0

Perlambatan a disebabkan karena gesekan, sehingga; a = f m = µg.

Jadi, daya rata-rata yang dilakukan oleh gaya gesekan

<P> = ∆∆E

t

k = mv g0

2

µ = 2 watt

1.63. Suatu sistem yang terdiri dari dua pegas yang dihubungkan secara seridan memiliki konstanta pegas k1 dan k2. Hitung usaha minimum yangharus dilakukan untuk merenggangkan sistem sepanjang ∆l!

Jawab: Jika sistem ini diberi gaya maka pegas akan meregang. Jikagayanya cukup besar, sistem akan bergerak. Usaha minimum adalahusaha yang diperlukan cukup untuk meregangkan pegas saja.

Jika pegas ditarik oleh gaya F dan pegas teregang masing masingsebesar ∆l1 dan ∆l2, maka: F = k1∆l1 = k2∆l2.

Sehingga,

∆l = ∆l1 + ∆l2 = F k1 + F k2atau

F = k k

k k

1 2

1 2+∆l

Karena besarnya gaya berubah-ubah tergantung pada besarnyaregangan pegas, maka usaha oleh gaya yang kita berikan itu harus

Page 15: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 35

dirata-ratakan. Jadi:

W = Frata∆l = 12k k

k k

1 2

1 2+

∆l2

1.64. Sebuah benda bermassa m didorong dengan kecepatan awal v0 ke atas sebuahbidang miring kasar dengan sudut miring α dan dengan koefisiengesekan µ. Hitung jarak total yang ditempuh benda itu sebelum bendaberhenti! Hitung juga usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan sepanjangjarak ini!

Jawab: Usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan dan gaya gravitasidigunakan untuk menghentikan benda. Dengan kata lain usaha inidigunakan untuk mengubah energi kinetik menjadi nol.

W = Fs

12 mv0

2 = (µmg cos α + mg sin α)s

atau,

s = v

g

02

2 µ α αcos sin+( )Usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan: W = -fs, atau

W = -µmg cos αv

g

02

2 µ α αcos sin+( )Atau:

W = -µ

µ α

mv02

2 +( )tan

1.65. Sebuah benda kecil A meluncur tanpa kecepatan awal dari puncaksuatu bukit setinggi H. Hitung tinggi h agar s maksimum! Hitungjarak maksimum ini!

Jawab: Dari ketinggian H ke ketinggian h terjadi perubahan energienergi potensial (mgH − mgh). Energi potensial yang hilang ini diubah

menjadi energi kinetik ( 12 mv2).

12 mv2 = mgH − mgh

atau,

v = 2g H h−( )

Setelah turun dari bukit, benda akan bergerak seperti lintasan peluruyang dilemparkan dengan kecepatan mendatar v.

h = 12 gt2 atau t h

g= 2

karena s = vt maka, s = 4 H h h−( ) .

Jarak s ini maksimum, bila H − h = h (anda bisa buktikan ini denganmemasukan nilai-nilai H dan h atau dengan menggunakan konsep

kalkulus, jika Anda sudah belajar). Jadi: smax = H.

H

h

s

Page 16: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I36

1.66. Sebuah benda A meluncur pada suatu bidang miring dari ketinggian h.

Benda melanjutkan perjalanan pada setengah lingkaran berjari-jari h 2 .

Abaikan gesekan, tentukan kecepatan benda pada titik tertinggi lintasan!

Jawab: Anggap setelah menuruni bidang miring, bendabergerak dalam lingkaran vertikal dan meninggalkanlingkaran pada sudut θ diukur dari garis mendatar.

Perubahan energi potensialnya adalah

∆U = mgh − mg(h 2 + h 2 sin θ)

Energi potensial yang hilang ini diubah menjadi energi kinetik. Sehingga,

12 mv2 =

mgh 1

2

−( )sinθ

Gaya normal di titik B adalah nol (karena benda akan meninggalkanlingkaran), akibatnya gaya sentrifugal yang dirasakan benda samadengan mg sin θ.

mv

h

2

2 = mg sin θ

Dari dua persamaan di atas kita peroleh, v = gh

3.

Setelah meninggalkan bidang lingkaran, benda bergerak dalamlintasan parabola. Di titik maksimum kecepatannya hanya kecepatanarah horizontal saja, yaitu:

Vmax = v sin θ = 23gh

3

1.67. Sebuah bola kecil bermassa m digantungkan pada seutas tali yangpanjangnya L. Berapa kecepatan minimum bola relatif terhadap titikputar O agar bola dapat bergerak sepanjang lingkaran penuh? Hitungtegangan tali ketika bola berada di titik terendah!

Jawab: Agar benda mencapai titik tertinggi maka tegangan tali dititik tertinggi nol (ada yang menyatakan bahwa agar benda mencapaititik tertinggi kecepatan di titik tertinggi nol, ini tidak benar karenasebelum mencapai kecepatan nol, tegangan tali akan mencapai nolakibatnya benda tidak dapat melanjutkan gerak melingkarnya).

Dengan menggunakan hukum Newton, kita dapat menghitungkecepatan di titik tertinggi v':

mg + 0 = mv

L

'2

Pada gerakan A ke B, sebagian energi kinetik diubah menjadi energi

potensial (mg2L). Sehingga: 12 mv2 − 1

2 mv’2 = mg2L.

Dari dua persamaan di atas kita peroleh, v = 5gL .

h

B

θ

O

B

A

Page 17: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 37

A

O

P

B

Di titik terendah:

T = mv

L

2

+ mg = 6mg

1.68. Seutas tali karet panjang L dan koefisien elastisitas k digantung padatitik O. Ujung tali lainnya dihubungkan dengan benda bermassa m.Benda dilepaskan dari titik O. Abaikan massa tali dan massa penjepit,hitung pertambahan panjang karet!

Jawab: Anggap karet bertambah panjang ∆l. Disini terjadi pengubahanenergi potensial gravitasi menjadi energi kinetik benda, kemudianseluruh energi kinetik ini diubah menjadi energi potensial karet.

mg (l + ∆l) = 12 k∆l2

atau,

∆l = 1 12+ +

kl

mg

mg

k

1.69. Sebuah balok kecil A bermassa m diikat oleh tali pada titik P. Sistemdiletakkan pada bidang licin dan dihubungkan dengan beban B yangbermassa m melalui suatu katrol tak bermassa. Balok A jugadihubungkan dengan suatu pegas yang digantung pada titik O. Panjangpegas l0 = 50 cm dan konstanta pegasnya k = 5 mg/l0. Beberapasaat kemudian tali PA dibakar, hitung kecepatan balok A sesaat hendakmeninggalkan bidang!

Jawab: Anggap balok A telah berpindah sejauh x ketika balokmeninggalkan bidang. Karena balok dalam keadaan seimbang makamg = F cos θ. Dengan F adalah gaya pegas.

Atau: k?∆l ll

0 = mg.

Selanjutnya silahkan Anda buktikan bahwa:

kl0 1 10

2+

x

l

ll

0 = mg

Substitusi nilai k kita peroleh, x = 34

0l dan ∆l = l0 4 .

Pada proses ini benda B jatuh akibat gaya gravitasi. Disini terjadiperubahan energi potensial menjadi energi kinetik + energi pegas.Energi kinetik merupakan energi kinetik untuk 2 benda.

12 k(∆l)2 + (2) 1

2 mv2 = mgx

Dengan menyelesaikan persamaan di atas kita peroleh,

v = 19

320gl = 1,7 m/s

A

B

x

θ

Page 18: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I38

1.70. Pada suatu bidang datar terdapat sebuah papan yang di atasnya terletakbalok bermassa m = 1,0 kg. Balok dihubungkan dengan titik O melaluiseutas tali elastik ringan yang panjangnya l0 = 40 cm. Koefisiengesekan antara balok dan papan µ = 0,20. Kemudian papan digeserperlahan-lahan ke kanan. Ketika sudut θ = 30o balok hampir bergerakrelatif terhadap papan. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan!

Jawab: Karena sistem setimbang maka,

T sin θ = µN

T cos θ + N = mg

Dari kedua persamaan ini kita peroleh,

T = µ

θ µ θ

mg

sin cos+Dapat dibuktikan bahwa pertambahan panjang tali adalah:

∆l = l01 −

cos

cos

θ

θ

Pada sistem ini usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan sama denganenergi potensial yang tersimpan dalam tali.

W = Trata-rata 3 ∆l = 0

2

+T∆l

= µ

θ µ θ

mg

2 sin cos+( )l0 1 −( )

cos

cos

θ

θ

atau,

W = µ θ

θ µ θ θ

mgl0 1

2

−( )+( )

cos

sin cos cos

= 0,09 J

1.71. Sebuah batang horisontal AB yang ringan dan licin dapat berputarpada sumbu yang melalui ujung batang A.

Sebuah benda bermassa m dapat bergerak bebas pada batangdan dihubungkan dengan ujung A melalui sebuah pegas takbermassa yang panjangnya l0 dan konstanta pegasnya k. Berapausaha yang harus dilakukan agar perlahan-lahan sistem akanmencapai kecepatan sudut ω?

Jawab: Pada saat benda berputar maka gaya sentripetal yang bekerjaadalah gaya pegas. Menurut hukum Newton (F = ma).

k∆l = mω2(l0 + ∆l)

atau,

∆l = m l

k m

ω

ω

202−

Usaha yang dilakukan pada sistem akan disimpan sebagai energipegas dan sebagian akan diubah menjadi energi kinetik rotasi benda.

α

mg

T

BA

m

Page 19: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 39

W = 12 k∆l2 + 1

2 mω2(l0 + ∆l)2

= 12 k∆l2 1 1+( )η = 1

2 ηk l02 1

1 2

+( )−( )η

η

dimana ηω=

m

k

2

.

1.72. Dua massa m1 dan m2 dihubungkan melalui suatu katrol yang massanyadiabaikan. Hitung percepatan pusat massa dari sistem ini! Abaikanmassa tali dan gesekan katrol.

Jawab: Misalkan benda m1 > m2.

Benda 1: m1g − T = m1a

Benda 2: T − m2g = m2a

Dari kedua persamaan ini kita peroleh:

a = m m g

m m

1 2

1 2

−( )+

Percepatan pusat massa dapat dicari dengan konsep pusat massa.

Posisi pusat massa adalah:

xr

pm = m x m x

m m

1 2

1 2

1 2

r r++

Jadi percepatan pusat massanya adalah:

ar

cm = m a m a

m m

1 2

1 2

1 2

r r++

Karena ar

1 = -ar

2 = a (arahnya berlawanan):

acm = m m

m m

1 2

1 2

2−+

g

1.73. Sebuah kerucut A bermassa m = 3,2 kg dan setengah sudut puncaka = 10o menggelinding tanpa slip sepanjang permukaan kerucut Bsedemikan hingga puncak kerucut O tetap diam. Pusat gravitasi kerucutA sama tingginya dengan titik O dan berada pada jarak l = 17 cm.Sumbu kerucut A berputar dengan kecepatan sudut ω. Hitung:(a) gaya gesekan statis pada kerucut A, jika ω = 1,0 rad/s;(b) pada nilai ω berapakah kerucut A akan menggelinding tanpa slip, jika

koefisien gesekan antara permukaan adalah µ = 0,25.

Jawab: Perhatikan susunan gaya pada gambar.

N adalah gaya normal yang merupakan reaksi dari kerucut B pada kerucutA. Gaya gesekan f arahnya ke atas karena kita anggap kerucut mempunyaikecenderungan untuk bergerak ke bawah. l adalah jarak pusat massaterhadap pusat putaran.

m2

m1

2α AB

Page 20: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I40

(a) Arah sumbu x: F = ma

f cos α − N sin α = mω2l

Arah sumbu y: F = may = 0

f sin α + N cos α = mg

Dari kedua persamaan itu kita akan peroleh,

f = mg sin α + mω2l cos α = 6 N

(b) Seperti soal a kita peroleh:

N cos α + µN sin α = mg

Agar kerucut tidak slip maka:

µN cos α − N sin α > mω2l

Dari persamaan di atas kita peroleh:

ω <g

l

µ α

µ α

−( )+( )

tan

tan1 = 2 rad/s

1.74. Dua balok bermassa m1 dan m2 dihubungkan dengan sebuah pegas takbermassa dengan konstanta pegas k. Sistem diletakkan dalam bidangdatar licin. Balok 2 kemudian ditekan ke kiri sejauh x lalu dilepaskan.Hitung kecepatan pusat massa sistem sesaat setelah balok 1 meninggalkandinding!

Jawab: Saat balok m2 dilepaskan maka terjadilah perubahan energidari energi potensial pegas menjadi energi kinetik dari benda 2 (benda 1masih diam karena ditahan dinding).

12 kx2 = 1

2 m2v22

v2 = xkm2

Kecepatan pusat massa sistem dapat dicari dengan rumus pusat massa

vc = m v m v

m m

2 1

1 2

2 1

r r++

= x

m mkm

1 22+

1.75. Suatu sistem terdiri dari dua kubus identik, masing-masing bermassa m.Kedua kubus ini dihubungkan oleh seutas tali dan suatu pegas takbermassa yang terkompres/tertekan, yang mempunyai konstanta pegask. Pada suatu ketika tali penghubung kubus dibakar, hitung berapabesar pegas mula-mula harus tertekan agar kubus yang bawah akanterangkat. Hitung kenaikan pusat massanya, jika pegas mula-mulatertekan sebesar ∆l = 7 mg/k!

Jawab:

a) Energi total awal,

Eawal = 12 k(∆l)2 + mg(l − ∆l)

Energi total akhir sistem (pegas teregang x):

Eakhir = 12 kx2 + mg(l + x)

f

f cos α

B

αO

N cos αNA

N sin αmg

1 2

y

x

Page 21: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 41

Karena energi awal = energi akhir kita akan peroleh,

kx = -mg + mg k l−( )∆ 2

= -mg + (mg − k∆l)

atau,

kx = k∆l − 2mg

Kubus bawah akan naik, jika

kx > mg

atau,

k∆l − 2mg > mg

atau,

∆l > 3 mg/k

b) Mula-mula pegas tertekan sejauh ∆l = 7 mg/k.

Kita hitung dulu kecepatan benda atas ketika benda bawah hampirnaik (telah dihitung pada soal a bahwa saat ini pegas teregang x =mg/k). Disini terjadi perubahan energi pegas pada keadaan tertekan∆l = 7 mg/k menjadi energi potensial benda atas, energi kinetikbenda atas dan energi pegas sistem pada keadaan teregang x = mg/k)

12 k∆l2 = mg (x+∆l) + 1

2 mv2 + 12 kx2

Kecepatan pusat massa sistem adalah v/2. Pusat massa sistem akannaik ke atas. Pada kondisi ini seluruh energi kinetik pusat massadiubah menjadi energi potensial 1/2(2m)(v/2)2= (2m)gh. Diperoleh :

h = 8mg/k

1.76. Dua kereta sejenis masing-masing memuat 1 orang. Kereta ini bergerakdalam arah berlawanan. Pada suatu saat ketika kereta sejajar, keduaorang itu bertukar tempat dengan melompat tegak lurus terhadap arahgerakan kereta. Sebagai akibatnya, kereta 1 berhenti dan kereta 2tetap bergerak dalam arah yang sama, dengan kecepatan v. Tentukankecepatan awal masing-masing kereta jika massa tiap kereta M danmassa orang m!

Jawab: Kita fokuskan perhatian pada sistemkereta 1 dan orang 2 sesaat sebelum orang 2masuk dalam kereta.

Perhatikan momentum yang sejajar arah gerakkereta. Momentum sistem kereta 1 adalah:

P1 = Mv1 − mv2Momentum akhir: P’1 = 0.

Karena momentum kekal maka:

Mv1 = mv2

1

1

2 2

Awal Akhir

Page 22: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I42

Sekarang perhatikan kereta 2 dan orang 1.

Perhatikan momentum sejajar arah gerakan kereta 2:

P2 = Mv2 − mv1

Momentum akhir: P’2 = (M + m)v

Karena momentum kekal maka,

Mv2 − mv1 = (m + M)v

Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh:

v1 = mv

M m−dan

v2 = Mv

M m−

1.77. Dua kereta sejenis bergerak beriringan dengan kecepatan sama v0.Seseorang bermassa m berada dalam kereta belakang. Pada saat tertentu,orang tersebut melompat ke dalam kereta depan dengan kecepatan urelatif terhadap keretanya. Jika massa masing-masing kereta M, hitungkecepatan tiap kereta sekarang!

Jawab: Perhatikan keadaan kereta belakang.

Momentum mula-mula:

P2 = (M + m)v0

Orang melompat dengan kecepatan u relatif terhadapkereta, sehingga kecepatan orang terhadap tanah adalah:

vorg = u + v2

dimana v2 adalah kecepatan kereta belakang terhadap tanah setelahorang melompat.

Momentum akhir (perhatikan bahwa momentum selalu diukurterhadap tanah):

P’2 = Mv2 + mvorg = Mv2 + m(u + v2)

Gunakan hukum kekekalan momentum sehingga kita peroleh,

(M + m)v0 = (M + m)v2 + mu

Sekarang perhatikan kereta depan:

Momentum awal:

P1 = Mv0 + mvorgMomentum akhir:

P1’ = (M + m)v1

Gunakan kekekalan momentum, kita peroleh:

Mv0 + m(u + v2) = (M + m)v1

Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh,

v2 = v0 − mu

M m+

Awal Akhir

Awal Akhir

Awal

Akhir

12

Page 23: 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m B.pdf · 1.39. Pada sistem dibawah ini hitung percepatan benda m1. ... Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda 2 relatif

Mekanika I 43

dan

v1 = v0 + mMu

M m+( )2

1.78. Dua orang, masing-masing bermassa m, berdiri pada ujung keretayang diam bermassa M. Abaikan gesekan, tentukan kecepatan keretasetelah kedua orang tersebut melompat keluar kereta dengan kecepatanmendatar u relatif terhadap kereta jika kedua orang itu melompat(a) secara bersamaan;(b) satu persatu.Dari kedua kasus, manakah yang memberikan kecepatan yang lebih besar?

Jawab:

(a) Momentum mula-mula: P = 0

Anggap kecepatan orang terhadap tanah v0 dan kecepatan keretasetelah orang berlari adalah vk.

Karena kereta dan orang bergerak berlawanan maka, kecepatanrelatif orang terhadap kereta adalah: u = vk + v0.

Momentum akhir:

P’ = 2mv0 − Mvk

= -(2m + M)vk + 2mu

Gunakan hukum kekekalan momentum, kita peroleh:

vk = 2

2

mu

m M+

(b) Ketika orang pertama berlari kita peroleh kecepatan keretaadalah (gunakan soal a di atas):

vk = mu

M m+Ketika orang kedua berlari kereta saat itu sedang bergerak dengankecepatan vk sehingga momentum awal sistem adalah:

P = (m + M)vk

(ingat hanya tinggal 1 orang dalam kereta)

Dengan cara seperti cara a kita akan peroleh,

vk' = mu

M m

mu

M m++

+( )2

Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa vk < vk' sehingga dapatdisimpulkan bahwa kereta akan lebih cepat jika orang melompatsecara berturutan.