Analisa Data StatistikANOVA Ibrahim

LATAR BELAKANG ANOVAANOVA adalah singkatan dari Analysis of Variance. Latar belakang dikembangkan metoda ini karena ingin dilakukan testing terhadap rata-rata populasi yg mengalami perlakuan yg berbeda-beda. Pertanyaannya : apakah perbedaan rata-rata antara berbagai grup yg mengalami perlakuan berbeda tsb signifikan atau tidak.

Asumsi untuk ujia ANOVA adalah:Populasi semuanya normalStandard deviasi populasi samaPopulasi independen

MIsal ada 4 grup A,B,C dan D dengan rata-rata sampel xA, xB, xC dan xD. Ingin diketahui apakah rata-rata populasi yg terkait dengan sampel tsb sama? Tentu saja kita bisa melakukan uji statistik bagi tiap sepasang mean, misal A=B lalu A=C dst. Semuanya ada 6 pasangan yg mungkin, jadi ada 6 uji yg harus dilakukan. Untuk masing-masing dilakukan test-t

Apa kelemahan test-t sepasang-sepasang ini?Banyak test harus dilakukanKesalahan tipe-1 yg besar

Misal tiap-tidap test-t diuji dengan tingkat signifikan 0.05, berarti probabilitas H0 diterima dan keputusan benar 0.95. Karena ada 6 pasangan test (dalam contoh sebelumnya) maka probabilitas telah dibuat keputusan benar karena menerima H0 yg benar adalah 0.95*0.95*0.95*0.95*0.95*0.95 = 0.735Jadi probabilitas melakukan error tipe I, yaitu H0 benar tapi ditolak adalah 1-0.735 = 0.265!

Oleh karena diperlukan uji yg dapat sekaligus membandingkan kesamaan rata-rata berbagai grup tsb serempak.LATAR BELAKANG ANOVA

TEST ANOVA Ide Ide dasar test ANOVA adalah perbedaan rata-rata populasi ditentukan oleh dua faktor yaitu variasi data dalam 1 sampel dan variasi data antar sampel. Perbedaan rata-rata antar populasi nyata jika variasi data antar sampel besar sedangkan variasi data dalam 1 sampel kecil.

ABC

TEST ANOVA Macam VariasiBeberapa definisi variasi.Variasi Total

Jumlah total kuadrat selisih data dengan rata-rata total seluruh data (grand mean)

Variasi Antar Sampel (atau Variasi karena Perlakuan)

Jumlah total kuadrat selisih rata-rata tiap sampel thd rata-rata total (grand mean)

TEST ANOVA Macam VariasiBeberapa definisi variasi.3. Variasi RandomJumlah total kuadrat selisih data dengan rata-rata sampel yg terkait

Dengan G adalah banyak group, ng adalah banyak sampel di group-g.Dapat dibuktikan bahwa ketiga variasi tsb saling terkait:

SStotal = SST + SSE

TEST ANOVA 1. HipotesaH0: 1= 2= 3 = .H1: tidak semua rata-rata populasi sama2. Tentukan tingkat signifikan 3. Daerah kritisTest statistiknya adalah F-test dengan dimana MST : Mean Squares of Treatments (between groups) MSE : Mean Squares of Errors (within errors)

Dengan k : jumlah grup dan n adalah banyak total semua data. Derajat kebebasan F adalah (v1=k-1) untuk pembilang dan (v2=n-k) untuk penyebut. Tentukan nilai kritis F(v1,v2) = Fkritis. Tolak H0 jika Fhitung > Fkritis

TEST ANOVA 4. Perhitungan

5. KeputusanBandingkan Fhitung dengan Fkritis6. Kesimpulan

TABEL ANOVASumber variasiSum of SquaresDerajat kebebasanMean SquaresFhitungTreatment(antar grup)SSTk-1MST=SST/(k-1)MST/MSEError (dalam grup)SSEn-kMSE=SSE/(n-k)TotalSS totaln-1

TEST ANOVA Contoh

Prof. Xsentrik memiliki 22 murid di kuliah Statistik. Murid-murid tsb diminta memberikan rating thd perkuliahannya dalam 4 kategori: Baik sekali, Baik, Cukup dan Jelek. Setelah itu diakhir kuliah diperoleh data nilai akhir Statistik para murid tsb.

GRUPBaik sekaliBaikCukupJelek123494757068906873708577767280837865888074686565

SOlusi - ExcellAnova: Single FactorSUMMARYGroupsCountSumAverageVarianceBaik sekali434987.2536.91667Baik539178.258.7Cukup751072.8571430.14286Jelek64146913.6

ANOVASource of VariationSSdfMSFP-valueF critBetween Groups890.68383296.89468.9906430.0007433.159908Within Groups594.40711833.02262Total1485.09121

SOlusi Manual (menghitung rata-rata dalam grup dan grand)GRUPBaik sekaliBaikCukupJelek1234------------------------------------------------------------------------------94757068906873708577767280837865888074686565----------------------------------------------------------------------------------------------------349391510414Rata-rata87.2578.272.8669Rata-rata dalam grupRata-rata grand

SOlusi Menghitung SSE (variasi antar grup)SST = 890.68Jumlah data di Grup1 : 4Grup 2 : 5Grup 3 : 7Grup 4 : 6

SOlusi Menghitung Variasi Dalam Grup

45.5610.248.161.007.56104.040.021.005.061.449.889.0052.5623.0426.4516.0096.0451.0225.0023.5916.0061.73----------------------------------------------------------------------------------110.75234.8180.8668SSE = 110.75+234.8+180.86+68 = 594.41

SOlusi Menghitung Variasi TotalSStotal = 1485.09337.220.4031.7758.31206.3158.316.9531.7787.681.860.1313.2219.0454.225.59113.13152.8619.042.6858.31113.13113.13----------------------------------------------------------------------------------------------650.26267.66234.93332.25

SOlusi Ringkasan HitunganVariasi antar grup : SST = 890.68 v1 = 4-1=3 MST= SST/v1=296.89Variasi dalam grup : SSE = 594.41 v2 = 22-4=18MSE=SSE/v2=33.02Variasi total : SSTotal = 1485.09

Fhitung = MST/MSE = 296.89/33.02 = 8.99Dengan derajat kebebasan v1=3 dan v2=18

SOlusi Testing Hipotesis1. HipotesaH0: 1= 2= 3 = 4 H1: tidak semua rata-rata populasi sama2. tingkat signifikan = 5%3. Daerah kritisTest statistiknya adalah F-test. F(v1,v2) = MST/MSE dengan dengan v1=k-1 = 4-1 = 3 dan v2= n-k = 22-4 = 18Nilai kritis F0.025 (3,18) = 3.16Tolak H0 jika F> 3.164. PerhitunganFhitung = MST/MSE = 296.89/33.02 = 8.995. Keputusan : Karena F > 3.16 maka H0 ditolak 5. Kesimpulan : Tidak semua rata-rata grup sama