1

1.1 Sistem Bilangan

BAB 1. SELANG, KETAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK

Himp Bil. real Himp Bil. Immaginair 2 1i

Himp Bil. Irrasional

2 ; 3; ; eHimp Bil. Rasional

aQ ;b 0b

Himp Bil. PecahPecahan/desimal

Himp Bil. Bulat{....,-2,-1,0,1,2,....}

H. Bil. Bulat Negatif H. Bil. Bulat PositifNol {1,2,3,4, . . . . }{ . . . . ,-3,-2,-1}

H. Bil. Cacah = {0,1,2,3,4, . . . . }

13 11Contoh : 3,25 ; 0,044 desimal terputus

4 2502

0,6666....3 desimal tak terputus,berulang28

2,54545....11

Himp Bil Kompleks a bi, a & b bil.riel

2

Contoh bil rasional :13 11

3,25 ; 0,044 desimal terputus4 2502

0,6666....3 desimal tak terputus,berulang28

2,54545....11

Contoh bil irrasional :

2 1,4142135.....

3 1,4422496..... desimal tak terputus tak berulang3,1415926.....

e 2,7182818.....

1. Notasi dari himpunan bilangan riil adalah dinyatakan sebagai garis lurus x є dibaca x (sembarang bilangan) anggota dari Jika x є dinyatakan sebagai suatu titik di garis

x

0-a a

xx

Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0

3

2. Urutan Pada Garis Bilangan Riil Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y atau x lebih kecil dari y x > y dibaca x berada di sebelah kanan y atau y lebih kecil dari x

x

dibaca “ jika dan hanya jika” x < y y-x positif

yy x

x<y

x>y

3. Sifat urutan

Misalkan x, y, z є

a. Trikhotomi : Jika x dan y suatu bilangan, maka berlaku

atau atau

b. Transitif: jika dan , maka c. Penambahan:

d. Perkalian: untuk z bilangan positif , untuk z bilangan negatif e. Relasi urutan dibaca “kurang dari atau sama dengan” dibaca “lebih dari atau sama dengan”

positif atau nol

x y x y x y

x y y z x z x y x z y z

x y xz yz x y xz yz

x y y x

4

4. Sifat-sifat lain Misalkan a,b,c є , maka berlaku

a. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc b. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc c. Jika 0 < a < b, maka 1/a > 1/b

5. Selang (interval) Definisi: Selang adalah himpunan bilangan real tertentu

yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut:

Penulisan Penulisan himpunan Grafik

(a,b) {x є | a < x < b}

[a,b] {x є | a ≤ x ≤ b}

[a,b) {x є | a ≤ x < b}

(a,b] {x є | a < x ∞ b}

(a,∞) {x є | x > a}

[a, ∞) {x є | x ≥ a}

(-∞,b) {x є | x < b}

(-∞,b] {x є | x ≤ b}

(-∞, ∞)

a

ba

b

a b

a b

a

a

b

b

5

6. Ketaksamaan (pertidaksamaan) Definisi: Ketaksamaan adalah pernyataan matematik yang

memuat salah satu relasi urutan <, >, atau Penyelesaian ketaksamaan adalah semua bilangan real yang memenuhi ketaksamaan tersebut.

Menyelesaikan ketaksamaan:dengan sifat urutan

dengan garis bilangan bertanda

Contoh:

1. Dengan menggunakan sifat urutan tentukan penyelesaian ketaksamaan berikut.

a. -2 < 1 – 5x b. x2 + 4x = 5

Penyelesaian: a.

b.

13

2 1 5 3 1

x x x

x

2 2

2

1

2

4 5 4 5 0

1 5 5 0

( 1) 5( 1) 0

( 5)( 1) 0

( 5) 0 5

( 1) 0 1

x x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

6

2. Dengan menggunakan garis bilangan bertandaselesaian ketaksamaan berikut

a. b.

c. d.

Jawab: (garis bilangan digambar kan di lembar tersendiri)

a.

b.

c.

d.

tidak punya penyelesaian

52

52 5 2 x x

x2

2

1

2

2 40 2 4 0

3

2 4 161 5

2

2 4 161 5

2

x xx x

x

x

x

52

x

2 2 40

3

x x

x5 5

12 4

x

x x1

1

x x

x x

5 5 5 51

2 4 2 4( 5)(2 4) ( 5)

2 4

4

x x x

x x x xx x x x

x x

x

2

2 2

1( 1)( 1)

1

1

x xx x x

x x

x x

7

7. Nilai Mutlak Definisi: Nilai mutlak sebuah bilangan real x є dinyatakan |a|, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan riil.

Maka berlaku:-4 0 4

Sifat-sifat nilai mutlak Misalkan a, b,x є dan n є , maka

1.

2.

3. dan

4. Ketidaksamaan segitiga :

5.

6.

7.

8.

| | ; jika 0

| | ; jika 0

x x x

x x x

| | | || |ab a b

| | x a a x a

| |

| |

a a

b b| | | |n na a

| | | | | | a b a b

| | | | | | a b a b

| | atau x a x a x a

2 2| | | | x y x y

| | x a x a

2 2| | x x

4 4 4 4

8

Contoh (1):

Selesaikan pertidaksamaan berikut:

a. b. | 4 | 1,5 x | 3 5 | 1 x

Penyelesaian:

a.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

| 4 | 1,5 1,5 4 1,5

2,5 5,5

x x

x

2,5 5,5

b. Pertidaksamaan dapat dinyatakan sebagai:

atau

atau

atau

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

| 3 5 | 1 x

3 5 1 x 3 5 1 x

3 4x 3 6x

43

x 2x

0 1 2 3 4 5

43

, 2,

2,5 5,5 x

2,5 5,5 x

43

, 2,

9

Contoh (2): [sifat 7]

Selesaikan pertidaksamaan | 3 1| 2 | 6 | x x

2 2

2 2

2

| 3 1| 2 | 6 | | 3 1| | 2 12 |

(3 1) (2 12)

9 6 1 4 48 144

5 54 143 0

(5 11) ( 13) 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

Penyelesaian: Menggunakan sifat 7 diperoleh:

untuk diperoleh titik-titik:

-13 115

, 13

115

13,

115

,

(5 11) ( 13) 0 x x

111 5

2

5 11 0

13 0 13

x x

x x

Diambil titik-titik uji , ditemukan titik-titik

didalam yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

diatas .

14 ; 0 dan 3

115

13,

10

8. Akar kuadrat :

2 | | x x

Soal:

Tentukan penyelesaian persamaan dan ketaksamaan berikut.| 2 | 1

| |

| 4 9 | 11

| 5 4 | 6

1.

2.

3.

4.

6. | | | 3 2 |

| 27. | 4 | | 3

x

x x

x

x

x x

x x

Contoh : 1. 2. 3. Dua akar kuadrat dari 7 adalah

9 3 2( 10) 100 = 10

7

Rumus Kuadrat : Penyelesaian untuk persamaan adalah

2 0 ax bx c2 4

2

b b acx

a