11 acuan pengerjaan soal pada quiz ke3.docx

8/18/2019 11 Acuan Pengerjaan Soal pada Quiz ke3.docx

1/17

Soal 1:

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, 8 bola kuning, dan 6 bola hijau.

Diambil secara acak 4 buah bola. Jika X dinyatakan sebagai jumlah bola kuning

yang terambil tentukan:

a. Distribusi peluang dari X

b. !itung nilai "kspektasi dan #arians dari #ariabel $cak % dengan

menggunakan metode moment

c. Jika dalam percobaan tersebut ditentukan &ariabel baru Y =2 X +1

3 ,

tentukan E(Y ) dan V (Y ) dengan menggunakan si'at(si'at

"kspektasi dan #arians

Jawab:

Dari soal diketahui:

( )ola *erah : 5 buah( )ola +utih : 4 buah( )ola uning : 8 buah( )ola !ijau : 6 buah( -otal )ola : / buah

( X 0 Jumlah Bola Kuning yang terambil

( Jumlah )ola dalam otak:

o 8 )ola uning ( K )

o 15 )ola )ukan uning ( ´ K )

a. Distribusi Peluang dari Variabel Acak X

Distribusi Peluang merupakan Tabel yang memuat seluruh nilai dari

Variabel Acak yang mungkin beserta peluangnya masing-masing.

Jumlah Peluang seluruhnya harus sama dengan 1 (satu)

Dari +engambilan 4 2empat3 buah bola dari kotak, maka Jumlah )ola

uning yang termabil adalah K =0,1,2,3,4 sehingga akan diperoleh

-abel Distribusi +eluang sebagai berikut:

X P( X = x)

1

/

4

ntuk menghitung +eluang masing(masing nilai #ariabel $cak adalah

sebagai berikut:


2/17

• uang Sampel cara +engambilan 4 buah bola dari / bola dalam

kota terdapat sebanyak:(dari soal dapat disimpulkan baha !ola diambil secara acak

tanpa pengembalian dan tanpa disebutkan pengambilan

dilakukan dengan urutan" maka #umlah kemungkinan hasil yang

berbeda-nya dihitung dengan menggunakan rumus $ombinasi)

(nk )= n!

k ! (n−k ) !

Dengan n=23 dan k =4 , maka:

(234 )= 23 !

4 ! (23−4 ) !

¿ 23 !

4 ! .19!

¿23 .22 .21 .20.19 !

1 .2 .3. 4 .19 !

¿212.520

24

(234 )=8.855

Jadi uang Sampel pengambilan 4 buah bola dari / bola dalam

kotak terdiri dari 8.855 titik sampel atay cara yang berbeda.

• emungkinan komposisi )ola dalam setiap pengambilan:

Seluruh )ola yang Diambil

(n )

)ola uning

( K ))ola )ukan

uning

( ´ K )

Sehingga kemungkinan pengamambilannya adalah:

)ola

uning

( K )7

)ola )ukan

uning

( ´ K )

-otal )ola

(n )

Dalam otak 8 7 15 2


3/17

)ola

uning

( K )7

)ola )ukan

uning

( ´ K )

-otal )ola

(n )

ara

pengambilan

K =0(80)

9 (154 )1 9 1./65

1!"#

ara

pengambilan

K =1(81)

% (153 )8 9 455

!"$%

ara

pengambilan

K =2(82)

% (152 )8 9 15

2!&$%

ara

pengambilan K =3 (

8

3)%

(15

1 )56 9 15

'$%

ara

pengambilan

K =4(84 )

% (150 ) 9 1

(%

Sehingga diperoleh Distribusi +eluang 2pm'3 untuk &ariabel acak X

sebagai berikut:

X P( X = x)

1.365

8.855 039

253

13.640

8.855 0104

253

2.940

8.855 0

84

253

/840

8.855 024

253

470

8.855 02

253

-otal253

253 0 1


4/17

b! )itung nilai *ks+ektasi dan Varians dari Variabel Acak X dengan

menggunakan metode moment,

*enghitung E( X ) dan V ( X ) dengan *etode *oment, dan karena

#aribel $cak X

merupakan &ariabel acak diskrit, adalah:

• E ( X )=∑

i=1

n

xi . p ( X = x i)

• V ( X )= E ( X 2 )−[ E( X )]2

Dengan E ( X 2 )=∑

i=1

n

x i2

. p ( X = xi)

• E ( X )=∑i=1

n

xi . p ( X = x i)

¿∑i=1

5

x i . p( X = x i)

¿ x1

. p ( X = x1 )+ x2 . p ( X = x2 )+…++ x5 . p ( X = x5)

¿0. p ( X =0 )+1. p ( X =1 )+…+4. p ( X =4)

¿0. 39

253 +1.104

253 +2. 84

253 +3. 24

253 +4. 2

253

¿0+104+168+72+8

253

¿352

253

E ( X )=1 9

23

• V ( X )= E ( X 2 )−[ E( X )]2

ntuk menghitung V ( X ) diperlukan nilai E ( X 2 ) untuk

melengkapi nilai E ( X ) yang telah dihitung sebelumnya.

E ( X 2 )=¿ ∑i=1

n

x i2

. p ( X = x i)


5/17

¿∑i=1

5

x i2

. p ( X = xi)

¿ x12

. p ( X = x1 )+ x22

. p ( X = x2 )+…+ x52

. p ( X = x5 )

¿02 . p ( X =0 )+12. p ( X =1 )+…+52 . p ( X =5 )

¿0. 39

253+1.

104

253+4.

84

253+9.

24

253+16.

2

253

¿0+104+336+216+32

253

¿688

253

E( X 2)=2 182

253

*aka :

V ( X )= E ( X 2 )−[ E( X )]2

¿2182

253−[1 923 ]

2

¿688

253−[ 352253 ]

2

¿688

253−

123.904

64.009

¿174.064−123.904

64.009

¿50.160

64.009

¿ 4.560

5.819

V ( X )≈0,7836


6/17

c. Jika dalam percobaan tersebut ditentukan &ariabel baru Y =2 X +1

3 tentukan

E(Y ) dan V (Y ) dengan menggunakan si'at(si'at "kspektasi dan #arians

• E(Y )

Dengan Y =2 X +1

3 maka:

E (Y )= E(2 X +1

3)

Dengan si'at "kspektasi: E (aX +b )=aE ( X )+b dapat dihitung

E(2 X +13 )=2 E ( X )+

13

¿2.352

253+1

3

¿704

253+1

3

¿ 704 (3 )+1(253)253 x3

¿2.112+253

759

¿2.365

759

E(Y )=3 869

Jadi nilai E(Y ) adalah 3 8

69

• V (Y )

Dengan Y =2 X +1

3 maka:


7/17

V (Y )=V (2 X +1

3)

Dengan si'at "kspektasi: V ( aX +b )=a2

V ( X ) dapat dihitung

V (2 X +13 )=2

2. V ( X )

¿4 . 4.560

5.819

¿18.240

5.819

V (Y )=3 783

5.819

Jadi nilai V (Y ) adalah 3 783

5.819

-atatan:

Agar diperhatikan secara seksama bahwa dalam membuat

Distribusi Peluang tetap pola pikirnya harus dimulai dari RuangSampel!

ontoh:

Sebuah eksperimen dilakukan dengan pengetossan 5 buah coin. *isalkan X dide;nisikan sebagai Jumlah


8/17

1 2 $ # Sam+el

<

<

<<

<


9/17


10/17


11/17

Soal 2:

*isalkan &ariabel acak % yang mempunyai 'ungsi distribusi berikut:

f ( x )={cx3

,∧0≤ x ≤10,∧lainnya

a. -entukan nilai *. X dan V.7

b. Jika terdapat &ariabel Y =3−2 x2

, tentukan pd' untuk &ariabel acak

Y

Jawab:

ntuk dapat mengerjakan pertanyaan(pertanyan di atas, hal pertama yang

harus dilakukan adalah memastikan bah>a 'ungsi distribusi yang tersebut

merupakan pd'. ?ngat bah>a syarat sebuah 'ungsi distribusi akan dikatakansebagai pd' jika:

∫−∞

+∞

f ( x ) dx=1

)erdasarkan soal tersebut, harus dicari nilai c sedemikan rupa sehingga

integral dari 'ungsi tersebut berharga 1.

∫0

1

cx3

dx=1

c∫0

1

x3

dx=1

c 1

4 x

4|10=11

4 c [14

−04

]=1

1

4c [1−0 ]=1

1

4c [1 ]=1

1

4c=1

c=4


12/17

Sehingga 'ungsi distribusi yang menjadi pd'(nya adalah:

f ( x )={4 x3

,∧0≤ x ≤10,∧lainnya

a. -entukan nilai E( X ) dan V ( X ) !

• E ( X )

arena X merupakan &ariabel acak kontinyu, maka umus untuk

mencari E( X ) adalah:

E ( X )=∫−∞

+∞

x . f ( x ) dx

Sehingga diperoleh:

E ( X )=∫0

1

x .4 x3

dx

¿4∫0

1

x4

dx

¿4 .

1

5 x

5

| 1

¿0

¿ 4

5. [15−05 ]

¿ 4

5. [1−0 ]

¿ 4

5. [1 ]

E( X )=4

5

Jadi nilai E( X ) dari pd' tersebut adalah4

5 .

• V ( X )

umus menghitung V ( X )= E ( X 2 )−[ E( X )]2


13/17

ntuk menghitung V ( X ) diperlukan nilai E ( X 2 ) untuk

melengkapi nilai E ( X ) yang telah dihitung sebelumnya.

E ( X 2

)=∫−∞

+∞

x

2

. f ( x ) dx

Sehingga diperoleh:

E ( X 2 )=∫0

1

x2

.4 x3

dx

¿4∫0

1

x5

dx

¿4 . 1

6 x

6| 1¿0¿ 4

6. [16−06 ]

¿ 4

6. [1−0 ]

¿ 46

. [1 ]

E( X 2)=4

6

Jadi nilai E( X 2) dari pd' tersebut adalah

4

6 .

Dengan demikian

V ( X )= E ( X 2 )−[ E( X )]2

¿ 4

6−[ 45 ]

2

¿ 4

6−

16

25

¿ 4 (25 )−16(6)

6 x25


14/17

¿100−96

150

V ( X )= 4

150

Jadi V ( X ) adalah4

150 .

b. *enentukan pd' untuk &ariabel acak Y =3−2 x2

ntuk mendapatkan pd' dari &ariabel acak baru Y ditentukan dengan

rumus:

f Y ( y )= f X (g−1 ( y ))|d g

−1 ( y )dy |

ntuk menyelesaikannya diperlukan tahap(tahap perhitungan sebagai

berikut:

2i3 -entukan =ungsi ?n&ers dari &ariabel acak baru 2 Y 3

#ariabel acak baru(nya adalah:

g ( x )=Y =3−2

x

2

y=3−2 x2

2 x2=3− y

x2=

3− y2

x=√3− y2

Jadi =ungsi ?n&ers yang diperoleh adalah g−1 ( y )=√

3− y2

2ii3 -entukan turunan dari =ungsi ?n&ers terhadap y

d g−1( y )dy

=

d(√3− y2 )dy

¿

d

((3− y

2

)

1

2

)dy


15/17

¿1

2 ( 3− y2 )−12 .−

1

2

¿1

2. 1

√3− y2

.−1

2

¿1

2. 1

√ 3− y

√ 2

.−1

2

¿1

2. √ 2

√ 3− y.−

1

√ 2 .√ 2

d g−1( y )dy

= −1

2√ 2.√ 3− y

2iii3 -entukan f Y ( y )

f Y ( y )= f X (g−1 ( y ))|d g

−1 ( y )dy |

¿4 (√3− y2 )3

| −12√ 2 .√ 3− y|

¿4 (√3− y2 )2

(√3− y2 )1

. 1

2√ 2.√ 3− y

¿4 . 3− y

2

.

√

3− y

2

. 1

2√ 2 .√ 3− y

¿4 . 3− y

2.√ 3− y

√ 2.

1

2√ 2 .√ 3− y

¿ 4

8(3− y)

f Y ( y )=1

2(3− y )

2i&3 *enentukan batas untuk &ariabel acak baru


16/17

arena pd' sekarang merupakan 'ungsi dari &aribel acak y maka

batas(batasnya pun harus diubah menjadi untuk y .

Dalam pd' untuk &ariabel acak x ruang sampel(nya memiliki

batas(batas:0≤ x ≤1

Jika disubtitusikan dengan =ungsi ?n&ers(nya maka diperoleh:

0≤√3− y2 ≤102

≤(√3− y2 )2

≤12

0≤ 3− y

2

≤1

0. (2 )≤3− y2

.(2)≤1.(2)

0≤3− y ≤2

0−3≤3− y−3≤2−3

−3≤− y ≤−1

J?ka seluruh ruas dikalikan dengan (1 akan diperoleh:

3≥ y ≥1

Sehingga sekarang ruang sampel(nya menjadi:1≤ y ≤3

)atas(batasnya dapat juga dicari dengan cara:

x y=3−2 x2

y=3−2.02

¿3−2.0

¿3−0

y=3

1 y=3−2.12

¿3−2.1¿3−2


17/17

x y=3−2 x2

y=1

Sehingga pd' untuk &ariabel acak y adalah:

f Y ( y )={1

2(3− y) ,∧1≤ y ≤3

0,∧lainnya

11 acuan pengerjaan soal pada quiz ke3.docx

Documents