Bahan Belajar

PERSAMAAN Pendidikan Kesetaraan Program Paket C Mahir Daring

Oleh:

Ino Muhammad Hilman

Lusyana Widjaja

Ahmad Solihin

Chinta Darma

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Pusat Pengembangan Pendidikan Anak Usia Dini dan Pendidikan Masyarakat (PP PAUD dan Dikmas) Jawa Barat Tahun 2017

i

Kata Pengantar

Pendidikan Kesetaraan Program Paket C Mahir dalam Jaringan dikembangkan untuk

memberikan layanan bagi masyarakat yang membutuhkan pendidikan namun

terhambat pada waktu dan jarak. Pembelajaran Pendidikan Kesetaraan Program Paket C

Mahir dalam Jaringan dirancang agar peserta didik mampu belajar mandiri sehingga

peserta didik dapat menentukan kebutuhan belajarnya, merumuskan tujuan

belajaranya, mengidentifikasi sumber belajar, memilih dan melaksanakan strategi

belajar serta mampu mengukur hasil belajarnya. Dengan kata lain, peserta didik dapat

menentukan bagaimana, kapan dan dimana dia akan belajar. Namun demikian untuk

membantu peserta didik dalam memperoleh sumber belajar, maka disediakan media

pembelajaran dalam bentuk modul dan audiovisual.

Modul dikembangkan untuk untuk tiga belas mata pelajaran, yaitu 1) Pendidikan Agama

Islam, 2) Pendidikan kewarganegaraan, 3) Bahasa Indonesia, 4) Bahasa Inggris, 5)

Matematika, 6) Sejarah Indonesia, 7) geografi, 8) ekonomi, 9) Sosiologi, 10) Sejarah

Peminatan, 11) Seni Budaya, 12) Pendidikan jasmani, olahraga dan kesehatan, 13)

Keterampilan fungsional (house keeping). Modul ini diharapkan mampu mempermudah

penyajian pesan, mengatasi keterbatasan waktu dan ruang peserta didik, serta

mengembangkan kemampuan peserta didik dalam menggali dan berinteraksi langsung

dengan lingkungan dan sumber belajar lainnya.

Guna memudahkan peserta didik dalam mempelajari materi yang ada, modul memuat

deskripsi, petunjuk penggunaan modul, standar kompetensi, peta konsep dan kegiatan

belajar. Kegiatan Belajar yang memuat tujuan pembelajaran, uraian materi, rangkuman

dan latihan soal. Tugas dan kunci jawaban akan disampaikan terpisah melalui aplikasi

pembelajaran paket c dalam jaringan, paketcdaring.seamolec.org.

Semoga Bermanfaat.

Penulis

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar .............................................................................................................................i

Daftar Isi ...................................................................................................................................... ii

Petunjuk Penggunaan ................................................................................................................. iii

Pendahuluan ................................................................................................................................1

A. KOMPETENSI INTI ............................................................................................................1

B. KOMPETENSI DASAR ........................................................................................................1

C. DESKRIPSI ........................................................................................................................1

D. WAKTU ............................................................................................................................2

Kegiatan Belajar 1: Persamaan Linear...........................................................................................3

A. TUJUAN PEMBELAJARAN .................................................................................................3

B. Uraian Materi ..................................................................................................................3

1. Pengertian Persamaan Linear ......................................................................................4

2. Menyelesaikan Persamaan Linier.................................................................................5

a. Menyelesaikan persamaan linier satu variabel ............................................................5

b. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel ................................................7

c. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel ................................................9

C. RANGKUMAN ................................................................................................................ 11

D. LATIHAN ........................................................................................................................ 11

Kegiatan Belajar 2: Persamaan Kuadrat ...................................................................................... 13

A. TUJUAN PEMBELAJARAN ............................................................................................... 13

B. URAIAN MATERI ............................................................................................................ 13

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan (Jadda S. , 2011) ............ 13

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus ............................ 14

C. RANGKUMAN ................................................................................................................ 14

D. LATIHAN ........................................................................................................................ 15

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................................... 16

iii

Petunjuk Penggunaan

Bahan Belajar ini diperuntukkan bagi peserta didik Paket C Mahir dalam jaringan

derajat 1. Proses pembelajaran dikemas dalam bentuk modul, masing-masing modul

saling berurutan dan menjadi satu kesatuan pemahaman untuk dihayati dan diamalkan.

Cepat atau lambatnya penyelesaian modul tersebut sangat tergantung pada

kesungguhan dan kerajianan anda mempelajarinya.

A. Cara Belajar

Cara belajar anda akan menentukan penguasaan dan keberhasilan anda sebagai

peserta didik paket C Mahir dalam jaringan derajat 1. Ikutilah petunjuk belajar ini

agar anda dapat memahami isi bahan belajar ini dengan baik.

1. Yakinkan diri anda bahwa anda telah siap untuk belajar.

2. Tenangkan pikiran dan pusatkan perhatian anda pada bahan belajar yang akan

anda pelajari.

3. Berdoalah sejenak sesuai agama dan keyakinan anda dan sekarang anda siap

untuk belajar.

4. Baca dan pahami deskripsi isi dari setiap bahan belajar, agar anda dapat

mengetahui apa yang harus dipelajari dari isi bahan belajar.

5. Baca dan pahami secara mendalam tujuan yang harus dicapai setelah

melakukan pembelajaran

6. Bacalah uraian materi secara seksama. Tandai dan catat materi yang

belum/kurang anda pahami.

7. Diskusikan materi-materi yang belum dipahami dengan teman, tutor/pendidik,

dan/atau orang yang dianggap ahli dalam bidang ini melalui chat, e-mail, forum

diskusi atau bertanya langsung saat video converence.

8. Anda juga dapat mempelajari materi melalui media yang tersedia seperti video,

ppt, dan gambar. Media yang ada karena akan lebih memudahkan anda

mempelajari materi/isi yang diuraikan.

9. Carilah sumber atau bacaan lain yang relevan dengan untuk menunjang

pemahaman dan wawasan tentang materi yang sedang anda pelajari.

10. Kerjakan soal latihan /evaluasi dalam modul atau dalam aplikasi untuk

mengukur tingkat penguasaan materi sebagai hasil pembelajaran.

11. Kerjakan soal ujian modul sebagai syarat untuk membuka modul berikutnya.

12. Jika hasil anda belum memuaskan jangan putus asa, cobalah lebih giat lagi

belajar.

iv

B. Pengukuran kemampuan Belajar

1. Jawablah pertanyaan ujian modul dalam aplikasi setiap akhir modul

2. Jawaban benar atau salahakan terlihat langsung dalam setiap pertanyaan.

3. Hasil ujian modul akan langsung keluar setelah anda selesai menyelesaikan

seluruh soal.

Arti tingkat penguasaan yang capai:

90 - 100 = baik sekali

80 - 89 = baik

70 - 79 = cukup

- 69% = kurang

Jika anda mencapai tingkat penguasaan 70 atau lebih, maka anda dapat

melanjutkan dengan modul berikutnya.

Tetapi jika nilai anda di bawah 69, anda diharuskan untuk mengulang

mempelajari modul terutama pada bagian yang belum anda kuasai.

4. Setelah anda mempelajari seluruh modul pada setiap mata pelajaran, cobalah

anda sekali lagi mengerjakan latihan pada setiap modul.

5. Jika secara keseluruhan anda telah mencapai tingkat penguasaaan 80 atau lebih,

maka anda sudah siap menempuh ujian naik derajat.

1

Pendahuluan

A. KOMPETENSI INTI

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong,

kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan proaktif sebagai bagian dari

solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan

lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa

dalam pergaulan dunia.

3. Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual,

prossedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan

kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab

fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada

bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk

memecahkan masalah

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait

dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri,

bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai

kaidah keilmuan

B. KOMPETENSI DASAR

3.1 Menginteprestasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk

linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear aljabar

lainnya.

4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan

nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel.

3.5 Menjelaskan dan menentukan fungsi (terutama fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional) secara formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, dan ekspresi simbolik, serta sketsa grafiknya

4.5 Menganalisa karakteristik masing – masing grafik (titik potong dengan sumbu, titik puncak, asimtot) dan perubahan grafik fungsinya akibat transformasi f2(x), 1/f(x), |f(x)| dsb

C. DESKRIPSI

Modul ini memperkenalkan materi tentang persamaan linear, materi dimulai

dengan pengertian kalimat pernyataan dan kalimat terbuka, cara menyelesaikan

persamaan linear serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari, dilanjutkan

dengan persamaan kuadrat.

2

D. WAKTU

8 Jam Pembelajaran

3

Kegiatan Belajar 1: Persamaan Linear

A. TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta didik diharapkan dapat:

1. Menginterpretasikan persamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel

dengan persamaan linear aljabar lainnya

2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan nilai mutlak dari

bentuk linear darivariabel

3. Menyusun sistem persamaan linear dua variabel dari masalah kontekstual

4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan linear

dua variabel

5. Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual

6. Menyelesaikan masalahkontekstual yang berkaitan dengan persamaan linear

tiga variabel

B. Uraian Materi

Sebelum mempelajari apakah itu persamaan linear, kamu harus memahami

pengertian kalimat pernyataan dan kalimat terbuka.

Kalian pasti sudah mempelajari tentang jenis- jenis kalimat, seperti : kalimat

tanya, kalimat berita, dan kalimat perintah.

Perhatikan kalimat berikut ini :

a. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang

b. Mata uang negara Inggris adalah Dollar

c. Balok merupakan bangun ruang

d. 13 adalah bilangan prima

e. -8 < 3

Kalimat-kalimat pada contoh a sampai d diatas sudah bisa ditentukan benar atau

salahnya. Kalimat-kalimat yang sudah diketahui benar salahnya dinamakan

kalimat pernyataan.

Sekarang coba perhatikan kalimat-kalimat berikut !

a. Lukisan ini sangat indah

b. 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5

4

Apakah anda dapat menentukan kalimat-kalimat itu benar atau salah ?

Kita tidak dapat menentukan apakah kalimat itu benar atau salah, karena ” kata

indah belum tentu sama pada semua orang”. Demikian juga kata bilangan masih

belum jelas berapa angkanya. Benar atau salahnya bergantung pada berapakah ”

suatu bilangan ” itu. Jika ” suatu bilangan” diganti dengan 4, maka kalimat itu

menjadi ” 9 dikurangi 4 hasilnya 5 ”, kalimat ini adalah kalimat yang benar. Jika ”

suatu bilangan” diganti dengan selain 4 misalnya 2, maka kalimat itu menjadi ” 9

dikurangi 2 hasilnya 5 ”,kalimat ini adalah kalimat yang salah.

Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat

terbuka pada matematika ciri kalimat terbuka adalah masih mengandung

variabel.

” suatu bilangan ” pada kalimat 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5

belum diketahui nilainya. Dalam matematika, sesuatu yang belum diketahui

nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasanya disimbolkan dengan huruf

kecil misalnya x, y, z

” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5”. Jika suatu bilangan tersebut kita

ganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika 9 – x = 5.

Nah kalimat terbuka yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda

hubung “sama dengan” ( =) disebut persamaan. Sedangkan yang menggunakan

tanda hubung selain sama dengan ( > , <, ≥, ≤ ) disebut pertidaksamaan.

1. Pengertian Persamaan Linear

Berdasarkan uraian di atas kita akan menyimpulkan, apakah itu persamaan linier?

Persamaan linier adalah persamaan yang memiliki variabel dengan derajat satu

(pangkat satu) ( contoh x, y, z ) bukan pangkat dua (x2, y2) apalagi pangkat yang

lebih tinggi dari dua..)

Contoh-contoh persamaan linier

a. 10x + 2 = 8 (contoh persamaan linier satu variabel, yaitu x saja)

b. 7x – 3y = 21 (persamaan linier dua variabel, yaitu x, dan y)

c. 4x + 3y – 2z = 10 (persamaan linier tiga variabel, yaitu x,y, dan z)

5

Jadi ciri persamaan linier ada dua, pertama tanda hubungnya “sama dengan” ( = )

kedua hanya memuat variabel yang berpangkat satu. (disebut juga variabel

berderajat satu)

2. Menyelesaikan Persamaan Linier

Setelah kamu memahami apa itu persamaan linier, maka tahapan berikutnya

adalah kamu harus memahami bagaimana cara menyelesaikan suatu persamaan

linier.

Dimulai dari persamaan linier satu variabel sampai dengan yang tiga variabel

a. Menyelesaikan persamaan linier satu variabel

Tugas kamu dalam menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari nilai variabel

yang memenuhi persamaan tersebut artinya yang menjadikan suatu persamaan

menjadi benar

Contoh 1 : tentukan nilai n dari persamaan berikut 4 + n = 7 !

Jawab : untuk soal tersebut dengan mudah kita

dapat menentukan bahwa nilai n adalah 3

Maka angka 3 ini adalah penyelesaian dari 4 + n = 7 karena ketika n diganti

dengan 3 maka kalimat 4 + n = 7 menjadi Benar , sebaliknya ketika n diganti

dengan selain angka 3 maka kalimat 4 + n = 7 menjadi salah.

Penyelesaian dari suatu persamaan adalah nilai/bilangan dari variabel yang

menjadikan suatu persamaan menjadi benar.

Contoh 2 : tentukan nilai x dari persamaan berikut

3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7

Dapatkah kamu menentukan nilai 𝑥 secara langsung sebagaimana menentukan

nilai n pada contoh 1 ? tentu agak sulit bukan menentukan nilai 𝑥 pada contoh 2

ini.

Agar kamu dapat menyelesaikan semua persamaaan-persamaan linier satu

variabel, perhatikan uraian berikut.

Langkah-langkah menyelesaikan persamaan linier satu variabel

Dalam menyelesaikan persamaan linier satu variabel kita harus memahami sifat-

sifat dari suatu persamaan, yaitu

1) Nilai persamaan akan tetap sama ketika ruas kiri dan kanan ditambah atau

dikurangi bilangan yang sama

2) Nilai persamaan akan tetap sama ketika ruas kiri dan kanan dikali atau dibagi

dengan bilangan yang sama.

6

Kita akan gunakan kedua sifat tersebut dalam menyelesaikan persamaan-

persamaan linier satu variabel.

Kita akan menjawab soal pada contoh 2 diatas

Tentukan nilai x dari persamaan berikut 3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7 !

Jawab ;

3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7

Langkah 1 (kedua ruas ditambah 5 )

3𝑥 − 5 + 5 = 𝑥 + 7 + 5

3𝑥 = 𝑥 + 12

Langkah 2 (kedua ruas dikurangi 𝑥)

3𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + 12

2𝑥 = 12

Langkah 3 (kedua ruas dibagi 2 atau dikali 1/2)

2𝑥

2 =

12

2

𝑥 = 6

Jadi penyelesaian dari persamaan 3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7 adalah 6

Kalau ditulis dengan notasi himpunan, maka Himpunan Penyelesaiannya (HP)

HP = { 6 }

Selain dengan cara diatas, kita juga dapat menyelesaikan persamaan linier satu

variabel dengan cara perpindahan ruas. Hanya yang perlu diperhatikan setiap

angka atau variabel yang berpindah ruas, operasinya berubah menjadi

kebalikannya (penjumlahan menjadi pengurangan atau sebaliknya dan perkalian

menjadi pembagian atau sebaliknya)

Adapun caranya sebagai berikut

3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7

3𝑥 − 𝑥 = 7 + 5 ( −5 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ 𝑘𝑒 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 +

5 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ 𝑘𝑒 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑖𝑟𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 − 𝑥)

2𝑥 = 12

𝑥 =12

2

2 𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ 𝑘𝑒 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑎𝑠𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖)

𝑥 = 6

Penerapan Persamaan Linier Satu Variabel dalam kehidupan sehari-hari

7

Bahlul meminjamkan uangnya kepada Fulan dan Eko sebanyak Rp5.000.000,00

dengan bunga masing-masing 5% dan 7% setahun. Setelah satu tahun Bahlul

menerima bunga total sebesar Rp330.000,00. Tentukan modal yang dipinjam

Fulan dan Eko.

Jawab:

Misalkan modal yang dipinjam Fulan adalah x

Modal yang dipinjam Eko adalah Rp5.000.000 – x

Bunga yang diperoleh Bahlul = Bunga dari Fulan + Bunga dari Eko

330.000 = 5% x + 7%( 5.000.000 – x) (kalikan 100)

33.000.000 = 5x + 7( 5.000.000 – x)

33.000.000 = 5x + 35.000.000 – 7x

7x – 5x = 35.000.000 – 33.000.000

2x = 2.000.000 ⇒ x = 1.000.000

Jadi, modal yang dipinjam Fulan adalah Rp1.000.000,00 dan dipinjam Eko adalah

Rp4.000.000,00.

b. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel, misal variabelnya x dan y

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

dengan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑐1, dan 𝑐2 adalah bilangan riil.

Cara menentukan Himpunan penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan

metode eliminasi, substitusi, atau campuran dari kedua metode tersebut.

Metode Eliminasi

Pernahkan kamu mendengar kata eliminasi ? ya pasti pernah..banyak acara –

acara pencarian bakat yang sering menggunakan kata eliminasi ketika ada

kontestan yang kalah atau harus pulang.

Eliminasi artinya menghilangkan atau melenyapkan. Hubungannya dengan

bahasan sekarang adalah kita akan mencari penyelesaian dari SPLDV dengan cara

menghilangkan salah satu dari dua variabel yang ada. Untuk lebih jelasnya

perhatikan contoh berikut

Contoh 3 : Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel

berikut

8

{𝑥 + 2𝑦 = 3

3𝑥 − 𝑦 = −5

Untuk mencari variabel 𝑦 berarti variabel 𝑥 yang dieliminasi. Untuk

mengeliminasi atau melenyapkan variabel 𝑥, maka koefisien 𝑥 disamakan

terlebih dahulu dengan cara mengalikan dengan suatu bilangan sedemikian

sehingga koefisien kedua persamaan tersebut sama.

Selanjutnya menghilangkan variabel 𝑦 untuk mencari variabel 𝑥

Jadi Himpunan Penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah {−1 , 2}

Metode Substitusi

Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan

variabel lainnya (kita nyatakan 𝑥 dalam 𝑦 atau sebaliknya)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari

Jawab

Misalkan yang akan disubstitusi atau diganti adalah variabel y pada persamaan

2), maka persamaan 1) dinyatakan dalam bentuk

Kemudian x = 3 disubstitusikan ke y = 5 – 3x

= 5 – 3(3)

9

= 5 – 9

= – 4 kita peroleh nilai y = – 4

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah { 3 , – 4)

Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari

Karena koefisien x sudah sama (yaitu 1) maka kita eliminasi x

Kemudian substitusikan y = 1 ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai x

x – y = -1

x – (1) = -1

x = -1 + 1

x = 0

jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah { 0 , 1}

c. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan

dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan

sistem persamaan linear 2 variabel

Bentuk umum SPL 3 Variabel

3333

2222

1111

dzcybxa

dycybxa

dzcybxa

a, b, c, adalah koefisien (pengali dari variabel) ; d adalah konstanta

a, b, c,dan d elemen bilangan Real

Menyelesaikan SPL 3 Variabel dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti SPL

2 Variabel yaitu Metode Eliminasi, Substitusi, dan Campuran keduanya. Dalam

10

modul ini kita akan menyelesaikan SPL 3 Variabel dengan metode campuran

Eliminasi dan Subtitusi

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear

2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga

diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

11

C. RANGKUMAN

1. Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat

terbuka pada matematika ciri kalimat terbuka adalah masih mengandung

variabel.

2. Persamaan linier adalah persamaan yang memiliki variabel dengan derajat satu

(pangkat satu) ( contoh x, y, z )

3. Langkah-langkah menyelesaikan persamaan linier satu variabel:

- Nilai persamaan akan tetap sama ketika ruas kiri dan kanan ditambah atau

dikurangi bilangan yang sama

- Nilai persamaan akan tetap sama ketika ruas kiri dan kanan dikali atau dibagi

dengan bilangan yang sama.

4. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dan tiga variabel dapat

dilakukan dengan cara:

- Metode eliminasi (menghilangkan)

- Metode Subsitusi (mengganti)

- Metode campuran (Eliminasi dan subsitusi)

D. LATIHAN

Pembahasan Persamaan Linier meliputi persamaan linier satu variabel, sistem

persamaan linier dua variabel, dan sistem persamaan linier tiga variabel telah

selesai.

Untuk mengetahui sejauhmana kamu menguasai modul ini, maka silahkan kerjakan

soal-soal berikut ini dan berikan jawaban yang tepat !

1. Dari beberapa kalimat di bawah ini yang merupakan sebuah pernyataan adalah...

A. Dia seorang artis terkenal

B. 18 dibagi suatu bilangan hasilnya adalah 2

C. 8 merupakan bilangan Ganjil

D. Beliau adalah Presiden pertama Indonesia

2. Yang merupakan contoh persamaan linier satu variabel adalah ....

A. 2x - 4y = 12z

B. 7x + 5y -6 = 0

C. 6z – 8 = 3z

D. 12x -24 > 6

3. Penyelesaian dari 5x - 3 = 6x +1 adalah ...

A. x = −2

11

B. x = 2

11

12

C. x = -4

D. x = 4

4. Monik membeli 2 buah pensil dan 1 buku dia harus membayar Rp15.000,00

sedangkan Intan membeli 1 pensil dan 2 buku dengan harga Rp.18.000,00. Berapakah

harga 4 pensil dan 5 buku?

A. Rp48.000,00

B. Rp51.000,00

C. Rp54.400,00

D. Rp60.600,00

5. Nilai x, y, dan z berturut-turut dari sistem persamaan linier berikut adalah

4236

19523

28452

zyx

zyx

zyx

A. {1, 2,4}

B. {2, 1, 4}

C. {1, 4, 2}

D. {4, 2, 1}

13

Kegiatan Belajar 2: Persamaan Kuadrat

A. TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta didik diharapkan dapat:

1. Memahami pengertian persamaan kuadrat

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

B. URAIAN MATERI

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 , a, b dan c adalah bilangan real, dengan a ≠ 0 (S.T. Negoro dan B. Harahap, 2003) Menyelesaikan Persamaan kuadrat Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan: a. memfaktorkan, b. menggunakan rumus, c. melengkapkan kuadrat sempurna.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan (Jadda S. , 2011)

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Perhatikanlah contoh penyelesaian berikut: Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0 (x ± x1)(x ± x2) = 0 dengan x1 × x2 = 3 dan x1 +x2 = -4 didapat x1 = -1 dan x2 = -3 (x – 1) (x – 3) = 0 x – 1 = 0 atau x – 3 = 0 x1 = 1 atau x2 = 3 Contoh 2 : Selesaikanlah x2 - 5x = 0 Jawab: x2 - 5x = 0 x(x – 5) = 0 x1 = 0 atau x2 = 5 Contoh 3 : Selesaikanlah x2 – 4 = 0 Jawab: x2 – 4 = 0

(x + 2)(x- 2) = 0 , angka 2 merupakan √4 x = -2 atau x = 2

14

Contoh 4 : Selesaikanlah 2x2 + 5x + 3 = 0 Jawab: 2x2 + 5x + 3 = 0 1

2(2𝑥 ± 𝑥1)(2𝑥 ± 𝑥2) = 0 , dengan x1 × x2 =2 x 3= 6 dan x1 +x2 = 5 didapat x1 =3 dan

x2 = 2 1

2(2𝑥 + 3)(2𝑥 + 2) = 0

(2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0 2x + 3 = 0 atau x – 1 = 0 2x = -3 atau x = 1

x = −3

2 atau x = 1

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , akar-akarnya dapat ditentkan dengan rumus :

𝑥1.2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh:

Selesaikanlah x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab:

x2 – 4 x + 3 = 0 a = 1, b = -4, c = 3

𝑥1.2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1.2 =−(−4) ± √(−4)2 − 4.1.3

2.1

𝑥1.2 =4 ± √16 − 12

2

𝑥1.2 =4 ± √4

2

𝑥1.2 =4 ± 2

2

𝑥1 =4−2

2 atau 𝑥2 =

4+2

2

𝑥1 = 1 atau 𝑥2 = 3

C. RANGKUMAN

1. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 , a, b dan c adalah bilangan real, dengan a ≠ 0

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0.

15

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. 3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus :

𝑥1.2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

D. LATIHAN

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: (Ferdiansyah, 2012)

1. x2 + 6x + 6 = 0 2. x2 + 2x + 1 = 0 3. 2x2 + 5x + 5 = 0 4. –2x2 – 2x – 1 = 0 5. 4c2 – 4c + 3 = 0

16

DAFTAR PUSTAKA

Prof. Dr. Bornok Sinaga, M. d. (2016). Matematika SMA/MAK/SMK/MAK Kelas x. Jakarta: Pusat

Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.

Ferdiansyah. (2012, Desember 2). Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan.

Dipetik 09 13, 2017, dari Ferdiansyah7fold's Blog:

https://fardiansyah7fold.wordpress.com/116-2/

Jadda, s. (2011, Desember 9). (persamaan kuadrat) penyelesaian cara ABC. Dipetik September

11, 2017, dari www.youtube.com:

https://www.youtube.com/watch?v=S6ey_Fdbye4&t=21s

Jadda, S. (2011, Desember 09). (persamaan kuadrat) penyelesaian cara memfaktorkan. Dipetik

September 11, 2017, dari www.youtube.com:

https://www.youtube.com/watch?v=oVwRv3gQD30&t=13s

S.T. Negoro dan B. Harahap. (2003). Ensklopedia Matematika. Ghalia Indonesia.

http://supermatematika.com/sistem-persamaan-linear-3-variabel

http://www.berpendidikan.com/2016/03/pengertian-dan-contoh-soal-persamaan-

linear-satu-variabel-plsv.html

http://www.teknokiper.com/2017/01/soal-dan-pembahasan-sistem-persamaan-linear-

satu-variabel.html

http://www.rumusmatematikadasar.com/2017/01/contoh-soal-dan-pembahasan-

sistem-persamaan-linear-dua-variabel.html

17

Kegiatan Belajar 2: Persamaan Kuadrat

A. TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta didik diharapkan dapat:

4. Memahami pengertian persamaan kuadrat

5. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

6. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

B. URAIAN MATERI

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 , a, b dan c adalah bilangan real, dengan a ≠ 0 (S.T. Negoro dan B. Harahap, 2003) Menyelesaikan Persamaan kuadrat Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan: a. memfaktorkan, b. menggunakan rumus, c. melengkapkan kuadrat sempurna.

3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan (Jadda S. , 2011)

ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Perhatikanlah contoh penyelesaian berikut: Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0 (x ± x1)(x ± x2) = 0 dengan x1 × x2 = 3 dan x1 +x2 = -4 didapat x1 = -1 dan x2 = -3 (x – 1) (x – 3) = 0 x – 1 = 0 atau x – 3 = 0 x1 = 1 atau x2 = 3 Contoh 2 : Selesaikanlah x2 - 5x = 0 Jawab: x2 - 5x = 0 x(x – 5) = 0 x1 = 0 atau x2 = 5 Contoh 3 : Selesaikanlah x2 – 4 = 0 Jawab: x2 – 4 = 0

(x + 2)(x- 2) = 0 , angka 2 merupakan √4 x = -2 atau x = 2

18

Contoh 4 : Selesaikanlah 2x2 + 5x + 3 = 0 Jawab: 2x2 + 5x + 3 = 0 1

2(2𝑥 ± 𝑥1)(2𝑥 ± 𝑥2) = 0 , dengan x1 × x2 =2 x 3= 6 dan x1 +x2 = 5 didapat x1 =3 dan

x2 = 2 1

2(2𝑥 + 3)(2𝑥 + 2) = 0

(2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0 2x + 3 = 0 atau x – 1 = 0 2x = -3 atau x = 1

x = −3

2 atau x = 1

4. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , akar-akarnya dapat ditentkan dengan rumus :

𝑥1.2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh:

Selesaikanlah x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab:

x2 – 4 x + 3 = 0 a = 1, b = -4, c = 3

𝑥1.2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1.2 =−(−4) ± √(−4)2 − 4.1.3

2.1

𝑥1.2 =4 ± √16 − 12

2

𝑥1.2 =4 ± √4

2

𝑥1.2 =4 ± 2

2

𝑥1 =4−2

2 atau 𝑥2 =

4+2

2

𝑥1 = 1 atau 𝑥2 = 3

C. RANGKUMAN

1. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 , a, b dan c adalah bilangan real, dengan a ≠ 0

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0.

19

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. 3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus :

𝑥1.2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

D. LATIHAN

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: (Ferdiansyah, 2012)

1. x2 + 6x + 6 = 0 2. x2 + 2x + 1 = 0 3. 2x2 + 5x + 5 = 0 4. –2x2 – 2x – 1 = 0 5. 4c2 – 4c + 3 = 0

20

Daftar Pustaka

Ferdiansyah. (2012, Desember 2). Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan.

Dipetik 09 13, 2017, dari Ferdiansyah7fold's Blog:

https://fardiansyah7fold.wordpress.com/116-2/

Jadda, s. (2011, Desember 9). (persamaan kuadrat) penyelesaian cara ABC. Dipetik September

11, 2017, dari www.youtube.com:

https://www.youtube.com/watch?v=S6ey_Fdbye4&t=21s

Jadda, S. (2011, Desember 09). (persamaan kuadrat) penyelesaian cara memfaktorkan. Dipetik

September 11, 2017, dari www.youtube.com:

https://www.youtube.com/watch?v=oVwRv3gQD30&t=13s

S.T. Negoro dan B. Harahap. (2003). Ensklopedia Matematika. Ghalia Indonesia.