1. bab i (himpunan)

BAB 1( Teori Himpunan )

Farid S Nurdin, S.Kom, M.Stat

[email protected]

Program Studi Pendidikan MatematikaUniversitas Langlangbuana

BANDUNG

Farid S Nurdin, S.Kom, M.Stat BAB 1 ( Teori Himpunan )

Pengertian HimpunanKaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

Lambang dalam Teori Himpunan

1. Penyajian Himpunan2. Himpunan Universal dan Kosong3. Operasi Himpunan

DefinitionHimpunan, Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek( Dumairy, 1983 )

DefinitionHimpunan, Kumpulan obyek, dimana obyek itu dinamakan unsuratau elemen ataupun anggota himpunan ( Nababan, 1989 )

DefinitionHimpunan, Kumpulan semua obyek yang mungkin yang bersifattertentu menurut aturan yang telah ditetapkan ( Herrhyanto, 2009 )





DefinitionCara Daftar, dengan mencantumkan seluruh elemen obyek yangmenjadi anggota suatu himpunan

Example

A = {1, 2, 3, 4, 5} berarti himpunan A beranggotakanbilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.





DefinitionCara kaidah, dengan menyebutkan karakteristik tertentu dariobyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Example

A = {x | 1 ≤ x ≤ 5} berarti himpunan A beranggotakan obyek x ,yang harganya paling sedikit sama dengan satu dan paling banyaksama dengan lima.





DefinitionHimpunan Universal, setiap himpunan tertentu dianggap terdiridari beberapa himpunan bagian yang masing-masing mempunyaianggota dan dinotasikan ∪. ( Dumairy, 1983 )

DefinitionHimpunan Kosong, himpunan yang tidak mempunyai satuanggotapun, biasanya dilambangkan dengan notasi {} atau Ø.( Dumairy, 1983 )





DefinitionGabungan ( Union ), himpunan yang beranggotakan obyek-obyekmilik A atau obyek-obyek milik B , dinotasikan (∪)

A ∪ B = {x | xεA atau xεB}

Gabungan ( A U B )





DefinitionIrisan ( Intersection ), himpunan yang beranggotakanobyek-obyek yang dimiliki oleh A dan B , dinotasikan (∩)

A ∩ B = {x | xεA dan xεB}

Irisan





DefinitionSelisih, himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yangbukan obyek milik B , dinotasikan A− B

A− B = A | B = {x | xεA tetapi x /∈ B}

Selisih ( A – B = A|B )





DefinitionPelengkap ( Complement ), selisih antara himpunan universal Udan himpunan A, dinotasikan A atau Ac

A = {x | xεU atau x /∈ A} = U − A

Pelengkap / complement ( Ā )




Kaidah Identitas a.  A U Ø = A b. A ∩ U = U c. A ∩ Ø = Ø

Kaidah Komplemen a. A U Ac = U b.(Ac)c =A c. A ∩ Ac = Ø d. Uc = Ø, Øc = U

Kaidah De Morgan a.  ( A U B )c = Ac ∩ Bc b. ( A ∩ B )c = Ac U Bc




Lambang dalam Teori Himpunan dan ArtinyaNo Lambang Arti1 ε anggota ( element )2 ⊂ himpunan bagian ( subset )3 ∪ gabungan ( union )4 ∩ irisan ( intersection )5 - selisih6 A atau Ac pelengkap A7 U atau S himpunan universal8 Ø atau {} himpunan kosong


Kasus 1Kasus 2Kasus 3Kasus 4Kasus 5

Solusi

Example

Jika U = {x | −2 < x ≤ 7} ,V = {x | 0 < x < 7} , x bilanganbulat dan W = {3, 4, 5, 8} maka tentukan :

1 U ∪ V2 U ∪W3 V ∪W4 U ∩ V5 V ∩W6 U ∩W7 (U ∪ V ) ∪W8 (U ∩ V ) ∩W



Solusi

Diketahui :U = {x | −2 < x ≤ 7} = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Bilangan BulatV = {x | 0 < x < 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Bilangan BulatW = {3, 4, 5, 8}Maka :

1 U ∪ V = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}2 U ∪W = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}3 V ∪W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}4 U ∩ V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }5 V ∩W = {3, 4, 5}6 U ∩W = {3, 4, 5}7

(U ∪ V ) ∪W = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {3, 4, 5}= {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

8 (U ∩ V ) ∩W = {1, 2, 3 . . . 6} ∩ {3, 4, 5, 8} = {3, 4, 5}



Solusi

Diketahui :U = {x | −2 < x ≤ 7} = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Bilangan BulatV = {x | 0 < x < 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Bilangan BulatW = {3, 4, 5, 8}Maka :

1 U ∪ V = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}2 U ∪W = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}3 V ∪W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}4 U ∩ V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }5 V ∩W = {3, 4, 5}6 U ∩W = {3, 4, 5}7

(U ∪ V ) ∪W = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {3, 4, 5}= {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

8 (U ∩ V ) ∩W = {1, 2, 3 . . . 6} ∩ {3, 4, 5, 8} = {3, 4, 5}Farid S Nurdin, S.Kom, M.Stat BAB 1 ( Teori Himpunan )


Solusi

Example

Ak ={

x : 1(k+1) ≤ x ≤ 1

}, k = 1, 2, 3, . . . Tentukan

A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . ?



Solusi

Untuk k = 1, maka A1 ={x : 1

2 ≤ x ≤ 1}


3 ≤ x ≤ 1}


4 ≤ x ≤ 1}

Untuk k =∞, maka limk→∞

Ak =

limk→∞

{x | 1

(k+1) ≤ x ≤ 1}= {x | 0 < x ≤ 1}

Jadi A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . .= {x | 0 < x ≤ 1}



Solusi

Example

Misalkan himpunan semesta U = {1, 2, 3 . . . 6}, A = {2, 4, 6},B = {3, 4, 5}, dan C = {1, 5}Tentukan anggota dari himpunan - himpunan berikut.

1 (A ∪ C ) ∩ B2 (A ∩ B) ∪ C3 (A ∩ B)c

4 Ac ∪ Bc

5 [(A ∩ B)c ∪ C ]c



Solusi

Diketahui :U = {1, 2, 3 . . . 6},A = {2, 4, 6},B = {3, 4, 5},C = {1, 5}

1 (A ∪ C ) ∩ B = {1, 2, 3 . . . 6} ∩ {3, 4, 5} = {4, 5}2 (A ∩ B) ∪ C = {4} ∪ {1, 5} = {1, 4, 5}3 (A ∩ B)c = {4}c = {1, 2, 3, 5, 6}4 Ac ∪ Bc = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 6} = {1, 2, 3, 5, 6}5

[(A ∩ B)c ∪ C ]c = [{1, 2, 3, 5, 6} ∪ {1, 5}]c = {1, 2, 3, 5, 6}c

= {4}



Solusi

ExampleDalam sebuah kelompok terdapat 40 anak. Setelah diadakanpendataan kegemaran minuman yang diminum setiap pagi, terdapat32 anak gemar minum susu, 25 anak gemar minum teh, dan yanggemar kedua-duanya x anak.

1 Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas2 Berapa anak yang gemar kedua-duanya ?



Solusi

x Susu 32 -x

Teh 25 - x

U

32− x + x + 25− x = 4032+ 25− x + x = 40

57− x = 40x = 57− 40x = 17

Jadi, yang gemar kedua-duanya 17 anak



Solusi

x Susu 32 -x

Teh 25 - x

U

32− x + x + 25− x = 4032+ 25− x + x = 40

57− x = 40x = 57− 40x = 17

Jadi, yang gemar kedua-duanya 17 anakFarid S Nurdin, S.Kom, M.Stat BAB 1 ( Teori Himpunan )


Solusi

ExampleDalam suatu kelas terdapat 35 anak gemar IPA, 30 anak gemarIPS, dan 25 anak gemar kedua - duanya.

1 Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas2 Berapa banyak anak dalam kelas itu



Solusi

25 IPA 10

IPS 5

U

Gemar IPA dan IPS = 25 anakGemar IPA = 35 - 25 = 10 anakGemar IPS = 20 - 25 = 5 anakBanyak anak dalam kelas = 10 + 25 + 5 = 40 anak


Tugas !!!!!!Nomor 1Nomor 2Nomor 3

.Misalkan himpunan semesta U = {x | 0 ≤ x ≤ 2}. JikaA =

{x | 1

2 < x ≤ 1}dan B =

{x | 1

4 ≤ x < 32

}, maka tentukan

anggota dari himpunan - himpunan berikut ini :

1 A ∪ B2 A ∩ B3 (A ∪ B)c



.Dari survei pada suatu asrama yang dihuni 50 orang mahasiswadiperoleh data berikut : 30 orang mahasiswa dapat menguasaibahasa inggris, 25 orang dapat menguasai bahasa jerman, dan 10orang menguasai bahasa jerman dan inggris. Berapa orangkah yangtidak menguasai bahasa inggris dan bahasa jerman, kemudiangambarkanlah diagram venn-nya .



.Diketahui : U = {1, 2, . . . 6}, A = {2, 4, 6}, B = {3, 4, 5}, dan{1, 5}. Buktikan : (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc


1. bab i (himpunan)

Documents