03 transformasi laplace
TRANSCRIPT
BAB III
TRANSFORMASI LAPLACE
1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:
L {F(t)} = = f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( )
maka
L{F(t)} =
=
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk
beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t),
G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf
kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan
seterusya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi
Laplace f(s) ada untuk setiap s >
III - 1
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa
fungsi sederhana.
Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1 s > 0
2. T s > 0
3. t, s > 0
4. t
n = 0,1,2,3,….
, s > 0
5. e
s > 0
6. sin at s > 0
7. cos at s > 0
8. sinh at s >
9. cosh ats >
Contoh
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
=
III - 2
=
=
=
=
2. F(t) = t
L{F(t)} = t dt
=
=
=
=
= o
=
3. F(t) = e
L{F(t)} =
=
=
III - 3
=
=
4. F(t) = sin at
L{F(t)} =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5. F(t) = cos at
L{F(t)} =
III - 4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi
Laplace-ny f(s) ada untuk semua s > .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah
CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi
transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak
dipenuhi.
III - 5
3. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya
adalah
1) Sifat linear
Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan F dan F adalah
fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing
dan , maka:
L{c +c } = c + c
Bukti:
L{c +c } =
=
=
=
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
=
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
III - 6
= 6
=
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-
fungsi berikut ini.
a. F(t) = 2t2 e-t
b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t
c. F(t) = (sin t – cos t)2
d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
e. F(t) = (2t + 2)3
f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a)
Bukti
Karena L{F(t)} = = f(s), maka
L{e =
=
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s)
2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a)
3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
III - 7
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) = maka
L{G(t)} = e
Bukti
L{G(t)} =
=
=
=
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
=
= e
= e
4. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
Karena L{F(t)} = maka
L{F(at)} =
Misal u = at, du = a dt atau dt =
Sehinga L{F(at)} =
III - 8
=
=
=
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = = f(s), maka
L{F’(t)} =
=
=
= -F(0) + s F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s
Bukti
L{F”(t)} =
=
= e
III - 9
=
=
= s
Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{F(t)} = f(s) maka
L{F = s
6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
7. Perkalian dengan t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t = (-1) = (-1)f
Bukti.
Karena f(s) = maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
= f’(s) =
=
=
= -
= -L{tF(t)}
III - 10
Jadi L{tF(t)} = -
8. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
Bukti:
Misal G(t) = maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian,
maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - atau
f(s) = - .
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) = - .
g(s) = -
=
Jadi L
III - 11