01. modul - konsep dasar integral

KONSEP DASAR INTEGRAL

INTEGRAL TAK TENTU Oleh :

Saptana Surahmat

Perhatikan benda-benda berikut :

Tahukah anda bagaimana menentukan besar daya tampung (volume) benda-benda di atas ?

Untuk benda paling kiri, karena berbentuk silinder, maka volumenya dapat ditentukan dengan mudah, yaitu dengan menggunakan rumus volume = luas alas tinggi. Namun untuk benda berikutnya, penentuan volumenya tidak lagi semudah itu. Diperlukan konsep matematika yang lebih jauh, yakni dengan menggunakan integral. Inilah salah satu penggunaan integral dalam kehidupan sehari-hari.

Integral merupakan salah satu kajian dalam kalkulus yang merupakan cabang dari Matematika. Konsep ini merupakan kelanjutan dari yang sebelumnya telah dipelajari, yakni turunan. Dalam uraian selanjutnya, pembahasan integral dipecah ke dalam dua bagian, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu merupakan konsep dasar yang akan melandasi penyelesaian masalah-masalah dalam integral tertentu.

A. Pengertian Integral

Perhatikan ilustrasi berikut :

Jika saya mengenakan sepatu, kemudian saya melepasnya lagi.

Pada ilustrasi tersebut, operasi yang kedua (melepas sepatu) menghapuskan operasi yang pertama (mengenakan sepatu) sehingga mengembalikan sepatu pada posisinya yang semula. Kita katakan dua operasi tersebut adalah operasi balikan (invers). Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan : penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, penarikan logaritma dan penghitungan logaritma, serta operasi yang sekarang akan dipelajari, yakni pengintegralan sebagai balikan dari penurunan.

Pada pembahasan tentang turunan, jika suatu fungsi F(x) = x2, maka turunan dari fungsi tersebut adalah F(x) = 2x. Sebaliknya, jika diketahui turunan suatu fungsi adalah f(x) = 2x, maka dapat ditebak bahwa fungsi asalnya adalah F(x) = x2. Namun apakah F(x) = x2 adalah satu-satunya fungsi yang memiliki turunan f(x) = 2x ?

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 1


Perhatikan contoh-contoh berikut :

F(x) = x2 F (x) = 2x

F(x) = x2 + 5 F (x) = 2x

F(x) = x2 + 12 F (x) = 2x

F(x) = x2 9 F (x) = 2x

F(x) = x2 +3 F (x) = 2x

Tampak bahwa F (x) = 2x menentukan lebih dari satu F(x).

Jadi jika ditentukan turunan suatu fungsi pada sebarang x adalah f(x) = 2x, maka persamaan fungsi asalnya belum tertentu; salah satu persamaan asalnya yang mungkin adalah F(x) = x2, kemungkinan lain masih banyak.

Karena persoalan sekarang adalah mencari suatu fungsi yang ditentukan turunannya, maka kita perlu memberikan nama kepada fungsi F yang turunannya f. Untuk itu perlu dipahami terlebih dahulu definisi antiturunan.

Definisi 1 : Antiturunan suatu fungsi

Antiturunan atau antiderivatif dari fungsi f ialah F yang bersifat bahwa F = f.

Berdasarkan definisi di atas, jika f adalah fungsi dengan variable x, maka yang disebut anti-turunan (antiderivatif) dari f(x) adalah F(x) yang bersifat bahwa F(x) = f(x).

Proses penentuan antiturunan suatu fungsi atau proses penentuan f(x) dari f(x) disebut pengintegralan atau integrasi. Hasil pengintegralan suatu fungsi lazim disebut integral fungsi itu.

Kembali kepada contoh yang telah disinggung dimuka, F(x) = x2 adalah antiturunan f(x) = 2x karena F(x) = f(x) = 2x dan hal ini sesuai dengan definisi di atas. Namun F(x) = x2 bukanlah satu-satunya antiturunan dari f(x) = 2x. Masih terdapat yang lainnya.

Secara umum, antiturunan dari f(x) dinyatakan melalui teorema berikut :

Teorema 1 : Bentuk umum antiturunan

Jika F(x) merupakan suatu antiturunan dari f(x), maka bentuk umum antiturunan atau bentuk umum integral f(x) adalah F(x) + c dengan ketentuan bahwa c adalah konstanta sebarang.

Bentuk umum antiturunan dari f(x) dinyatakan dengan :

( )f x dx = F(x) + c

Bentuk ( )f x dx disebut juga integral tak tentu dari f(x).

Contoh 1.

a. 2 2dx x c= +

b. 2 33x dx x c= +

c. 2 3 21 3( 3 5) 53 2

x x dx x x x c+ = + +



B. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Untuk menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan integral tak tentu dari suatu fungsi aljabar, landasan bepikirnya dapat mengacu pada dalil atau teorema berikut :

Teorema 2 : Aturan Pangkat

Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

1

1

nn xx dx c

n

+

= ++

Teorema 3 : Kelinearan integral tak tentu

Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (Integral Tak Tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka :

1) ( ) ( )kf x dx k f x dx=

2) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +

3) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

Contoh 2.

Tentukan hasil dari :

a. 6dx c. 410x dx

b. 3x dx d. 46 dx

x

Penyelesaian :

a. 0 0 0 116 6 6 6 60 1

dx x dx x dx x c x c+

= = = + = + +

b. 3 3 1 41 13 1 4

x dx x c x c+= + = ++

c. 4 4 5 5110 10 10 25

x dx x dx x c x c

= = + = +

d. 4 4 3 34 36 1 26 6 6 2

3dx x dx x dx x c x c c

x x = = = + = + = +

Contoh 3.

Tentukan hasil pengintegralan berikut :

a. 3(4 4 )x dx b. 4

21x dx

x

+ c. 53

dx

x



Penyelesaian :

a. 3 3 4 41(4 4 ) 4 4 4 4 44

x dx dx x dx x x c x x c

= = + = +

b. ( )4 4

2 2 3 1 32 2 2

1 1 1 1 1 13 1 3

x xdx dx x x dx x x c x cxx x x

+ = + = + = + + = +

c. 5 32 2

5 32 2

35 32

1 1 1 1 1 2 1 23 3 3 33 93

dx dx x dx x c c cx xx x

= = = + = + = +

C. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Secara umum, konsep dasar pengintegrasian fungsi trigonometri tidak berbeda dengan pengintegrasian fungsi aljabar. Dalam arti, untuk menentukan integral dari fungsi dasar trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan definisi antiturunan. Untuk itu, perhatikan hubungan fungsi asal dan turunannya sbb. :

f(x) = sin x f (x) = cos x

Dari hubungan di atas, dengan menggunakan teorema tentang bentuk umum antiturunan, diperoleh antiturunan (integral tak tentu) dari fungsi cos x adalah :

1. cos sinx dx x c= +

Dengan cara yang sama, integral tak tentu dari beberapa fungsi trigonometri dapat juga ditentukan, antara lain :

2. sin cosx dx x c= + 3. 2sec tanx dx x c= +

4. 1cos( ) sin( )ax b dx ax b ca

+ = + +

5. 1sin( ) cos( )ax b dx ax b ca

+ = + +

Berbeda dengan fungsi aljabar, dalam mengintegralkan fungsi trigonometri, tidak jarang perlu dilakukan penyederhanaan atau penguraian fungsi dengan menggunakan rumus-rumus identitas yang berlaku dalam trigonometri. Beberapa rumus-rumus identitas trigonometri yang sering digunakan, antara lain :

1. sin2x + cos2x = 1 4. 1sin cos sin22

x x x=

2. 2 1sin (1 cos2 )2

x x= 5. 2 11 cos 2sin2

x x =

3. 2 1cos (1 cos2 )2

x x= + 6. 2 11 cos 2cos2

x x+ =

Contoh 4. Tentukan hasil dari 4 sin x dx !

Penyelesaian :

4sin 4 sin 4( cos ) 4cosx dx x dx x c x c= = + = +



Contoh 5. Tentukan hasil dari (1 2cos )x dx !

Penyelesaian :

(1 2cos ) 1 2 cos 2sinx dx dx x dx x x c = = +

Contoh 6. Tentukan hasil dari 2(1 2sin )x dx !

Penyelesaian :

2 1(1 2sin ) cos2 sin22

x dx x dx x c = = +

Contoh 7. Tentukan hasil dari 2sin x dx !

Penyelesaian :

2 1 1 1 1 1 1 1 1sin (1 cos2 ) cos2 sin2 sin22 2 2 2 2 2 2 4

x dx x dx dx x dx x x c x x c= = = + = +

D. Penggunaan Integral Tak Tentu

Penggunaan integral tak tentu dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung kurva, kecepatan, jarak, dan waktu.

Contoh 8.

Gradien garis singgung di sembarang titik pada kurva dinyatakan dengan rumus m = 3x + 4. Jika kurva melalui titik (2, 3), tentukan bentuk persamaan kurva tersebut !

Penyelesaian :

Dalam pembahasan tentang turunan telah disinggung bahwa gradien garis singgung di setiap titik pada kurva dapat ditentukan dengan menggunakan rumus m = f (x) dengan m menyatakan gradien garis singgung kurva dan f (x) merupakan turunan dari fungsi f(x).

m = 3x + 4 f(x) = 3x + 4.

Misalkan F(x) adalah persamaan kurva, maka dapat ditentukan :

23( ) '( ) (3 4) 42

F x f x dx x dx x x c= = + = + +

Karena kurva melalui titik (2, 3), maka diperoleh :

23(3) (2) 4(2) 32

F c= + + =

6 + 8 + c = 3

c = -11

Berdasarkan hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa bentuk persamaan kurva yang dicari adalah:

23( ) 4 112

F x x x= +



Contoh 9.

Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan percepatan yang dinyatakan dalam bentuk persamaan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatan pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan molekul tersebut !

Penyelesaian :

Persamaan percepatan molekul a(t) = -12t +24. Berdasarkan persamaan ini, kecepatan dapat ditentukan, yaitu :

2( 12 24) 6 24v a dt t dt t t c= = + = + +

Karena pada t = 0, besar kecepatan vo = 20 m/detik, maka diperoleh :

20 = -6(0)2 + 24(0) + c

c = 20.

Jadi, persamaan kecepatan molekul adalah v = -6t2 + 24t + 20.



Soal Latihan

1. Tentukan hasil dari :

a. 312

x dx d. 2(2 3)x dx

b. 3

14

dxx

e. 2 3 1x dx

c. ( )x x dx+ f. 2

4( 2)x dx

x

2. Tentukan hasil integral berikut :

a. ( 2 cos )x x dx + c. sin2cos

x dxx

b. 21 sin

2cosx dx

x

d. 21 cos2

2sinx dx

x

c. 2cos(4 3)x dx

3. Tentukan persamaan kurva yang memenuhi syarat di bawah ini di setiap titik (x, y)

a. dydx

= 4x + 3 dan kurva melalui titik (1, 5)

b. dydx

= 3x2 3x dan kurva melalui titik (2, -1)

c. 11dy

dx x= dan kurva melalui titik (4, 3)

d. sin2dy xdx

= dan kurva melalui titik ( 16 , 2)

4. Gradien garis singgung sebuah kurva pada setiap titik dinyatakan oleh dydx

= 3x2 6x + 1.

Kurva melalui titik (2, -3). Tentukan persamaan kurva tersebut.

5. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v m/det, pada saat t detik ditentukan oleh rumus

v = 6 4t. Diketahui v = dydx

, s adalah panjang lintasan dalam meter, dan untuk t = 0 detik,

maka s = 0 meter. Tentukan rumus s pada saat t dan panjang lintasan pada saat t = 2 !

6. Anggaplah rem dari sebuah mobil dapat memberikan perlambatan yang konstan sebesar sebesar k m/det2. Tentukan k yang dapat menghentikan mobil pada saat 100 detik, apabila mobil itu bergerak dengan kecepatan 88 m/det dan untuk k yang serupa, tentukan jarak yang telah ditempuh mobil hingga berhenti setelah mobil tersebut direm, saat itu berkecepatan 44 m/det !


01. modul - konsep dasar integral

Documents