8/26/2013

1

1 Metode Energi

K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1

S E M E S T E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4

Topik

Aplikasi Metode Energiuntuk Perhitungan Deformasi Struktur

Pengantar Kerja Gaya Luar

Energi Regangan

Prinsip Kekekalan Energi

Perhitungan Perpindahan Menggunakan Prinsip Kekekalan

untuk Perhitungan Deformasi Struktur

g p gg pEnergi

Teorema Castigliano

Prinsip Kerja Maya / Metode Beban Satuan

8/26/2013

2

Kerja Gaya Luar

Kerja yang dilakukan oleh gaya F:

Kerja yang dilakukan oleh momen M:

0

x

W Fdx

0

W Md

Kerja Gaya Luar

F

L L + 1

1 2W P

P1

P1 + P2

2 2

1

2W P

F

1

P12

P2

P1

1 1

1

2W P

1 1 + 2

x

8/26/2013

3

Energi Regangan

xdF dydzdy

x

xd dx

1 1

2 2 x xdU dFd dydz dx

dx dz

dy x

Energi regangan = kerja yang dilakukan oleh gaya dalam

2

1

2

2 2

x x

V V

dV

U dV dVE

Energi Regangan Gaya Aksial

Tegangan akibat gaya aksial: N

A

Energi regangan:

Jika gaya aksial N konstan di sepanjang batang, ti d t kt k b t

2 2

202 2

L

N

V

N NU dV dx

EA EA

seperti pada struktur rangka batang:2

2N

N LU

EA

8/26/2013

4

Energi Regangan Momen Lentur

Tegangan akibat momen lentur: My

I

Energi regangan:

2 22

2 20

2

2 2

L

M

V A

L

My MU dAdx y dA dx

EI EI

M

2

0 2

L Mdx

EI

Energi Regangan Gaya Dalam Lainnya

Gaya Geser, V: K = faktor penampang:

2

2

L

V

KVU dx

GA K faktor penampang:

1.2 untuk penampang segiempat

10/9 untuk penampang lingkaran

G = modulus geser

Av = luas bidang geser (shear area)

0

2

0

2

2

L

v

GA

Vdx

GA

2

2 2A

A QK dA

I t

Torsi, T: J = momen inersia polar

2

2T

T LU

GJ

8/26/2013

5

Prinsip Kekekalan Energi

“Kerja yang dilakukan gaya luar = energi regangan”

W = U

Contoh 1

Tentukan besarnya perpindahan vertikal di ujungbalok kantilever akibat beban P seperti tergambar.balok kantilever akibat beban P seperti tergambar.

G k h i kib t

E, I, L

P

Gunakan hanya energi regangan akibat momenlentur, abaikan energi regangan lainnya.

8/26/2013

6

Contoh 1

Kerja gaya luar:

P

2

PW

Momen lentur:

2

M Px

x

VMP

Energi regangan:2 2 2 2 3

0 02 2 6

L LM P x P LU dx dx

EI EI EI

Contoh 1

Gunakan prinsip kekekalan energi untukmenentukan perpindahan :menentukan perpindahan :

2 3

3

2 6

W U

P P L

EI

PL

3

PL

EI

8/26/2013

7

Contoh 2

Tinjau kembali struktur pada Contoh 1.

Diketahui balok terbuat dari baja (E = 200 GPa Diketahui balok terbuat dari baja (E = 200 GPa, G = 77 GPa), P = 20 kN, L = 2 m, dan penampang balok berupa segi empat dengan lebar 200 mm dan tinggi 300 mm.

Tentukan besarnya energi regangan akibat seluruh gaya-gaya dalam yang dialami struktur.g y g y y g

Contoh 2

Pada balok terdapat gaya dalam berupa gaya geser dan momen lentur:

Pdan momen lentur:

Energi regangan:–

+V

M

M Px

V P

M VU U U 2 2

0 02 2

M V

L LM KVdx dx

EI GA

8/26/2013

8

Contoh 2

Energi regangan akibat momen lentur: 2 32 3 20000 2P L

Energi regangan akibat gaya geser:

9 4

20000 2

6 6 200 10 4.5 10

5.93 N-m 5.93 J

M

P LU

EI

22 1.2 20000 20 104 J

KP LU

Energi regangan: 9

0.104 J2 2 77 10 0.06

VUGA

6.03 JM VU U U

Contoh 3

Tentukan putaran di ujung C pada struktur balokyang dikenai momen M0 seperti tergambar.yang dikenai momen M0 seperti tergambar.

G k h i kib t

3 m 1 m

M0A B CEI

Gunakan hanya energi regangan akibat momenlentur, abaikan energi regangan lainnya.

8/26/2013

9

Contoh 3

Momen lentur: M0A B C

Kerja gaya luar:

3 m 1 m

–M00

3

M xM

0

2

MW

3 12 2 2M x M Energi regangan: 0 0

0 0

2 2 20 0 0

18 2

2 2

M x MU dx dx

EI EI

M M M

EI EI EI

Contoh 3

Gunakan prinsip kekekalan energi untukmenentukan putaran :menentukan putaran :

20 0

22

W U

M M

EIM

02M

EI

8/26/2013

10

Contoh 4

Tentukan perpindahan horizontal titik C akibatbeban P yang bekerja pada struktur rangka batangbeban P yang bekerja pada struktur rangka batangseperti tergambar.

PB C

3 m

A D

4 m

Contoh 4

Kerja gaya luar:2

PW

Gaya-gaya batang:

PP

P

0

0.7

5P

Energi regangan:2

2

N LU

EA

8/26/2013

11

Contoh 4

Batang L [m] E A N U = N2L/2EA

AB 3 E A 0.75P 0.844P2/EAAB 3 E A 0.75P 0.844P /EA

AD 4 E A P 2P2/EA

BC 4 E A P 2P2/EA

BD 5 E A –1.25P 3.906P2/EA

CD 3 E A 0 0

8.75P2/EA

2W U

28.75

217.5

P P

EAP

EA

Keterbatasan

Hanya dapat menghitung perpindahan akibat satubeban terpusat P atau M.beban terpusat P atau M.

Hanya dapat menghitung perpindahan di lokasibeban terpusat, dan dalam arah yang samadengan beban tersebut.

Untuk kasus yang lebih umum, dapat digunakanTeorema Castigliano dan prinsip kerja mayag p p j y(principle of virtual work).

8/26/2013

12

Teorema CastiglianoAlberto Castigliano (1879)

Perpindahan di suatu titik sama denganturunan energi regangan terhadap Uturunan energi regangan terhadapsuatu gaya dengan arah yang sama yang bekerja di titik tersebut.

Putaran di suatu titik sama denganturunan energi regangan terhadap

ii

U

P

U g g g p

suatu momen kopel dengan arah yang sama yang bekerja di titik tersebut.

iiM

Teorema Castigliano

Untuk struktur rangka batang

2

2

22

N LU

EA

U L NN

P EA P

NL N

EA P

8/26/2013

13

Teorema Castigliano

Untuk elemen balok (akibat momen lentur):

2

0

0

2

L

L

MU dx

EI

U M Mdx

P EI P

0

0 00

LU M Mdx

M EI M

Contoh 5

Gunakan teorema Castigliano untuk menentukanperpindahan di ujung balok kantilever akibat bebanperpindahan di ujung balok kantilever akibat bebanP seperti pada Contoh 1.

E, I, L

P

8/26/2013

14

Contoh 5

Momen lentur: M Px VMP

Perpindahan:

Mx

P

x

3L L Px xM M PL

0 0 3

Px xM M PLdx dx

EI P EI EI

Contoh 6

Gunakan teorema Castigliano untuk menentukanperpindahan dan putaran di ujung B pada strukturperpindahan dan putaran di ujung B pada strukturbalok kantilever seperti tergambar.

Diketahui E = 200 GPa dan I = 500 × 106 mm4.

12 kN/m

5 m

BA E, I

8/26/2013

15

Contoh 6

Momen lentur:26M x Px

M

VMP

Perpindahan di B:

Mx

P

x

20 6P M x

25 6 1875L x xM Md d

0 0

6 6

2

18750.009375 m 9.375 mm

2 200 10 500 10

B dx dxEI P EI EI

Contoh 6

Momen lentur:2

06M x M

M

VM

Mo

Putaran di B:

0

1M

M

x

20 0 6M M x

25 6 1 250L xM Md d

00 0

6 6

250

2500.0025 rad CW

200 10 500 10

B

M Mdx dx

EI M EI EI

8/26/2013

16

Contoh 7

Tentukan besarnya perpindahan horizontal titik Cpada struktur rangka batang seperti tergambar.p g g p g

10 kN

A

B C

D

4

3 m

5 kN

Diketahui semua batang memiliki modulus elastisitas E dan luas penampang A yang sama.

4 m

Contoh 7

Batang L [m] E A NU

P

N

P

AB 3 E A 3.75 + 0.75P 0.75 25.3125/EA

AD 4 E A 5 + P 1 60/EA

BC 4 E A P 1 40/EA

BD 5 E A –6.25 – 1.25P –1.25 117.1875/EA

P P

CD 3 E A 0 0 0

242.5/EA

Beban horizontal 10 kN di Cdihitung sebagai P.

Nilai P = 10 kN sudahdimasukkan.

C

8/26/2013

17

Teorema Castigliano: Prosedur Analisis (1)

Pasang gaya P di titik yang akan ditentukanperpindahannya.perpindahannya. Arah gaya P dianggap sama dengan arah perpindahan yang

akan dicari.

Jika yang akan ditentukan adalah putaran, pasang momen Mdi titik tersebut.

Apabila telah terdapat gaya atau momen pada arahyang sama di titik yang ditinjau anggap nilainyayang sama di titik yang ditinjau, anggap nilainyasebesar P atau M dahulu, jangan masukkan nilainumeriknya.

Teorema Castigliano: Prosedur Analisis (2)

Hitung gaya aksial batang (untuk struktur rangkabatang) atau momen lentur (untuk struktur balokbatang) atau momen lentur (untuk struktur balokdan portal) akibat seluruh beban yang bekerjatermasuk P atau M tadi.

Hitung turunan dari gaya batang atau momen lenturterhadap P atau M.

Masukkan nilai numerik beban P atau M.

Integrasikan dan/atau jumlahkan turunan Uterhadap P atau M untuk memperoleh nilaiperpindahan atau putaran.

8/26/2013

18

Metode Beban Satuan (Unit Load Method)

Dari contoh-contoh perhitungan menggunakanTeorema Castigliano, dapat dilihat bahwa nilaiTeorema Castigliano, dapat dilihat bahwa nilai∂N/∂P atau ∂M/∂P sama dengan nilai gaya batangatau momen lentur akibat beban P sebesar 1 satuan.

Demikian pula dengan ∂M/∂M0, dapat diperolehdengan memasang momen M0 sebesar 1 satuan.

Oleh karena itu, deformasi dapat dihitung dengan, p g g

0

L Mmdx

EI NnL

EA

Metode Beban Satuan (Unit Load Method)

N = gaya-gaya batang akibat beban yang bekerjapada strukturpada struktur

n = gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan di titikyang akan dihitung perpindahannya

M = momen lentur akibat beban yang bekerja padastruktur

m = momen lentur akibat beban 1 satuan di titikm momen lentur akibat beban 1 satuan di titikyang akan dihitung perpindahannya

8/26/2013

19

Metode Beban Satuan (Unit Load Method)

Untuk deformasi akibat geser dan torsi: L

V = gaya geser akibat beban yang bekerja pada struktur

v = gaya geser akibat beban 1 satuan di titik yang akandihitung perpindahannya

0

L

s

KVvdx

GA t

TtL

GJ

g p p y

T = gaya dalam torsi akibat beban yang bekerja padastruktur

t = gaya dalam torsi akibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitung perpindahannya

Prinsip Kerja VirtualJohann Bernoulli (1717)

Metode beban satuan awalnya diturunkan dariprinsip kerja virtual.prinsip kerja virtual.

Misalkan suatu struktur diberi beban P sebesar 1 satuan di titik A (yang akan ditentukanperpindahannya). Akibatnya, akan timbul gayadalam m atau n.

Setelah itu baru diterapkan beban-beban yang p y gsebenarnya bekerja pada struktur. Akibatnya, titik Aakan berpindah sejauh .

8/26/2013

20

Prinsip Kerja Virtual

Kerja yang dilakukan oleh beban virtual 1 satuanadalah W = 1 × = .adalah W 1 × .

Kerja yang dilakukan oleh gaya dalam n adalah u = nδ, sedangkan kerja yang dilakukan oleh gaya dalamm adalah u = m.

Sesuai dengan prinsip kekekalan energi, kerja Wharus sama dengan total kerja yang dilakukan olehg j y ggaya-gaya dalam.

Metode Beban Satuan via Prinsip Kerja Virtual

Untuk struktur rangka batang

NL nNLu n

EA EAW U n

nNL

N

EA

8/26/2013

21

Metode Beban Satuan via Prinsip Kerja Virtual

Untuk struktur balok dan portal

0 0

L L

L

M mMdx u m dx

EI EI

W U

mM

0

mMdx

EI

Metode Beban Satuan: Prosedur Analisis

Hitung gaya-gaya batang N atau momen lentur Makibat seluruh beban yang bekerja pada struktur.akibat seluruh beban yang bekerja pada struktur.

Hitung gaya-gaya batang n atau momen lentur makibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitungperpindahannya. Jika yang akan ditentukan adalahputaran, maka beban yang diberikan adalah momen 1 satuan.

Tentukan besarnya deformasi dengan formula:

0

L Mmdx

EI

NnL

EA

8/26/2013

22

Tabel Integral Volume

Integrasi:L

untuk diagram momen yang sederhana (linier atauparabola) telah tersedia dalam bentuk tabel integral volume

0

Mmdx

volume.

Contoh 8

Gunakan metode beban satuan untuk menentukanperpindahan ujung balok kantilever akibat beban Pperpindahan ujung balok kantilever akibat beban Pseperti pada Contoh 1.

E, I, L

P

8/26/2013

23

Contoh 8

Diagram momen lentur:P 1

M

–PL

–L

m

Perpindahan:

3

0 3 3

L L PL LMm PLdx

EI EI EI

Contoh 9

Gunakan metode beban satuan untuk menentukanperpindahan di ujung B pada struktur balokperpindahan di ujung B pada struktur balokkantilever seperti pada Contoh 6.

Diketahui E = 200 GPa dan I = 500 × 106 mm4.

12 kN/m

5 m

BA E, I

8/26/2013

24

Contoh 9

Diagram momen lentur:112 kN/m

–5

m

B5 m

A

150 37.5–

M

Perpindahan:

6 60

5 5 150 2 37.5

6 200 10 500 10

0.009375 m 9.375 mm

L

B

Mmdx

EI

Contoh 10

Tentukan perpindahan horizontal titik C akibatbeban yang bekerja pada struktur seperti tergambar. beban yang bekerja pada struktur seperti tergambar. Balok AB dan kolom BC memiliki modulus elastisitasE dan inersia penampang I.

20 kN/m

A B

6 m

C

6 m

8 m

8/26/2013

25

80 kN

20 kN/m

0.75

1

1

+

160–

–

80 kN 0.75

6

6

M m

0

8 6 2 160 25600

6

L

C

Mmdx

EI EI EI

Contoh 11

Tentukan besarnya perpindahan horizontal titik Cpada struktur rangka batang seperti tergambar.pada struktur rangka batang seperti tergambar.

Anggap E dan A konstan, dan bernilai sama untuksemua batang.

10 kNB C

3 m

5 kN

A D

4 m

8/26/2013

26

Contoh 11

Batang L [m] E A N n NnL/EA

AB 3 E A 10.25 0.75 25.3125/EA

AD 4 E A 15 1 60/EA

BC 4 E A 10 1 40/EA

BD 5 E A –18.75 –1.25 117.1875/EA

CD 3 E A 0 0 0

242.5/EA C