Analisis Kompleks 0

Bilangan Kompleks

Analisis Kompleks

By: Siti Komsiyah, M.Si

Analisis Kompleks 1

Definisi• Bilangan kompleks z adalah :

Suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata (x,y)

• Notasi :z = (x,y) = x + i y

Dimana :x = bagian nyata (real part) dari z

Y = bagian imajiner (imaginary part) dari z

11 2ii

Analisis Kompleks 2

Definisi

• Re z = x

• Im z = y

• Misalnya :– Re(4,5) = 4

– Im(4,5) = 5z = 4 + i 5

z = x + i yP

x

y

Re

Im

Bidang kompleks

Analisis Kompleks 3

Contoh • Gambarkan dalam bidang kompleks

z = 2 + i 3

z = 2 + i 3

A

Re

Im

1 2 3 4

1

2

3

x

y

Analisis Kompleks 4

z1 = x1 + i y1

z2 = x2 + i y2

• Penjumlahanz1 + z2 = (x1+x2) + i (y1+y2)

• Penguranganz1 - z2 = (x1-x2) + i (y1-y2)

• Perkalianz1 . z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2)

= (x1 x2 – y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 )• Pembagian

Operasi Bilangan Kompleks

2

2

2

2

21122121

22

22

22

11

2

1 *

yx

yxyxiyyxx

yix

yix

yix

yix

z

z

Analisis Kompleks 5

Contoh Soal

Diketahui : z1 = x1 + i y1 = 4 + i 5z2 = x2 + i y2 = -2 - i 3

Hitunglah :

1. z1 + z2

2. z1 - z2

3. z1 . z2

4. z1 / z2

Analisis Kompleks 6

Sifat-sifat Operasi• Hukum komutatif

z1 + z2 = z2 + z1

z1 . z2 = z2 . z1

• Hukum asosiatif(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )(z1 . z2 ) . z3 = z1 . (z2 . z3 )

• Hukum distributifz1.(z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3

• Identitas0 + z = z + 0 = z1 . z = z . 1 = z

• Invers z + (-z) = (-z) + z = 0

Analisis Kompleks 7

Bilangan Konjugat Kompleks(Bil. Kompleks Sekawan)

z = x + i y= x - i y konjugat dari z

z = x + i y

yixz

x

Re

yIm

zziyz

zzxz

2

1Im

2

1Re

z

Analisis Kompleks 8

Operasi Aritmetik Bil. KompleksSekawan

2

1

2

1

2121

2121

2121

..

z

z

z

z

zzzz

zzzz

zzzz

Analisis Kompleks 9

Contoh z1= 2 – i 3 z1= 2 + i 3z2= 1 + i 3 z2= 1 – i 3

Hitunglah :

2

1

2

1

2121

2121

2121

111

.5

...4

.3

.2

2222

1

2

1Re.1

z

z

z

z

zzzz

zzzz

zzzz

zzz

Analisis Kompleks 10

Bilangan Kompleks dalam KoordinatKutub

z = x + i y

x

y

Re

Im

r

x = r cosy = r sin

Bentuk :z = x + i y

= r cos + i r sin z = r (cos + i sin )

2121

1

22

tantanarg

zzzz

x

y

x

yarcz

yxzr

Analisis Kompleks 11

Contoh

3sin

3cos6sincos

:

33

33tantan

636333

:333.1

22

22

iirz

Sehingga

arcx

yarc

yxzr

kutubkoordinatdalammakaiz

Analisis Kompleks 12

ASSIGNMENT 01

1

2

2

1

2

2

1

2

21

2

1

2.4

34

211.7

1.3

42.6.2

4237.5.1

:

25

43

:

z

z

i

i

z

iz

z

iizz

Hitunglah

iz

iz

Diketahui

Analisis Kompleks 13

43

2Im.9

34

2Re.10

2

1Re.8

:

i

i

i

i

i

Tentukan

2

1

2121

2121

2

1

.13

..15.12

.14..11

:

23

1

:

z

z

zzzz

zzzz

Hitunglah

iz

iz

Diketahui

Analisis Kompleks 14

34

86.21

1

22.18

3

22

23.2044.17

33

2.191.16

:

i

i

i

i

i

ii

i

ii

kutubkoordinatbentukdalamNyatakan

4sin

4cos8.23

sincos4.242

sin2

cos4.22

:

i

ii

yixbentukdalamNyatakan

You must study hard…

Analisis Kompleks 15