006 elips kesalahan

Survei Deformasi Strukturr

1

Contoh Soal:

Penentuan Posisi dengan Jarak

Contoh soal ini disusun berdasarkan Mikhail, hal. 275:

X

Y

E

A

B

D

C

P

Berdasarkan gambar diatas tentukanlah posisi titik P berdasarkan kelima titik

referenesi (titik kontrol) yang lainnya, jika diukur jarak dari kelima titik itu ke

titik P antara lain:

Titik Kontrol X (m) Y (m) Jarak Ukuran (m)

A 698.41 1005.07 4122.109

B 580.14 2207.37 3444.530

C 5482.77 8503.22 4897.717

D 6191.16 7160.26 4129.233

E 6095.81 4920.30 2739.177

Jika diketahui apriori varians 20 = 0.002 m

2. Dan ketelitian pengukuran

adalah 222 )0040.0()0020.0( S ; dimana S adalah jarak ukuran dalam

km. Hitunglah koordinat titik P dengan hitung kuadrat terkecil.

Solusi:

Tentukan terlebih dahulu koordinat pendekatan titik P (Xp0, Yp

0). Lihat

Mikhail halaman 277. Didapat nilai titik P pendekatan adalah:

mYmX PP 07.4021 dan 44.3508 00

Tentukan persamaan pengukuran:

22pjpjpj YYXXD

Survei Deformasi Struktur

2

Karena persamaanny adalah non-linier dan antara parameter dengan dapat

dipisahkan maka digunakan model indirect: v = A + w.

Untuk sebuah pengukuran berlaku :

0

00

0

00

,

)()(

00 pj

pj

pjYXp

pj

p

pj

D

YY

D

XX

Y

D

X

DA

pj

pp

pjpj DDw 0

sehingga model indirect dalam notasi matrik dapat disusun sebagai:

001.0

113.0

002.0

049.0

090.0

32828.094458.0

76021.064967.0

91515.040311.0

52655.085014.0

73165.068168.0

5

4

3

2

1

p

p

Y

X

v

v

v

v

v

matrik ketelitian pengukuran adalah:

0124.00000

00277.0000

000388.000

0000193.00

00000276.0

lC

Dan matrik bobotnya adalah:

1613.00000

00722.0000

000515.000

0001036.00

00000725.0

120 lCP

Sehingga diperoleh koordinat titik P yang baru:

m

016.0

008.0 dan

mYYY

mXXX

ppp

ppp

09.4021

45.3508

0

0

karena disini nilai sangat kecil maka tidak perlu iterasi. Tetapi jika nilai

masih besar (biasanya > 0.001 m) harus di-iterasi, caranya yaitu dengan

memasukkan nilai koordinat yang baru tersebut sebagai koordinat pendekatan

lagi, dan seluruh proses perhitungan dimulai dari awal lagi.

Menentukan matrik kovarians dari parameter:


3

mQC xx

0404.00260.0

0260.00236.020

Global Test:

220 00055.0

25

00165.0ˆ m

un

PvvT

Untuk tingkat kepercayaan 5%: maka = 0.05, /2 = 0.025 dan 1-/2 =

0.975. Dari tabel diketahui bahwa:

220

23,975.02

20

23,025.0

00623.0r

dan 00014.0 mmr

ternyata 0.00014 < 0.00055 < 0.00623 sehingga hipotesa bahwa 20 =

0.0020m2

diterima. Atau dengan kata lain pada level kepercayaan 5%, 20̂

masih konsisten dengan 20 .

Mengevaluasi ellip kesalahan titik P. (lihat halaman 224)

ELLIP KESALAHAN

Untuk menentukan sumbu panjang ellip 'x , sumbu pendek ellip 'y , dan

arah dan besar rotasi sumbu ellip terhadap sumbu sistem koordinat XY,

dipakai rumusan berikut:

21

22222

2'

42

xy

yxyx

x


4

21

22222

2'

42

xy

yxyx

x

22

22tan

yx

xy

dimana 2x , 2

y adalah varian yang didapat dari matrik kovarian, sedangkan

2xy adalah kovarian yang juga didapat dari matrik kovarian.

Sehingga untuk kasus titik p diatas:

Dari matrik kovarian Cx dapat diketahui bahwa 2x = 0.0236m2, 2

y =

0.0404m2, sedangkan xy = -0.0260m2. Sehingga dapat dihitung:

mm xx 244.0 ellip panjangsumbu sehingga 0593.0 22

mm yy 069.0 ellippendek sumbu sehingga 0047.0 22

dan nilai = 1260.

Untuk dapat memplot ellip kesalahan tersebut pada selang kepercayaan

tertentu, besarnya faktor skala (pengali) c dapat dilihat pada tabel berikut:

Faktor skala

c

Selang Kepercayaan

P [U <= c]

1.000 0.394

1.177 0.500

1.414 0.632

2.000 0.865

2.146 0.900

2.447 0.950

3.000 0.989

3.035 0.990

3.500 0.998

Sebagai contoh, jika ellip kesalahan tersebut diplot untuk selang kepercayaan

95%, maka nilai faktor skala c = 2.447. Sehingga sumbu panjang ellip adalah

(2.447)x(0.244) = 0.597m. Sedangkan untuk sumbu pendek ellip adalah

(2.447)x(0.069) = 0.169m. Sedangkan orientasi sumbu ellip tetap 1260.

Gambar berikut adalah plotting ellip kesalahan untuk selang kepercayaan 95%

(Mikhail, hal 281).


5


6

KONSTRAIN DAN PERSAMAAN NORMAL

Materi:

1. Penambahan persamaan normal (Addition of Normal Equations)

2. Memperlakukan konstrain (Treatment of Constraints)

PENAMBAHAN PERSAMAAN NORMAL

Ingatlah lagi bentuk linier dari model implisit (kombinasi):

1,,0 01

lCPwBvA

yang akan menghasilkan solusi untuk persamaan normalnya adalah:

wBBCAABBCAT

lTT

lT 111 )())((

Sekarang jika persamaan linier dari model kombinasi tersebut kita partisi

menjadi 2 set pengukuran yang tidak berkorelasi, dengan parameter yang

sama:

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

0

0,0

0

0

2

1

P

P

C

CP

w

w

v

v

B

B

A

A

l

l

Substitusikan vektor-vektor yang terpartisi tersebut kedalam persamaan

normalnya, maka:

1.

*2

*1

12

122

11

111

1

2

1

12

11

2

111

0

0

)(0

0)(

0

0

0

0

0

0)(

P

P

BPB

BPB

B

B

P

P

B

BBBP

T

T

T

TT

2.

2

1

*2

*1

21

1

2

1

*2

*1

210

0)(

0

0)(

w

w

P

PAA

A

A

P

PAA

TTTT

})(

)({)()(

21

21

222

11

11

111

1

21

21

22211

11

111

wBPBA

wBPBAABPBAABPBA

T

TTTTTT

dan

12

12

12221

11

1111

20 })()({ ABPBAABPBAC

TTTTx

Disini kita tidak perlu melakukan perhitungan untuk keseluruhan matrik,

cukup hanya menjumlahkan komponen pengukuran lama ke yang baru.


7

Dengan kata lain, kontribusi yang tidak berkorelasi (independen) ke persamaan

normalnya dapat hanya dijumlahkan saja.

Sehingga persamaan normal dapat disusun sebagai:

niwBPBAABPBA i

Ti

Tii

Tii

Tiii

Ti ,...,1)())(( 111

Untuk model indirect (parameter):

niwPAAPA iiTiii

Ti ,....,1,)(

Selama pengukuran tidak berkorelasi kita dapat:

- Mengakumulasikan persamaan normal dengan menambahkan sebuah

observasi pada epoch tertentu (sehingga mungkin untuk melihat pengaruh

dari setiap pengukuran ekstra).

- Dapat menghapus pengukuran yang buruk dengan memberikan harga

negatif untuk bobotnya, dan

- Sebagai cara yang mudah untuk menerapkan konstrain dan juga untuk

sequential estimation/adjustment.

Contoh soal:

Tentukan nilai parameter persamaan linier berikut ini dengan cara hitung

perataan biasa dan dengan penambahan persamaan normal:

0.1244

0.137

9.14

1.832

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

dengan matrik bobot

1000

0300

0020

0004

P

persamaan tersebut akan diselesaikan dengan model indirect v = A x + w.

0.12

0.1

9.1

1.8

44

37

14

32

2

1

4

3

2

1

x

x

v

v

v

v

wAxv

solusi hitung kuadrat terkecil dengan model indirect:

0)( wPAxPAATT


8

2.17306

0.82637

04.150

107

8131

31211

2

1

2

1

x

x

x

x

solusi dengan penambahan persamaan normal:

niwPAxAPA iiTiii

Ti ,....,1,)(

Matrik Ai Matrik Pi Matrik wi AiTPiAi Ai

TPiwi

A1 = (2, 3) 4 -8.1

3624

2416

2.97

8.64

A2 = (4, -1) 2 -1.9

28

832

8.3

2.15

A3 = (-7, 3) 3 -1.0

2763

63147

0.9

0.21

A4 = (4, 4) 1 -12.0

1616

1616

0.48

0.48

Total:

8131

31211

4.150

107

Solusi untuk parameter adalah:

2.17306

0.82637x

Contoh aplikasi lain adalah misalnya:

- Didalam perhitungan bundle adjustment pada photogrammetry

- Didalam Network adjustment baik dengan GPS, Total Station ataupun

kombinasi kedua-duanya.

MEMPERLAKUKAN KONSTRAIN

Pada kasus penambahan persamaan normal, pengukuran dapat berupa apapun

(baik secara riil ataupun secara simulasi) yang memiliki bobot tertentu.

Misalnya, kondisi konstrain dapat diperlakukan sebagai pengukuran (weighted

observation). Kaji kembali persamaan konstrai dengan bobot tertentu:

0 hwH , bobot = Ph

Persamaan normal (untuk kasus model indirect/parameter)


9

0)()( hhTT

hTT

wPHPwAHPHPAA

Persamaan ini sering diistilahkan dengan konstrain dengan penambahan

persamaan normal. Dan

120 )( HPHPAAC h

TTx

Tingkatan/kondisi dimana suatu kondisi konstrain akan diterapkan sangat

tergantung dari besarnya nilai Ph, yang pada suatu nilai maksimum tertentu

harus dikenakan kondisi konstrain absolut. Singkatnya, jika Ph cenderung

membesar (menuju tak hingga) maka teknik penambahan persamaan normal

akan tidak berguna.

Untuk mengatasi hal ini, gunakan lagi bentuk persamaan normal yang ditulis

dalam bentuk hyper-matrix:

h

T

h

TT

h w

PwA

PH

HPAA

k

1

1

Mengeliminasi kh dari bentuk hyper-matrix diatas akan menghasilkan

penambahan persamaan normal. Untuk konstrain absolut, 1hP = 0 (untuk

bobot yang tak terhingga)

h

TTT

h w

PwA

H

HPAA

k

1

0

Dalam model Implisit:

h

Tii

TTTiii

T

h w

wBBiPA

H

HBPBA

k

)(

0

)(1

11

Persamaan konstrain dengan menggunakan hyper-metrix ini sering disebut

sebagai “bordered normal equation” atau “Helmert bordering”.

Matrik kovarian dari parameter untuk kasus model indirect adalah:

1

20

0

H

HATPAC

T

Catatan:

Hanya ada satu nilai kh untuk setiap satu persamaan konstrain.

Setiap satu persamaan konstrain akan menambah satu degree of freedom

(karena menambah satu ekstra pengukuran).

Konstrain dengan Helmert bordering lebih sesuai untuk sistem persamaan

yang lebih kecil/sedikit.


10

Secara umum lebih prakyis untuk memberikan konstrain melalui pemberian

nilai bobot yang cukup besar (tapi jangan terlalu besar). Sebuah bobot adalah

sama dengan satu per lima dari angka signifikan dari nilai standard error.

Misalnya, suatu konstrain harus dikenakan sampai ke angka mm terdekat, jika

dipilih satu sigma misalnya 0.2mm.

Ada beberapa teknik alternatif untuk menerapkan konstrain.

Contoh Soal:

Hitung kuadrat terkecil model indirect dengan konstrain:

Diketahui suatu pengukuran jaringan sipat datar sebagai berikut:

A

DC

Bh1

h5

h6

h2h

4

h3

4km

4km

3km

5km

5km3km

HA = 100.0m

Diketahui pula data pengukuran:

Pengukuran (m) Ketelitian

00.201 h 420

2

1

h

04.302 h 320

2

2

h

00.103 h 420

2

3

h

86.394 h 320

2

4

h

92.435 h 520

2

5

h

74.196 h 520

2

6

h

Diasumsikan nilai apriori varian 04.020 .Dan nilai pendekatan untuk tinggi

titik B, C, D adalah mH B 00.1200 , mHC 00.1500 , mH D 00.1400 .

Ditanyakan:


11

1. Hitung tinggi titik B, C, dan D dengan model indirect.

Jika pada jaringan tersebut diterapkan konstrain yaitu HD - HC = -120.20m,

maka:

2. Hitung tinggi titik B, C, dan D dengan model indirect dan konstrain

Helmert Bordering.

3. Hitung tinggi titik B, C, dan D dengan model indirect, dan konstrain

penjumlahan persamaan normal.

Solusi:

Persamaan matrik model indirect:

26.0

08.0

14.0

0

04.0

0

101

010

100

110

011

001

6

5

4

3

2

1

D

C

B

H

H

H

v

v

v

v

v

v

26

25

24

23

22

21

20

120

/10

/1

/1

/1

/1

0/1

h

h

h

h

h

h

lCP

Persamaan normal:

0

0.0987

0.0027

0.0387-

0.7830.250-0.200-

0.250-0.7830.333-

0.200-0.333-0.783

D

C

B

H

H

H

Solusi:

A posteriori varian:

0.00257143

0.0077143ˆ 2

0

un

PvvT

-0.1464

-0.0550

-0.0114

D

C

B

H

H

H


12

Solusi dengan konstrain Helmert Bordering.

Persamaan pengukuran konstrain:

h

D

C

B

DDCC

wH

H

H

H

HHHH

20.1000.15000.140110

020.10

Persamaan normal yang baru:

0

20.0

0.0987

0.0027

0.0387-

011-0

10.7830.250-0.200-

10.250-0.7830.333-

00.200-0.333-0.783

h

D

C

B

k

H

H

H

Solusi:

0.0552

0.1937-

0.0063

0.0026

h

D

C

B

k

H

H

H

mHH

H

H

H

CD

D

C

B

20.10

8063.139

0063.150

0025.120

A posteriori varian:

Solusi konstrain dengan penambahan persamaan normal

Perlakukan kondisi konstrain sebagai sebuah pengamatan ekstra:

h

D

C

B

DDCC

wH

H

H

H

HHHH

20.1000.15000.140110

020.10

disini kita tidak memiliki bobot pengukuran untuk konstrain, harus

dilihat/deibandingkan dengan standard error-nya, misalnya dengan apriori

varian atau ketelitian yang dapat mencapai: 04.0 . Agar dapat teliti harus

diasumsikan nilai bobot yang teliti sampai mm, misalnya 0001.0 . Sehingga

nilai bobotnya:

0.00342584

0.0137032ˆ 2

0

un

PvvT


13

8

2210

)0001.0(

11

hP

Berdasarkan rumusan konstrain:

020.010

1

1

0

11010

1

1

0

0

88

khT

hT

wPHHPH

0

102.0

102.0

0

10100

10100

00

8

8

88

88

Penjumlahan persamaan normal:

0

102.0

102.0

0

0.0987

0.0027

0.0387-

10100

10100

00

0.7830.250-0.200-

0.250-0.7830.333-

0.200-0.333-0.783

8

8

88

88

D

C

B

H

H

H

Akhirnya solusi yang didapat:

0.1937-

0.0063

0.0026

D

C

B

H

H

H

Solusi yang diperoleh dari teknik konstrain dengan penjumlahan persamaan

normal ini relatif sama dengan solusi konstrain dengan teknik helmert

bordering.

006 elips kesalahan

Education