BAB 1

STATISTIKA

A. BEBERAPA ISTILAH DALAM STSTISTIKA

1. Pengertian Statistika dan Statistika

Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang matematika terapan

yang membahas metode-metode ilmiah tentang tata cara

mengumpulkan dan mengelompokkan data,menyusun dan

menyajikan data, sampai pada mengambil kesimpulan yang sahih

sehingga keputusan yang diambil dapat diterima.

Nilai-nilai ukuran data yang didapatkan dari perhitungan seperti

rataan, median, modus, kuartil, jankauan, dan lain-lain merupakan

nilai statistika.

2. Pengertian Populasi dan Sampel

a. Ukuran sampel. Jika sampel terlalu sedikit, maka ada

kemungkinan sampel tidak mempresentasikan populasi secara

benar.Sampel juga jangan terlalu besar, karena sampel yang

besar akan memerlukan waktu, tenaga, dan biaya yang besar

pula.

b. Metode pengambilan sampel. Perlu diingat bahwa

pengambilan sampel dilakukan secara acak (random). Artinya

tiap objek dalam populasi mempunyai kesempatan yang sama

untuk terpilih sebagai sampel.

3. Pengertian Datum dan Data

Misalkan kita melakukan pengamatan terhadap hasil ulangan

matematika 10 orang siswa. Hasilnya sebagai berikut:

6 8 6 5 7 6 5 9 10 10

angka-angka 6, 8, 6, ..., 10 masing-masing disebut datum. Keseluruhan

angka-angka tersebut disebut data.

Jadi, datum merupakan informasi yang di dapat dari pengamatan

terhadap obyek. Datum dapat berupa angka atau lambang. Data

adalah kumpulan dari datum-datum secara keseluruhan.

4. Jenis-jenis Data

Berdasarkan jenisnya, data dikelompokkan menjadi dua macam.

a. Data Kuantitatif adalah data yang menunjukkan ukuran objek

yang diamati. Karena berupa ukuran, maka data kuantitatif

Data kuantitatif disajikan dalam bentuk angka atau bilangan.

Data kuantitatif di bagi dua macam:

1) Data Diskrit, yaitu data yang diperoleh dengan acara

menghitung banyak objek yang diamati. Misalnya data

tentang banyaknya anak SMA kelas 3 yang tidak lulus

UAN.

2) Data kontinu, yaitu data yang diperoleh dengan cara

mengukur objek yang diamati. Misalnya data tentang

tinggi badan anak SMA kelas 2IPS.

b. Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang menunjukkan keadaan fisik

suatu objek yang diamati. Data kualitatif dibagi menjadi dua

macam:

1) Data Nominal, yaitu data yang memerlukan sub bagian

untuk melengkapi deskripsi data. Contoh: warna kulit:

cokelat, kuning langsat, dan hitam.

2) Data Ordinal, yaitu data yang memerlukan

pemeringkatan untuk mendeskripsikan data. Contoh:

kecepatan siswa dalam mengerjakan soal: cepat,

sedang, lambat.

B. STATISTIKA DESKRIPTIF

1) Ukuran Pemusatan

Terdapat tiga buah nilai statistika yang dapat dimiliki sekumpulan data

yang telah diperoleh, yaitu:

a) Rataan Hitung (mean)

Rataan hitung atau mean dari suatu data didefinisikan sebagai

jumlah semua nilai datum dibagi dengan banyaknya datum

yang diamati.

Rataan hitung(mean)

Misalnya diberikan data x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka rataan hitung

data tersebut dapat dinyatakan sebagai:

atau x

b) Median

Median adalah nilai tengah yang membagi seluruh data menjadi

dua bagian yang sama apabila data telah diurutkan. Secara umum,

misalnya diberikan data tunggal terurut x₁, x₂, x₃, ..., xn dengan x₁ ≤

x₂ ≤ x₃ ≤ ... ≤ xn, maka median dari data tersebut dapat ditentukan

sebagai berikut:

1) jika n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum ke- ( ),

yaitu median =

2) Jika n genap, maka mediannya adalah rataan nilai datum

ke- dan nilai datum ke-( + 1), yaitu median

( X + + 1).

c) Modus

Modus dari suatu data didefinisikan sebagai nilai datum yang

paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi

terbanyak. perhatikan bahwa pada suatu data, modus yang

diperoleh bisa lebih dari satu nilai bahkan tidak ada sama sekali.

2) Ukuran Letak

Terdapat dua ukuran letak yang akan kita pelajari, yaitu:

a. Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi seluruh data menjadi

empat bagian yang sama.

median membagi seluruh data menjadi dua bagian yang

sama, yaitu bagian sebelah kiri dan bagian sebelah kanan.

Apabila bagian sebelah kiri dibagi lagi menjadi dua bagian

yang sama, maka nilai yang membagi tersebut disebut

kuartil bawah atau kuartil pertama (Q₁) dan apabila bagian

sebelah kanan dilakukan yang sama, maka nialai yang

membagi tersebut disebut kuartil atas atau kuartil ketiga

(Q₃) dan mediannya disebut kuartil tengah atau kuartil

kedua (Q₂).

Untuk ukuran data minimal terdiri dari empat datum, kita

bisa menentukan ketiga nilai kuartilnnya.

1) Kuartil Pertama atau kuartil bawah, yaitu Q₁ yang membagi

data menjadi data nilainya ≤ Q₁ dan data nilainya ≤ Q₁.

2) Kuartil kedua atau kuartil tengah, yaitu Q₂ yang membagi

data menjadi data nilainya ≤ Q₂ dan data nilianya ≥ Q₂.

3) Kuartil ketiga atau kuartil atas, yaitu Q₃ yang membagi

data menjadi data nialainya ≤ Q₃ dan data nilainya ≥ Q₃.

Untuk menentukan kuartil dari suatu data yang telah

diurutkan bisa dilakukan dengan cara yang telah

disebutkan diatas, bisa juga menggunakan rumus sebagai

berikut:

Q₁ =

dengan

Q₁ = kuartil ke-1

n = banyaknya datum

= datum pada urutan ke-

b. Desil

Desil adalah ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian

sama besar. Berarti kita dapatkan sembilan buah desil,

yaitu D₁, D₂, D₃, ..., D₉ dengan Di melambangkan desil ke-i.

Desil ke-i membagi data menjadi data nilainya ≤ Di dan

data nilianya ≥ Di.

1) D₁ membagi data menjadi data nilainya ≤ D₁ dan

data nilianya ≥ D₁.

2) D₅ membagi data menjadi data nilainya ≤ D₅ dan

data nilianya ≥ D₅.

3) D₈ membagi data menjadi data nilainya ≤ D₈ dan

data nilianya ≥ D₈.

Untuk menentukan desil ke-i, akan lebih mudah

dengan cara menggunakan rumus:

Di =

dengan

Di = desil ke-i

n = banyaknya datum

= datum pada urutan ke-

c. Ukuran Penyebaran

Statistik lima serangkai yang telah kita bahas memberikan

gambaran tentang pemusatan data. Selanjutnya untuk

mendapatkan keterangan atau gambaran yang lengkap

tentang suatu data kita perlu mengetahui juga ukuran

persebaran data, yaitu:

1) Jangkauan Data

Ukuran penyebaran data yang sederhana adalah

jangkauan data atau rentan data. Jangkauan data

adalah selisih antara nilai datum terbesar (Xmaks)

dengan nilai datum terkecil (Xmin). Jangkauan

dilambangkan dengan “J”.

J = Xmaks – Xmin

2) Jangkauan Antarkuartil (Hamparan)

Jangkauan antarkuartil atau hamparan diartikan

sebagai selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil

pertama. Hamparan dilambangkan dengan “H”.

H = Q₃ - Q₁

3) Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Antarkuartil)

Simpangan kuartil atau jangkauan semi antarkuartil

didefinisikan sebagai setengah dari hamparan.

Simpangan kuartil dilambangkan dengan “Qd’.

Qd = H = (Q₃ - Q₁)

4) Langkah (L)

Langkah dirumuskan dengan

L = (Q₃ - Q₁)

5) Pagar Dalam

Pagar dalam dirumuskan dengan

Pagar dalam = Q₁ - L

6) Pagar Luar

Pagar luar dirumuskan dengan

Pagar luar = Q₃ + L

7) Simpangan Rata-rata(SR)

Simpangan rata-rata adalah ukaran seberapa jauh

penyebaran nilai-nilai data terhadap rataan.

Dirumuskan dengan

SR =

dengan n menyatakan banyaknya datum

xi menyatakan data ke-i

menyatakan rataan

8) Ragam (S²)

Ragam adalah ukuran yang menyatakan rata-rata

kuadrat jaraksuatu data dari nilai rataannya,

dirumuskan dengan

S² = Type equation here.9) Simpangan Baku (S)

Simpangan baku dirumuskan dengan

S =

C. PENYAJIAN DATA

1. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

a. Diagram Garis

Untuk menyajikan perkembangan data yang berkesinambungan

(kontinu) seperti informasi berat badan bayi, suhu badan pasien di

rumah sakit, curah hujan dan sebagainya sebaiknya disajikan dalam

bentuk diagram garis.Dalam diagram garis waktu biasanya

ditempatkan pada sumbu datar (sumbu-X) dan nilai data ditempatkan

pada sumbu tegak (sumbu-Y) sehingga diperoleh titik-titik koordinat.

Jika titik-titik yang berurutan dihubungkan oleh garis lurus, maka akan

diperoleh diagram garis.

Diagram garis berikut menunjukkan perkembangan berat badan bayi

dari minggu pertama sampai minggu kelima.

3,8 interpolasi

3,5 ekstrapolasi

3,0

I II III IV V

Dari data di atas, kita dapat mengikuti kecenderungan dari data yang

kita amati. Ruas garis – ruas garis menunjukkkan perkembangan berat

badan bayi dari minggu pertama sampai dengan minggu kelima

disebut garis interpolasi, sedangkan ruas garis setelah minggu ke lima

yang menunjukkan ramalan perkembangan data yang akan disebut

garis ekstrapolasi.

b. Diagram Batang

cara penyajian data stastika lainnya untuk menampilkan data agar

lebih kelihatan menarik adalah dengan menggunakan diagram batang

pada diagram batang terdapat dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan

sumbu tegak. Sumbu mendatar biasanya untuk batang yang mewakili

jenis data,sedangkan sumbu tegak untuk skala yang mewakili

banyaknya data. antara batang yang satu dengan batang yang lain

diberi jarak sehingga letaknya terppisah. Untuk lebih jelasnya,

perhatikan contoh berikut!

Hasil survey yang dilakukan terhadap penduduk suatu kelurahan

tentang jenis pekerjaan, diperoleh data sebagai berikut:

100 orang bekerja sebagai PNS

250 orang bekerja sebagai petani

25 orang bekerja sebagai TNI

125 orang bekerja sebagai Pedagang

25 orang bekerja sebagai Dokter

Buatlah diagram batang dari hasil survey tersebut!

Diagram batang dari hasil survey di atas ditunjukkan oleh Gambar 1.3

berikut.

250

125

100

25

PNS Petani TNI Pedagang Dokter

Gambar 1.3

c. Diagram Lingkaran

Penyajian data statistik lainnya adalah dengan menggunakan diagram

Lingkaran. pada diagram lingkaran, daerah lingkaran dibagi menjadi

beberapa juring dengan sudut pusatnya sesuai dengan proporsi data

yang disajikan pada juring tersebut. Untuk lebuh jelasnya, perhatikan

contoh berikut!

Hasil survey yang dilakukan terhadap 90 orang siswa adalah sebagai

berikut: 45 orang menyukai sepak bola, 15 orang menyukai bola voli,

20 orang menyukai basket, dan 10 orang menyukai bulu tangkis.

Buatlah diagram lingkaran dari data di atas!

Jawab:

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai sepakb x 360

= 180⁰

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bola voli = x 360

= 60⁰

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bola basket = x 360

= 80⁰

Sudut pusat juring untuk siswa yang menyukai bulu tangkis = x 360

= 40⁰

2. Daftar Distribusi Frekuensi

penyajian suatu data dapat dilakukan dengan menggunakan daftar

distribusi frekuensi. Metode ini digunakan untuk data berukuran besar

(n ≥ 30).

a. Daftar Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Diketahui data mengenai jumlah anak dari 30 karyawan suatu

perusahaan sebagai berikut:

3 2 0 1 4 2 2 2 1 2

0 3 3 2 1 1 2 1 2 2

2 1 2 2 0 3 1 1 2 3

data diatas dapat dibuat daftar distribusi frekuensi data tunggal

seperti daftar dibawah ini:

Jumlah anak Turus Frekuensi

0

1

III

IIII III

3

8

sepakbola

basket voli

b.tangkis

2

3

4

IIII IIII II

IIII

I

13

5

1

Jumlah 30

b. Daftar Distribusi Frekuensi Data Berkelompok

Untuk data yang sangat besar, bila kita menggunakan daftar distribusi

frekuensi data tunggal, maka akan diperoleh daftar yang panjang.

Untuk itu data tersebut kita kelompokkan dalam suatu kelompok yang

disebut kelas interval sehingga diperoleh daftar distribusi frekuensi

data berkelompok.

Buatlah daftar distribusi frekuensi data berkelompok dari data nilai

ulangan matematika dari 40 siswa di bawah ini!

79 60 62 56 68 72 64 58 52 59 52 62 70 72 74 70 57 62 61 63

68 73 78 64 53 67 62 53 72 74 71 51 60 68 67 70 55 52 77 63

jawab:

Dari data tersebut diperoleh nilai Xmin = 51 dan Xmaks = 79 sehingga

jangkauan data adalah J = Xmaks – Xmin = 79 – 51 = 28

Jumlahkelas interval (k) dengan menggunakan aturan Sturgess, yaitu

k = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,9 = 6,26 kita bulatkan nilai k menjadi 6.

Panjang kelas dapat ditentukan dengan rumus c = = = 4,67 = 5

Karena Xmin = 51, maka kelas interval pertama 51 – 55. Dari contoh

1.10 dapat dibuat daftar distribusi frekuensi data seperti pada tabel

1.2.

Kelas Interval Turus Frekuensi

51-55 IIII II 7

56-60 IIII I 6

61-65 IIII IIII 9

66-70 IIII III 8

71-75 IIII II 7

76-80 III 3

JUMLAH 40

c. Daftar Distribusi Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif suatu kelas interval diperoleh dengan membagi

frekuensi kelas interval tersebut dengan jumlah data. Data pada

contoh 1.10 dapat di buat ke dalam tabel berikut:

Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Relatif

51-55 7 0,175

56-60 6 0,15

61-66 9 0,225

67-70 8 0,2

71-75 7 0,175

76-80 3 0,075

jumlah 40

d. Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif

Terdapat dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif, yaitu:

1) Daftar distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari’ adalah jumlah

seluruh frekuensi dari data yang nilainya kurang dari atau sama

dengan nilai tepi atas pada setiap kelas, dilambangkan dengan

“fk ≤”. Untuk lebih jelas perhatikan tabel 1.4 berikut:

Tabel 1.4 kumulatif Kurang Dari

Kelas Interval Frekuensi Nilai fk ≤51-55 7 ≤55,5 756-60 6 ≤60,5 1361-65 9 ≤65,5 2266-70 8 ≤70,5 3071-75 7 ≤75,5 3776-80 3 ≤80,5 40

2) Daftar distribusi frekuensi kumulatif “lebih dari” adalah jumlah

seluruh frekuensi dari data yang nilainya lebih dari atau sama

dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas, dilambangkan dengan

“fk ≥”. Untuk lebih jelas perhatikan Tabel 1.5 berikut:

Tabel 1.5 Frekuensi kumulatif Lebih Dari

Kelas Interval Frekuensi Nilai fk ≥51-55 7 ≥50,5 4056-60 6 ≥55,5 3361-65 9 ≥60,5 2766-70 8 ≥65,5 1871-75 7 ≥70,5 1075-80 3 ≥75,5 3

e. Histogram, Poligon frekuensi, dan Ogive

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari penyajian data

statistik dalam bentuk diagram garis, diagram batang, dan diagram

lingkaran. Berikut ini kita akan mempelajari penyajian data statistik

dalam daftar distribusi frekuensi menjadi sebuah diagram.

1) histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram adalah diagram batang yang alasnya merupakan

panjang kelas interval, sedangkan tingginya merupakan frekuensi

kelas interval.

Jika tiap tengah-tengah sisi atas batang yang berurutan

dihubungkan dengan garis lurus, maka diperoleh poligon

frekuensi.

Sajikan data berikut ini kedalam histogram dan poligon frekuensi!

Tabel 1.6

Kelas Interval Tepi Kelas Frekuensi15-19 14,5-19,5 220-24 19,5-24,5 1025-29 24,5-29,5 1930-34 29,5-34,5 2735-39 34,5-39,5 1640-44 39,5-44,5 1045-49 44,5-49,5 650-54 49,5-54,5 555-59 54,5-59,5 360-64 59,5-64,5 2

jumlah 100

Jawab:

Histogram dan poligon frekuensi dari tabel 1.6 ditunjukkan pada

gambar berikut:

30 27

25

Poligon Frekuensi

15 10

2 5 Histogram

2

17 22 27 32 37 42 47 52 57 62

2) Ogive

Ogive adalah kurva mulus yang diperoleh berdasarkan daftar

distribusi frekuensi kumulatif. Dikenal dua macam ogive, yaitu

ogive positif dan ogive negatif. Ogive positif adalah grafik atau

kurva yang disusun berdasarkan daftar distribusi frekuensi

kumulatif kurang dari. Ogive negatif adalah grafik yang disusun

berdasarkan daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.

Sebagai contoh, kurva ogive untuk frekuensi kumulatif pada

contoh 1.11 adalah sebagai beikut:

100

80 ogive positif

60

40

20

0

14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5

100

80 ogive negatif

60

40

20

0

14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5

D. STATISTIKA DESKRIPTIF(Lanjutan)

1. Ukuran Pemusatan Data

Statistik Rataan, median, modus, dan kuartil merupakan pemaparan

statistik yang menjelaskan ukuran pemusatan data.

a. Rataan Hitung

Ukuran pemusatan data (tendensi sentral) yang banyak digunakan

adalah rataan hitung atau aritmatika atau rataan. Sebagaimana telah

anda pelajari di SMP, rataan suatu data didefinisikan sebagai:

Rataan =

Misalnya suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal

x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka rataan hitung data tersebut, x adalah

x = atau =

b. Menghitung Rataan dengan Menggunakan Rataan Sementara

Pada bagian ini kita akan menghitung rataan dengan cara yang lebih

mudah, yaitu dengan menggeser bilangan yang dicari rataannya

menjadi bilangan yang lebih kecil. Besarnya bilangan yang dipilih

untuk menggeser tersebut kurang lebih nilai rataannya dan besarnya

kita taksir. Oleh karena itu cara ini kita sebut dengan cara rataan

sementara.

Misalnya diketahui data x₁, x₂, x₃, ..., xn, dan x₅ adalah rataan

sementara yang dipilih untuk menggeser bilangan-bilangan tersebut

sehingga kita mendapatkan data baru berikut.

d₁ = x₁ - xs; d₂ = x₂ - xs ; d₃ = x₃ - xs ; ... ; dn = xn – xs

Rataan data baru tersebut adalah

d =

d =

d =

d = x – xssehingga rataan data aslinya x = xs + d Cara menghitung rataan diatas disebut cara simpangan.Menghitung rataan dengan cara simpanganMisalnya diketahui data tunggal x₁, x₂, x₃, ..., xn, dan rataan

sementara yang ditaksir adalah xs, maka rataan data trsebut adalah

x = xs +

dengan di = xi - xs

c. Modus

Modus dari data satu data adalah nilai datum yang memiliki frekuensi

terbesar.

d. Median

Median(Me) adalah ukuran tengah dari statistik peringkat.

Median data berkelompok:

Median = L +( ) c

dengan

L = tepi bawah kelas median

fk = frekuensi kumulatif kelas sebelum median

c = lebar kelas

n = banyaknya data

f = frekuensi kelas median

2. Ukuran Letak

a. Kuartil

Selain median membagi data menjadi dua bagian yang sama, dikenal

juga kuartil yang membagi datamenjadi empat bagian yang sama.

Untuk data berkelompok, cara mencari kuartil serupa dengan cara

mencari median. Hanya saja angka n diganti dengan n untuk

kuartil pertama dan angka n diganti dengan n untuk kuartil ketiga.

Kuartil

Kuartil data berkelompok dirumuskan dengan

Qi = Li + ( ) c

dengan

i = 1, 2, 3

Li = tepi bawah kuartil ke-i

fk = frekuensi kumulatif kelas sebelum kuartil ke-i

f = frekuensi kelas kuartil ke-i

c = lebar kelas

n = banyaknya data

b. Desil

Seperti halnya kuartil, desil membagi data berkelompok menjadi 10

bagian yang sama, yaitu D₁, D₂, D₃, ...., D₉. Cara mencari desil pada

data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Di = Li + ( ) c

dengan:

i = 1,2,3,...,9

Li = tepi bawah kelas interval yang memuat Di,

fk = jumlah frekuensi semua kelas interval sebelum kelas interval

yang memuat Di,

f = frekuensi kelas interval yang memuat Di,

c = lebar kelas interval,

n = banyaknya data.

desil ke-i adalah data yang terletak pada nomor urut ke-

3. Ukuran Penyebaran Data

a. Jangkauan dan Simpangan Kuartil

Jangkauan adalah selisih antara datum terbesar dan terkecil pada

suatu data. Jangkauan yang kan kita bicarakan berikut adalah

jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan yang didefinisikan

sebagai nilai dari selisih antara kuartil atas(Q₃) dan kuartil bawah (Q₁).

jangkauan antarkuartil atau hamparan dilambangkan dengan

H,sehingga

H = Q₃ - Q₁

Setengah dari nilai jangkauan antarkuartil disebut dengan

Qd,sehingga:

Qd = H Qd = (Q₃ - Q₁)

Nilai satu setengah kali dari nilai jangkauan antarkuartil disebut

langkah dan delambangkan L,sehingga:

L = 1 H L = 1 (Q₃ - Q₁)

Data yang letaknya satu langkah dibawah kuartil bawah disebut pagar

dalam yaitu

Pagar Dalam = Q₁ - L

data yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas disebut pagar

luar,yaitu

Pagar Luar = Q₃ + L

Data ukuran yang besarnya kurang dari pagar dalam dan lebih besar

dari pagar luar dinamakan pencilan.

b. Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah ukuran seberapa

jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan.

Simpangan rata-rata

diketahui data tunggal x₁, x₂, x₃, ..., xn, dengan rataan hitung x

simpangan rata-rata data tersebut adalah

SR =

dengan n menyatakan banyaknya data