web viewkonsep – konsep topologi. definisi. 5.1. diberikan (x,) adalah suatu ruang topologi...

25

BAB 5

RUANG BAGIAN

5.1 KONSEP – KONSEP TOPOLOGI

Definisi 5.1

Diberikan (X,) adalah suatu ruang topologi pada X dan A X

Diberikan A = {G A G } Maka A adalah suatu topologi pada A dan disebut topologi

relatif pada A. Ruang topologi (A, A ) dinamakan ruang bagian dari (X, ) Akan ditunjukan

bahwa A memenuhi kondisi

C1. Jelas bahwa A dan A = X A.

Karena danv X maka A dan A A.

C2. Sekarang ambil bahwa U A dan V A

Maka terdapat G dan H sedemikian hingga

U = G A dan V = H A

Dari sini : U V = G A H A.

= ( G H ) A.

Karena G H maka jelas bahwa U V A.

C3. Ambil { Ui } I I adalah klas dari anggota-anggota A.

Untuk setiap i I. terdapat Gi sedemikian sehingga Ui = Gi A.

Dari sini ¿i+1Ui =

¿i+1( Gi A )

= (¿i+1Gi ) A

Karena ¿i+1 Gi maka

¿i+1Ui A

Denganm demikian jelac C3 dipenuhi yaitu jika { Ui }i l adalah klas dari anggota-anggota A.

Maka ¿i+1UI A.

Contoh 5.1

1. Diberikan = { , X, { b }, { a, b}, {b, c}} adalah topologi [ada X= Ambil A = {a ,b}Maka untuk G = ==> A =

G = X ==> X A ={a ,b}

G = { b } ==> { b } A = { b }

G = { a, b } ==> { a, b } A = { a, b }

G = { b, c } ==> { b, c } A = { b }

Dari sini A = { , { b }, { a, b }}. Adalah topologi pada A = {a, b }.

Dan ( A, A ) adalah ruang bagian dari ( X, )

Ruang Bagian Pengantar Topologi

26

5.1 BASIS UNTUK SUATU TOPOLOGI

Definisi 5.2

Diberikan ( X, ) adalah ruang topologi dan B P ( X ) . suatu klas himpunan B

merupakan basis untuk Topologi jika anggota dari ( yaitu setiap himpunan terbuka dari X )

merupakan union (gabungan) dari sebarang anggota-anggota dari B .

Jadi jika B adalah basis untuk topologi dan G maka untuk setiap x G terdapat BX B

Sedemikian sehingga x BX G .

Contoh 5.2.

1. Diberikan = { , X, {b}, {c},{b,c}, {a,b,c}, {b,c,d}}

adalah topologi pada X = {a, b,c,d}.

Jika B = {{b},{c], {a,b,c}, {b,c,d},} maka B merupakan basis untuk topologi karena

setiap anggota dari merupakan gabungan dari jumlah anggota B. ini dapat ditunjukan

demikan.

{ b } { c } = { b,c }

{ a, b, c } { b, c,d } = { a,b,c,d }

Untuk anggota yang lain sudah jelas

2. Diberikan D = P (X) anggota tipologi diskrit pada X = {a,b,c }

Bila BI = {{ a }, {b }, { c }} maka BI merupakan basis untuk topologi diskrit D itu

Tetapi bila B2 = {{ a,},{b},{c}} maka B2 bukan merupakan basis untuk topologi diskrit D

karena terdapat anggota dari D (yaitu {b,c}} yang bukan merupakan gabungan dari anggota-

anggota B2.

3. Diberikan B adalah koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil R. yaitu B= {(a,b), a,b

R, a < b}, dimana (a,b) = {x R A< x < b}. R adalah himpunan bilangan riil. Maka B

merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.

Karena setiap bilangan riil r R pasti terletak pada suatu interval terbuka.

Sehingga R merupakan gabungan ( union ) dari anggota-anggota B.

Selanjutnya interseksi ( irisan ) dua interval terbuka sebarang anggota B adalah kosong atau

interval terbuka lagi, yang berarti bahwa juga merupakan anggota B.

Jadi jika U adalah koleksi interval terbuka ( a, b ), yang merupakan gabungan ( union )

anggota-anggota B maka U adalah suatu topologi pada R.

Dengan kata lain, B merupakan basis untuk topologi U yang selanjutnya U disebut topologi

usual pada garis bilangan riil R.


27

syarat perlu dan cukup agar B P ( X ) adalah basis untuk topologi pada X diberikan

oleh teorema berikut ini :

Teorema 5.1.

Diberikan X dan B P ( X )

B adalah basis untuk topologi pada X jika dan hanya jika

1. X = { B B B }

2. Untuk setiap BI , B2 B ; jika x B1 B2 maka terdapat BX B sedemikian sehingga x

BX B1 B2.

Bukti :

1. (==>) Misalnya bahwa B adalah basis untuk topologi dan X.

Karena menurut kondisi C1 dari definisi 2.1.1., X maka X merupakan gabungan

dari anggota-anggota B.

Yang berarti bahwa X = { B B B }

2. Jika B1 , B2 B maka B1, B2 .

Dan menurut definisi 2.1.1. maka B1 B2 .karena B adalah basis topologi maka

B1 B2 merupakan gabungan dari anggota-anggota B. selanjutnya jika x B1 B2

maka terdapat BX B sedemikaian sehingga x BX B1 B2.

Misalnya kondisi 1 dan 2 dipenuhi :

Akan dibuktikan bahwa terdapat topologi sedemikian sehingga B merupakan basis

untuk topologi . Diberikan adalah koleksi yang terdiri dari dan semua himpunan

bagian dari X yang dapat di nyatakan sebagai gabungan dari anggota –anggota B.

yang berarti bahwa setiap anggota dari merupakan gabungan dari anggota – anggota

B.

Jika adalah topologi pada X maka B merupakan basis bagi topologi . Sehingga akan

ditunjukkan bahwa adalah topologi pada X

C1. Menurut kondisi 1., X = B B B .

Dari sini jelas dipenuhi bahwa X dan

C2. Untuk menunjukkan bahwa kondisi C2 Ddipenuhi, hanya perlu di tunjukkan bahwa

irisan dari dua anggota adalah dapat di nyatakan sebagai gabungan dari anggota-

anggota B. Diberikan G1 , G2 , dan x G1 G2. Maka terdapat B1, B2 B dengan

x B1 G1 dan x B2 G2.Yang berarti bahwa x B1 B2 G1 G2. Menurut

kondisi 2, maka terdapat BX B sedemikian sehingga x BX B1 B2 G1 G2.

Dengan demikian G1 G2 dapat di nyatakan sebagai gabungan dari anggota-anggota

B.


28

Yang berarti bahwa G1 G2 .

C3. Diberikan Gi i I dengan Gi

Menurut definisi dari basis untuk suatu topologi. Maka untuk setiap i I, Gi

merupakan gabungan dari anggota-anggota B.

Sehingga Gi juga merupakan gabungan dari anggota-anggota B. yang berarti

bahwa Gi

Jadi jika Gi i I , Gi maka Gi

Karena C1, C2, C3, dipenuhi maka iI terbukti bahwa merupakan topolodi pada X.

Jadi teorema tersebut telah terbukti dengan lengkap.

Contoh 5.3.

1. Diberikan = , X, b, c, b, c, a, b, c, b, c, d

adalah topologi pada X = a,b,c,d.

Bila B = b , c , a,b,c , b,c,d maka B merupakan basis untuk topologi pada X

Dengan menggunakkan teorema 2.5.1. akan ditunjukkan bahwa kiondisi 1 dan kondisi 2

dipenuhi.

Kondisi 1.

X = b c a, b, c b, c, d .

= a, b, c, d .

Kondisi 2

Untuk B1 = a, b, c , B2 = b, c, d .

Karena b { a, b, c } { b, c, d } maka terdapat { b } B sedemikian sehingga b { b }

{ a, b, c } { b, c, d }.

Untuk B2 = { c }, B2 = { a, b, c}

Karena C {c} { a, b, c } maka terdapat { e } B sedemikian sehingga C {c} {c}

{a, b, c}

Untuk B1 = {b}, B2 = {a, b, c}.

Karena C {b} { a, b, c } maka terdapat { b } B sedemikian sehingga b {b} {b}

{a, b, c}

Untuk B1 = {b, c}, B2 = {a, b, c}

Karena b {b, c} { a, b, c } maka terdapat { b, c } B sedemikian sehingga b {b, c}

{b, c} {a, b, c}

1. Diberikan B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil R, yaitu

B1 = {(a, b] a, b R, a < b }. Dimana (a, b] = { x R a < x < b }, R adalah himpunan


29

bilangan riil. Karena setiap bilangan riil r R terletak pada suatu interval terbuka tertutup

dari B1. Maka R merupakan gabungan (union) dan anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan

(interseksi) dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval

terbuka tertutup lagi.

Yang berarti juga anggota dari B1. Menurut teorema 2.5.1., jika A merupakan koleksi

interval terbuka tertutup (a, b] maka A merupakan suatu topologi pada R.

Dengan kata lain, B1 merupakan basis untuk topologi A. dan topologi ini dinamakan

topologi limit atas (upper limit topology) pada R.

2. Secara sama, bila B2 = {[a, b) a, b R, a < b} yaitu koleksi interval tertutup terbuka

pada garis bilangan riil R., dimana [ a, b ) = { x R a < x < b }.

Maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi L pada R dan topologi ini dinamakan

topologi limit bawah (lower limit topologi) pada R.

3. Bila B3 = {(a, b) a, b R, a < b} yaitu koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil

R., dimana (a, b) – {x R a < x < b}.

Maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.

4. Beitu juga, bila B4 adalah koleksi dari disc terbuka maka B4 merupakan basis untuk

topologi usual U pada bidang R2.

Demikian juga2 bila B5 adalah koleksi dari segi empat terbuka pada bidang R2 maka B5

juga merupakan basis untuk topologi usual U pada bidang R2.

Teorema 5.3

Jika B1 merupakan suatu basis untuk topologi pada X dan B2 merupakan koleksi dari

himpunan terbuka pada X1 dimana B1 B2 maka B2 adalah juga merupakan basis bagi topologi

.

Bukti :

Misalnya G adalah himpunan bagian terbuka dari X. karena B1 merupakan suatu basis untuk

topologi pada X maka G merupakan gabungan dari anggota-anggota B1

Yang berarti bahwa G = ¿i+1 B1 dimana B1 B1

Tetapi karena B1 B2 maka berlaku untuk setiap Bi B1 juga merupakan anggota dari B2

Yang berarti bahwa G adalah merupakan gabungan dari anggota-anggota B2.

Dengan demikian B2 merupakan basis untuk topologi pada X juga.

Berdasarkan teorema 5.3 ini, dapat diambil kesimpulan bahwa basis untuk suatu topologi

adalah tidak tunggal.


30

Contoh 5.4.

1. Bila B1 = {{ a, b, c, d }, { a, c, d }, { a, d }, { d, e }, {d}, {e}}.

Maka 1 = { , X, { a, b, c, d }, { a, c, d }, { a, d }, { d, e }, {d}, {e}, {a, c, d, e}, {a, d,

e}}.

Adalah topologi pada X = {a, b, c, d, e}

Sekarang bila B2 = { X, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d, e}, {d}, {a, d}, (d, e}, {e}, {d, e}}

maka

2 ={, X, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {a, c, d}, {a, d, e }, {a, d}, (d, e}, {d},

{e}}.

Adalah topologi pada X = {a, b, c, d, e}.

Dari sini jelas terlihat bahwa B1 B2 dan 1 = 2.

Dengan demikian B1 dan B2 merupakan basis-basis untuk topologi yang sama.

5.2 Subbasis Untuk Suatu Topologi

Definisi 5.2

Diberikan (Xm ) adalah ruang topologi pada X dan Y P (X). suatu klas himpunan Y P

(X) merupakan subbasis untuk topologi jika setiap anggota (himpunan terbuka) merupakan

gabungan dari irisan berhingga anggota-anggota Y.

Dengan kata lain, Y merupakan subbasis untuk topologi jika koleksi irisan berhingga dari

anggota-anggota Y merupakan basis untuk topologi .

Contoh 5.5

1. Misalnya X = { a, b, c }

Y = {{a}, {a, c}}

Maka B = {{a}, {a, c}, X}

X B karena X = I { Si Y I }.

Dari sini dapat dibentuk suatu topologi pada X sebagai berikut :

= {, {a}, {a, c}, X}

karena = I { Bi B} I }.

2. Koleksi (I, Ib}, dengan Ia = { x R x > a, a R} dan Ib = {x R x < b, b R}

merupakan subbasis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.

Karena Ia Ib = (a, b)

= {x R a < x < b, a, b R} dan bahwa


31

B = {(a, b) a, b R, a < b} merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan

riil R.

a. Irisan dari strip terbuka tak terhingga vertical dan strip terbuka tak terhingga

horizontal dalm bidang R2 merupakan segiempat terbuka seperti terlihat dalam

gambar. Karena segiempat terbuka adalah merupakan basis untuk topologi usual U

pada bidang R2 maka koleksi dari strip terbuka tak terhingga verikal dan horizontal

adalah subbasis untuk topologi usual U pada bidang R2.

Teorema 5.4.

Suatu klas A P ( X ) pasti merupakan subbasis untuk suatu topologi pada X

Bukti :

Teorema ini mengadung pengertian bahwa irisan berhingga dari anggoata-anggota A

membentuk suatu basis untuk topologi pada X.

Oleh karena itu untuk membuktikan teorema ini, akan ditunjukan bahwa klas B dari irisan

berhingga anggota-anggota A memenuhi dua kondisi dari teorema 5.4.

1. Jelas dipenuhi karena menurut definisi yaitu

X = I {Ai A I }, sehingga X = {B B B }.

2. Jika B1, B2 B maka B1 dan B2 merupakan irisan berhingga dari anggota-anggota A. dari

sini B1 B2 juga merupakan irisan berhingga dari anggota-anggota A.

Dengan demikian B1 B2 merupakan anggota dari B Yang berarti bahwa B1 B2

merupakan anggota dari

Dari sini terlihat jelas bahwa suatu B1, B2 B maka B1 B2 merupakan gabungan dari

anggota-anggota B.

Dengan demikian, B merupakan basis untuk topologi pada X, untuk mana A sebagai

subbasis.

Contoh 5.6

1. Diberikan X = {a, b, c, d, e } dan


32

A = {{ a, b, c}, {c, d}, {d, e}, {e}}.

Tentukan topologi pada X yang dihasilkan oleh A

Penyelesaian :

Pertama kali dibentuk B yaitu klas dari semua irisan berhingga dari anggota-anggota A.

B = {X, {a, b, c}, {e, d}, {d, e}, {c}, {d}, }.

(X B karena X = I (Ai A i )).

Selanjutnya dibentuk adalah klas dari anggota-anggota B

= {X, {a, b, c}, {c, d}, {d, e}, {c}, {d}, , {a, b, c, d}, {c, d, e}}

Topologi pda X = {a, b, c, d, e} adalah topologi yang dihasilkan oleh A.

2. Diberikan A merupakan klas dari semua setengah bidang terbuka H pada bidang R2 yaitu :

H = {<x, y > a < x, x < b, c < y, y < d}

Dari A dibentuk A yaitu dengan membuat irisan keempat setengah terbuka (H1, H2, H3,

H4). Yang berarti bahwa setiap segiempat terbuka merupakan irisan keempat setengah

bidang terbuka, yaitu B = { <x, y> a < x < b, c < y < d }.

Seperti terlihat dalam gambar berikut :

Karena klas dari semua segiempat terbuka B adalah suatu basis untuk topologi usual

pada bidang R2 maka klas A merupakan subbasis untuk topologi usual U pada bidang

R2 yang berarti bahwa A menghasilkan topologi usual U pada bidang R2.


33

Berdasarkan teorema 5.4.1. diatas, dapat disimpulkan bahwa subbasis dari suatu topologi

adalah tidak tunggal. Hal dilihat pada contoh berikut ini :

Contoh 5.7

Diberikan X = {a, b, c, d, e }

Misalnya J1 = {{a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {e}, X}.

J2 = {X, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.

Maka dapat dibentuk basis-basis untuk topologi yaitu :

B1 = {X, {a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.

B2 = {X, {a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.

Karena B1 = B2 maka dapat dibentuk suatu topologi pada X uang dihasilkan oleh J1 dan J2

= {X, {a, b, c, d{, {a, c, d}, {a, c, d,e}, {a, d, e}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, }.


web viewkonsep – konsep topologi. definisi. 5.1. diberikan (x,) adalah suatu ruang topologi...

Documents