BAB I

PROGRAM LINEAR

Program Linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya.

Program Linier banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, indutri, militer, social dan lain-lain.

1.1 Metode Grafik

Setelah dapat membuat Model Matematika (merumuskan) persoalan Program Linier, maka untuk menentukan penyelesaian Persoalan Program Linier dapat menggunakan 2 metode, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simpleks. 1. Metode Grafik

Penyelesaian masalah program Linier dengan menggunakan metode grafis pada

umumnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :

1. Merumuskan masalah asli menjadi model matematika yang sesuai dengan syarat-syarat yang diperlukan dalam model Program

1 Program linear

Linier, yaitu mempunyai fungsi tujuan, fungsi kendala, syarat ikatan non-negatif.

2. Kendala-kendala yang ada digambar hingga dapat diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)/Wilayah Kelayakan)/Daerah Fisibelyang titik-titik sudutnya diketahui dengan jelas.

3. Nilai fungsi sasaran (fungsi tujuan) dihitung di setiap titik sudut daerah penyelasaian (DMK).

4. Dipilih nilai yang sesuai dengan fungsi tujuan (kalau memaksimumkan berarti yang nilainya terbesar dan sebaliknya).

5. Jawaban soal asli sudah diperoleh.

Catatan :

Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber "dimensi" : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam "menyampaikan" sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis).

Program linear 2

Contoh Soal :

"PT. Rakyat Bersatu" menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000,-. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?Jawab :*) Merumuskan permasalahan Program Linier ke dalam model Matematika :Misalkan : Akan diproduksi produk I sejumlah Xi unit dan produk II akan diproduksi sejumlah X2 unit.Maka Fungsi tujuannya adalah : Mamaksimumkan :

Z = 3000 Xi + 3000 X2

3 Program linear

Ma Mb Mc Harga jual per unit

Produk I 2 jam 2 jam 4 jam Rp. 3000,-Produk II i jam 3 jam 3 jam Rp. 3000,-Jumlah Mesin 3 buah 6 buah 9

buahMemaksimumkan

Lama Operasi i0 jam/mesin

i0 jam/mesin

8jam/mesin

Total waktu Operasi

30 jam 60 jam 72 jam

Keterangan :Lama operasi adalah dalam jam/hari/mesin.Total waktu operasi adalah sama dengan jumlah mesin x lama operasi (dalam jam/hari/tipe mesin). Syarat Ikatan (fungsi Kendala):

2Xi + X2 < 30. i)2Xi + 3X2 < 60ii)4Xi + 3X2 < 72iii)dan Xi > 0; X2 > 0 (Syarat Non Negatif).*) Menggambar fungsi-fungsi kendala sehingga diperoleh daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah kelayakan). Titik potong-titik potong dari ketidaksamaan fungsi kendalanya adalah :

Program linear 4

a). Untuk persamaan 2Xi + X2 = 30 (i), titik potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 :

2Xi + 0 = 30 diperoleh Xi = i5 maka titik potong dengan sumbu-Xi adalah (15,0).Sedangkan titik potong dengan

sumbu-X2 jika Xi = 0 : 0 + X2 = 30 diperoleh X2 = 30 maka titik potong

dengan sumbu-X2 adalah (0,30).b) . Untuk persamaan 2Xi + 3X2 =

60 ....(ii), titik potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 : 2Xi + 0 = 60 diperoleh Xi = 30 maka titik potong dengan sumbu-Xi adalah (30,0).Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi = 0 :0 + 3X2 = 60 diperoleh X2 = 20 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,20).

c) . Untuk persamaaan 4Xi + 3X2 = 72 ....(iii), titik potong dengan sumbu-Xi jika X2 = 0 : 4Xi + 0 = 72 diperoleh Xi = i8 maka titik potong dengan sumbu-Xi adalah (18,0).

Sedangkan titik potong dengan sumbu-X2 jika Xi = 0 :

5 Program linear

0 + 3X2 = 72 diperoleh X2 = 24 maka titik potong dengan sumbu-X2 adalah (0,24).

Sehingga jika digambarkan pada Koordinat Cartesius adalah :

Daerah Fisibel (Wilayah Kelayakan / Daerah yang Memenuhi Kendala (DMK)) adalah daerah yang

Program linear 6

Gambar Grafik Contoh Soal

merupakan irisan dari daerah yang memenuhi kendala :

1) . 2Xi + X2< 30,2) . 2Xi + 3X2< 60 ,3) . 4Xi + 3X2< 72,4) .Xi> 0;5) . X2> 0Jadi daerah yang memenuhi ke-5 daerah tersebut terletak di dalam daerah yang dibatasi oleh titik- titik O(0,0), A(15,0), D(0,20), titik B yaitu titik potong antara garis 2Xi + X2 = 30 dan garis 4Xi + 3X2 = 72 , dan titik C adalah titik potong antara garis 2Xi + 3X2 = 60 dan garis 4Xi + 3X2 = 72. . Adapun cara menghitung titik B dan C tersebut dengan menggunakan metode Eliminasi dan Substitusi, sebagai berikut:*) Titik B perpotongan antara garis 2Xi + X2 = 30 dan garis 4Xi + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi Xi, dapat dihitung :

4Xi + 2X2 = 60 i)4Xi + 3X2 = 72 iii)

- X2 = - i2 ^ X2 = 12 Untuk X2 = i2 disubstitusikan ke

7 Program linear

persamaan 2Xi + X2 = 30 sehingga : 2Xi + i2 = 30 ^ X1 = 9 maka titik B adalah (9,12)*) Titik C perpotongan antara garis 2Xi + 3X2 = 60 dan garis 4Xi + 3X2 = 72, dengan mengeliminasi X2, dapat dihitung :

2Xi + 3X2 = 60. i)4Xi + 3X2 = 72. iii)

- 2Xi = - i2 ^ X1 = 6 Untuk Xi = 6 disubstitusikan ke persamaan 2Xi + 3X2 = 60 sehingga : i2 + 3X2 = 60 ^ X2 = 16 maka titik C adalah (6,16)

Daerah penyelesaian (Daerah yang Memenuhi Kendala/Wilayah Kelayakan) adalah daerah OABCD yang titik-titik sudutnya adalah : 0(0,0), A(15,0), B(9,12), C(6,16), dan D(0,20).

*) Penyelesaian dari soal diatas adalah menghitung nilai fungsi sasaran (Z = 3000 Xi + 3000 Xs) di setiap titik sudut-titik sudut Daerah yang Memenuhi Kendala, sehingga:

Program linear 8

di titik O (0,0) — Z (0,0) = 3000. (0) + 3000.(0) = 0, di titik A (15,0)—> Z (15,0) = 3000.(15) + 3000.(0) = 45.000,00 di titik B (9,12) — Z (9,12) = 3000.(9) + 3000.(12) = 63.000,00 di titik C (6,16)— Z(6,16) = 3000.(6) + 3000.(16) = 66.000,00 di titik D (0,20)— Z(0,20) = 3000.(0) + 3000.(20) = 60.000,00 *) Fungsi Tujuan adalah mencari nilai maksimumnya sehingga nilai yang sesuai adalah terletak pada titik C(6,16) yaitu dengan nilai fungsi tujuannya Rp. 66.000,00

*) Sehingga agar diperoleh laba yang maksimum maka Pimpinan "PT. Rakyat Bersatu" harus memproduksi Produk I sebanyak 6 unit dan Produk II sebanyak 16 unit, sehingga mendapat laba maksimum sebesar Rp.66.000,00.

1.2 Formulasi Model Program Linier

Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumberdaya langka. Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya itu. Hasil yang dinginkan mungkin ditunjukkan

9 Program linear

sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimisasi pada biaya, waktu dan jarak.

Setelah masalah di identifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematika yang meliputi tiga tahap seperti berikut :

Tentukan variable yang tidak diketahui (Variabel keputusan) dan nyatakan dalam symbol matematika.

Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variable keputusan.

Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variable keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu.

1.3 Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.

Contoh:

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk

Program linear 10

memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis bahan

baku dan tenaga kerja

Kg bahan baku & Jam tenaga kerja

Maksimum penyediaa

nKain sutera

Kain wol

Benang sutera

2 3 60 kg

Benang wol - 2 30 kgTenaga kerja

2 1 40 jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Langkah-langkah:

1) Tentukan variabel

11 Program linear

X1=kain sutera

X2=kainwol

2) Fungsi tujuan

Zmax= 40X1 + 30X2 3) Fungsi kendala / batasan

1. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)

2. 2X2 ≤ 30 (benang wol)

3. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja)

4) Membuat grafik

1. 2X1 + 3 X2 = 60X1=0, X2 =60/3 = 20 X2=0, X1= 60/2 = 30

2. 2X2 ≤ 30 X2=15

3. 2X1 + X2 ≤ 40 X1=0, X2 = 40 X2=0, X1= 40/2 = 20

Program linear 12

Cara mendapatkan solusi optimal adalah dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.

Titik A X1=0, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0 Titik B X1=20, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 20 + 30 . 0Z = 800 Titik C

13 Program linear

Mencari titik potong (1) dan (3)2X1 + 3X2 = 60 2X1 + X2 = 40 - 2X2 =20

X2=10 Masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + 3 .10 = 60 2X1 + 30 = 60 2X1 = 30X1 = 15 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40X1 + 30X2Z = 40 . 15 + 30 . 10 Z = 600 + 300 = 900 (optimal) Titik D 2X2 = 30 X2 = 15masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3 . 15 = 60

Program linear 14

2X1 + 45 = 60 2X1 = 15 X1 = 7,5 masukkan nilai X1 dan X2 ke ZZ = 40 . 7,5 + 30 . 15 Z = 300 + 450 Z = 750 Titik E X2 = 15 X1 = 0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 .15 Z = 450 Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta.

1.4 Masalah Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung

15 Program linear

daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh :

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis makanan

Vitamin (unit)

Protein (unit)

Biaya per unit (ribu rupiah)

Royal Bee 2 2 100Royal Jelly 1 3 80minimum kebutuhan

8 12

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.

Langkah – langkah:

1. Tentukan variabel

X1 = Royal Bee

Program linear 16

X2 = Royal Jelly

2. Fungsi tujuan

Zmin = 100X1 + 80X2 3. Fungsi kendala

1. 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin) 2. 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein) 3. X1 ≥ 2 4. X2 ≥1

4. Membuat grafik

1) 2X1 + X2 = 8X1 = 0, X2 = 8 X2 = 0, X1 = 4

2) 2X1 + 3X2 = 12 X1 = 0, X2 = 4 X2 = 0, X1 = 6

3) X1 = 2 4) X2 = 1

17 Program linear

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2).

2X1 + X2 = 8 2X1 + 3X2 = 12 - -2X2 = -4 X2 = 2 masukkan X2 ke kendala (1)

2X1 + X2 = 8 2X1 + 2 = 8 2 X1 = 6 X1 = 3 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Program linear 18

Z min = 100X1 + 80X2 Z min = 100 . 3 + 80 . 2 Z min = 300 + 160Z min = 460 Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

SOAL LATIHAN

1. Maksimumkan Z = 4X + 5Y

Kendala :

1) 3X + 2Y ≤ 12 2) 3X + 4Y≤ 18 X≥ 0 , Y ≥ 0 Penyelesaian :

1. Langkah-langkah:

1) Fungsi tujuan

Zmax= 4X + 5Y

19 Program linear

2) Fungsi kendala / batasan

3X + 2Y ≤ 12 3X + 4Y≤ 18 X1≥ 0 , X2 ≥ 0

3) Membuat grafik

3X + 2Y ≤ 12X=0, Y =12/2 = 6 (0,6)Y=0, X= 12/3 = 4 (4,0)

3X + 4Y≤ 18 X=0, Y =18/4 = 19/2 (0,19/2)Y=0, X= 18/3 = 6 (6,0)

65

Program linear 20

4 B3 C21 A D0 1 2 3 4 5 6 7Cara mendapatkan solusi optimal adalah dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.

Titik A

X=0, Y=0 Z = 4 . 0 + 5 . 0 = 0 Titik B

X=0, Y=4 Z = 4 . 0 + 5 . 4 = 20 Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3)

3X + 2Y = 123X + 4Y = 18 - -2Y = -6 Y=3 Masukkan Y ke kendala (1)

3X + 2Y = 12 3X + 2 .3 = 12

21 Program linear

3X + 6 = 123X = 6X = 2masukkan nilai X1 dan X2 ke Z

Zmax = 4X + 5YZmax = 4 . 2 + 5 . 3Zmax = 8 + 15Zmax = 23 MAXTitik D

X=4, Y=0 Z = 4 . 4 + 5 . 0 = 16 Kesimpulan :

X = 2 dan Y = 3 dengan nilai max = 23.1.5 Pemecahan Dasar (Basis)

Contoh Soal

4 x+3 y+2 z≤12

5 x+4 y+3 z≤12

x , y , z≥0

Tentukan nilai maksimum T=2 x+3 y+z

Program linear 22

Penyelesaian :

m = Jumlah variable

n = jumlah persamaan

4 x+3 y+2 z+u=12

2 x+4 y+3 z+v=12

C nm=C2

5

C25= 5 !2!3 !

=5×4×3×2 !2 !3 !

=10

x=0 , y=0 , z=0 ,u=12 , v=12

x=0 , y=0 ,u=0 , z=6 , v=−6

4 x+3 y+2 z+u=12

4.0+3.0+2 z+0=12

2 z=12

z=6

2 x+4 y+3 z+v=12

2.0+4.0+3.6+v=12

18+v=12

v=−6

23 Program linear

Menambahkan setiap persamaan dengan sebuah variable tambahan atau variable slack

x=0 , y=0 , v=0 , z=4 , u=4

2 x+4 y+3 z+v=12

2.0+4.0+3. z+0=12

3 z=12

z=4

4 x+3 y+2 z+u=12

4.0+3.0+2.4+u=12

8+u=12

u=4

x=0 , z=0 , u=0 , y=4 , v=−4

4 x+3 y+2 z+u=12

4.0+3 y+2.0+0=12

3 y=12

y=4

2 x+4 y+3 z+v=12

2.0+4.4+3.0+v=12

16+v=12

v=−4

Program linear 24

x=0 , z=0 , v=0 , y=3 , u=3

2 x+4 y+3 z+v=12

2.0+4 y+3.0+0=12

4 y=12

y=3

4 x+3 y+2 z+u=12

4.0+3.3+2.0+u=12

9+u=12

u=3

y=0 , z=0 ,u=0 , x=3 , v=6

4 x+3 y+2 z+u=12

4 x+3.0+2.0+0=12

4 x=12

x=3

2 x+4 y+3 z+v=12

2.3+4.0+3.0+v=12

6+v=12

v=6

25 Program linear

y=0 , z=0 , v=0 , x=6 , u=−12

2 x+4 y+3 z+v=12

2 x+4.0+3.0+0=12

2 x=12

x=6

4 x+3 y+2 z+u=12

4.6+3.0+2.0+u=12

24+u=12

u=−12

u=0 , v=0 , x=0 , y=12, z=−12

3 y+2 z=124 y+3 z=12|×3×29 y+6 z=368 y+6 z=24y=12

−¿

Subtitusi y ke persamaan 1

3 y+2 z=12

3.12+2 z=12

36+2 z=12

Program linear 26

2 z=−24

z=−12

u=0 , v=0 , y=0 , x=32, z=3

4 x+2 z=122 x+3 z=12|×1×24 x+2 z=124 y+6 z=24−4 z=−12z=3

−¿

Subtitusi x ke persamaan 1

4 x+2 z=12

4 x+2.3=12

4 x+6=12

4 x=6

x=32

u=0 , v=0 , z=0 , x=65, y=12

5

4 x+3 y=122x+4 y=12|×1×24 x+3 y=124 y+8 y=24−5 y=−12

y=125

−¿

27 Program linear

Subtitusi y ke persamaan 1

4 x+3 y=12

4 x+3 (125 )=124 x+ 36

5=12

4 x=245

x=65

Var basis Var non basis

ket T=2 x+3 y+z

u=12;v=12 x=0 ; y=0 ; z=0

L 0

z=6;v=-6 x=0 ; y=0 ; u=0

TL -

z=4;u=4 x=0 ; y=0 ; v=0

L 4

y=4;v=-4 x=0 ; z=0 ; u=0

TL -

y=3;u=3 x=0 ; z=0 ; v=0

L 9

x=3;v=6 y=0 ; z=0 ; u=0

L 6

x=6;u=-12 y=0 ; z=0 ; v=0

TL -

y=12;z=-12 u=0 ; v=0 ; x=0

TL -

Program linear 28

x=32;z=3 u=0 ; v=0 ; y=0

L 6

x=65;y=125u=0 ; v=0 ;

z=0L 48

5 (max)

BAB II

29 Program linear

METODE SIMPLEKS

2.1 Pengantar

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan

Program linear 30

variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi

31 Program linear

optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom kunci (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris kunci (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Unsur kunci (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel pendatang adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel perantau adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

2.2 BENTUK BAKU

Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke

Program linear 32

dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).Perhatikan kasus A berikut :

Fungsi tujuan :

minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2

33 Program linear

Kendala :

x1 + x2 = 900.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.90.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 270.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5x1, x2 ≥ 0

Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi :

Fungsi tujuan :

minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2Kendala :

x1 + x2 + s1 = 900.001 x1 + 0.002 x2 + s2 = 0.90.09 x1 + 0.6 x2 – s3 + s4 = 270.02 x1 + 0.06 x2 + s5 = 4.5x1, x2 , s1, s2, s3, s4, s5 ≥ 0

Fungsi kendala pertama mendapatkan variable buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat mendapatkan variabel slack (s2

dan s5) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala

Program linear 34

ketiga mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel buatan (s4) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.

Perhatikan pula kasus B berikut ini :

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2Kendala :

10 x1 + 5 x2 ≤ 6006 x1 + 20 x2 ≤ 6008 x1 + 15 x2 ≤ 600

x1, x2 ≥0Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut :

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3Kendala :

10 x1 + 5 x2 + s1 = 6006 x1 + 20 x2 + s2 = 6008 x1 + 15 x2 + s3 = 600x1, x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0s1 , s2 , s3 merupakan variable slack.

35 Program linear

2.3 Metode Simpleks dengan Operasi Baris

Contoh Soal :

Maksimumkan z = 4000x1 + 3000x2Kendala :

100 x1 + 200 x2 ≤ 9000400 x1 + 200 x2 ≤ 12000x1, x2 ≥0Penyelesaian :x3 , x4=variabel slack100 x1 + 200 x2 +x3= 9000400 x1 + 200 x2 +x4= 12000Z=4000x1+3000x2Z – 4000x1 – 3000x2=0k 1k⃗ 2z⃗ [ 100 200 1

400 200 0−4000 −3000 0

010|9000120000 ] 1400 B2

→

[ 100 200 1

1 12

0

−4000 −3000 0

014000

|9000300 ] B1−100 B2→

B3+4000 B2

Program linear 36

[0 150 1 −14

1 12

0 1400

0 −1000 0 10| 600030120000] 150 B1→

[0 1 1150

−1600

1 12

0 1400

0 −1000 0 10| 4030

120000] B2−12 B1→

B3+1000B1

[0 1 1150

−1600

1 0 −1300

1300

0 0 10015

506

| 4030

160000]Jadi Zmax=160000 saat x1=10 ; x2=40

2.4 Metode simpleks dengan table variable dasar

Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel.

Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu

37 Program linear

kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal. Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :

VB X1 X2 S1 S2 S3 SolusiZ -2 -3 0 0 0 0S1 10 5 1 0 0 600S2 6 20 0 1 0 600S3 8 15 0 0 1 600

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CARA 1

Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :

1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.

2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimisasi , maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif

Program linear 38

terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabl keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.

4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.

39 Program linear

6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no. 2 , jika sudah optimal baca solusi optimalnya.

Rumus yang digunakan:

yr’ = y rxrk (untuk baris ke – r yang terdapat

elemen pivot)

yi’ = yi – bi ar (untuk baris ke – i yang tidak terdapat elemen pivot)

Keterangan:

yr’ = elemen baris ke – r pada tabel yang baru

yi’ = elemen baris ke – i pada tabel yang baru

yr = elemen baris ke – r pada tabel yang lama

yi = elemen baris ke – i pada tabel yang lama

bi = elemen baris ke – i pada tabel lama yang se-kolom dengan elemen pivot

ar = elemen baris ke – r pada tabel yang baru

Program linear 40

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CARA 2

1. Rumuskan dan standarisasi modelnya

Optimumkan :z−c1 x1−c2 x2−…−cn xn=0

a11x1+a12 x2+…+a1n xn±S1=b1

Terhadapam1 x1+am2 x2+…+amn xn±Sn=bn

2. Bentuk tabel pertama

VD Z x1 x2 … xn S1 S2 … Sn CZ 1 c1 c2 … cn 0 0 … 0 0S1 0 a11 a12 … a1n 0 1 … 0 0S2 0 a21 a22 … a2n 1 0 … 0 0… … … … … … … … … … …S3 0 am1 an1 … amn 0 0 … 1 0

3. Tentukan ”variabel pendatang” yaitu kolom kunci dari nilai Z yang paling negatif

4. Menentukan ”variabel perantau” yaitu baris kunci dari nilai rasio terkecil

5. Memasukkan variabel pendatang ke kolom VD

Transformasi baris kunci :

41 Program linear

baris kunci baru=baris kuncilamaunsur kunci

Tansformasi baris-baris lain :

6. Pengujian optimalisasi

Jika semua baris dasar baris Z sudah tidak ada lagi yang negatif => max

Jika semua baris dasar baris z sudah tidak ada lagi yang positif => min

Berarti proses selesai

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3Kendala :

x1 + x2 + 2x3 ≤ 22x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 37x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8

Program linear 42

baris kunci = baris lama – (baris pada kolom kunci x baris kunci baru)

x1,x2,x3 ≥ 0Penyelesaian :

Bentuk bakunya adalah :

Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 atau

z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0Kendala :

x1 + x2 + 2x3 + s1 = 22x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 37x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0Solusi / table awal simpleks :

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK RasioZ -8 -9 -4 0 0 0 0S1 1 1 2 1 0 0 2S2 2 3 4 0 1 0 3S3 7 6 2 0 0 1 8Karena nilai negative terbesar ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom pivot terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris

43 Program linear

s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2

adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK RasioZ -8 -9 -4 0 0 0 0S1 1 1 2 1 0 0 2 2S2 2 3 4 0 1 0 3 1S3 7 6 2 0 0 1 8 8/6Iterasi 1

Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK RasioZS1x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1S3Perhitungan nilai barisnya :

Baris z :

-8 -9 -4 0 0 0 0 -9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

-2 0 8 0 3 0 9

Program linear 44

Baris s1 :

1 1 2 1 0 0 2 1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1Baris s3 :

7 6 2 0 0 1 8 6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -

3 0 -6 0 -2 1 2Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1 masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini :

B X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK RasioZ -2 0 8 0 3 0 9 -S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 3/2S3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3

45 Program linear

Variabel masuk dengan demikian adalah X1

dan variabel keluar adalah S3 . Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :

Iterasi 2 :

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK RasioZ 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !

Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian tinggi, khususnya jika angka yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.

Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari

Program linear 46

kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.

MEMBACA TABEL OPTIMAL

Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari table optimal :

1. Solusi optimal variable keputusan2. Status sumber daya3. harga bayangan (dual/shadow prices).

Menggunakan table optimal :

VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NKZ 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3Solusi optimal X1 = 2/3, X2 = 5/9 , X3 = 0 dan Z = 31/3, artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $ 31/3 ,

47 Program linear

maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar 2/3 unit dan produk 2 sebesar 5/9 unit.

Status sumber daya :

Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variable basis awal dari setiap fungsi kendala pada table optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan S1 pada variable basis table optimal. Periksa keberadaan S2 pada variable basis table optimal untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan S3 pada variable basis table optimal untuk fungsi kendala ketiga.

S1 = 7/9. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)

S2 = S3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).

Harga bayangan :

Harga bayangan dilihat dari koefisien variable slack atau surplus pada baris fungsi tujuan.

Koefisien S1 pada baris fungsi tujuan table optimal = 0, dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0

Program linear 48

Koefisien S2 pada baris fungsi tujuan table optimal = 5/3, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 5/3

Koefisien S3 pada baris fungsi tujuan table optimal = 2/3, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 2/3.

Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :

Zmaks=3 x1+5 x2

Kendala :x1+2 x2≤10

3 x1+x2≤10

x1, x2≥0

Penyelesaian :Z−3 x1−5x2=0

x1+2 x2+S1=10

3 x1+x2+S2=10

49 Program linear

Var pendatang

Var perantau

VD z x1 x2 S1 S2 C R

Z 1 -3 -5 0 0 0S1 0 1 2 1 0 10 5S2 0 3 1 0 1 10 10

VD z x1 x2 S1 S2 CZ 1 -3 -5 0 0 0x2 0 1

21 1

20 5

S2 0 3 1 0 1 10

Transformasi baris Z :1− (−5 ) (0 )=1

−3−(−5)( 12 )=−12

−5−(−5) (1 )=0

0−(−5 )( 12 )=520−(−5) (0 )=0

Program linear 50

Var perantau

Var pendatang

0−(−5) (5 )=25

Transformasi S2 :0−(1 ) ( 0 )=0

3−(1 )(12 )=521− (1 ) (1 )=0

0−(1 )( 12 )=−12

1− (1 ) (0 )=1

10−(1 ) (5 )=5

VD z x1 x2 S1 S2 C

Z 1 −12

0 52

0 25

51 Program linear

x2 0 12

1 12

0 5

S2 0 52

0 −12

1 5

VD z x1 x2 S1 S2 CZ 1 −1

20 5

20 25

x2 0 12

1 12

0 5

x1 0 1 0 −15

25

2

Transformasi baris Z :

1−(−12 ) (0 )=1

−12

−(−12

) (1 )=0

0−(−12

) (0 )=0

52−(−12 )(−15 )=1250−(−1

2)( 25 )=15

25−(−12

) (2 )=26

Transformasi x2 :

Program linear 52

0−(12 ) (0 )=0

12−( 12 ) (1 )=0

1−(12 ) (0 )=1

12−( 12 )(−15 )=350−( 12 )( 25 )=−1

5

5−( 12 )(2 )=4

VD z x1 x2 S1 S2 CZ 1 0 0 12

515

26

x2 0 0 1 35

−15

14

x1 0 1 0 −15

25

2

∴nilai Zmax=26 saat x1=−2dan x2=14

2.5 Metode Simpleks 2 Fase 1Langkah – langkah :

Menambahkan variabel pada pertidaksamaan yang telah diketahui, jika pertidaksamaan tersebut telah memenuhi syarat simpleks yaitu (≤ )berarti pertidaksamaan tersebut ditambahkan

53 Program linear

satu variabel slack, jika pertidaksamaan tersebut tidak memenuhi syarat simpleks yaitu (≥)berarti persamaan dikurangi variabel surplus dan ditambah variabel slack.

Fungsi Z ditambahkan variabel dari persamaan yang tidak memenuhi syarat tersebut dengan simbol M yang berarti M=106

Persamaan tersebut dsusun fungsi Zdiletakkan paling atas, lalu dari fungsi Z yang koefisiennya adalah M maka hasilnya harus nol

Setelah dikalikan dan ditambahkan dengan fungsi Z, maka dicari nilai yang paling kecil dari hasilnya

Lalu dicari kunci dari persamaan yang diketahui dengan cara membagi hasil dengan persamaan dengan angka yang telah diberi tanda peda hasil yang paling kecil tersebut.

Dari kunci tersebut dibuat menjadi 1 dan angka yang berada satu kolom dengan angka 1 tersebut dijadikan nol

Lakukan hal tersebut berulang-ulang hingga tidak ada yang bernilai negatif pada hasil yang berada paling bawah kecuali nilai Z

Contoh soal :1. Minimumkan : Z=3 x+2 y

Kendala :

Program linear 54

x+ y≤6

2 x+5 y ≥10

Penyelesaian :Misal :a , c=variabel slack

b=variabel surplus

x+ y+a=6

2 x+5 y−b+c=10

3 x+2 y+M c−Z=0

Cj 3 2 0 0 M −1 0R

VB CB x y a b c Z C ¿

a 0 1 1 1 0 0 0 6 6C −M 2 5 0 −1 1 0 10 2Zj+Cj −2M+3 −5M+2 0 M 0 −1 −10M

Cj 3 2 0 0 M −1 0VB CB x y a b c Z C ¿

a 0 1 1 1 0 0 0 6C −M 2

51 0 −1

515

0 2

Zj+Cj −2M+3 −5M+2 0 M 0 −1 −10M

B1−B2→

B3−(−5M+2)B2

Cj 3 2 0 0 M −1 0VB CB x y a b c Z C ¿

a 0 35

0 1 15

−15

0 4

55 Program linear

C −M 25

1 0 −15

15

0 2

Zj+Cj 195

0 0 25

M−25

−1 −4

Karena Zj−Cj sudah tidak ada yang negatif maka proses selesaiZ=4 saat x=0 , y=2 , a=4danb , c=0

2.6 Metode Simpleks 2 Fase 2Langkah – langkah : Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya

dibuat sama seperti simpleks dengan 1 fase Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan - ) Z pindah ruas menjadi bernilai + Selanjutnya sama seperti pada simpleks

Fase 1, namun pembedanya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M danZ . variabel yang mengandung nilai M bernilai -1 dan Z=1 selebihnya bernilai nol

Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 di sebelah kiri (pengali) diletakkan nilai X ,lalu setelah 2 variabel dikali dan dijumlahkan, dikurangkan nilai x diatasnya

Selanjutnya sama dengan simpleks 2 fase 1 hingga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif

Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan Z pada atas baris

Lalu seperti cara pada langkah 5 hingga baris terakhir bernilai positif

Program linear 56

Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z adalah – Z ¿

Contoh Soal :Zmin=8x+6 y

Kendala :4 x+2 y ≥60

2 x+4 y ≥48

Penyelesaian :Misala ,b=variabel slack

c ,d=variabelsurplus

2 x+ y−a+c=30

x+2 y−b+d=24

Z−8 x−6 y=0

57 Program linear

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0R

VB CB x y a b c d Z HBa −1 2 1 1 0 −1 0 0 30 30b −1 1 2 0 1 0 −1 0 24 12Zj−Cj −3 −3 0 0 1 1 0 −54

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0VB CB x y a b c d Z HBa −1 2 1 1 0 −1 0 0 30y 0 1

21 0 1

20 −1

20 12

Zj−Cj −2 −1 0 1 1 0 0 −54

B1−B2→

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0VB CB x y a b c d Z HBa −1 3

20 1 −1

2−1 1

20 18

y 0 12

1 0 12

0 −12

0 12

Zj−Cj −2 0 0 32

1 −12

0 −18

23B1

→

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0VB CB x y a b c d Z HB

Program linear 58

x 0 1 0 23

−13

−23

13

0 12

y 0 12

1 0 12

0 −12

0 12

Zj−Cj 0 0 1 1 0 0 −1 0

B2−12B1

→

Cj 0 0 −1 −1 0 0 1 0VB CB x y a b c d Z HBx 0 1 0 2

3−13

−23

13

0 12

y 0 0 1 −13

14

13

−14

0 6

Zj−Cj 0 0 1 1 0 0 −1 0

Karena Zj−Cj sudah tidak ada yang negatif maka proses selesaiZ=132 saat x=12 , y=6 ,dana ,b , c , d=0

2.7 Metode M CharnesProsedur Pemecahan :

Merumuskan masalah PL dalam bentuk baku dengan kendala / syarat berbentuk persamaan, dengan apabila tanda pertidaksamaan (≤ ) berarti pertidaksamaan tersebut ditambahkan satu variabel slack, jika pertidaksamaan tersebut tidak memenuhi syarat simpleks yaitu (≥)berarti persamaan dikurangi variabel surplus dan ditambah variabel slack.

59 Program linear

Pada fungsi tujuan, konstanta, variabel surplus/ variabel slack adalah nol, sedangkan variabel tiruan diberi nilai –M jika memaksimumkan dan nilai M jika meminimumkan

Variabel tiruan sebagai variabel basis awal yang akan segera meninggalkan basis menjadi non basis

Ikuti aturan simpleks juntuk menentukan nilai fungsi turunan, yaitu : Jika memaksimumkan maka pemecahan

selesai/fungsi tujuan optimal pada saat semua elemen pada baris Zj−Cj bernilai positif

Jika meminimumkan pengerjaan selesai pada saat semua masukkan pada baris Zj−Cj negatif

Contoh Soal :Zmaks=4 x+ y

Kendala :3 x+ y≤3

4 x+3 y ≥6

x+2 y ≤3

Penyelesaian :Cara maksimum dengan mengalikan dengan minMisal : a ,b , c=variabel slackd=variabel surplus

3 x+ y+a=3

4 x+3 y−d+b=6

Program linear 60

x+2 y+c=3

Cj −4 −1 0 −M 0 0 0R

VB CB x y a b c d HBa 0 3 1 1 0 0 0 3 1b −M 4 3 0 1 0 −1 6 3

2c 0 1 2 0 0 0 1 3 3

Zj−Cj4 1 0 0 0 0 0−4 −3 0 0 0 1 −6

Transformasi baris kunci33131303030333

1 13130001

Transformasi Baris b4− (4 ) (1 )=0

3−(4 )( 13 )=530−(4 )( 13 )=−4

3

1− (4 ) (0 )=1

0−(4 ) (0 )=0

−(1 )−(4 )(0 )=−1

6−(4 ) (1 )=2

Transformasi Baris c

61 Program linear

1− (1 ) (1 )=0

2− (1 )( 13 )=530−(1 )( 13 )=−1

3

0−(1 ) (0 )=0

1− (1 ) (0 )=1

0−(1 ) (0 )=0

3−(1)(1 )=2

Cj −4 −1 0 −M 0 0 0R

VB CB x y a b c d HBx −4 1 1

313

0 0 0 1

b −M 0 53

−43

1 0 −1 2 3

c 0 0 53

−13

0 0 0 2 65

Zj−Cj

−4 13

−43

0 0 0 4

0 −53

43

0 0 1 −2

Transformasi baris kunci

053

5353

−4353

153

053

−153

253

01−45350−3565

Transformasi Baris x

Program linear 62

1−( 13 ) (0 )=1

13−( 13 )(1)=013−( 13 )(−45 )=3

5

0−( 13 )( 35 )=−15

0−( 13 ) (0 )=0

0−( 13)(−35 )=15

1−( 13 )( 65 )=35

Transformasi Baris c

0−( 53 ) (0 )=0

53−( 53 )(1)=0

−13

−( 53 )(−45 )=3

0−( 53 )( 35 )=−1

1−( 53 ) (0 )=1

0−( 53)(−35 )=1

63 Program linear

2−( 53 )( 65 )=−2

Cj −4 −1 0 −M 0 0 0VB CB x y a b c d HBx −4 1 0 3

5−15

0 15

35

y −1 0 1 −45

35

0 −35

65

c 0 0 0 3 −1 1 1 -2

Zj−Cj0 0 −8

575

0 0 −185

0 0 0 M 0 0 0

Jadi, nilai Zmin=−Zmaks

Zmin=−(−185

)

Zmin=185

Saat x=35 dan y=65

2.8 Metode Simpleks 2 FaseFase I berakhir dalam kondisi Z=0 maka simpulan untuk meneruskan ke fase II dengan memperhatikan 3 kemungkinan, yaitu :1. Zmaks<0 dimana satu atau lebih variabel

slack berada dalam basis pada tingkat nilai yang positif. Masalah PL yang asli tidak mempunyai penyelesaian layak (Fisisbel)

Program linear 64

2. Zmaks=0 dengan kenyataan tidak ada variabel slack terletak dalam basis ini berarti telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari persoalan PL yang asli

3. Zmaks=0 dengan kenyataan satu/lebih variabel slack terletak dalam basis tingkat nol (degenerasi) kenyataan ini juga menunjukkan bahwa telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari masalah PL

Persyaratan untuk memulai fase II :Perhitungan fase II merupakan lanjutan fase I apabila akhir Fase I menunjukkan kemungkinan modivikasi sebagai berikut : Koefisien harga fungsi tujuan adalah koefisien

harga fungsi tujuan yang asli, atau nilai koefisien variabel pokok pada fase I yaitu nol harus diganti dengan koefisien asli

Elemen pada baris Zj−Cj dihitung kembali

Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persoalan PL yang memuat variabel buatanContoh = MinZ=14 x1+18 x2

Kendala x1+ x2≤25

5 x1+6 x2≥140

x1, x2≥0

Penyelesaian :

65 Program linear

Dengan menggunakan cara memaksimumkan (dikali negative )Missal :x3 , x5=variabel slack

x4=variabel surplus

Z=0 x1+0x2+(−1 ) x3+0 x4+(−1 ) x5x1+ x2+x3=25

5 x1+6 x2−x4+x5=140

Program linear 66

Fase ICj 0 0 −1 0 −1 0

VB CB x1 x2 x3 x4 x5 HBx3 −1 1 1 1 0 0 25x5 −1 5 6 0 −1 1 140Zj−Cj −6 −7 0 1 0 −165

Transformasi baris kunci :566606

−16161406

5610−1

616703

Transformasi Baris x3

1− (1 )( 56 )=161− (1 )(1)=0

1− (1 )(0)=1

0−(1 )(−16 )=160−(1 )( 16 )=−1

6

25−(1)( 703 )=53

Cj 0 0 −1 0 −1 0VB CB x1 x2 x3 x4 x5 HBx3 −1 1

60 1 1

6−16

53

67 Program linear

x2 0 56

1 0 −16

16

703

Zj−Cj −16

0 0 −16

76

−53

Transformasi baris kunci :1616

016

116

1616

−1616

5316

1061−110

Transformasi Baris x356−( 56 ) (1 )=0

1−( 56 )(0)=10−( 56 )(6 )=−5

−16

−( 56 )(1 )=−1

16−( 56 ) (−1 )=7

6

703

−( 56)(10 )=15

Cj 0 0 −1 0 −1 0

Program linear 68

VB CB x1 x2 x3 x4 x5 HBx1 0 1 0 0 1 −1 10x2 0 0 1 −5 −1 7

615

Zj−Cj 0 0 1 0 1 0

Fase IICj −14 −18 0 0

VB CB x1 x2 x4 HBx1 −14 1 0 1 10x2 −18 0 1 −1 15Zj−Cj 0 0 4 −410

Jadi, Zmin=−Zmaks

Zmin=−(−410 )

Zmin=410

Tahap 1 :Bentuk dengan var buatan : R1 dan R2Min r = R1 + R2Kendala 3 X1 + X2 + R1 = 34 X1 + 3 X2 - X3 - R2 = 6X1 + 2 X2 + X4 = 4X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4 0Fungsi tujuan r = R1 + R2

69 Program linear

= ( 3 – 3 X1 - X2 ) + ( 6 - 4 X1 - 3 X2 + X3 ) = -7 X1 - 4 X2 + X3 + 9 Tabel AwalV X1 X2 X3 R1 R2 X4 NKr 7 4 -1 0 0 0 9R1 3 1 0 1 0 0 3R2 4 3 -1 0 1 0 6X4 1 2 0 0 0 1 4

Tabel optimum : setelah 2 iterasi ( periksa ! )V X1 X2 X3 R1 R2 X Nr 0 0 0 -1 -1 0 0X1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5X2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5X4 0 0 1 1 -1 1 1

Karena minimum solusi r = 0, masalah ini memiliki pemecahan (solusi) layak. Lanjutkan ke tahap ( Fase ) kedua.Tahap 2 Menyingkirkan variabel buatan ( R1 dan R2 ) Dari tabel optimum tahap 1 didapatkan : X1 + 1/5X3 = 3/5 X2 - 3/5X3 = 6/5 X3 + X4 = 1

Program linear 70

Masalah semula ditulis :Min Z = 4 X1 + X2 Kendala X1 + 1/5X3 = 3/5 ......... ( 1 )X2 - 3/5X3 = 6/5 ......... ( 2 ) X3 + X4 = 1X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4 0

Maka terdapat 3 persamaan dan 4 variabel sehingga solusi dasar layak didapat dg membuat (4 – 3) = 1 variabel dibuat nolX3 = 0 -> X1 = 3/5 ; X2 = 6/5 ; X4 = 1

Fungsi tujuan Z = 4 X1 + X2 = 4 ( 3/5 + 1/5 X3 ) + (6/5 + 3/5X3 ) = - 1/5 X3 + 18/5Tabel Awal

Var msk

Tabel

optimum

71 Program linear

VB X1 X2 X3 X4 NKZ 0 0 0 -1/5 17/5X1 1 0 0 -1/5 2/5X2 0 1 0 3/5 9/5X3 0 0 1 1 1

VB X1 X2 X3 X4 NKZ 0 0 1/5 0 18/5X1 1 0 1/5 0 3/5X2 0 1 -3/5 0 6/5X4 0 0 1 1 1

SOAL LATIHAN 1. Selesaikan linear program berikut ini dengan

metode Simplex Maksimumkan Z = 400X1 + 300X2 Fungsi kendala/ batasan:

4X1 + 6X2 ≤ 1200 4X1 + 2X2 ≤ 800 X1 ≤ 250 X2 ≤ 300 X1, X2 ≥ 0

2. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex Maksimumkan Z = 2X1 + 3X2 + X3 Dengan fungsi kendala: 1) X1 + X2 + X3 ≤ 9 2) 2X1 + 3X2 ≤ 25 3) X2 + 2X3 ≤ 10 4) X1, X2, X3 ≥ 0

3. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2 Fungsi batasan : 1) X1 + 2X2 ≥ 202) 3X1 + X2 ≥ 203) X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0

Program linear 72

BAB IIIDUAL DAN PRIMAL

Setiap masalah Program Linear yang bertujuan mencari nilai maksimum selalu bertalian dengan suatu masalah program linear dengan tujuan mencari nilai minimum, yang disebut dual masalah yang pertama. Sebaliknya setiap masalah program linear yang bertujuan mencari nilai minimum selalu bertalian dengan suatu masalah program linear yang bertujuan mencari nilai maksimum yang disebut dual. Masalah pertama disebut primal sedangkan masalah kedua dengan tujuan berlawanan disebut dual.

Dalam analisis Program Linear (PL) terdapat 2 bentuk, yaitu :

73 Program linear

MAKS DUAL MIN

MAKSMIN DUAL

1. Bentuk primal : Bentuk asli dari persamaan program linear

2. Bentuk dual : Bentuk duplikat atau rangkap dari persamaan program linear

Jika penyelesaian persoalan Program Linear dengan bentuk primal secara langsung juka dapat diketahui hasil bentuk dualnya, sebaliknya jika penyelesaian Program Linear dengan bentukdual, maka secara langsung dapat diketahui bentuk primalnya.

Contoh Soal :Tentukan dual dari masalah primal berikut ini :

MinZ=14 x1+18 x2 Kendala x1+ x2≤25

5 x1+6 x2≥140

x1, x2≥0

Penyelesaian :Karena meminimumkan maka semua kendala harus bertanda (≥)−x1−x2≥−25

Matriks Primal Matriks dual

Program linear 74

[−1 −1 −255 6 14014 18 ¿ ] transpose→ [−1 5 14

−1 6 1825 140 ¿ ]

Masalah dual :Max H=25a+140b Kendala −a+5b≤14

−a+6b≤18

a ,b≥0

75 Program linear