Mendeskripsikan Kaidah Pencacahan

1. Perkalian pada Pengisian Tempat Yang Tersedia

Untuk memulai materi ini kalian akan ditantang dengan permasalahan berikut:

Bagimana kalian dapat menjawab pertanyaan masalah pemilhan pengurus kelas tersebut?

Kalian dapat menjawab sebagai berikut:

Seorang ketua dapat dipilih dalam 3 cara, wakil ketua dalam 4 cara, dan sekretaris dalam 2 cara. Jadi banyak cara ketiga posisi itu dapat diisi = 3 4 2 = 24 cara. Dapatkah kalian memahaminya? Misalkan calon ketua tersebut adalah K1, K2, dan K3, calon wakil ketua adalah W1, W2, W3 dan W4, calon sekretaris adalah S1

dan S2. Mulailah kalian menyusun pengurus sebagai berikut: Cara 1: K1 W1 S1

Cara 2: K1 W1 S2

Cara 3: K1 W2 S1 dan seterusnya, …….ada 24 cara bukan? Cobalah kalian selidiki sendiri!

Penjelasan lain yang lebih mudah adalah dengan diagram pohon seperti berikut ini.

Kegiatan Belajar 1

Problem Solving (Pemecahan masalah): Problem 1:

Dalam suatu kelas di sebuah SMK diadakan pemilihan pengurus. Ternyata ada 3 calon yang siap untuk menjadi ketua, 4 calon untuk wakil ketua, dan 2 calon untuk sekretaris. Berapa cara ketiga posisi itu dapat diisi untuk setiap calon?

1

W1 S1 -------------- K1W1S1

S2 -------------- K1W1S2

W2 S1 -------------- K1W2S1

K1 S2 -------------- K1W2S2

W3 S1 -------------- K1W3S1

S2 -------------- K1W3S2

W4 S1 -------------- K1W4S1

S2 -------------- K1W4S2

W1 S1 -------------- K2W1S1

S2 -------------- K2W1S2

W2 S1 -------------- K2W2S1

K2 S2 -------------- K2W2S2

W3 S1 -------------- K2W3S1

S2 -------------- K2W3S2

W4 S1 -------------- K2W4S1

S2 -------------- K2W4S2

W1 S1 -------------- K3W1S1

S2 -------------- K3W1S2

W2 S1 -------------- K3W2S1

2

K3 S2 -------------- K3W2S2

W3 S1 -------------- K3W3S1

S2 -------------- K3W3S2

W4 S1 -------------- K3W4S1

S2 -------------- K3W4S2

Ada 24 cara berbeda bukan?

Secara umum, jika suatu kegiatan pertama dapat dikerjakan dalam n1 cara berbeda, kegiatan kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara berbeda, kegiatan ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara berbeda, dan seterusnya maka ada n1 n2 n3 ……… cara berbeda untuk mengerjakan kegiatan-kegiatan itu dengan berurutan.

Coba kalian kerjakan dahulu, baru kemudian periksa jawaban kalian tersebut dengan jawaban berikut ini.

Untuk menjawab permasalah 2 tersebut ada beberapa cara:

a. Cara yang pertama: Dengan menggunakan diagram pohon Perpaduan dua celana dengan tiga baju dapat dijelaskan dengan diagram pohon sebagai berikut.

Celana Kemeja Pasangan Warna

Merah (M) Biru –Merah (B,M)

Biru (B) Cokelat (C) Biru – Cokelat (B,C)Putih (P) Biru – Putih (B,P)

Merah (M) Hitam – Merah (H, M)

Hitam (H) Cokelat (C) Hitam –Cokelat (H,C)Putih (P) Hitam – Putih (H,P)

Jadi ada 6 cara yang mungkin siswa tersebut dapat memadukan celana dan baju yang dimilikinya, yaitu (B,M), (B,C), (B, P), (H,M), (H, C), dan (H,P).

b. Cara yang kedua: Dengan menggunakan tabel

Dengan menggunakan tabel, permasalahan di atas dapat dijawab sebagai berikut.

Problem Solving (Pemecahan masalah): Problem 2:Seorang siswa SMK mempunyai celana berwarna biru dan hitam, dengan kemeja warna merah, coklat, dan putih. Ada berapa cara yang mungkin siswa tersebut dapat memadukan celana dan kemaja untuk suatu keperluan?

3

Kemeja

CelanaMerah (M) Cokelat (C ) Putih (P)

Biru (B) (B,M) (B,C) (B,P)Hitam (H) (H, M) (H, C) (H,P)

Tampak bahwa terdapat 6 pasangan warna yang mungkin.

c. Cara tiga: Menggunakan pasangan terurutCara yang lain dapat dilakukan dengan cara menggunakan pasangan terurut.Himpunan warna pasangan = {biru, hitam} atau {B,H}Himpunan warna kemeja = {merah, cokelat, putih} = {M, C, P}.Himpunan pasangan terurutnya adalah sebagai berikut: {(B,M), (B,C), (B, P), (H,M), (H, C), dan (H,P)}.Jadi ada 6 cara yang mungkin untuk memasangkan baju dan celana dengan warna yang berbeda.

d. Cara keempat: Aturan perkalian tempat yang tersedia Selaian ketiga cara tersebut, persoalan juga dapat diselesaian dengan cara sebagai berikut.

Jenis warna Celana Jenis warna baju2 3

Pasangan yang mungkin diperoleh adalah 2 3 = 6 cara yang mungkin. Artinya, banyaknya cara memilih warna celana ada dua, dan banyaknya cara memilih kemeja ada tiga.

Cara yang terakhir (cara 4) merupakan cara yang paling mudah apa bila perbaduan warna yang dimiliki cukup banyak dan beragam. Cara yang empat ini dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut.

Jika terdapat n buah tempat yang tersedia, dengan:k1 = banyak cara untuk mengisi tempat pertamak2 = banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi. k3 = banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi.

dan seterusnya …

kn = banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat ke (n-1) terisi.

maka banyaknya cara untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah

k1 . k2 . k3. …k(n-2). k(n-1). kn

4

Untuk memudahkan penyelesaian aturan pengisian tempat yang tersedia dapat dikerjakan dengan salah satu alat Bantu kotak pertama sebagai k1, kotak kedua sebagai k2, dan setreusnya. Perhatikan gambar berikut!

k1 k2 … kn

Periksa jawaban kalian dengan jawaban berikut:a. Kemungkinan tamu dapat keluar masuk dengan pintu masuk dan keluar

boleh sama adalah sebagai berikut.Jika pintu masuk dan keluar boleh sama artinya ada 4 pintu masuk dan 4 pintu keluar. Jadi dapat dituliskan:

Pintu masuk Pintu keluar4 4

Sesuai dengan aturan pengisian temapt yang tersedia maka k1 . k2 = 4. 4 = 16 cara. Jadi ada 16 cara tamu dapt keluar masuk jika pintu masuk dan keluar boleh sama.

b. Kemungkinan tamu dapat keluar masuk dengan pintu masuk dan keluar tidak boleh sama adalah sebagai berikut.

Jika pintu masuk dan keluar tidak boleh artinya, bila sudah masuk pintu yang pertama, maka pintu tersebut tidak boleh untuk keluar. Jadi dapat dituliskan:

Pintu masuk Pintu keluar4 3

Sesuai dengan aturan pengisian tempat yang tersedia maka k1 . k2 = 4. 3 = 12 cara. Jadi ada 12 cara tamu dapt keluar masuk jika pintu masuk dan keluar boleh sama.

Latihan 1

1. Seorang mempunyai tiga buah kemeja yang berwarna merah, biru dan kuning. Akan dipadukan dengan dua celana warna hitam dan coklat. Ada berapa kemungkinan pasangan kemeja dan celana?

Problem Solving: Permasalahan pintu masuk keluarSuatu SMK memiliki gedung pertemuan dengan empat pintu utama. Ada berapa cara tamu dapat masuk dan keluar melalui pintu-pintu tersebut jika:

a. Pintu masuk dan pintu keluar boleh sama?b. Pintu masuk dan pintu keluar tidak boleh sama?

5

2. Dari angka-angka 1, 3, 4, 6, 7, 8 akan disusun bilangan –bilangan yang terdiri 3 angka. Dengan cara mendaftar atau membuat diagram pohon, tentukan banyaknya bilangan yang terjadi jika:a. angka-angkanya boleh berulang.b. angka-angkanya tidak boleh berulang

3. Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata “INDAH” jika :a. susunan hurufnya bebasb. huruf pertama diawali huruf hidup ( vokal )c. huruf pertama adalah huruf mati ( konsonan )

4. Ada berapa macam nomor telepon seluler yang terdiri dari 10 angka yang dapat dibuat jika 3 angka pertama adalah 081…

5. Nomor kendaraan di Semarang di awali dengan huruf H dan empat angka. Jika angka pertama adalah 3, 4, 5, atau 6 dan angka berikutnya bebas, kemudian di akhiri 2 huruf berbeda dari A, B, dan C. Berapa banyak plat nomor yang dapat dibuat.

6

CONTOH 1

2. Faktorial

Bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n dapat dikalian sebagai berikut 1 2 3 … (n – 2) ( n – 1) n.

Karena 1 2 3 … (n – 2) (n – 1) n = n (n – 1) (n – 2) … 3 2 1

Perkalian tersebut sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial).

Definisi:

Definisi:

Hitunglah nilai dari:

a) 3! b)

9 !7 ! c)

10 !9!

×2!

Jawab:a) 3! = 3 2 1 = 6

b)

9 !7 ! =

9×8×7 !7 !

=72

c)

10 !9!

×2! =

10×9 !9!

×2=20

Latihan 2

1. Hitunglah nilai dari:

a.

7 !5! b. 5! + 0! c. 6! – 2! d. 4!.2! e.

8 !+5 !4 !

2. Sederhanakan!

a.

10 !5! . 5 ! c.

12 !10 ! . 4 !

n! = n . (n – 1) . (n – 2) ………3 . 2 . 1

1! = 1 dan 0! = 1

7

CONTOH 2

b.

8 !4 ! . 2 ! d.

15 !16 ! . 4 !

3. Tentukan n jika n∈ A :

a.

(n−1)!2(n−3 )! = 15 b.

2.(n−2) !(n−4 )! = 60

4. Nyatakan dengan faktorial bentuk berikut:

a. 7.6 d.

10 . 9. 84 .3

b. 20 e.

5630

c.

54

5. Sederhanakan bentuk berikut dengan penyebut satu bentuk faktorial:

a.

19 !

+ 110! c.

119 !

− 120 !

+ 221 !

b.

115 !

− 116 !

3. Permutasi

a. Pengertian Permutasi

Untuk memudahkan pengertian permutasi perhatikan kasus berikut!

Misalkan kita akan menyusun 3 huruf dari huruf-huruf dalam kata “SATU”, yakni SAT, STA, AST, ATS, TSA, TAS, SAU, SUA, ASU, AUS, USA, UAS, ATU, AUT, TAU, TUA, UAT, UTA, STU, SUT, TSU, TUS, UST, UTS, susunan-susunan 3 huruf tadi kita sebut sebagai permutasi 3 unsur dari 4 unsur yang berbeda.

Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia untuk r ¿ n adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda.

Banyak permutasi r unsur dari n unsur dinotasikan dengan Prn

atau P(n, r).

Nilai dari P(n,r) =

n!(n−r ) !

Hitunglah nilai P(7, 2)!

Jawab:

P(7, 2) =

7 !(7−2) !

= 7 !5 !

= 7×6×5 !5 !

=42

8

9

CONTOH 3

CONTOH 4

Tentukan banyaknya cara untuk menyusun 3 buah huruf yang berbeda dari huruf-huruf W, A, N, G, I!

Jawab:n = 5r = 3

P (5, 3) =

5 !(5−3)!

=5!2!

=5×4×3×2 !2 !

=60 cara

Jadi banyaknya cara untuk menyusun 3 buah huruf yang berbeda dari huruf-huruf W, A, N, G, I ada 60 cara.

Jika r = n, maka didapatkan:

Hitunglah banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata “SEKOLAH”.

Jawab:Kata “SEKOLAH” terdiri atas 7 huruf yang berbeda. Banyaknya permutasi dari ke – 7 huruf tersebut adalah P (7, 7) = 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5.040

Latihan 3

1. Hitunglah :

a. 10 P 3 c. 5 P 3 . 5 P 2

b. 20 P 2 d. 8 (3 P 2) - 5 ( 3 P 1)

2. Dari huruf KLMNOPQRS akan dibentuk susunan tiga huruf, tiap susunan berbeda urutannya. Tentukan huruf yang dapat terjadi!

3. Tentukan nilai n dari :

a. n P 2 = 20 b. 10.nP2 = n+1P4 c. 5.(n+1)P3 = 2.nP4

P(n, n) =

n !(n−n) !

= n !0 !

=n !1=n!

10

CONTOH 5

4. Dari 25 siswa kelas Bahasa yang memiliki kesempatan sama akan dibentuk/ dipilih kepengurusan yang terdiri dari satu ketua, satu sekretaris, satu bendahara dan satu wakil ketua. Ada berapa cara susunan pengurus kelas.

5. Ada 7 pria dan 5 wanita yang akan duduk dalam satu baris kursi. Ada berapa cara susunan tempat duduk mereka jika mereka :a. duduk dengan bebasb. dua wanita duduk di sebelah kiri dan kananc. kelima wanita duduk bersebelahand. ketujuh pria duduk bersebelahane. dua pria tertentu boleh duduk bersebelahanf. dua pria tertentu tidak boleh duduk bersebelahan

b. Permutasi dengan Beberapa Unsur Yang Sama

Banyaknya permutasi P dari n unsur yang terdiri dari n1 unsur sama, n2 unsur sama, …….., nr unsur sama adalah:

Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda yang dibentuk dari huruf-huruf dalam kata “PENGETAHUAN”.

Jawab:Dalam kata “PENGETAHUAN” terdapat 11 huruf. Banyak unsur yang sama yaitu huruf E ada 2, huruf N ada 2, dan huruf A ada 2. Banyaknya susunan huruf yang berbeda dari ke – 11 huruf pada kata “PENGETAHUAN” adalah:

P =

11!2! . 2! .2 !

=11. 10. 9 . 8 .7 . 6 .5 . 4 . 3 .2 . 18

=4 .989. 600

P =

n!n1 ! ×n2 ! ×.. .×nr !

11

CONTOH 6

Latihan 4

1. Berapa banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dai huruf-huruf pada kata:a. PSISb. BAHASAc. YAYASAN

2. Berapa permutasi berbeda dapat dibentuk dari kata PERDAMAIAN, jika diawali dengan huruf P dan diakhiri dengan huruf N.

3. Dalam rak buku terdapat 5 buku Matematika, 4 buku Ekonomi dan 3 buku Bahasa Inggris. Ada berapa cara menyusun buku, jika:a. urutan tidak diperhatikanb. Buku Matematika selalu berdampinganc. Buku Matematika terletak di ujung kiri

4. Berapa banyak susunan angka-angka 2, 3, 3, 4, 5, 55. Ada 3 orang dewasa, 2 remaja dan 2 anak-anak. Berapa banyak susunan

berbeda dari katagori orang tersebut.

c. Permutasi Siklis

Banyak cara penyusunan n unsur yang berbeda pada keliling sebuah lingkaran adalah (n – 1)! cara.

Empat orang pengurus OSIS mengadakan rapat. Mereka menempati empat kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa carakah mereka dapat menempati empat tempat duduk itu dengan urutan yang berlainan?

Jawab:Banyak unsur n = 4. Banyak cara duduk mengelilingi meja dalam urutan yang berlainan adalah

P = (n – 1)! = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 caraMisal 4 orang tersebut A, B, C, dan D. Keenam susunan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

12

CONTOH 7

4. Kombinasi

Untuk memermudah pemahaman kalian tentang kombinasi perhatikan contoh berikiut ini !

Apabila huruf-huruf dalam kata “SATU” akan kita susun 3 huruf-3 huruf dengan ketentuan bahwa urutan huruf tidak kita perhatikan maka yang terjadi adalah bahwa susunan SAT, STA, AST, ATS, TSA dan TAS adalah satu kombinasi, SAU, SUA, ASU, AUS, USA dan UAS adalah kombinasi ke-dua, ATU, AUT, TAU, TUA, UAT dan UTA adalah kombinasi ke-tiga STU, SUT, TSU, TUS, UST dan UTS adalah kombinasi ke-empat. Jadi hanya ada empat kombinasi yakni SAT, SAU, ATU dan STU. Hal seperti ini dikatakan kombinasi 3 unsur dari 4 unsur berbeda.

Notasi banyak kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah C(n,r )

atau C rn

.

Suatu team bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 10 orang pemain. Berapa macam susunan pemain dapat dibentuk?

Jawab:Susunannya adalah suatu kombinai sebab tidak memperhatikan urutan pemain.

C(10,5) =

10 !5! (10−5 )! =

10×9×8×7×6×5!5×4×3×2×1×5 ! = 252 susunan

Latihan 5

1. Hitunglah : a. 10C2b. 15C3

2. Tentukan nilai n jika : 7.nC2 = 2. n+2C3

2. Suatu team Bulutangkis akan membentuk pasangan pemain. Jika terdapat 8 orang putra dan 6 orang putri tentukan banyaknya pasangan:a. ganda putra b. ganda putri c. ganda campuran

4. Dalam suatu rapat yang dihadiri 20 orang akan saling berjabat tangan. Tentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi!

5. Dalam ulangan harian, seorang siswa diwajibkan mengerjakan 7 soal dari 10 soal yang tersedia. Tentukan banyaknya cara memilih soal tersebut jika:a. bebas memilih soal yang adab. soal no. 1 dan 2 wajib dikerjakanc. soal no. 1 sampai 5 wajib dikerjakan 3 soal

C(n ,r )=n!

r ! .(n−r )!

13

Menghitung Peluang Kejadian

1. Peluang suatu kejadian

Peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Misalnya, peluang yang rendah menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat kecil.

Pernahkan kalian mendengar kata percobaan atau eksperimen? Percobaan adalah suatu kegiatan yang memberikan suatu hasil yang dapat diamati. Hasil yang dapat diamati dalam suatu percobaan disebut hasil percobaan.

Himpunan dari semua hasil yang mungkin untuk suatu percobaan disebut ruang sample atau ruang contoh. Ruang sampel biasa di simbolkan dengan huruf S. Sedangkan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel disebut dengan titik sampel atau titik contoh.

Misalkan kalian melakukan percobaan dengan melempar mata logam, maka runag sampelnya adalah gambar dan angka atau dapat ditulis dengan

S = {G, A}Titik-titik sampel atau titik-titik contoh untuk pelemparan mata uang logam adalah G dan A.

Berikan gambar dua orang anak sedang melakukan percobaan melempar mata uang

Contoh yang lain adalah bila kalian melempar sebuah dadu maka ruang sampelnya adalah:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Titik-titik sampelnya adalah 1,2,3,4,5 dan 6.

Pernahkah kalian mendengar istilah kejadian atau event? Kejadian atau event didefinisikan sebagai suatu himpunan bagian dari suatu ruang sample Suatu kejadian yang hanya memiliki satu titik sample disebut kejadian sederhana.

Misal: Pada pelemparan sebuah dadu, munculnya mata dadu genap yang lebih dari 4 merupakan kejadain sederhana.

Suatu kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sampel adalah kejadian majemuk.Berikan contoh kejadian majemuk bila kalian melempar tiga buah keeping uang logam!

Kegiatan Belajar 2

14

CONTOH 1

Bila S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Jika A adalah suatu kejadian dengan A S, maka peluang kejadian A adalah perbandingan banyaknya kejadian A yang terjadi dengan banyaknya kejadian yang mungkin.

P(A) =

n( A )n (S )

Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu genap? Berapa pula peluang muncul mata dadu lebih dari 4?

Jawab:

Ruang sampel (S) = {1,2,3,4,5,6 } n(S) = 6

A = kejadian muncul mata dadu genap

A = {2,4,6 } → n(A) = 3

P(A) =

n( A )n (S )

=36=1

2

Jadi peluang munculnya mata dadu genap adalah

12

B = kejadian muncul mata dadu lebih dari 4B = { 5,6 } → n(B) = 2

P(B) =

n(B)n(S )

= 26= 1

3

Jadi peluang muncul mata dadu lebih dari 4 adalah

13

Latihan 1

1. Pada percobaan melempar 3 mata uang sekaligus sebanyak satu kali, tentukan:a. ruang sampel (dengan pasangan berurutan)b. kejadian munculnya dua gambarc. kejadian munculnya ketiga sisi yang sama

2. Pada percobaan melempar dua dadu sekaligus, sebanyak satu kali. Tentukan :a. ruang sampel (dengan tabel)b. kejadian munculnya kedua mata dadu ganjil dan samac. kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu lebih dari 6

15

d. kejadian munculnya selisih kedua mata dadu sama dengan dua3. Dua keping uang logam dilempar bersama. Tentukan peluang kejadian :

a. muncul gambar pada kedua uangb. muncul satu gambar dan satu angka

4. Jumlah siswa dalam satu kelas 30 orang. 12 diantaranya perempuan. Dari kelas tersebut akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba matematika. Berapa peluang yang terpilih a. ketiganya perempuanb. 1 diantaranya perempuanc. diantaranya laki – lakid. ketiganya laki – laki

5. Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Diambil 3 buah kelereng sekaligus secara acak. Tentukan peluang yang terambil :a. kelereng merahb. kelereng putihc. 2 kelereng merah dan 1 kelereng putihd. paling sedikit 2 kelereng merah

2. Kepastian dan Kemustahilan

Sebuah kotak berisi 10 bola berwarna hijau, sebuah bola secara acak diambil dari kotak tersebut. Berapakah peluang terambilnya bola berwarna hijau? Karena semua bola yang ada dalam kotak tersebut berwarna hijau, maka kalau diambil secara acak satu bola, maka pasti berwarna hijau.

Peluang terambil bola berwarna hijau =

1010

=1

Suatu peluang kejadian yang pasti terjadi, kejadian tersebut dinamakan suatu kepastian. Jadi suatu kepastian adalah suatu kejadian yang pasti terjadi, dan peluangnya sama dengan 1.

Pertanyaan selanjutnya adalah berapakah peluang terambilnya bola berwarna merah? Karena dalam kotak tersebut tidak ada bola merah, maka mustahil terjadi

bahwa yang terambil bola merah. Peluang terambilnya bola merah = 05=0

. Karena mustahil terjadi, maka peristiwa terambilnya bola merah disebut kemustahilan jadi suatu kemustahilan adalah suatu kejadian yang mustahil terjadi, dan peluangnya sama dengan 0. Nilai peluang suatu kejadian terbatas pada kisaran 0 ¿ P ¿ 1

16

CONTOH 2

3. Frekuensi Harapan

Untuk memahami frekuensi harapan akan lebih mudah dengan contoh sebagai berikut. Seorang peternak ayam memiliki pengalaman menetaskan telur ayam, peluang 10 butir telur yang dimasukkan mesin penetas akan menetas adalah 8 butir. Jika ada 72 butir telur yang akan ditetaskan, berapakah banyak telur yang diharapkan akan menetas?

Karena ada 72 butir telur yang akan ditetaskan, maka banyak telur yang kita

harapkan akan menetas adalah

89×72

butir = 64 butir.Sesuatu yang kita harapkan seperti tersebut diatas secara matematis disebut frekuensi harapan.

Frekuensi harapan: Fh (A) = P(A) nDengan P(A) = Peluang terjadinya peristiwa A

n = banyaknya kejadian

Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 200 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu ganjil?

Jawab:

S = {1,2,3,4,5,6 }→n( S )=6

A = {1,3,5 }→n( A )=3

P(A) =

36=1

2

Fh(A) =

12×200=100 kali

Latihan 2

1. Suatu kantong berisi 6 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 2 bola secara acak. Tentukan frekuensi harapan terambilnya 2 bola biru andaikan percobaan dilakukan 30 kali.

2. sebuah lempeng bernomer 1,2,3,dan 4 yang homogen diputar 400 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya :

a. nomer 4b. nomer primac. nomer 5d. nomer kurang dari 5

17

CONTOH 3

3. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilempar bersama sebanyak 120 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang dari 3 dan sisi gambar pada uang logam.

4. Peluang Kejadian-kejadian Saling Lepas

Dua buah kejadian A dan B dikatakan saling lepas, jika A¿ B = φ sehingga P(A¿ B) = 0. jika A dan B merupakan dua kejadian saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P (A ¿ B) = P(A) + P(B)

Sebuah dadu dilambungkan sekali, Berapa peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 atau mata dadu lebih dari atau sama dengan 4?

Jawab:

A = Kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 = {1,2 }

B = Kejadian munculnya mata dadu lebih dari atau sama dengan 4 = {4,5,6 }

S = {1,2,3,4,5,6 }→n( S )=6

A ¿ B = φ , maka A dan B dua kejadian saling lepas.

P(A ¿ B) = P(A) + P(B) =

26+ 3

6=5

6

5. Peluang Kejadian–Kejadian Saling Bebas

Dua buah dadu yang satu berwarna putih dan yang lain berwarna merah dilambungkan bersama–sama satu kali. Berapa peluang munculnya mata 3 pada dadu putih dan mata 3 pada dadu merah? Karena dua buah dadu dilambungkan bersama–sama satu kali, maka anggota himpunan semua hasil yang mungkin terlihat pada tabel berikut ini:

Dadu Merah

Dad

u Pu

tih

1 2 3 4 5 61 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

18

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 7)

Ruang sampel S = {(1,1 ) ,(1,2) ,(1,3) , .. . ,(6,5) ,(6,6 )}→n( S )=36 A = Kejadian munculnya mata dadu 3 putih

A = {(3,1) ,(3,2) ,(3,3) ,(3,4 ) ,(3,5) ,(3,6 )}→n( A )=6

P (A) =

636

= 16

B = Kejadian munculnya mata dadu 3 merah

B = {(1,3 ) ,(2,3) ,(3,3 ) ,(4,3 ),(5,3 ) ,(6,3)}→n(B )=6

P (B) =

636

=16

C = Kejadian munculnya mata dadu 3 putih dan 3 merah

C = {(3,3)}→n(C )=1

P (C) =

136

Ternyata P (C) = P (A) P (B)

=

16×1

6= 1

36Jadi P (3 putih dan 3 merah) = P(3 Putih) P (3 merah) P (A dan B) = P(A) P(B)

Himpunan kejadian yang dimaksud diperlihatkan oleh irisan kedua himpunan tadi yaitu A ¿ B. Kejadian A dan B di atas disebut kejadian-kejadian yang saling bebas karena terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain.Dua kejadian A dan B di sebut bebas jika dan hanya jika

Sedangkan kejadian A dan B dikatakan 2 buah kejadian bersyarat jika kejadian B dapat terjadi jika kejadian A telah terjadi.

DenganP (A) = peluang kejadian AP (B/A) = peluang kejadian B setelah A terjadi

P (A dan B) = P (A) P(B/A)

P (A dan B) = P (A) P (B) atau

P (A ¿ B) = P (A) P (B)

19

CONTOH 4

Latihan 3

Dalam sebuah kantong berisi 5 butir kelereng berwarna biru dan 3 butir kelereng berwarna merah. Diambil 2 kelerang dengn cara mengambil satu persatu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambilnya kelereng pertama berwarna biru dan pengambilan kedua berwarna merah?

Jawab:Dalam kantong ada 8 kelereng, maka n (S) = 8A = kejadian terambilnya kelereng pertama birun(A) = 5

P(A) =

58

Pada pengambilan yang kedua karena kelereng pertama tidak dikembalikan maka tinggal 7 butir kelereng → n(S) = 7B = kejadian terambilnya kelereng berwarna merah.n (B) = 3

P (B) =

37

Jadi, P (A dan B) = P(A) P(B/A) =

58×3

7=15

56

1. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya:

a. Kartu ASb. Kartu berwarna merah

2. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali. Berapa peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan:

a. 10?b. 15?

3. Dua keeping mata uang logam dilambungkan bersama-sama sebanyak 300 kali. Berapa kali harapn munculnya:

a. Satu sisi gambar dan satu sisi angka?b. Keduanya sisi gambar?

4. Di SMK “MAJU TERUS” peluang seorang siswa naik sepeda motor ke sekolah adalah 0,7. Kalau di SMK tersebut ada 500 siswa, berapa kira- kira banyaknya siswa yang naik sepeda motor?

5. Sebuah kotak berisi 20 bola merah dan 10 bola putih. Jika diambil secara acak 2 bola, satu persatu tanpa pengembalian, berapakah peluang terambilnya bola merah kemudian bola putih?

20

Uji Kompetensi

1. Diketahui : A = {p, q, r, s, t, u}Banyaknya himpunan bagian yang memiliki anggota paling sedikit 3 unsur adalah …

A. 22B. 25C. 41D. 41E. 57

2. Ali, Bagong, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir. Banyaknya urutan bekerja yang dapat disusun dengan Ali selalu pada giliran terakhir adalah …A. 3B. 6C. 12D. 18E. 24

3. Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap dua titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah …A. 210B. 105C. 90D. 75E. 65

4. Ada lima orang dalam ruangan yang belum saling mengenal. Apabila mereka ingin berkenalan dengan berjabat tangan sekali dengan setiap orang, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak ...

A. 5 kaliB. 10 kaliC. 15 kaliD. 20 kaliE. 24 kali

5. Dalam pemilihan murid teladan di suatu sekolah tersedia calon yang terdiri dari 5 orang putra dan 4 orang putri. Jika akan dipilih sepasang murid teladan yang terdiri dari seorang putra dan seorang putri, maka banyaknya pa-sangan yang mungkin adalah …A. 9B. 16C. 18D. 20E. 36

21

6. Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja ini terdapat paling sedikit 2 pria, maka banyaknya cara membentuknya ada ...A. 442B. 448C. 456D. 462E. 468

7. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ...A. 10B. 20C. 40D. 80E. 120

8. Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan yang lebih kecil dari 400 adalah …A. 20B. 35C. 40D. 80E. 120

9. Dalam suatu ruang tunggu tersedia hanya 3 kursi, bila ruang tunggu tersebut ada 20 orang maka banyaknya cara mereka duduk berdampingan adalah …A. 6840 caraB. 2280 caraC. 1400 caraD. 1140 caraE. 684 cara

10. Dari 7 orang calon pelajar teladan di suatu daerah akan dipilih 3 orang pelajar teladan I, II dan III . Hitung berapa cara susunan pelajar yang mungkin akan terpilih sebagai teladan I, II dan III …A. 21B. 35C. 120D. 210E. 720

22

11. Pada suatu konferensi hadir 7 negara, yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera masing-masing negara akan di-kibarkan pada tiang yang diatur menjadi satu baris (7 tiang ). Ada berapa macam cara mengatur 7 bendera itu agar bendera negara A dan B terletak di ujung ?

A.B. 5 !

C.D. 2 ( 5 ! )

E. 2 ( 6 ! )

12. Sebuah kantong berisi 15 kelereng hitam, 12 kelereng putih dan 25 kelereng biru. Bila sebuah kelereng diambil secara acak, maka peluang terambilmya kelereng putih adalah …

A.

B.

C.

D.

13. Dua dadu dilempar bersama. Peluang muncul mata dadu berjumlah 7 adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

14. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

23

15. Dua dadu dilemparkan satu kali. Peluang munculnya 2 mata dadu yang berjumlah 3 atau 10, adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

16. Dalam kotak I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, dalam kotak II terdapat 2 bola dan 7 bola hitam. Dari setiap kotak diambil satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

17. Pada sebuah kotak terdapat 10 kelereng yang terdiri dari 7 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna biru. Jika diambil 3 buah kelerang secara acaak, maka peluang terambil ketiga kelereng tersebut berwarna merah adalah

A.

B.

C.

D.

E.

18. Sebuah kotak berisi 3 buah kelereng putih dan 2 buah kelereng hitam. Pada pengambilan dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam lagi pada pengammbilan yang kedua adalah :A. 0,08B. 0,10C. 0,16D. 0,20

24

E. 0,30

19. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kele-reng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

20. Sebuah kotak berisi lima bola merah dan tiga bola putih. Kita ambil dua bola sekaligus dari kotak itu. Berapa peluang (probabilitas) bahwa bola yang terambil bola merah dan putih ?

A.

B.

C.

D.

E.

21. Dari 7 orang pria dan 5 orang wanita akan dipilih 4 orang yang terdiri dari tiga pria dan seorang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

22. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah …

A.25

B.

C.

D.

E.

23. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar matema tika, 21 siswa gemar IPA dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah …

A.

B.

C.

D.

E.

24. Dari 100 orang mahasiswa, terdaftar 45 orang mengikuti kuliah bahasa Indonesia, 50 orang mengikuti kuliah Seja rah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang di antara 100 mahasiswa itu. Berapakah peluangnya agar mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah bahasa Indonesia maupun Sejarah ?A. 0,10B. 0,15C. 0,20D. 0,25E. 0,30

25. Jika sebuah dadu dilempar 36 kali, maka frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan prima adalah …A. 6 kaliB. 12 kaliC. 16 kaliD. 24 kaliE. 30 kali

26

D A F T A R P U S T A K A

Sartono Wirodikromo , 2003 , Matematika 2000 jilid 5 untuk SMU kelas 3 semester 5 , Jakarta , Erlangga

Sukino , 1989 , Matematika 1 , Klaten , Intan Pariwara BK Noormandiri , 1997 , Matematika untuk SMU jilid 3 , Jakarta ,

Erlangga Dra.Tita Lestari , M.Pd ,M.Si , 2002 , Matematika 3 A , Bandung , PT

Remaja Rosdakarya Drs. Suharso dkk , 2000 , Matematika 3 A untuk SMU kelas 3 , PT Pabelan

, Surakarta

27