BAB 3

FUNGSI DAN GRAFIK

Rangkuman Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata KuliahMatematika Sekolah

Dosen Pembina : Dr. Tatag Y E Siswoyo, M.Pd.

Disusun Oleh:

Wenny Ariani Yunindra (147785073)

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

Pada bab ini akan diperkenalkan bentuk dari sebuah fungsi dan grafik yang menggambarkan

berbagai macam fungsi. Saat kamu menyelesaikannya, kamu harus

Memahami notasi fungsi, dan menyatakan ‘domain’ dan ‘range’

Mengerti bentuk grafik dari x

Mengerti bentuk grafik dari bentuk f(x) = ax2 + bx +c

Dapat memperkirakan persamaan yang mungkin sebagai fungsi dari grafiknya

Mengerti bagaimana menggunakan faktor untuk membuat sketsa grafik

Dapat mnemukan titik potong dari dua grafik.

Kamu juga bisa mengecek kebenaran grafikmu dengan aplikasi di computer. (Geogebra, dsb).

3.1Gambaran Fungsi

Kamu sudah akrab dengan rumus yang meringkas perhitungan yang sering dilakukan,

seperti:

Luas lingkaran dengan jari-jari x meter adalah π x2 meter persegi;

Volume kubus dengan sisi x meter adalah x3 meter kubik;

Waktu untuk menempuh k kilometer dengan kecepatan xkmjam adalah

kx jam.

Kamu akan sering menggunakan huruf yang berbeda arti x pada rumus tersebut seperti r

untuk jari-jari atau s untuk kecepatan, tetapi pada bagian ini x akan selalu digunakan untuk

huruf dalam rumus, dan y untuk hasil perhitunganmu. Perhatikan, bahwa beberapa rumus

juga melibatkan huruf-huruf lain yang biasa dikenal dengan konstanta; mungkin salah

satunya adalah sebuah angka seperti π yang merupakan bilangan irasional dan tidak dapat

dituliskan dengan lengkap, atau sebuah ukuran seperti jarak k, yang mana bisa kamu pilih

untuk menentukan jarak.

Pernyataan seperti π x2, x3, dan kx adalah contoh dari fungsi x. pilihlah nilai x, tentu kamu

mendapat nilai y.

f(x) biasa dibaca fungsi f terhadap x, atau cukup f x.

Sebagai contoh, f(x) = x3, f(2) = 23 = 8.

Saat terdapat dua persamaan, gunakan perumpamaan yaitu f(x) dan g(x). Dengan hasil dari

f(x) atau g(x) adalah nilai y.

3.2 Grafik, Domain, dan Range

Sistem koordinat sumbu-x dan sumbu-y terbagi menjadi 4 kuadran.

Perhatikan gambar 3.1, kuadran pertama terletak di pojok kanan atas, di mana x dan y

bernilai +. Kuadran selanjutnya mengikuti berlawanan dengan arah jarum jam.

Contoh 3.2.1

Kuadran manakah yang bernilai xy > 0 ?

Jawaban: xy > 0, jika x > 0 dan y > 0 (x dan y bernilai positif) pada kuadran I, atau x < 0 dan

y < 0 (x dan y bernilai negatif) pada kuadran III.

Grafik fungsi f(x) membentuk titik koordinat (x, y) memenuhi persamaan y = f(x). Saat

menggambar grafik, lebih baik jika memilih x yang berniai kecil.

Saat kamu membuat grafik dari y = mx + c atau y = x2, tidak bisa menunjukkan grafiknya di

semua titik. Oleh karena itu perlu banyak berlatih untuk menemukan nilai x yang dapat

mewakili sebuah grafik.

Ada beberapa fungsi yang tidak dapat ditetapkan untuk semua bilangan riil.

Contohnya: 1x

, x ≠ 0 dan √ x , x<0

Berikut akan diberikan contoh penentuan nilai x.

Contoh 3.2.2

Gambarkan grafik dari f ( x )=√4−x2

3.3 Grafik Fungsi xi. Bilangan Positif

Grafik fungsi pertama bentuk f(x) = xn,di mana n adalah bilangan positif. Perhatikan (0,0)

dan (1,1) memenuhi persamaan f(x) = xn untuk nilai dari n.

Hal-hal yang harus diperhatikan:

n = 1 adalah hal yang special, karena dia berupa garis lurus layaknya y = x, yang akan

membentuk sudut 45o pada setiap sumbu.

Untuk n > 1 sumbu x adalah garis singgung grafik yang asli. Ini karena, saat x bernilai

kecil, xn pasti lebih kecil. Contohnya, 0,12 = 0,01: 0,13 = 0,001; dst.

Untuk setiap kenaikan nilai n, grafik semakin mendekati sumbu-x antara x = 0 dan x =

1, tetapi naik melewati x = 1. Hali ini karena xn+1 = xn x x

ii. Bilangan Negatif

iii. Bilangan Pecahan

3.4 Angka MutlakAndaikan kamu ingin mencari perbedaan tinggi badan antara dua orang, jika tinggi badan

dua orang tersebut diketahui dengan sebuah bilangan.

Misal, tinggi badan orang pertama 165 cm dan tinggi badan orang kedua 150 cm, berapakah

perbedaan tinggi badan kedua orang itu?

(1). 165 cm – 150 cm = 15 cm, perbedaan tinggi badan kedua orang itu adalah 15 cm.

(2). 150 cm – 165 cm = –15 cm = 15 cm, perbedaan tinggi badan kedua orang itu adalah 15

cm.

Dari kedua macam jawaban di atas, apakah terdapat perbedaan tinggi badan mereka?

Contoh: | 5 | = 5

| –5 | = –(–5) = 5

3.5 Grafik Bentuk y = ax2 + bx + c

Pada Bab 1, kamu sudah bisa mensketsa garis lurus, dan menentukan konstanta m dan c pada

persamaan y = mx + c.

Untuk persamaan y = ax2 + bx + c, kamu bisa mensketsa grafiknya dengan menentukan titik

potong dari sumbu x.

Nilai mutlak x, ditulis | x | dan dibaca “mutlak x”, diartikan sebagai

| x | = x bila x ≥ 0,

| x | = – x bila x < 0

3.6 Bentuk Grafik Bentuk y = ax2 + bx + cPersamaan bentuk kuadrat, secara umum grafiknya berbentuk parabola. Parabola memiliki

sumbu simetri vertikal. Titik di mana parabola berpotongan dengan simetrinya disebut titik

puncak.

Pergantian konstanta c menyebabkan pergeseran grafik ke atas dan ke bawah.

Pergantian b merubah sumbu simetri grafik terhadap arah x.

3.7 Titik Potong Dua GrafikHal mendasar menentukan titik potong dari dua kurva adalah sama dengan menentukan titik

potong dua grafik dengan bentuk persamaan.

Misal kamu mempunyai dua grafik, dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x). Untuk

menemukan titik potongnya, maka harus dibuat f(x) = g(x).

Contoh 3.7.1

Temukan titik potong dari y = 2 dan y = x2 – 3x + 4 (lihat gambar 3.11).

Penyelesaian: f(x) = x2 – 3x + 4 … fungsi kuadrat

g(x) = 2 … fungsi linier

f(x) = g(x)

x2 – 3x + 4 = 2

x2 – 3x + 2 = 0 (faktorkan)

(x – 1)(x – 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Karena y = 2, maka titik potongnya adalah (1, 2) dan (2, 2).

Contoh 3.7.2

Temukan titik potong dari garis y = 2x – 1 dengan grafik y = x2 (lihat gambar 3.12)

Penyelesaian: f(x) = x2 … grafik fungsi kuadrat

g(x) = 2x – 1 … grafik fungsi linier

f(x) = g(x)

x2 = 2x – 1

x2 – 2x + 1 = 0 (faktorkan)

(x – 1)2 = 0

x = 1

Karena y = x2, maka titik potongnya adalah (1, 1).

Contoh 3.7.3

Temukan titik potong grafik y = x2 – 2x – 6 dan y = 12 + x – 2x2.

Penyelesaian: f(x) = x2 – 2x – 6 … fungsi kuadrat

g(x) = 12 + x – 2x2 … fungsi kuadrat

f(x) = g(x)

x2 – 2x – 6 = 12 + x – 2x2

3x2 – 3x – 18 = 0 (bagi dengan 3)

x2 – x – 6 = 0 (faktorkan)

(x – 3)(x + 2) = 0

x = 3 atau x = –2

Karena y = x2 – 2x – 6, maka titik potongnya adalah (3, –3) dan (–2, 2).

3.8 Menggunakan Faktor Untuk Mensketsa GrafikGrafik fungsi bentuk f(x) = ax2 + bx + c yang mana faktornya digunakan untuk menggambar.

Sebagai contoh, perhatikan fungsi berikut

f(x) = x2 – 6x + 5 = (x – 1)(x – 5) … (1)

g(x) = 12x – 4x2 = –4x(x – 3) … (2)

Karena fungsi di atas adalah titik potong sumbu x, maka (1) titik koordinatnya adalah (1, 0)

dan (5, 0). Sedangkan pada (2) titik koordinatnya adalah (0, 0) dan (3, 0).

Apakah perbedaan dari bentuk grafik (1) dan (2)?

Pada (1), a > 0 (a positif), maka parabola terbuka ke atas.

Pada (2), a < 0 (a negatif) maka parabola terbuka ke bawah.

Contoh 3.8.1

Sketsalah grafik f(x) = 3x2 – 2x – 1

Penyelesaian: Tentukan titik potong sumbu-x dari grafik f(x) = 3x2 – 2x – 1

y = 0, 3x2 – 2x – 1 = 0

(3x + 1)(x – 1) = 0

x = −13 atau x = 1

karena y = 0, maka titik potongnya sumbu-x adalah (−13

, 0¿ dan (1, 0)

Tentukan titik potong sumbu y dari grafik f(x) = 3x2 – 2x – 1

x = 0, y = 3(0)2 – 2(0) – 1 = –1

karena x = 0, maka titik potong sumbu y adalah (0, –1)

Kamu juga bisa menggunakan metode faktor untuk fungsi lebih dari dua faktor. Sebagai

contoh,

f(x) = a(x – r)(x – s)(x – t) dengan bersamaan f(x) = ax3 - …

Titik potongnya (r, 0), (s, 0), (t, 0).

Contonya: gambarkan grafik bentuk f(x) = 2x3 – 10x2 + 8

Penyelesaian: titik potong sumbu-x, y = 0

2x3 – 10x2 + 8 = 0

2x(x2 – 5x + 4) = 0

2x(x – 4)(x – 1) = 0

x = 0 atau x = 4 atau x = 1

Karena y = 0, maka titik potongnya adalah (0, 0), (4, 0), dan (1, 0)

3.9 Menentukan Fungsi Dari GrafikKamu juga bisa menentukan persamaan fungsi dengan tipe y = ax2 + bx + c, bila diketahui

titik potong sumbu x dan titik koordinat lain dari grafik.

Rumusnya: y = a(x – xp)(x – xq)

Contoh 3.9.1

Temukan persamaan fungsi y = ax2 + bx + c dengan titik potong sumbu-x di (1, 0) dan (4, 0)

dan melewati (3, –4).

Penyelesaian: (3, –4) = (x, y)

(1, 0) = (xp, 0)

(4, 0) = (xq, 0)

Maka, y = a(x – xp)(x – xq)

–4 = a(3 – 1)(3 – 4)

–4 = a(2)( –1)

–4 = –2a

a = 2

subs a = 2 ke y = a(x – xp)(x – xq)

maka, y = 2 (x – 1)(x – 4)

y = 2(x2 – 5x + 4)

y = 2x2 – 10x + 8