· web viewfakultas sains dan tekhnologi universitas islam negeri alauddin makassar 2010...
TRANSCRIPT
SINGULARITAS DAN EKSTRAPOLASI UNTUK INTEGRASI (RICHARDSON, ROMBERG, DAN
AITKEN)
OLEH :
KELOMPOK 20:
EKA MUKARRAMAH (60600107027)
SUMARNI (60600107015)
FITRIA TUATOY (60600107021)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKHNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR
2010
PEMBAHASAN
A. Singularitas
Kita akan kesulitan melakukan menghitung integrasi numerik apabila fungsi tidak terdefenisi di x=t, dalam hal ini a < t <b. Misalnya dalam menghitung integrasi
Fungsi f(x) = cos x/ jelas tidak terdefenisi di x = 0 (ujung bawah selang). Begitu juga apabila perhitungan integrasi
Menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x=1 tidak dapat dihitung sebab fungsi tidak terdefenisi di x=1. Fungsi yang tidak terdefenisi di x=t, untuk
, dinamakan singular.
Singular juga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefenisi di x=t, untuk
. Misalnya hasil perhitungan integral memperlihatkan hasil yang
menyimpang meskipun fungsi sendiri terdefenisi untuk semua x= t, untuk
. Penyimpangan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan integral dihitung dengan kaidah trapezium.
Tinjau kembali galat total pada kaidah trapezium:
…(1)
Persamaan (1) menyiratkan bahwa galat integrasi akan besar apabila
atau tidak ada.
Singularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi persamaan fungsi sedemikian sehingga ia tidak singularitas lagi.
Contoh 1:
Ubahlah fungsi integrasi
Sehingga menjadi tidak singular lagi.
Penyelesaian:
Fungsi tidak terdefenisi di x=0.
Misalkan
Batas-batas selang integrasi juga berubah
Maka
tidak singular lagi.
B. Penggunaan Ekstrapolasi untuk integrasi
Misalkan adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarak antara titik data adalah h(h<1). Dari persamaan galat kaidah integrasi (trapezium, Simpson 1/3, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde :
Dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunaka h yanh semakin kecil, seperti
yang ditunjukkan oleh diagram garis berikut:
Nilai integrasi adalah bila h=0, tetapi pemilihan h=0 tidak mungkin kita lakukan
didalam rumus integrasi numerik sebab iya akan membuat nilai integrasi sama dengan
0. Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik dengan
melakukan ekstrapolasi ke h= 0. Ada dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan
untuk integrasi:
1.Ekstrapolasi Richardson
2.Ekstrapolasi Aitken
1.Ekstrapolasi Richardson
Pandang kembali kaidah trapesium
Yang dapat ditulis sebagai
Dengan I(h) adalah integrasi dengan menggunakan kaidah trapesium dengan jarak antar
titik selebar h dan
Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita tulis sebagai
…(2)
Dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya:
Kaidah trapezium q = 2
Kaidah trapezium q = 2
Kaidah 1/3 simpson, q = 4
Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik (improve) dibandingkan dengan I. Misalnya J adalah nilai integrasi yang lebih baik daripada I dengan jarak antar titik h:
J= l(h)+ C …(3)
Ekstrapolasikan h menjadi 2h, lalu hitung integrasi numeriknya
J= l(2h)+ C …(4)
Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan (3) dan persamaan (4):
+ C = l(2h)+ C
Sehingga diperoleh
…(5)
Sulihkan persamaan (5) kedalam persamaan (3) untuk memperoleh:
J= l(h) + …(6)
Yang merupakan persamaan ekstrapolasi Ricahrdson. Ekstrapolsi Ricahrdson dapat kita artikan sebagai berikut.
Mula –mula hitung nilai itegrasi dengan kaidah yang sudah baku dengan jarak antara titik selebar h untuk mendapatkan l(h), kemudian hitung kembali nilai itegrasi dengan jarak antara titik selebar 2h untuk memperoleh l(2h). akhirnya, hitunglah nilai itegrasi yang lebih baik dengan menggunakan persamaan (6).
Perhatikan bahwa jika pernyataan diatas di balik, kita telah menggunakan ekstrapolasi menuju h=0, yaitu kita hitung l(2h) lalu hitung l(h). Urutan pengerjaan (I (h2h) atau I(h) lebih dulu) tidak mempengaruhi solusi akhirnya.
Sebagai contoh perhatikan bila (h) dan (2h) di hitung dengan kaidah trafesium (q=2), maka ekstpolasi Ricahrdson-nya adalah
J = l(h) + …(7)
Dan bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah 1/3 Simpson (q = 4), maka ekstpolasi Ricahrdson-nya adalah
[ I(h)-I(2h) ]
J = l(h) + …(8)
Perhatikan bahwa suku 1/3 [ I(h)-I(2h) ] pada persamaan (7) dan suku 1/15 [I(h)-I(2h)] pada persamaan (8) merupakan factor korelasi. Artinya, nilai taksiran itegrasinya I(h) dapat dikatakan menjsdi nilai yang lebih baik dengan menambahkan factor koreksi tersebut
Contoh 2:
Hitunglah kembali itegrasi
Dengan menggunakan ekstpolasi Richardson.yang dalam hal ini I(h) dan (2h) hitung dengan kaidah trafesium dan h=0,125
Penyelesaian:
Jumlah upaselang ;n=(1-0)/0.125=8
Tabel titik-titik didalam selang [0,1] dengan h=0,125
r0 0 11 0.12 0.888892 0.250 0.800003 0.375 0.727274 0.500 0.666675 0.625 0.615386 0.750 0.571437 0.875 0.533338 1000 0.50000
I (h) adalah nilai itegrasi dengan kaidah trafesium menggunakan h=0,125
=
I (2h) adalah nilai itegrasi dengan kaidah trafesium menggunakan 2h=0,250;
Nilai itegrasi yang lebih baik , J, diperoleh dengan ekstpolasi Richardson:
J= (h) +
Yang dalam hal ini, q= 2, karena I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapezium yang
(yang mempunyai orde galat = 2)
jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah 0,69315. Bandingkanlah dengan nilai
integrasi sejatinya
Yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena f(0,69314718)=0,69315, hasilnya tepat
sama dengan nilai integrasi yang dihitung dengan dengan ekstrapolasi Richardson
2. Metode RombergMetode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua:
Misalnya, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trpesium yang berorde galat O(h), maka ekstrapolasi Rrichardson menghasilkan kaidah Simpson 1/3 yang berorde O(h). selanjutnya bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson 1/3, ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah Boole yang berorde O(h).
Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson:
J= l(h) +
Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai:
yang dalam hal ini
h=(b-a)/n
dan = perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapezium dan jumlah pias . Orde
galat adalah .
Sebagai contoh, selang dalam [a, b] dibagi menjadi 64 buah pias atau upaselang:
k=0 (artinya n = =1 pias,
k=1 (artinya n = = 2 pias,
k=2 (artinya n = = 4 pias,
k=3 (artinya n = = 8 pias,
…
K=6 (artinya n= =64 pias,
Arti dari setiap adalah sebagai berikut:
adalah taksiran nilai integrasi dengan menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = =1 buah pias;
adalah taksiran nilai integrasi dengan menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = = 2 buah pias;
adalah taksiran nilai integrasi dengan menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = = 4 buah pias;
adalah taksiran nilai integrasi dengan menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n= =64 buah pias;
Gunakan pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan
runtunan , yaitu
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah dengan orde galat
adalah .
Selanjutkan gunakan pada persamaaan ekstrapolasi Richardson untuk
mendapatkan runtunan , yaitu
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah dengan orde galat
adalah .
Selanjutnya gunakan pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk
mendapatkan runtunan , yaitu
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah dengan orde galat
adalah . Demikian seterusnya. Dari runtunan tersebut, diperoleh table yang dinamakan table Romberg seperti berikut:
3. Ekstrapolasi AitkenKita telah membahas ekstrapolasi Richardson yang dapat diringkas sebagai berikut:
Yang dalam hal ini :h = lebar tiap upaselang atau pias (atau jarak antara titik) C dan q adalah konstanta dengan q diketahui (C dapat dieliminir)I(h) adalah hampiran nilai I
adalah galat dari hampiran nilai Imaka
Adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik (improve) dari pada I.Apabila nilai q tidak diketahui maka kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu I(h),I(2h),I(4h);
…(9)
…(10)
…(11)
Eliminasikan nilai C dan q tidak diketahui? Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai , yaitu , , dan :
=
…(12)
Dan menyamakan persamaan (10) dan (11)
…(13)
Persamaan (12)sama dengan persamaan (13)
…(14)
Kali silangkan kedua persamaan (14)
atau
…(15)
Persamaan (15) ini dinamakan persamaan ekstrapolasi Aitken.
Sekarang tinjau kembali:
…(16)
…(17)
Bagi persamaan (17)dengan persamaan (16)
…(18)
Besaran C pada persamaan (18)dapat dihilangkan menjadi
…(19)
Tinjau kembali persamaan (15) yang dapat ditulis ulang sebagai
jadi
…(20)
Yang mirip dengan persamaan ekstrapolasi Richardson Aitken akan tepat sama dengan ekstrapolasi Richardson jika nilai teoritis
Tepat sama dengan niai empirik
Perbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul bergantung kepada apakah kita mengetahui nilai q atau tidak.
Secara matematis, prinsip kerja dari metode-metode ini adalahmelakukan evaluasi dan perbaikan rasio nilai-nilai akar yang telahdiperoleh relatif terhadap akar eksaknya sedemikian rupa sehinggadapat meningkatkan laju konvergensinya (dan bahkan menghindaridivergensi) sampai mendekati konvergensi kuadratis.
Contoh sekuensi konvergen dan divergen dari fungsi ( ) n 1 n x g x .Secara ringkas, algoritma Metode Aitken ini dapat disajikansebagai berikut:
Algoritma AITKEN(g,x0,e,iter,itmax,flag)1. Periksa terlebih dahulu karakteristikkonvergensinya, yaitu: |g(x)| < 1 ?2. Set x1 = g(x0); x2 = g(x1);3. a = x2 - (x1 – x2)2/{(x2 – x1) - (x1 - x0)};4. Jika abs(a – x2) e maka flag = 1 ataujika iter > itmax maka flag = 2 atau
jika tidak maka setiter = iter + 1;x0 = a;5. Jika flag = 0 ulangi ke nomor 2;6. Selesai.
KESIMPULAN
A. Singularitas
Menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x=1 tidak dapat dihitung sebab fungsi tidak terdefenisi di x=1. Fungsi yang tidak terdefenisi di x=t, untuk
, dinamakan singular.Singular juga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefenisi di x=t, untuk
. Misalnya hasil perhitungan integral memperlihatkan hasil yang
menyimpang meskipun fungsi sendiri terdefenisi untuk semua x= t, untuk
. Penyimpangan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan integral dihitung dengan kaidah trapezium.
B. Penggunaan Ekstrapolasi untuk integrasi
1. Ekstrapolasi RichardsonYang merupakan persamaan ekstrapolasi Ricahrdson. Ekstrapolsi Ricahrdson dapat kita artikan sebagai berikut:
Mula –mula hitung nilai itegrasi dengan kaidah yang sudah baku dengan jarak antara titik selebar h untuk mendapatkan l(h), kemudian hitung kembali nilai itegrasi dengan jarak antara titik selebar 2h untuk memperoleh l(2h). akhirnya, hitunglah nilai itegrasi yang lebih baik dengan menggunakan persamaan (6).
2. Metode RombergMetode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik.
3. Ekstrapolasi AitkenPersamaan Aitken: