repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27023/2/053114011_full.pdf · vi tembikar terlalu gigih...

i

MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTIC (GARCH)

S K R I P S I

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

NANIN FERYANTI

NIM : 053114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2009

ii

GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTIC (GARCH) MODEL

T H E S I S

Presented as A Partial Fulfillment of The Requirements

to Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By :

NANIN FERYANTI

Student Number : 053114011

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2009

vi

TEMBIKAR

Terlalu gigih kucoba

Menjalani hidup ini dengan bermegah diri

Hingga suatu hari

Hidupku terlepas jatuh dari tanganku

dan hancur berantakan di sekelilingku

Hancur

Aku menanti Allah membentakku dengan keras

“Sudah Kubilang!”

Namun,

Dia justru menghampiri ke tempat aku terjatuh

dan memungut kepingan-kepingan itu

Lalu berkata,

“Jangan menangis.

Itu hanya tembikar biasa,

Hanya tembikar biasa.”

(Alma Barkman)

vii

ABSTRAK

Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) merupakan model Autoregresif dengan variansi bersyarat tidak konstan. Variansi ini dipengaruhi oleh data masa lalu. Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH) merupakan perumuman dari model ARCH. Variansi dalam model GARCH dipengaruhi oleh data dan variansi masa lalu. Model GARCH yang paling sederhana adalah model GARCH(1,1). Model tersebut diharapkan mampu menggantikan model ARCH dengan orde tinggi sehingga model menjadi lebih sederhana. Penduga parameter dari model ini dapat diperoleh dengan metode kemungkinan maksimum.

Model ini dapat digunakan dalam peramalan harga saham. Aplikasi model ini menggunakan data harga saham Matahari Putra Prima Tbk dan ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk.

viii

ABSTRACT

Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) model is autore-gressive model and its conditional variance is not constant. This variance depend on past observations. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH) model is generalization of ARCH model. Its variance depend on past observations and past variance. The simplest GARCH model is GARCH (1,1). It might replace a high order ARCH(q) giving a more parsimonious model. Parameters estimator is found by maximum likelihood method.

GARCH model can be applied in asset prices forecasting. Its applications use Matahari Putra Prima Tbk and ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk.

ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan pada Allah Bapa di Surga karena telah

melimpahkan berkat dan kesehatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh

gelar Sarjana Sains di Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam pembuatan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril

maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan

terima kasih kepada:

1. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing yang telah

meluangkan banyak waktu, membimbing dan mendorong penulis dengan

penuh kesabaran.

2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi.

3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi

Matematika.

4. Hongki Julie, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan

masukan-masukan dan koreksi.

5. Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.

6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu

yang berguna kepada penulis.

x

7. Zaerilus Tukija dan Erma Linda Santyas Rahayu yang telah memberikan

pelayanan administrasi selama penulis kuliah.

8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang memberikan fasilitas dan

kemudahan kepada penulis.

9. Kedua orang tua yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan

materi.

10. Agustinus Joko Pramudi (adik) dan Yano Kristianto (kemenakan) yang selalu

memberikan semangat dan dorongan, serta doa.

11. Herningtyas Kurniawati, Wiwin Kartika Putri, Vincentius Prabowojati

Wicaksana, dan Maria Endah Savitri yang selalu memberikan semangat dan

dorongan.

12. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi

ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena

itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun dan

menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan

wawasan dan pengetahuan bagi pembaca demi perkembangan ilmu pengetehuan,

khususnya matematika.

Yogyakarta, 30 September 2009

Penulis

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………….

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….

HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………

HALAMAN KEASLIAN KARYA…………………………………...

HALAMAN PERSEMBAHAN……………………………………….

ABSTRAK…………………………………………………………….

ABSTRACT…………………………………………………………...

KATA PENGANTAR…………………………………………………

DAFTAR ISI…………………………………………………………..

DAFTAR TABEL……………………………………………………..

DAFTAR GAMBAR…………………………………………………

BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………

A. Latar Belakang Masalah……………………………………………

B. Perumusan Masalah………………………………………………...

C. Batasan Masalah……………………………………………………

D. Tujuan Penulisan……………………………………………………

E. Manfaat Penulisan…………………………………………………..

F. Metode Penulisan…………………………………………………...

G. Sistematika Penulisan………………………………………………

BAB II. DASAR-DASAR TEORI PROBABILITAS………………..

A. Variabel Random dan Distribusi Probabilitasnya…………………..

1. Variabel Random Diskret dan Kontinu………………………….

2. Distribusi Probabilitas…………………………………………...

3. Nilai Harapan dan Variansi……………………………………...

B. Distribusi Normal…………………………………………………..

C. Distribusi Probabilitas Bersama…………………………………….

D. Sifat-Sifat Variabel Random -Dimensi…………………………...

1. Nilai Harapan dan Variansi dari Variabel Random -Dimensi…

i

iii

iv

v

vi

vii

viii

ix

xii

xv

xvi

1

1

3

4

4

5

5

5

7

7

7

9

11

16

26

31

31

xiii

2. Nilai Harapan Bersyarat dan Variansi Bersyarat………………..

3. Korelasi………………………………………………………….

A. Metode Maximum Likelihood (Kemungkinan Maksimum)………..

BAB III. DASAR-DASAR ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN

DERET WAKTU LINEAR…………………………………………...

A. Stasioneritas………………………………………………………...

B. Fungsi Autokorelasi………………………………………………...

C. Deret White Noise…………………………………………………..

D. Deret Waktu Linear………………………………………………...

E. Model Autoregresif (AR)…………………………………………..

1. Sifat-sifat Model AR (1)………………………………………...

2. Sifat-sifat Model AR (2)………………………………………...

3. Sifat-sifat Model AR (p)………………………………………...

4. Identifikasi Model AR (p)……………………………………….

F. Model Moving-Average (MA)……………………………………...

1. Sifat-sifat Model MA (1)………………………………………..

2. Sifat-sifat Model MA (2)………………………………………..

3. Sifat-sifat Model MA (q)………………………………………..

G. Model Autoregresif Moving-Average (ARMA)…………………....

1. Sifat-sifat Model ARMA (1,1)…………………………………..

2. Sifat-sifat Model ARMA (p,q)…………………………………..

3. Peramalan dengan Model ARMA (p,q)…………………………

BAB IV. MODEL HETEROSKEDASTIK BERSYARAT………….

A. Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH)……..

1. Sifat-sifat Model ARCH (1)…………………………………….

2. Sifat-sifat Model ARCH (m)…………………………………….

3. Langkah-langkah Menyusun Model ARCH…………………….

a. Menentukan persamaan rata-rata yang sesuai………………..

b. Pengujian efek ARCH………………………………………..

c. Menentukan orde m…………………………………………..

d. Pendugaan parameter………………………………………...

37

38

42

44

44

49

55

56

60

60

69

75

80

83

85

90

95

97

97

101

104

107

109

109

116

120

120

120

122

122

xiv

e. Pemeriksaan model…………………………………………...

f. Peramalan dengan menggunakan model ARCH (m)………...

B. Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic

(GARCH)…………………………………………………………...

1. Sifat-sifat model GARCH (m,s)…………………………………

2. Sifat-sifat model GARCH (1,1)…………………………………

3. Langkah-langkah Menyusun Model GARCH…………………..

4. Peramalan dengan menggunakan model GARCH (1,1)………...

BAB V. APLIKASI MODEL GARCH PADA DATA HARGA

SAHAM MATAHARI PUTRA PRIMA DAN ASTRA AGRO

LESTARI INDONESIA………………………………………………

A. Aplikasi pada Harga Saham Matahari Putra Prima………………...

B. Aplikasi pada Harga Saham ASTRA Agro Lestari Indonesia……..

BAB VI. PENUTUP………………………………………………….

A. Kesimpulan…………………………………………………………

B. Saran………………………………………………………………..

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………

LAMPIRAN

125

125

127

128

134

140

142

145

145

157

170

170

171

172

xv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.2. Runtun Waktu dari Permintaan Produk A………………

Tabel 5.1. Hasil Peramalan Data Harga Saham Matahari Putra Prima

Tbk dengan Menggunakan Model MA (1)-GARCH(1,1)…..

Tabel 5.2. Hasil Peramalan Data Harga Saham ASTRA Agro Lestari

Indonesia Tbk dengan Menggunakan Model AR(1)-

GARCH(2,1)………………………………………………...

51

156

169

xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Kurva normal…………………………………………

Gambar 3.1.1. Deret waktu yang tidak stasioner dalam rata-rata…...

Gambar 3.1.2. Deret waktu yang tidak stasioner dalam variansi…...

Gambar 3.1.3. Deret waktu yang stasioner………………………….

Gambar 3.5.1.1. Grafik ACF dari model AR(1) dengan 01 >φ ……

Gambar 3.5.1.2. Grafik ACF dari model AR(1) dengan 01 <φ ……. Gambar 3.5.2.1. Grafik ACF dengan akar-akar karakteristik berni-

lai real…………………………………………………

Gambar 3.5.2.1. Grafik ACF dengan akar-akar karakteristik berni-

lai kompleks…………………………………………..

Gambar 5.1.1. Grafik Harga Saham Matahari Putra Prima…………

Gambar 5.1.2. Grafik Return dari Harga Saham Matahari Putra

Prima………………………………………………….

Gambar 5.1.3. Grafik ACF Return dari Harga Saham Matahari

Putra Prima……………………………………………

Gambar 5.1.4. Grafik PACF Return dari Harga Saham Matahari

Putra Prima……………………………………………

Gambar 5.1.5. Grafik ACF galat kuadrat dari model ARMA(1,1)…

Gambar 5.1.6. Grafik PACF galat kuadrat dari model ARMA(1,1)..

Gambar 5.1.7. Grafik ACF galat kuadrat dari model MA(1)……….

Gambar 5.1.8. Grafik PACF galat kuadrat dari model MA(1)……...

Gambar 5.2.1. Grafik Harga Saham AALI.JK……………………...

Gambar 5.2.2. Grafik Return dari Harga Saham AALI.JK…………

Gambar 5.2.3. Grafik ACF Return dari Harga Saham AALI.JK…...

Gambar 5.2.4. Grafik PACF Return dari Harga Saham AALI.JK….

Gambar 5.2.5. Grafik ACF galat kuadrat dari model AR(1)………..

Gambar 5.2.6. Grafik PACF galat kuadrat dari model AR(1)………

Gambar 5.2.7. Grafik ACF galat kuadrat dari model MA(1)……….

Gambar 5.2.8. Grafik PACF galat kuadrat dari model MA(1)……...

17

47

47

48

68

68

74

75

145

146

147

147

149

149

153

153

157

158

159

159

160

161

165

165

1

BAB I.

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Beberapa analis pada sebuah media memaparkan bahwa seorang calon

investor (individu yang akan bertransaksi saham pada suatu perusahaan)

sangat memerlukan pengetahuan yang luas tentang perusahaan tersebut. Apa

nama perusahaan tersebut, bisnis apa yang dijalankan, seberapa besar

hutangnya, bagaimana perkembangan perusahaan tersebut adalah informasi-

informasi yang seharusnya diketahui. Tak kalah pentingnya perlu diketahui

juga informasi tentang pergerakan harga saham perusahaan tersebut dalam

beberapa tahun terakhir, 1, 5, sampai 10 tahun yang lalu. Menurut beberapa

data di lapangan, harga saham sekarang dipengaruhi oleh harga saham

sebelumnya. Untuk selanjutnya, data yang dipengaruhi oleh data sebelumnya

disebut data runtun waktu.

Dalam pergerakan harga saham, volatilitas berperan penting. Volatilitas

merupakan besaran yang menentukan seberapa besar data berubah menurut

waktu. Salah satu sifat volatilitas adalah tidak dapat diukur secara langsung,

tetapi ada beberapa besaran yang dapat mengukurnya. Salah satunya adalah

variansi.Variansi mengukur seberapa besar nilai suatu data runtun waktu

berbeda terhadap rata-rata keseluruhan.

2

Salah satu model yang dikembangkan untuk memodelkan data runtun

waktu adalah Autoregresi. Misalkan tyyy ,,, 21 K adalah data runtun waktu.

Berdasarkan asumsi terhadap variansinya, model autoregresi dibagi menjadi

dua kelompok, yaitu:

1. Autoregresi dengan ( ) 2σ=tyVar (variansi konstan), contohnya:model

Autoregressive (AR), Moving-Average (MA), Autoregressive Moving-

Average (ARMA).

2. Autoregresi dengan ( ) 2ttyVar σ= (variansi berubah terhadap waktu)

contohnya: model Autoregressive Conditional Heteroscedastic

(ARCH) dan Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic

(GARCH).

Model AR, MA, dan ARMA kurang sesuai jika dihadapkan pada data

yang variansinya berubah terhadap waktu. Model ARCH sebagai model yang

diasumsikan variansinya berubah menurut waktu pun kurang sesuai jika ada

kemungkinan perubahan variansi data yang tidak hanya dipengaruhi oleh

sejumlah data sebelumnya, tetapi juga dipengaruhi oleh variansi data

sebelumnya. Model GARCH yang diperkenalkan pertama kali oleh Bollerslev

(1986) sebagai perkembangan dari model ARCH menawarkan untuk

memodelkan suatu data yang berubah variansinya dan perubahan variansinya

dipengaruhi oleh sejumlah data sebelumnya dan variansi data sebelumnya.

Perubahan variansi ini menandakan adanya efek GARCH dalam data tersebut.

Model GARCH dengan orde (m,s) dapat digambarkan sebagai berikut :

3

2

1

2

10

2jt

s

jjit

m

iit

ttt

a

ua

−=

−=

∑∑ ++=

=

σβαασ

σ

dengan

t = indeks waktu

ta = galat pada waktu ke-t

2tσ = variansi pada waktu ke-t

{ }tu = suatu barisan dari variabel random iid (independent and

identically distributed )

ji βαα ,,0 adalah konstanta

Setelah mendapatkan modelnya, selain dapat melihat pergerakan harga saham

(yang diperlihatkan oleh variansi) pada masa lalu, model tersebut juga dapat

digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham pada periode

berikutnya.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apakah model GARCH itu?

2. Bagaimana cara menguji ada dan tidaknya efek GARCH pada suatu

data?

3. Bagaimana cara mendapatkan orde (m,s) yang sesuai?

4. Bagaimana cara mendapatkan koefisien-koefisien ji dan βαα ,,0 ?

5. Bagaimana penerapannya dalam peramalan pergerakan harga saham?

4

6. Apakah jika semakin tinggi ordenya, maka semakin tepat peramalan-

nya?

C. BATASAN MASALAH

1. Pembahasan masalah hanya akan dibatasi pada model GARCH.

2. Sifat-sifat fungsi Gamma tidak dibuktikan.

3. Statistik -rasio tidak dibuktikan.

4. Pendekatan fungsi kriteria informasi tidak dibahas.

5. Aturan Cramer tidak dijelaskan secara rinci.

6. T-statistic tidak dibuktikan.

7. Statistik Ljung-Box tidak dibuktikan.

8. Statistik uji efek ARCH tidak dibuktikan.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah:

1. Memahami model GARCH.

2. Mengetahui bagaimana cara mendapatkan orde yang sesuai.

3. Mengetahui bagaimana cara mendapatkan koefisien-koefisien dalam

model GARCH.

4. Menerapkan model GARCH pada pergerakan harga saham.

5. Mengetahui pengaruh orde yang tinggi dalam peramalan.

5

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang dapat diambil dari penulisan ini adalah dengan pengetahuan

yang ada tentang model GARCH kita dapat meramal pergerakan harga saham

pada suatu perusahaan.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan adalah studi pustaka, baik dari buku-buku juga

dari jurnal-jurnal ilmiah. Data akan diolah dengan software MATLAB.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I : menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan

sistematika penulisan.

BAB II : menjelaskan tentang variabel random dan distribusi probabilitasnya,

distribui normal, distribusi probabilitas bersama, sifat-sifat variabel random k-

dimensi, dan metode kemungkinan maksimum

BABIII : stasioneritas, fungsi autokorelasi (ACF), proses white noise, model

Autoregresi (AR), model Moving-Average (MA), dan kombinasi model

Autoregresi-Moving Average (ARMA).

BAB IV : menjelaskan tentang model ARCH dan model GARCH.

6

BAB V : menjelaskan tentang penerapan model GARCH pada harga saham

suatu perusahaan, pengujian efek GARCH, dan penentuan orde dan koefisien-

koefisien model GARCH.

BAB VI : menjelaskan tentang kesimpulan dan saran.

7

BAB II.

DASAR-DASAR TEORI PROBABILITAS

A. VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PROBABILITASNYA

1. Variabel Random Diskret dan Kontinu

Suatu model matematika dari suatu kejadian dalam ruang sampel

diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris daripada hasil percobaan.

Misalnya, dalam sebuah percobaan pelemparan uang logam sebanyak tiga kali,

ruang sampel yang dihasilkan dapat dituliskan sebagai berikut

, , , , , , ,

dengan =ruang sampel; =sisi gambar; =sisi angka. Bila yang diperhatikan

adalah kemunculan sisi gambar sebagai suatu fungsi, maka setiap titik sampel

dapat dipetakan pada bilangan 0,1,2, atau 3.

Definisi 2.1.1.1

Sebuah variabel random merupakan fungsi bernilai real yang didefinisikan pada

sebuah ruang sampel.

Suatu variabel random dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya ,

sedangkan nilai-nilainya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya . Variabel

8

random dibedakan atas diskret dan kontinu. Berikut adalah definisi dari kedua

variabel random.

Definisi 2.1.1.2

Variabel random diskret adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang

sampel yang berhingga atau tak berhingga terbilang.

Contoh 2.1.1

Jika adalah variabel random yang menyatakan banyaknya pelemparan uang

logam yang diperlukan sampai sisi angka muncul, menyatakan sisi gambar, dan

menyatakan sisi angka. Maka ruang sampel dari percobaan pelemparan uang

logam berulang-ulang sampai sisi angka muncul adalah

, , , …

Banyaknya titik sampel pada himpunan tersebut tak berhingga, tetapi himpunan

tersebut dapat dikorespondesikan satu-satu dengan himpunan bilangan cacah

sehingga dapat dikatakan bahwa tak berhingga terbilang. Oleh karena itu,

merupakan variabel random diskret.

Pandang curah hujan harian pada suatu titik geografis tertentu. Secara

teoritis, agar pengukuran menjadi akurat maka jumlah curah hujan dapat

dipetakan ke titik tertentu pada suatu interval. Dengan demikian, lebih

meyakinkan bila suatu variabel random mengambil nilai setiap titik dalam suatu

interval jumlah curah hujan daripada menganggapnya bernilai diskret.

9

Definisi 2.1.1.3

Suatu variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada

ruang sampel yang tidak diskret.

2. Distribusi Probabilitas

Definisi 2.1.2.1

Fungsi , , , … yang menyatakan probabilitas untuk

semua kemungkinan nilai variabel random diskret disebut fungsi probabilitas

diskret.

Fungsi probabilitas tersebut dapat dinyatakan dalam rumus fungsi atau tabel

pasangan nilai variabel random berikut dengan peluangnya (disebut distribusi

probabilitas).

Sifat 2.1.2.1

Fungsi adalah fungsi probabilitas diskret jika dan hanya jika memenuhi

(i) 0, untuk semua

(ii) ∑ 1

Bukti:

(i) Sifat (i) merupakan akibat langsung dari definisi probabilitas yang harus

tidak negatif.

10

(ii) Nilai , 1,2, … merupakan semua kemungkinan nilai , maka kejadian

, 1,2, … merupakan partisi dari ruang sampel , sehingga

∑ ∑ 1

Definisi 2.1.2.2

Fungsi disebut fungsi probabilitas kontinu (fungsi densitas) bagi variabel

random jika dan hanya jika memenuhi syarat:

(i) 0 untuk semua nilai bernilai real

(ii) ∞ 1

Cara lain untuk menyatakan distribusi probabilitas adalah dengan

menyatakannya dalam interval, misalnya ∞, untuk semua bernilai real.

Distribusi yang dinyatakan dengan cara demikian disebut fungsi distribusi

kumulatif yang dibedakan atas diskret dan kontinu.

Definisi 2.1.2.3

Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret didefinisikan sebagai

untuk semua nilai real .

Definisi 2.1.2.4

Suatu variabel random mempunyai fungsi densitas , maka fungsi distribusi

kumulatif kontinu dari didefinisikan sebagai berikut:

11

Fungsi densitas dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif melalui

diferensiasi, yaitu

3. Nilai Harapan dan Variansi

Dalam statistika, konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat

penting. Rata-rata dan variansi adalah contoh yang paling mudah dan keduanya

hampir selalu muncul dalam teknik-teknik analisis statistika elementer maupun

lanjut. Nilai harapan dapat dinyatakan dalam definisi berikut.

Definisi 2.1.3.1

Andaikan X variabel random, maka nilai harapan dari variabel random X yang

dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut

(i) ∑ , jika X diskrit dengan fungsi probabilitas ,

(ii) , jika X kontinu dengan fungsi densitas .

Sifat 2.1.3.1

Jika adalah konstanta, maka .

12

Bukti:

Pembuktian untuk variabel random kontinu.

. 1

Pembuktian untuk variabel random diskret dapat dikerjakan secara

analog.

Sifat 2.1.3.2

Jika variabel random dan konstanta, , konstanta.

Bukti:



analog

13

Definisi 2.1.3.2

Andaikan X variabel random dan adalah fungsi dari X, maka nilai harapan

dari fungsi variabel random X yang dinotasikan dengan didefinisikan

sebagai berikut

(i) ∑ , jika X diskrit dengan fungsi probabilitas .

(ii) , jika X kontinu dengan fungsi densitas .

Sifat 2.1.3.3

Jika adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas , dan

merupakan fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka

Bukti:

Menurut Definisi 2.3.2 (ii),maka

Pembuktian untuk variabel random diskret dapat

dikerjakan secara analog.

14

Definisi 2.1.3.4

Andaikan X variabel random, maka variansi X yang dinotasikan dengan

didefinisikan sebagai berikut

(i) ∑ , jika X diskrit dengan fungsi probabilitas

,

(ii) , jika X kontinu dengan fungsi densitas

.

Sifat 2.1.3.4

Jika variabel random, maka .

Bukti:


Ambil ,

Menurut Definisi 2.1.3.2 (ii), maka


analog.

15

Sifat 2.1.3.5

Jika variabel random kontinu dan konstanta, maka .

Bukti:

Dengan menggunakan Sifat 2.1.3.4 diperoleh


Definisi 2.1.3.5

Andaikan X variabel random kontinu dan fungsi densitas dari X . Momen

ke-ℓ dari X didefinisikan sebagai berikut

ℓ′ ℓ ℓ

∞, ℓ 1,2,…

Definisi 2.1.3.6

Andaikan X variabel random kontinu, fungsi densitas dari X, dan rata-

rata dari X. Momen sentral ke-ℓ dari X didefinisikan sebagai berikut

ℓ ℓ ℓ∞

, ℓ 1,2, …

16

Momen ke empat digunakan dalam formulasi kurtosis. Kurtosis mengukur

keruncingan dari kurva distribusi frekuensi. Secara khusus, kurtosis dapat

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.1.3.7

Andaikan X variabel random, rata-rata dari X , dan variansi dari X. Kurtosis

dari X yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut

Kuantitas dari 3 disebut excess kurtosis. Sebuah distribusi dengan

excess kurtosis bernilai positif membentuk kurva distribusi yang sangat runcing,

yang disebut leptokurtik. Dan sebaliknya jika excess kurtosis bernilai negatif

membentuk kurva distribusi yang agak mendatar, disebut platikurtik.

B. DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal ditemukan oleh De Moivre pada tahun 1733. Kemudian

Gauss berhasil mendapatkan persamaan kurva normal melalui studi galat dalam

pengukuran yang berulang-ulang terhadap benda yang sama. Sehingga distribusi

normal sering disebut juga distribusi Gauss.

Suatu variabel random yang menyerupai lonceng seperti Gambar 2.1 disebut

variabel random normal. Persamaan matematik bagi distribusi probabilitas

17

variabel random normal ini bergantung pada rata-rata dan simpangan

bakunya .

Gambar 2.1. Kurva normal

Definisi 2.2.1

Variabel random dikatakan berdistribusi normal dengan rata-rata dan

simpangan baku bila fungsi densitasnya berbentuk

; ,1

√2, ∞ ∞

Untuk menunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi sifat-sifat fungsi densitas

diperlukan definisi dan sifat-sifat fungsi Gamma.

Definisi 2.2.2

Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan Γ , untuk semua 0 didefinisikan

sebagai berikut

Γ∞

18

Sifat 2.2.1

Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat berikut:

(i) Γ 1 Γ 1 , 1

(ii) Γ 1 !

(iii) Γ √

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa distribusi normal memenuhi sifat-

sifat fungsi densitas. Fungsi densitas untuk variabel random yang berdistribusi

normal menurut Definisi 2.2.1 adalah

; ,1

√2

(i) Karena nilai dan selalu positif, maka diperoleh

; ,1

√20

Syarat pertama menurut Definisi 2.1.2.2 dipenuhi.

(ii) Akan dicari ; ,∞

√∞ (2.2.1)

Misalkan (2.2.2)

maka (2.2.3)

Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.2 dan 2.2.3 pada Persamaan 2.2.1,

maka diperoleh

1√2

∞

19

1√

1√2

∞ 2.2.4

Misalkan (2.2.5)

maka √2 (2.2.6)

dan √2 (2.2.7)

Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.5 , 2.2.6 dan 2.2.7 pada

Persamaan 2.2.4, maka diperoleh

1√

1√2

√2∞

1√

∞ 2.2.8

Dengan menggunakan Definisi 2.2.2, maka persamaan 2.2.8 menjadi

1√

Γ12

Dengan menggunakan Sifat 2.2.1(iii), maka persamaan tersebut menjadi

1√

√ 1

Syarat ke dua menurut Definisi 2.1.2.2 dipenuhi.

Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan memegang

peranan penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.

Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan.

Fungsi densitas hasil transformasi dari ke disebut Distribusi normal standar

dengan fungsi densitas sebagai berikut

20

1√2

, ∞ ∞

Berikut akan dicari rata-rata dan variansi serta nilai harapan dari dari

variabel random yang berdistribusi normal standar.

(i) Rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal standar

1√2

∞ 2.2.9

Misalkan (2.2.10)

maka (2.2.11)

dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.10 dan 2.2.11 ke dalam Persamaan 2.2.9,

maka diperoleh

1√2

∞

1√2

∞

1√2

∞

1√2

∞

1√2

0 2.2.12

(ii) Variansi dari variabel random yang berdistribusi normal standar

Menurut Sifat 2.1.3.4 variansi dari adalah sebagai berikut

21

Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.1.4.12 ke dalam persamaan tersebut, maka

diperoleh

Dengan menggunakan Definisi 2.1.3.5 diperoleh

∞ (2.2.13)

Karena berdistribusi normal, maka

1√2

∞ 2.2.14

Misalkan (2.2.15)

maka √2 (2.2.16)

dan (2.2.17)

dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.15, 2.2.16, dan 2.2.17 ke dalam


1√2

2√2

1√

1√

. 2

Dengan menggunakan Definisi 2.2.2, dapat diperoleh

2√

Γ32

Dengan menggunakan Sifat 2.2.1 (i) dan (iii) dapat diperoleh

2√

12 Γ

12

22

1√

√ 1 2.2.18

(iii) Nilai harapan dari

1√2

∞

Misalkan (2.2.19)

Maka (2.2.20)

dan √2 (2.2.21)

dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.19, 2.2.20, dan 2.2.21 dapat diperoleh

41

√2 √2

∞

2√

∞

2√

. 2∞

Dengan menggunakan Definisi 2.2.2 dapat diperoleh

4√

Γ52

Dengan menggunakan Sifat 2.2.1 (i) diperoleh

4√

32Γ

32

6√

12Γ

12

Dengan menggunakan Sifat 2.2.1 (iii) diperoleh

23

3√

√ 3 2.2.22

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa dan adalah rata-rata dan variansi dari

variabel random yang berdistribusi normal.

(i) Akan diperlihatkan bahwa

1√2

∞ 2.2.23

Misalkan (2.2.24)

maka (2.2.25)

dan 2.2.26

Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.24, 2.2.25, dan 2.2.26 ke dalam

Persamaan 2.2.23 maka diperoleh

1√2

∞

1√2

∞

1√2

∞ 1√2

∞

1√2

∞ 1√2

∞

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.9 dan sifat fungsi densitas dapat diperoleh

. 1

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.12 diperoleh

24

. 0 (2.2.27)

(ii) Akan diperlihatkan bahwa

2

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.27 dapat diperoleh

2

Dengan menggunakan Sifat 2.1.3.3 dapat diperoleh

2

Dengan menggunakan Sifat 2.1.3.1 dan 2.1.3.2 diperoleh

2

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.27 dapat diperoleh

2

(2.2.28)

Akan dicari terlebih dahulu.

∞

Karena berdistribusi normal, maka

1√2

∞ 2.2.29

Misalkan (2.2.30)

maka (2.2.31)

dan 2.2.32

25

dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.30, 2.2.31, dan 2.2.32 ke dalam

Persamaan 2.2.29 dapat diperoleh

1√2

∞

21

√2

∞

1√2

∞2

1√2

∞

1√2

∞

1√2

∞2

1√2

∞

1√2

∞

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.9 dan 2.2.14 serta sifat fungsi densitas,

maka diperoleh

2 . 1

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.12 dan 2.2.18 dapat diperoleh

. 1 2 . 0

(2.2.33)

Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.33 ke dalam Persamaan 2.2.28 dapat

diperoleh

26

Sifat 2.2.2

Kurtosis dari variabel random yang berdistribusi normal bernilai 3.

Bukti:

Menurut Definisi 2.2.3, formulasi kurtosis adalah sebagai berikut

2.2.34

Misalkan , maka Persamaan 2.2.34 menjadi

Dengan menggunakan Persamaan 2.2.22 maka diperoleh

3 (2.2.35)

Excess kurtosis yang bernilai nol akan membentuk kurva distribusi normal

atau kurva mesokurtik.

C. DISTRIBUSI PROBABILITAS BERSAMA

Pada kejadian-kejadian praktis sering ditemukan lebih dari satu variabel

random, misalnya , , … , . Variabel-variabel ini dapat dianggap sebagai

komponen dari sebuah vektor -dimensi, X , , … , yang mempunyai

nilai x , , … , .

27

Definisi 2.3.1

Distribusi probabilitas diskret bersama dari variabel random berdimensi ,

X , , … , didefinisikan sebagai

, , … , , , … ,

untuk semua kemungkinan nilai x , , … , dari X .

Definisi 2.3.1 menyatakan bahwa distribusi probabilitas bersama merupakan

suatu tabel atau rumus yang mendaftarkan semua kemungkinan vektor nilai x bagi

vektor variabel random X beserta dengan probabilitasnya yang sesuai.

Sifat 2.3.1

Fungsi adalah fungsi probabilitas diskret jika dan hanya jika memenuhi

(i) , , … , 0, untuk semua kemungkinan nilai x , , … ,

(ii) ∑ ∑ , , … , 1

Definisi 2.3.2

Jika dan adalah variabel random diskret yang didefinisikan pada ruang

probabilitas maka fungsi distribusi bersama dan didefinisikan sebagai berikut

, ,

Definisi 2.3.3

Andaikan , , … , variabel random kontinu dengan fungsi distribusi bersama

, , … , . Jika fungsi tak negatif , , … , ada sedemikian sehingga

28

, , … , , , … ,

untuk semua kemungkinan nilai x , , … , dari X .Fungsi

, , … , disebut fungsi densitas bersama.

Fungsi densitas bersama dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif

melalui diferensiasi, yaitu

, , … , , , … ,

Sifat 2.3.2

Fungsi , , … , disebut fungsi densitas bersama -variabel random bila

dan hanya bila

(i) , , … , 0, untuk semua kemungkinan nilai x , , … ,

(ii) , , … ,∞∞∞ 1

Definisi 2.3.3

(i) Jika pasangan variabel random diskret , mempunyai fungsi

probabilitas bersama , maka fungsi probabilitas marginal dari

dan adalah

∑ , dan ∑ ,

(ii) Jika pasangan variabel random kontinu , mempunyai fungsi densitas

bersama , maka fungsi densitas marginal dari dan adalah

29

, dan ,

Fungsi probabilitas dari variabel random dengan nilai jika diketahui

variabel random dengan nilai dilambangkan dengan | jika dan

diskret, atau | jika dan kontinu. Fungsi probabilitas ini disebut

fungsi probabilitas bersyarat. Fungsi probabilitas bersyarat dibedakan atas diskret

dan kontinu.

Definisi 2.3.4

Andaikan dan variabel random diskret dengan fungsi probabilitas bersama

, dan fungsi probabilitas marginal dan secara berturut-

turut.

(i) fungsi probabilitas bersyarat dari dengan diketahui adalah

sebagai berikut

|,

dengan 0.

(ii) fungsi probabilitas bersyarat dari dengan diketahui adalah

sebagai berikut

|,

dengan 0.

30

Definisi 2.3.5

Andaikan dan variabel random kontinu dengan fungsi probabilitas bersama

, dan fungsi probabilitas marginal dan secara berturut-turut.

(i) fungsi probabilitas bersyarat dari dengan diketahui adalah

sebagai berikut

|,

, 0

0,

(ii) fungsi probabilitas bersyarat dari dengan diketahui adalah

sebagai berikut

|,

, 0

0,

Definisi 2.3.6

(i) Andaikan mempunyai fungsi distribusi kumulatif ,

mempunyai fungsi distribusi kumulatif , dan dan mempunyai

fungsi distribusi kumulatif bersama , , maka dan dikatakan

saling bebas jika dan hanya jika

,

untuk setiap pasangan bilangan real , .

(ii) Jika dan diskret dengan fungsi probabilitas bersama , dan

fungsi probabilitas marginal dan secara berturut-turut, maka

dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

,

31


(iii) Jika dan diskret dengan fungsi densitas bersama , dan fungsi

densitas marginal dan secara berturut-turut, maka dan

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

,


D. SIFAT-SIFAT VARIABEL RANDOM -DIMENSI

1. Nilai Harapan dan Variansi dari Variabel Random -Dimensi

Nilai harapan dari fungsi variabel random -dimensi dibedakan atas diskret

dan kontinu.

Definisi 2.4.1.1

Andaikan , … , adalah variabel random dan , … , merupakan fungsi

dari , … , , maka nilai harapan dari , … , yang dinotasikan dengan

, … , didefinisikan sebagai berikut

(i) , … , ∑ ,… , , … , , jika X diskrit dengan

fungsi probabilitas bersama , … , .

(ii) , … , , … , , … , … , jika X

kontinu dengan fungsi densitas bersama , … , .

32

Sifat 2.4.1.1

Jika , … , adalah variabel random, maka

Bukti:


Misalkan , … , ∑

Maka

, … ,

Dengan menggunakan Definisi 2.4.1.1 (ii) diperoleh

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

Dengan menggunakan definisi nilai harapan, dapat diperoleh

33

Pembuktian ∑ untuk variabel random diskret dapat dikerjakan secara

analog.

Sifat 2.4.1.2

Jika dan variabel random yang saling bebas dan dan adalah

fungsi dari dan secara berturut-turut, maka

Bukti:


,

Pembuktian untuk variabel random diskret dapat dikerjakan

secara analog.

34

Sifat 2.4.1.2 dapat digunakan untuk lebih dari dua variabel random. Secara

khusus, jika , … , variabel random yang saling bebas dan , … ,

merupakan fungsi dari , … , secara berturut-turut, maka

(2.4.1)

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa ∑ ∑

2∑ ∑ , . Untuk memperlihatkan persamaan tersebut dibutuhkan

definisi dari kovariansi dari dua variabel random.

Definisi 2.4.1.2

Kovariansi dari sepasang variabel random dan didefinisikan sebagai berikut

,

Sifat 2.4.1.3

Andaikan dan variabel random. Jika dan saling bebas maka

( ) 0, =YXCov

Bukti:

Menurut Definisi 2.4.1.2, diperoleh

( ) ( )( )[ ]yx YXEYXCov µµ −−=,

[ ]yxyx XYXYE µµµµ +−−=


( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxyx EXEYEXYEYXCov µµµµ +−−=,

35

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yxyx XEYEYEXEYXCov µµµµ +−−=,

yxxyyxyx µµµµµµµµ +−−=

0=

Sifat 2.4.1.4

Jika , … , adalah variabel random, maka

2 ,

Bukti:

Dengan menggunakan Sifat 2.4.1.1 maka diperoleh

Dengan menggunakan sifat 2.1.3.5 maka diperoleh

2

36

2

2

2 ,

Sifat 2.4.1.5

Jika , … , adalah variabel random yang saling bebas, maka

Bukti:

Menurut Sifat 2.4.1.4,

2 ,

Dengan menggunakan Sifat 2.4.1.3, dapat diperoleh

2 0

37

2. Nilai Harapan Bersyarat dan Variansi Bersyarat

Definisi 2.4.2.1

Andaikan variabel random dan berdistribusi bersama, maka nilai harapan

bersyarat dari jika diketahui dinotasikan dengan | didefinisikan

sebagai berikut

(i) | ∑ | , jika X dan diskrit dengan fungsi probabilitas

bersyarat | ,

(ii) | | , jika X dan kontinu dengan fungsi densitas

bersyarat | .

Sifat 2.4.2

Jika variabel dan berdistribusi bersama, maka

|

Bukti:

Pembuktian untuk variabel random kontinu

| |

|

38

| ,

Pembuktian | untuk variabel random diskret dapat dikerjakan

secara analog.

Pembuktian | untuk variabel random diskret dapat dikerjakan

secara analog.

Definisi 2.4.2.2

Andaikan variabel random dan berdistribusi bersama, maka variansi bersyarat

dari jika diketahui dinotasikan dengan | didefinisikan sebagai

berikut

| | |

3. Korelasi

Korelasi antara dua variabel random dan merupakan hubungan linear

dari kedua variabel tersebut. Keeratan hubungan ini ditentukan oleh koefisien

korelasi.

39

Definisi 2.4.3.1

Koefisien korelasi antara dua variabel random dan didefinisikan sebagai

berikut

.,

dengan rata-rata dari dan rata-rata dari , dan diasumsikan bahwa

variansi kedua variabel ada.

Koefisien korelasi ini mengukur hubungan linear antara dan dengan

11 , ≤≤− yxρ dan xyyx ,, ρρ = . Kedua variabel random tidak berkorelasi jika

0, =yxρ .

Untuk memperlihatkan 0, =yxρ jika dan hanya jika dan saling bebas,

dengan dan berdistribusi normal, diperlukan definisi variabel random dan

berdistribusi normal bivariat.

Definisi 2.4.3.2

Sepasang variabel random dan berdistribusi normal bivariat jika fungsi

densitas bersamanya sebagai berikut

,1

2 1

12 1 2

, ∞ ∞, ∞ ∞

40

Sifat 2.4.3

Andaikan variabel random dan berdistribusi normal. Maka, 0, =yxρ jika dan

hanya jika dan saling bebas.

Bukti:

Jika X dan Y saling bebas, maka 0, =yxρ

Dengan menggunakan teorema 3.2.1, maka diperoleh ( ) 0, =YXCov

Sehingga

( )( ) ( )YVarXVar

YXCovyx

,, =ρ

( ) ( )00

, ==YVarXVaryxρ

Jika 0, =yxρ maka dan saling bebas.

dan berdistribusi normal, sehingga fungsi probabilitas bersamanya adalah

( )2,

121,

ρσπσ −=

YX

YX yxf

( )( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

×22

2 212

1expY

Y

YX

YX

X

X yyxxσµ

σσµµρ

σµ

ρ (3.2)

Diketahui 0, =yxρ , maka persamaan 2.2 menjadi

41

( )012

1,−

=YX

yxfσπσ

( )( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−×−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

×22

02012

1expY

Y

YX

YX

X

X yyxxσµ

σσµµ

σµ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−×=

22

21exp

21

Y

Y

X

X

YX

yxσµ

σµ

σπσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−×=

22

21

21exp

21

Y

Y

X

X

YX

yxσµ

σµ

σπσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−×=

22

21exp

21exp

21

Y

Y

X

X

YX

yxσµ

σµ

σπσ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−××

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−×=

22

21exp

21

21exp

21

Y

Y

YX

X

X

yxσµ

σπσµ

σπ

( ) ( )yfxf=

Karena fungsi probabilitas bersama dari dan merupakan hasil kali dari fungsi

probabilitas dari dan fungsi probabilitas dari , jadi dapat dikatakan bahwa

dan saling bebas.

Jika sampel ( ){ }Tttt yx 1, = ada, korelasi dapat diduga dengan

( )( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−−

−−=

T

tt

T

tt

T

ttt

yx

yyxx

yyxx

1

2

1

2

1,ρ

42

dimana TxxT

tt∑

=

=1

dan TyyT

tt∑

=

=1

berturut-turut adalah rata-rata sampel dari

dan .

E. METODE MAXIMUM LIKELIHOOD (KEMUNGKINAN MAKSIMUM)

Metode kemungkinan maksimum adalah salah satu metode yang digunakan

untuk menduga parameter yang tidak diketahui. Ide dasarnya adalah

menggunakan sebuah nilai dalam ruang parameter yang dapat dikorespondensikan

dengan kemungkinan terbesar untuk data yang diobservasi sebagai penduga dari

parameter yang tidak diketahui.

Definisi 2.5.1

Andaikan , … , adalah variabel random kontinu dan sebuah vektor

parameter dari , … , . Fungsi densitas bersama dari , … , dapat ditulis

sebagai hasil kali dari fungsi densitas bersyarat sebagai berikut

, … , ; ; | , … , ;

dengan ; merupakan fungsi densitas marginal dari .

43

Definisi 2.5.2

Fungsi kemungkinan dari variabel random , … , yang dilambangkan dengan

, … , ; didefinisikan sebagai fungsi densitas bersama dari variabel

random , … , .

, … , ; , … , ;

Nilai yang memaksimumkan fungsi kemungkinan dalam Definisi 2.5.2

disebut penduga kemungkinan maksimum dari .

44

BAB III.

DASAR-DASAR ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN

RUNTUN WAKTU LINEAR

Runtun waktu merupakan sebuah kumpulan dari variabel random yang

berurutan pada waktu tertentu. Banyak himpunan data yang tampak sebagai

runtun waktu, salah satu contohnya adalah data harga saham yang diambil harian.

Sebuah ciri khas dari sebuah runtun waktu adalah variabel random yang

berdekatan saling bergantung. Ketergantungan ini dapat dilihat dari

autokorelasinya yang akan dibahas dalam bab ini. Sebelum menentukan koefisien

autokorelasi, sebuah runtun waktu diuji stasioneritasnya. Selain stasioneritas dan

fungsi autokorelasi, dalam bab ini juga akan dibahas tentang runtun white noise

dan model runtun waktu linear yang stasioner (Autoregresif (AR), Moving-

Average (MA), dan kombinasi Autoregresif-Moving Average (ARMA)).

A. STASIONERITAS

Secara harafiah, stasioner berarti suatu keadaan yang tidak berubah. Dalam

pembuatan suatu model diharapkan galat yang dihasilkan adalah seminimal

mungkin agar model tersebut dapat menggambarkan keadaan suatu data

mendekati keadaan yang sebenarnya. Sehingga stasioneritas sangat penting,

terutama dalam analisis runtun waktu.

45

Ada dua definisi runtun waktu yang stasioner, yaitu runtun waktu yang sta-

sioner kuat dan runtun waktu yang stasioner lemah.

Definisi 3.1.1

Sebuah runtun waktu{ }tr dikatakan stasioner kuat jika distribusi bersama dari

, … , identik dengan , … , untuk semua t, dimana k sembarang

bilangan bulat positif dan ( )ktt ,,1 K adalah koleksi k bilangan bulat positif.

Dengan kata lain, dalam proses stasioner kuat distribusi bersama dari , … ,

merupakan invarian dengan pergeseran waktu.

, … , , … , 3.1

Definisi 3.1.2

Sebuah runtun waktu { }tr dikatakan stationer lemah jika rata-rata dari tr dan

autokovarian antara tr dan l−tr tidak bergantung pada t, dimana l sembarang

bilangan bulat. Dengan kata lain { }tr stasioner lemah jika

(i) ( ) µ=trE , untuk semua t,

(ii) ( ) ll γ=−tt rrCov , , untuk semua t, disebut autokovarian dengan selisih waktu

l (lag-l ) dari tr .

Autokovarian lag-l dari tr mempunyai dua sifat, yaitu ( )trVar=0γ dan

ll γγ =− .

46

Sifat 3.1.1

Jika runtun { }tr stasioner lemah, maka ( )trVar=0γ

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 3.1.2 (ii) dapat diperoleh

( )tt rrCov ,0 =γ

( )( ) ( )( )[ ]tttt rErrErE −−=

( )( )2tt rErE −=


( )trVar=0γ

Sifat 3.1.2

Jika runtun { }tr stasioner lemah, maka ll γγ =− .

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 3.1.2 (ii) dapat diperoleh

( ))(, ll −−− = tt rrCovγ

( )tt rrCov ,)( l−−=

( )tt rrCov ,l+=

, ℓ , dengan l+= tt1

lγ=

47

Dalam prakteknya, andaikan tersedia data sebanyak T. Secara tidak

langsung stasioneritas lemah menyatakan bahwa grafik data akan menunjukkan

bahwa data berfluktuasi dengan variasi yang konstan pada level yang tetap. Dalam

aplikasi, stasioneritas lemah memungkinkan data sampel tadi dapat digunakan

untuk menarik kesimpulan mengenai data yang akan datang. Oleh karena itu, jika

diketahui sampel data sebanyak T, maka rata-rata dari tr dapat diduga dengan

∑=

=T

ttrT

r1

1 dan variansi dari tr dapat diduga dengan ( )∑ −= 22 1ˆ rr

T tσ .

Gambar 3.1.1. Runtun waktu yang tidak stasioner dalam rata-rata

Gambar 3.1.2. Runtun waktu yang tidak stasioner dalam variansi

48

Gambar 3.1.3. Runtun waktu yang stasioner

Secara implisit, dari Definisi 3.1.2 yang menjelaskan bahwa untuk data yang

stasioner lemah, autokovarian lag- l tidak bergantung pada t dan Sifat 3.1.1, yaitu

autokovarian lag-l dari suatu data dengan 0=l merupakan variansi dari data itu

sendiri, dapat dikatakan bahwa ketika data stasioner lemah, rata-rata dan variansi

konstan untuk semua t.

Dari kedua definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa jika stasioner kuat

serta rata-rata, kovariansi tidak bergantung pada waktu t, dan variansinya konstan,

maka juga stasioner lemah. Tidak berlaku kebalikannya. Jika runtun waktu

berdistribusi normal, maka proses stasioner lemah ekivalen dengan proses

stasioner kuat. Akan tetapi, jika stasioner kuat belum tentu juga stasioner

lemah karena untuk distribusi tertentu nilai harapan dan variansi tidak ada. Dalam

praktek biasanya digunakan asumsi bahwa runtun stasioner lemah. Untuk

selanjutnya, data yang stasioner lemah disebut data yang stasioner.

49

B. FUNGSI AUTOKORELASI

Autokorelasi merupakan korelasi antara suatu variabel tr dan nilai masa

lalunya K,2,1, =− ir it . Koefisien korelasi antara tr dan l−tr disebut autokorelasi

lag- l dari tr dan dinotasikan dengan lρ . Pandang sebuah runtun tr stasioner

lemah, maka autokorelasi lag- l adalah sebagai berikut

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) 0

,,,γγ

ρ lll

l

ll ==== −−

−

−

t

tt

tt

tt

tt

tt

rVarrrCov

rVarrVarrrCov

rVarrVarrrCov

(3.2.1)

Autokorelasi lag- lmerupakan fungsi dari l , sehingga dapat disebut juga fungsi

autokorelasi (ACF) lag- l dengan 11 ≤≤− lρ . Fungsi autokorelasi ini dapat

dipergunakan untuk mengidentifikasi model runtun waktu. Dari rumusan tersebut,

dapat diperoleh 2 sifat berikut.

Sifat 3.2.1

Jika runtun tr stasioner lemah, maka 10 =ρ .

Bukti:

Dengan mensubstitusikan 0=l pada Persamaan 3.2.1 dapat diperoleh

10

00 ==

γγ

ρ

Sifat 3.2.2

Jika runtun tr stasioner lemah, maka ll −= ρρ .

50

Bukti:

Menurut Persamaan 3.2.1,

0γγ

ρ ll =

dengan menggunakan Sifat 3.1.2 diperoleh

0γγ

ρ ll

−=

l−= ρ

Sebuah runtun tr yang stasioner lemah tidak berkorelasi secara berturut-turut jika

dan hanya jika 0=lρ untuk semua 0>l .

Diberikan sampel data { }Tttr 1= . Ambil r rata-rata sampel, Trr

T

tt∑

=

=1

, maka

autokorelasi sampel lag-1 dari tr adalah

( )( )

( )∑

∑

=

=−

−

−−= T

tt

T

ttt

rr

rrrr

1

2

21

1ρ

Secara umum, autokorelasi sampel lag-l dari tr adalah

( )( )

( )10,ˆ

1

2

1 −<≤−

−−=

∑

∑

=

+=−

Trr

rrrr

T

tt

T

ttt

lll

lρ

51

Contoh 3.2.1

Misalkan menyatakan permintaan terhadap produk A untuk 10 periode waktu

yang lalu dan mempunyai nilai yang seperti terlihat pada tabel berikut.

Tabel 3.2

Runtun Waktu dari Permintaan Produk A

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 rt 13 8 15 4 4 12 11 7 14 12

Hitunglah koefisien autokorelasi untuk lag 1 ( 1ρ ) dan 2 periode ( 2ρ ) !

Penyelesaian:

Dari data dapat diperoleh 10010

1=∑

=ttr

1010100

10

10

1 ===∑=t

trr

a. Mencari 1ρ

( )( )

( )∑

∑

=

=−

−

−−= 10

1

2

10

21

1ˆ

tt

ttt

rr

rrrrρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222221 101210410410151081013)1014)(1012()1015)(104()108)(1015()1013)(108(ˆ

−++−+−+−+−+−−−++−−+−−+−−

=L

Lρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 266523

)4)(2()5)(6()2)(5()3)(2(++−+−++−+

++−+−+−=

L

L

436362549

830106++++++

++−−−=

L

L

52

14427ˆ1

−=ρ

1875.0−=

Ini berarti bahwa nilai-nilai yang berurutan berkaitan satu dengan lainnya de-

ngan koefisien korelasi (-)0.1875.

b. Mencari 2ρ

( )( )

( )∑

∑

=

=−

−

−−= 10

1

2

10

32

2ˆ

tt

ttt

rr

rrrrρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 101210410410151081013

)107)(1012()1015)(104()108)(104()1013)(1015(−++−+−+−+−+−

−−++−−+−−+−−=

L

L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 266523

)3)(2()5)(6()2)(6()3)(5(++−+−++−+−++−+−−+

=L

L

4363625496301215++++++

−+−+=

L

L

144

29−=

20139.0−=

Ini berarti bahwa masing-masing nilai yang terpisah dua periode saling

berkaitan dengan koefisien korelasi (-)0.20139.

Dalam prakteknya, koefisien autokorelasi lag-l dari sebuah runtun waktu

jarang yang bernilai nol. Oleh karena itu, dibutuhkan pengujian untuk mengetahui

53

apakah koefisien autokorelasi lag-l mendekati nol. Langkah-langkah pengujian

ini adalah sebagai berikut:

a. Menentukan hipotesis

Diberikan bilangan bulat positif l .

Hipotesis: 0:0 =lρH

0:1 ≠lρH

b. Menentukan tingkat signifikasi ( )α

c. Menentukan statistik uji

d. Statistik uji yang digunakan adalah

t-rasio

Ti

i ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

∑−

=

1

1

ˆ21

ˆl

l

ρ

ρ

Jika { }tr runtun stasioner Gaussian yang memenuhi 0=jρ untuk l>j , t-

rasio secara asimtotik berdistribusi normal standar.

e. Menentukan wilayah kritis

0H ditolak jika |t-rasio| 2αZ> , dimana 2αZ adalah persentil ke ( )21100 α−

dari distribusi normal standar.

Ketika sampel data kecil, lρ merupakan penduga yang bias bagi lρ . Akan

tetapi, dalam prakteknya T relatif besar sehingga kebiasan tersebut dapat

diabaikan.

54

Contoh 3.2.2

Dengan menggunakan hasil pada Contoh 3.2.1, maka akan diuji apakah 02 =ρ .

Penyelesaian:

Langkah-langkah pengujian:

a. Menentukan hipotesis

Hipotesis: 0: 10 =ρH

0: 11 ≠ρH

b. Tingkat signifikasi yang dipilih ( )α 5 %.

c. Menentukan statistik uji

Statistik uji yang digunakan adalah

t-rasio

Ti

i ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

∑−

=

1

1

ˆ21

ˆl

l

ρ

ρ

d. Diasumsikan { }tr runtun stasioner Gaussian yang memenuhi 0=jρ untuk

l>j , t-rasio secara asimtotik berdistribusi normal standar.

e. Menentukan wilayah kritis

0H ditolak jika |t-rasio| 205,0Z>

|t-rasio|>1,96

f. Perhitungan

t-rasio( ) T1

2

ˆ21ˆρ

ρ+

=

( ) 101875.02120139.0−+

−=

X

55

t-rasio 80556,0−=

g. Kesimpulan

Dari perhitungan diperoleh |t-rasio| = 0,80556>1,96. Jadi, 0H ditolak. De-

ngan demikian dapat dikatakan bahwa 02 ≠ρ .

C. RUNTUN WHITE NOISE

Definisi 3.3

Sebuah runtun waktu tr disebut white noise, jika { }tr merupakan variabel random

yang saling bebas dan berdistribusi identik, dengan

1. ( ) ,µ=trE

2. ( ) ∞<= 2σtrVar

Sebuah runtun tr yang merupakan white noise dinotasikan dengan

{ } ( )2,~ σµWNrt . Dari definisi tersebut, proses white noise { }tr merupakan proses

stasioner. Secara khusus, sebuah runtun waktu tr yang berdistribusi normal

dengan ( ) 0=trE dan ( ) 2σ=trVar disebut Gaussian white noise.

Akan ditunjukkan bahwa dalam sebuah runtun white noise, semua ACF

bernilai nol.

Sifat 3.3

Jika runtun tr yang merupakan white noise, maka 0,0 >= llρ .

56

Bukti:

( )l−tt rrCov , merupakan autokovarian lag-l dari tr .

Karena runtun tr white noise, maka runtun tr saling bebas


( ) 0, =−ltt rrCov untuk semua l (3.3.1)

Menurut Persamaan 3.2.1,

( )( )t

tt

rVarrrCov l

l−=

,ρ

Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.3.1) pada persamaan tersebut, maka

diperoleh

( ) 00==

trVarlρ

Dalam prakteknya, jika semua ACF untuk 0>l dari sampel mendekati nol,

maka runtun tersebut merupakan runtun white noise.

D. RUNTUN WAKTU LINEAR

Sebuah runtun waktu tr dapat ditulis sebagai berikut

∑∞

=−+=

0iitit ar ψµ

dengan µ rata-rata dari tr ; iψ konstanta, 10 =ψ ;{ }ta merupakan runtun white

noise, ta merupakan galat pada waktu t .

57

Jika tr stasioner rata-rata, variansi, dan autokovariansinya diperoleh dengan

menggunakan sifat{ }ta yang saling bebas dan nilai harapan dari galat bernilai nol.

(i) Nilai harapan dari tr adalah

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ∑

∞

=−

0iitit aErE ψµ

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ∑

∞

=−

0iitiaEE ψµ

( )∑∞

=−+=

0iiti aE ψµ

( )∑∞

=−+=

0iiti aEψµ

∑∞

=

+=0

0.i

iψµ

µ=

(ii) Variansi dari tr adalah

( ) ( )[ ]2ttt rErErVar −=

2

0⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= ∑

∞

=− µψµ

iiti aE

1, 0

2

0=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

∞

=− ψψ

iiti aE

58

( ) 1,2 00 00

22 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+= ∑∑∑

∞

<=

∞

=−−

∞

=− ψψψψ

jii j

jtitjii

itit aaaErVar


( ) 1,2 00 00

22 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑∑

∞

<=

∞

=−−

∞

=− ψψψψ

jii j

jtitjii

itit aaEaErVar

( ) ( ) 1,2 00 0

2

0

2 =+= −−

∞

<=

∞

=−

∞

=∑∑∑ ψψψψ jtit

jii j

jiiti

i aaEaE

Karena { }ta saling bebas dan ( ) 0=taE , maka diperoleh

( ) 1, 02

0

2 == ∑∞

=

ψσψ ai

itrVar

1, 00

22 == ∑∞

=

ψψσi

ia

Agar runtun linear stasioner maka perlu diasumsikan bahwa 1, 00

=∞<∑∞

=

ψψi

i

untuk menjamin ( ) 1, 00

22 =∞<= ∑∞

=

ψψσi

iatrVar .

Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk runtun linear yang stasioner, semakin

besar i , pengaruh galat ita − pada tr akan menghilang .

(iii) Autokovarian lag-l dari tr adalah

( )ll −= tt rrCov ,γ

( )( ) ( )( )[ ]ll −− −−= tttt rErrErE

59

( )( )[ ]µµγ −−= −ll tt rrE

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= ∑∑

∞

=−−

∞

=− µψµµψµ

00 jjtj

iiti aaE l

1, 000

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑

∞

=−−

∞

=− ψψψ

jjtj

iiti aaE l

1,2 00

2

0 0=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+= ∑∑∑

∞

=−−+

∞

<=

∞

=−−− ψψψψψ

jjtjj

jii j

jtitji aaaE lll


1,2 00

2

0 0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= ∑∑∑

∞

=−−+

∞

<=

∞

=−−− ψψψψψγ

jjtjj

jii j

jtitji aEaaE llll

( ) ( ) 1,2 02

00 0

=+= −−

∞

=+−−−

∞

<=

∞

=∑∑∑ ψψψψψ jtj

jjjtit

jii j

ji aEaaE lll

Karena { }ta saling bebas dan ( ) 0=taE , maka diperoleh

1, 02

0

== ∑∞

=+ ψσψψγ a

jjj ll

1, 00

2 == ∑∞

=+ ψψψσγ

jjja ll

Jika l =0, maka ( ) jirVar ti

iaj

ja ==== ∑∑∞

=

∞

=

,0

22

0

220 ψσψσγ , sehingga fungsi

autokorelasi dari proses linear adalah

0,0

≥= lll γ

γρ

60

0,

0

22

0

2

≥=

∑

∑∞

=

∞

=+

ll

l

iia

iiia

ψσ

ψψσρ dan 10 =ψ

0,1

1

2

0 ≥+

=

∑

∑∞

=

∞

=+

ll

ii

iii

ψ

ψψ

E. MODEL AUTOREGRESIF (AR)

Salah satu model runtun linear adalah model Autoregresif. Model ini

seperti model Regresi dengan data masa lalu sebagai variabel bebasnya.

Definisi 3.5

Model Autoregresif berorde p [AR (p)] dapat didefinisikan sebagai berikut

tptpttt arrrr +++++= −−− φφφφ L22110 (3.5.1)

dimana p bilangan bulat non-negatif dan { }ta diasumsikan sebuah runtun white

noise dengan rata-rata nol dan variansi 2aσ .

1. Sifat-sifat model AR (1)

Model AR (1) didefinisikan sebagai berikut

ttt arr ++= −110 φφ (3.5.2)

{ }ta diasumsikan sebuah runtun white noise dengan rata-rata nol dan variansi 2aσ .

61

Sifat 3.5.1.1

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (1) stasioner .Maka nilai

harapan dari tr bersyarat 1−tr adalah

( ) 1101| −− += ttt rrrE φφ

Bukti :

( ) ( )tttt arErrE ++= −− 1101| φφ

( ) ( ) ( )tt aErEE ++= −110 φφ

( ) ( )110 −+= trEE φφ

110 −+= trφφ

Sifat 3.5.1.2

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (1) stasioner. Maka nilai

harapan dari tr adalah

( ) ( )1

0

1 φφ−

=trE

Bukti:

Diketahui ( ) µ=trE

( ) ( )[ ]1| −= ttt rrEErE

( ) ( )110 −+= tt rErE φφ

( ) ( )110 −+= trEE φφ

( )110 −+= trEφφ

62

Karena runtun stasioner, ( ) ( ) µ== −1tt rErE , maka

µφφµ 10 +=

01 φµφµ =−

( ) 011 φφµ =−

( )1

0

1 φφ

µ−

=

Sehingga dapat diperoleh ( ) ( )1

0

1 φφ

µ−

==trE

Dari hasil tersebut dapat diimplikasikan bahwa (1) rata-rata tr ada jika 11 ≠φ , dan

(2) rata-rata tr bernilai nol jika dan hanya jika 00 =φ dan 11 ≠φ . Dengan

demikian, untuk sebuah proses stasioner AR (1), konstanta 0φ berelasi dengan

rata-rata dari tr dan jika 00 =φ dan 11 ≠φ maka ( ) 0=trE .

Sifat 3.5.1.3

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (1) stasioner. Maka variansi

dari tr bersyarat 1−tr adalah

( ) ( ) 21| attt aVarrrVar σ==−

Bukti:

( ) ( )[ ]2111 ||| −−− −= tttttt rrErrErrVar

[ ]2110110 −− −−++= ttt rarE φφφφ

[ ]2taE=

63

( ) 21| att rrVar σ=−

Sifat 3.5.1.4


dari tr adalah

( ) ( )11

2

1 ρφσ−

= atrVar

Bukti:

Substitusikan ( )µφφ 10 1−= ke dalam persamaan (3.5.2)

( ) ttt arr ++−= −1111 φµφ

tt ar ++−= −111 φµφµ

ttt arr ++−=− −111 φµφµ

( ) tt ar ++−= −11 µφ

( ) tt ar +−= − µφ 11 (3.5.3)

Kedua ruas pada persamaan 3.5.3 dikalikan dengan µ−tr

( )( ) ( )( ) ( )µµµφµµ −+−−=−− − tttttt rarrrr 11 (3.5.4)

Nilai harapan dari persamaan 3.5.4 adalah

( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ]µµµφµµ −+−−=−− − tttttt rarrErrE 11

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]µµµφ −+−−= − tttttt raErrErrCov 11, (3.5.5)

Mencari ( )[ ]µ−tt raE

64

Persamaan 3.5.3 yaitu

( ) ttt arr +−=− − µφµ 11

Kedua ruas dikalikan dengan ta sehingga menjadi

( ) ( ) 211 ttttt arara +−=− − µφµ

Nilai harapannya adalah

( )[ ] ( )[ ]211 ttttt araEraE +−=− − µφµ

( )[ ] ( )[ ] ( )211 ttttt aEraEraE +−=− − µφµ

(3.5.6)

Mencari ( )[ ]µ−−1tt raE

Berdasarkan definisi model autoregresi, diperoleh

∑∞

=−− =−

11

iitit ar ψµ , sehingga

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− ∑

∞

=−−

11

iitittt aaEraE ψµ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

∞

=−

1iitti aaE ψ

Dengan menggunakan sifat nilai harapan, maka diperoleh

( )[ ] [ ]∑∞

=−− =−

11

iittitt aaEraE ψµ

Karena runtun ta saling bebas dan [ ] 0=taE maka diperoleh

( )[ ] 01 =−− µtt raE

Dengan menggunakan hasil tersebut, maka Persamaan 3.5.6 menjadi

( )[ ] 21 0 att raE σφµ +=−

65

( )[ ] 2att raE σµ =−

Sehingga persamaan 3.5.5 menjadi

( ) ( )( )[ ] 211, atttt rrErrCov σµµφ +−−= −

( ) 211 , att rrCov σφ += − (3.5.7)

2110 aσγφγ +=

2011 aσγρφ +=

( ) 2110 1 aσρφγ =−

( )11

2

0 1 ρφσ

γ−

= a (3.5.8)

Menurut Sifat 3.1.1, persamaan 3.5.8 menjadi

( ) ( )11

2

1 ρφσ−

= atrVar

Sifat 3.5.1.5

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (1) stasioner. Maka fungsi

autokorelasi model AR (1) adalah 11 −= ll ρφρ , untuk 0>l .

Bukti:

Kedua ruas pada Persamaan (3.5.3) dikalikan dengan µ−−ltr menjadi

( )( ) ( )( ) ( )µµµφµµ −+−−=−− −−−− lll tttttt rarrrr 11


( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ]µµµφµµ −+−−=−− −−−− lll tttttt rarrErrE 11

( )( )[ ] ( )[ ]µµµφγ −+−−= −−− lll tttt raErrE 11

66

( )( )[ ] ( )[ ]µµµφγ −+−−= −−− lll tttt raErrE 11 (3.5.9)

Mencari ( )[ ]µ−−ltt raE

Dengan menggunakan definisi runtun linear diperoleh

∑∞

=−− =−

ll

iitit ar ψµ , sehingga

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− ∑

∞

=−−

ll

iitittt aaEraE ψµ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

∞

=−

liitti aaE ψ

Dengan menggunakan sifat nilai harapan, maka diperoleh

( )[ ] [ ]∑∞

=−− =−

ll

iittitt aaEraE ψµ

Karena runtun ta saling bebas dan [ ] 0=taE maka diperoleh

( )[ ] 0=−− µltt raE (3.5.10)

Dengan menggunakan hasil tersebut, maka Persamaan 3.5.9 menjadi

011 += −ll γφγ

11 −= lγφ

Untuk 0=l

( )( )[ ] ( )[ ]µµµφγ −+−−= − tttt raErrE 110

211 aσγφ +=

Sehingga

⎩⎨⎧

>=+

=− 0,

0,

11

211

l

l

l

l jikajikaa

γφσγφ

γ

67

dimana 1−= ll γγ . Jadi, model AR (1) yang stasioner pada Persamaan 3.5.2

mempunyai

11 −= ll γφγ , untuk 0>l

Kedua ruas dibagi dengan 0γ sehingga menjadi

0

11

0 γγ

φγγ −= ll

Dari persamaan tersebut, karena runtun tr stasioner maka ACF dari model AR (1)

memenuhi

11 −= ll ρφρ , untuk 0>l (3.5.11)

Dengan mensubstitusikan k,,3,2,1 Kl = ke dalam Persamaan 3.5.11 dan Sifat

10 =ρ , maka dapat diperoleh

1011 φρφρ ==

21112 φρφρ ==

31213 φρφρ ==

M

kkk 111 φρφρ == −

Sehingga diperoleh penyelesaian dari Persamaan 3.5.11, yaitu

ll 1φρ = , untuk 0>l

68

Persamaan tersebut menggambarkan ACF dari model AR (1) membentuk

eksponensial teredam. Khususnya ketika 1φ bernilai positif, maka grafik ACF dari

model AR (1) seperti berikut

Gambar 3.5.1.1. Grafik ACF dari model AR(1) dengan 01 >φ

Ketika 1φ bernilai negatif, maka grafik ACF dari model AR (1) seperti berikut

Gambar 3.5.1.2. Grafik ACF dari model AR(1) dengan 01 <φ

69

2. Sifat-sifat model AR (2)

Sebuah model AR (2) didefinisikan sebagai berikut

tttt arrr +++= −− 22110 φφφ (3.5.12)

Sifat 3.5.2.1


harapan dari tr bersyarat 21, −− tt rr adalah

( ) 2211021,| −−−− ++= ttttt rrrrrE φφφ

Bukti :

( ) ( )tttttt arrErrrE +++= −−−− 2211021,| φφφ

( ) ( ) ( ) ( )ttt aErErEE +++= −− 22110 φφφ

( ) ( ) ( )22110 −− ++= tt rErEE φφφ

22110 −− ++= tt rr φφφ

Sifat 3.5.2.2



( ) ( )21

0

1 φφφ−−

=trE , dengan 121 ≠+φφ

Bukti:

Diketahui ( ) µ=trE

( ) ( )[ ]21,| −−= tttt rrrEErE

70

( ) ( )tttt arrErE +++= −− 22110 φφφ

( ) ( ) ( ) ( )ttt aErErEE +++= −− 22110 φφφ

( ) ( )22110 −− ++= tt rErE φφφ

Karena runtun tr stasioner, ( ) ( ) ( ) µ=== −− 21 ttt rErErE , maka

µφµφφµ 210 ++=

021 φµφµφµ =−−

( ) 0211 φφφµ =−−

( )21

0

1 φφφ

µ−−

=

Sehingga dapat diperoleh ( ) ( )21

0

1 φφφ

µ−−

==trE , dengan 121 ≠+φφ

Sifat 3.5.2.3


dari tr bersyarat 21, −− tt rr adalah

( ) ( ) 221 ,| atttt aVarrrrVar σ==−−

Bukti:

( ) ( )[ ]2212121 ,|,|,| −−−−−− −= ttttttttt rrrErrrErrrVar

[ ]22211022110 −−−− −−−+++= ttttt rrarrE φφφφφφ

[ ]2taE=

2aσ=

71

Sifat 3.5.2.4


dari tr adalah

( ) ( )2211

2

1 ρφρφσ−−

= atrVar

Bukti:

Substitusikan ( )µφφφ 210 1 −−= ke dalam Persamaan (3.5.12)

( ) tttt arrr +++−−= −− 2211211 φφµφφ

tttt arrr +++−−= −− 221121 φφµφµφµ

tttt arrr ++−+−=− −− 222111 φµφφµφµ

( ) ( ) ttt arr ++−++−= −− 2211 µφµφ

( ) ( ) ttt arr +−+−= −− µφµφ 2211 (3.5.13)

Kedua ruas dikalikan dengan ( )µ−tr , sehingga Persamaan 3.5.13 menjadi

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )µµµφµµφµµ −+−−+−−=−− −− tttttttt rarrrrrr 2211 (3.5.14)

Nilai harapan dari Persamaan 3.5.14 adalah

( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )[ ]µµµφµµφµµ −+−−+−−=−− −− tttttttt rarrrrErrE 2211

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]µµµφµµφ −+−−+−−= −− tttttttt raErrErrErrCov 2211,

( )( )[ ] ( )( )[ ] 22211 atttt rrErrE σµµφµµφ +−−+−−= −−

( ) ( ) 22211 ,, atttt rrCovrrCov σφφ ++= −− (3.5.15)

222110 aσγφγφγ ++=

2022011 aσγρφγρφ ++=

72

( ) 222110 1 aσρφρφγ =−−

( )2211

2

0 1 ρφρφσ

γ−−

= a (3.5.16)


( ) ( )2211

2

1 ρφρφσ−−

= atrVar

Sifat 3.5.2.5


autokorelasi model AR (2) adalah

2211 −− += lll ρφρφρ , untuk 0>l

Bukti:

Kedua ruas Persamaan 3.5.13 dikalikan dengan ( )µ−−ltr sehingga menjadi

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) tttttttt arrrrrrr µµµφµµφµµ −+−−+−−=−− −−−−−− llll 2211


( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )[ ]tttttttt arrrrrErrE µµµφµµφµµ −+−−+−−=−− −−−−−− llll 2211

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]tttttttt arErrErrErrE µµµφµµφµµ −+−−+−−=−− −−−−−− llll 2211

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]tttttttt arErrErrErrE µµµφµµφµµ −+−−+−−=−− −−−−−− llll 2211

Dengan menggunakan Persamaan 3.5.10, maka diperoleh

2211 −− += lll γφγφγ , untuk 0>l

Kedua ruas dibagi dengan 0γ , menjadi

73

0

22

0

11

0 γγ

φγγ

φγγ −− += lll

2211 −− += lll ρφρφρ , untuk 0>l (3.5.17)

Persamaan 3.5.17 merupakan ACF dari tr . Secara khusus, ACF pada lag-1

memenuhi

12011 −+= ρφρφρ

Sebuah runtun AR (2) yang stasioner mempunyai sifat 10 =ρ . Oleh karena itu,

1211 ρφφρ +=

121 ρφφ +=

1121 φρφρ =−

( ) 121 1 φφρ =−

( )2

11 1 φ

φρ

−=

Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan 3.5.14, maka persamaan

tersebut ditulis dengan operator back shift ( )B . Operator back shift ( )B

didefinisikan sebagai berikut

kttk XXB −= , untuk semua t dan 0>k

Dengan kata lain, simbol B mempunyai pengaruh menggeser data k periode ke

belakang.

Sehingga persamaan 3.5.17 ditulis dengan operator back shift ( )B menjadi

lll ρφρφρ 221 BB +=

74

0221 =−− lll ρφρφρ BB

( ) 01 221 =−− lρφφ BB

Dari persamaan ( ) 01 221 =−− BB φφ , terdapat persamaan polinomial orde ke dua

yaitu

( ) 01 221 =−− xx φφ

Penyelesaian dari persamaan polinomial tersebut adalah

2

22

112,1 2

4φ

φφφ−

+±=x

Invers dari 2 solusi tersebut merupakan akar-akar karakteristik dari model AR(2).

Andaikan 1ω dan 2ω merupakan penyelesaian tersebut.

a. Jika iω bernilai real, maka persamaan ( ) 01 221 =−− BB φφ dapat difaktorkan

menjadi ( )( )BB 21 11 ωω −− . Secara grafis, ACF dari tr merupakan

campuran dari 2 eksponensial teredam.

Gambar 3.5.2.1. Grafik ACF dengan akar-akar karakteristik bernilai real.

75

b. Jika iω bernilai kompleks, maka grafik ACF dari tr akan menunjukkan

gelombang sinus dan cosinus teredam.

Gambar 3.5.2.1. Grafik ACF dengan akar-akar karakteristik bernilai kompleks

3. Sifat-sifat model AR (p)

Sifat 3.5.3.1

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (p) stasioner. Maka nilai

harapan dari tr bersyarat pttt rrr −−− ,,, 21 K adalah

( ) ptpttptttt rrrrrrrE −−−−−− ++++= φφφφ LK 2211021 ,,,|

Bukti:

( ) ( )tptpttptttt arrrErrrrE +++++= −−−−−− φφφφ LK 2211021 ,,,|

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tptptt aErErErEE +++++= −−− φφφφ L22110

76

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ptpttptttt rErErEErrrrE −−−−−− ++++= φφφφ LK 2211021 ,,,|

ptptt rrr −−− ++++= φφφφ L22110

Sifat 3.5.3.2

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (p) stasioner. Maka nilai


( ) ( )ptrE

φφφφ

−−−−=

L21

0

1

Bukti:

( ) ( )[ ]pttttt rrrrEErE −−−= ,,,| 21 K

( ) ( )tptpttt arrrErE +++++= −−− φφφφ L22110

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tptptt aErErErEE +++++= −−− φφφφ L22110

( ) ( ) ( )ptptt rErErE −−− ++++= φφφφ L22110 (3.5.18)

Karena runtun stasioner, maka ( ) ( ) pirErE itt ,,1, K=== − µ


µφµφµφφµ p++++= L210

021 φµφµφµφµ =−−−− pL

( ) 0211 φφφφµ =−−−− pL

( )pφφφφ

µ−−−−

=L21

0

1

Jadi, rata-rata runtun stasionernya ( ) ( )ptrE

φφφφ

µ−−−−

==L21

0

1

77

Sifat 3.5.3.3


dari tr bersyarat pttt rrr −−− ,,, 21 K adalah

( ) ( ) 221 ,,,| atptttt aVarrrrrVar σ==−−− K

Bukti:

( ) ( )[ ]2212121 ,,,|,,,|,,,| pttttpttttptttt rrrrErrrrErrrrVar −−−−−−−−− −= KKK

[ 022110 φφφφφ −+++++= −−− tptptt arrrE L

]22211 ptptt rrr −−− −−−− φφφ L

[ ]2taE=

2aσ=

Sifat 3.5.3.4

Diasumsikan bahwa runtun waktu tr pada model AR (p) stasioner .Maka variansi

dari tr adalah

( ) ( )pp

atrVar

ρφρφρφσ

−−−−=

L2211

2

1

Bukti:

Substitusikan ( )µφφφφ p−−−−= L210 1 ke dalam persamaan (3.5.1)

( ) tptpttpt arrrr +++++−−−−= −−− φφφµφφφ LL 2211211

tptpttp arrr +++++−−−−= −−− φφφµφµφµφµ LL 221121

tpptpttt arrrr +−++−+−=− −−− µφφµφφµφφµ L222111

78

( ) ( ) ( ) tptpttt arrrr +−++−+−=− −−− µφµφµφµ L2211 (3.5.19)

Kedua ruas dikalikan dengan ( )µ−tr , sehingga persamaan 3.5.19 menjadi

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )µµφµµφµµφµµ −−++−−+−−=−− −−− tptptttttt rrrrrrrr L2211

( )µ−+ tt ra (3.5.20)


( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ L+−−+−−=−− −− µµφµµφµµ tttttt rrrrErrE 2211

( )( ) ( )]µµµφ −+−−+ − tttptp rarr

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] L+−−+−−= −− µµφµµφ tttttt rrErrErrCov 2211,

( )( )[ ] ( )[ ]µµµφ −+−−+ − tttptp raErrE

( )( )[ ] ( )( )[ ] L+−−+−−= −− µµφµµφ tttt rrErrE 2211

( )( )[ ] 2atptp rrE σµµφ +−−+ −

( ) ( ) ( ) 22211 ,,, atptptttt rrCovrrCovrrCov σφφφ ++++= −−− L

222110 app σγφγφγφγ ++++= L

20022011 app σγρφγρφγρφ ++++= L

( ) 222110 1 app σρφρφρφγ =−−−− L

( )pp

a

ρφρφρφσ

γ−−−−

=L2211

2

0 1 (3.5.21)


( ) ( )pp

atrVar

ρφρφρφσ

−−−−=

L2211

2

1

79

Sifat 3.5.3.5


autokorelasi model AR (p) adalah

pp −−− +++= llll L ρφρφρφρ 2211 untuk 0>l (3.5.22)

Bukti:

Kedua ruas dikalikan dengan ( )µ−−ltr sehingga Persamaan 3.5.19 menjadi

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) tt

pttptttttt

ar

rrrrrrrr

µ

µµφµµφµµφµµ

−+

−−++−−+−−=−−

−

−−−−−−−

l

llll L2211


( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[( ) ]tt

pttptttttt

ar

rrrrrrErrE

µ

µµφµµφµµφµµ

−+

−−++−−+−−=−−

−

−−−−−−−

l

llll L2211

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ]ttpttp

tttttt

arErrErrErrErrE

µµµφµµφµµφµµ

−+−−++−−+−−=−−

−−−

−−−−−

ll

lll L2211

( )( )[ ] ( )( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ]ttpttp

tttt

arErrErrErrE

µµµφµµφµµφ

−+−−++−−+−−=

−−−

−−−−

ll

ll L2211

Dengan menggunakan ( )[ ] 0=−− tt arE µl untuk 0>l , diperoleh

pp −−− +++= llll L γφγφγφγ 2211 , untuk 0>l

Kedua ruas dibagi dengan 0γ , menjadi

00

22

0

11

0 γγ

φγγ

φγγ

φγγ p

p−−− +++= llll L

pp −−− +++= llll L ρφρφρφρ 2211 , untuk 0>l

80

4. Identifikasi Model AR(p)

Dua pendekatan dapat digunakan untuk menentukan orde p. Pendekatan

pertama menggunakan fungsi autokorelasi parsial (PACF), dan yang ke dua

pendekatan fungsi kriteria informasi. Dalam tulisan ini hanya akan dibahas

tentang pendekatan dengan menggunakan PACF.

Langkah pertama untuk menentukan PACF dari sebuah runtun waktu yaitu

menuliskan ACF ke dalam bentuk persamaan Yule Walker.

Jika p,,2,1 Kl = disubtitusikan ke dalam persamaan 3.5.22 maka diperoleh

pp −− +++= 112011 ρφρφρφρ L

Menurut Sifat 3.2.1 , 10 =ρ dan Sifat 3.2.2, ll −= ρρ , maka

11211 −+++= ppρφρφφρ L

Dengan cara yang sama dapat diperoleh

22112 −+++= ppρφφρφρ L

MM

pppp φρφρφρ +++= −− L2211

Jadi diperoleh himpunan persamaan linear untuk pφφφ ,,, 21 K yaitu

11211 −+++= ppρφρφφρ L

.22112 −+++= ppρφφρφρ L

MLMMM

pppp φρφρφρ +++= −− L2211

Persamaan tersebut disebut persamaan Yule-Walker.

81

Persamaan Yule-Walker dalam bentuk matriks menjadi

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−

pppp

p

p

p φ

φφ

ρρρ

ρρρρρρ

ρ

ρρ

M

L

MLMMM

L

L

M2

1

321

211

121

2

1

1

11

(3.5.23)

PACF merupakan fungsi dari ACF. Sehingga langkah selanjutnya adalah

membentuk model AR (p) ke dalam bentuk berikut

,111,11,0 ttt err ++= −φφ

,222,212,12,0 tttt errr +++= −− φφφ

,333,323,213,13,0 ttttt errrr ++++= −−− φφφφ

MM

dimana j,0φ konstan, ji ,φ koefisien dari itr − , dan { }jte galat dari sebuah model

AR(j).

j,lφ memenuhi himpunan persamaan berikut

lKL llllllll ,,2,1,,)1()1(,22,11, =++++= −−−−−− jjjjjj ρφρφρφρφρ … (3.5.24)

Jika p,,2,1 Kl = disubtitusikan ke dalam persamaan 3.5.24 maka diperoleh

persamaan Yule-Walker, yaitu

1,12,1,1 −+++= lllll L ρφρφφρ

.2,2,11,2 −+++= lllll L ρφφρφρ

MLMMM

lllllll L ,22,11, φρφρφρ +++= −−

Persamaan tersebut dalam bentuk matriks menjadi

82

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−

ll

l

l

lll

l

l

l

M

L

MLMMM

L

L

M

,

2,

1,

321

211

121

2

1

1

11

φ

φφ

ρρρ

ρρρρρρ

ρ

ρρ

(3.5.22)

Misalkan l

l

Mρ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ

ρρ

2

1

, l

lll

l

l

L

MLMMM

L

L

P=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−

1

11

321

211

121

ρρρ

ρρρρρρ

dan l

ll

l

l

Mφ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

,

2,

1,

φ

φφ

maka persamaan (3.5.22) menjadi

lll φPρ =

lll ρPφ 1−=

Dengan aturan Cramer dapat diperoleh

11,1 ρφ =

11

1

1

1

21

1

2,2

ρρρρρ

φ =

11

1

11

12

11

21

312

21

11

3,3

ρρρρρρρρρρρρρ

φ =

83

M

)23.5.3(

1

11

11

321

211

121

321

211

121

,

L

MLMMM

L

L

L

MLMMM

L

L

lll

l

l

llll

ll

−−−

−

−

−−−=

ρρρ

ρρρρρρρρρρ

ρρρρρρ

φ

Pembilangnya merupakan determinan dari matiks lP dengan kolom terakhir

diganti dengan matriks lρ .

Parameter ll ,φ disebut PACF lag- l . Untuk sebuah proses AR (p), ll ,φ akan

bernilai mendekati nol untuk p>l . Secara geometris, PACF untuk sebuah model

AR (p) terpotong pada lag- p.

PACF ll ,φ didefinisikan untuk sembarang proses stasioner sebagai fungsi dari

autokorelasi lρ .

F. MODEL MOVING-AVERAGE (MA)

Model lain yang dapat digunakan untuk memodelkan sebauh runtun waktu

adalah moving-average (MA). Ada satu pendekatan untuk memperkenalkan

model tersebut yaitu dengan model AR dengan orde tak hingga sebagai berikut

(3.6.1)

Model AR tersebut tidak realistic karena mempunyai parameter yang tak

hingga banyaknya. Salah satu cara untuk membuat model tersebut menjadi

84

realistik, yaitu yang mempunyai parameter yang berhingga, adalah mengubah

persamaan (3.6.1) menjadi

(3.6.2)

dimana koefisien-koefisien bergantung pada sebuah parameter tunggal, yaitu ,

dengan , untuk 1. Model tersebut menjadi stasioner bila | | 1,

sehingga dapat diperoleh 0 untuk ∞. Oleh karena itu, pengaruh

pada akan menurun secara eksponensial ketika meningkat.

Persamaan 3.6.2 dapat ditulis menjadi

(3.6.3)

Model dari adalah

(3.6.4)

Kalikan kedua ruas pada persamaan 3.6.4 dengan sehingga menjadi

(3.6.5)

Selanjutnya, mengurangkan persamaan 3.6.5 pada persamaan 3.6.3

(3.6.6)

Persamaan 3.6.6 memperlihatkan bahwa merupakan sebuah rata-rata terbobot

dari galat dan . Oleh karena itu, model pada persamaan 3.6.6 disebut

model MA dengan orde 1 atau MA (1). Model MA (1) secara umum adalah

(3.6.7)

Jika Persamaan 3.6.7 ditulis dalam operator backshift, maka diperoleh

1

85

Dengan sebuah konstanta dan sebuah runtun white noise.

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh model MA (2), yaitu

(3.6.8)

Dan model MA (q) adalah

(3.6.9)

Jika Persamaan 3.6.9 ditulis dalam operator backshift, maka diperoleh

1

dengan 0.

Model MA (q) selalu stasioner karena model tersebut mempunyai kombinasi

linear yang berhingga dari sebuah runtun white noise yang nilai harapan dan

variansinya tidak bergantung pada waktu.

1. Sifat-sifat model MA (1)

Sifat 3.6.1.1

Nilai harapan dari untuk model MA (1) bernilai konstan.

Bukti:


Sifat 3.6.1.2

Variansi dari untuk model MA (1) bernilai konstan.

86

Bukti:

Variansi dari persamaan 3.6.7 adalah

Karena dan tidak berkorelasi, maka

Karena invarian terhadap waktu, maka

1

Sifat 3.6.1.3

Diasumsikan 0 fungsi autokorelasi untuk model MA (1) adalah

ℓ

1, ℓ 0

1 , ℓ 1

0, ℓ 1

Bukti:

Untuk ℓ 0,

Persamaan 3.6.7 dengan 0 dapat ditulis kembali menjadi

Kalikan kedua ruas dengan ℓ, sehingga persamaan tersebut menjadi

ℓ ℓ ℓ (3.6.10)

untuk ℓ 1

87

Nilai harapan dari persamaan tersebut adalah

(3.6.11)

Akan dicari dan terlebih dahulu.

0 (3.6.12)

(3.6.13)

Dengan mensubstitusikan persamaan 3.6.12. dan 3.6.13 ke dalam persamaan

3.6.11 , maka diperoleh

0

Untuk ℓ 1


ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ (3.6.14)

Mencari ℓ

ℓ ℓ ℓ

88

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

Karena runtun saling bebas dan 0,maka diperoleh

ℓ 0 (3.6.15)

Dengan menggunakan Persamaan 3.6.15, maka Persamaan 3.6.14 menjadi

ℓ 0

Maka ACF untuk ℓ 0

1

untuk ℓ 1

Karena dengan menggunakan Sifat 3.6.1.2 diperoleh

1

1

untuk ℓ 1

ℓℓ 0

Dari sifat tersebut, dapat dikatakan bahwa ACF pada model MA (1)

terpotong pada lag-1.

Sifat 3.6.1.4

Fungsi autokorelasi parsial untuk model MA (1) adalah

89

ℓ,ℓ

ℓ 11 ℓ

Bukti:

Dengan menggunakan persamaan 3.5.23 dan sifat 3.6.1.3 yaitu dan

ℓ 0 untuk ℓ 1, maka fungsi autokorelasi parsial untuk model MA (1) adalah

, 1

11 1

11

, 1

1

,1

1 1

1 1

, 1

11 1

11

90

,2

1 2 2

1 2

1

1 2 1

1 1 2 1

1 1

11 1

11

ℓ,ℓ

ℓ 11 ℓ

Menurut Sifat 3.6.1.4, dengan naiknya PACF pada proses MA (1) secara

geometris merupakan fungsi eksponensial teredam.

2. Sifat-sifat MA (2)

Sifat 3.6.2.1

Nilai harapan dari untuk model MA (2) bernilai konstan.

91

Bukti:


Sifat 3.6.2.2

Variansi dari untuk model MA (2) bernilai konstan.

Bukti:

Variansi dari persamaan 3.6.7 adalah



1

Sifat 3.6.2.3

Diasumsikan bahwa 0, maka fungsi autokorelasi untuk model MA (2) adalah

92

ℓ

1 , ℓ 1

1

, ℓ 2

0, ℓ 2

Bukti:

Untuk ℓ 0,

Persamaan 3.6.8 dengan 0 dapat ditulis kembali menjadi

(3.6.15)

Kalikan kedua ruas dengan ℓ, sehingga persamaan tersebut menjadi

ℓ ℓ ℓ ℓ (3.6.16)

untuk ℓ 1


(3.6.17)

Akan dicari , dan terlebih dahulu

Dengan menggunakan Persamaan 3.6.15 maka diperoleh

Karena runtun saling bebas dan 0 maka diperoleh

0 (3.6.18)

Secara umum, ℓ 0, ℓ 0 (3.6.19)

93

(3.6.20)

(3.6.21)

Dengan mensubstitusikan Persamaan 3.6.18, 3.6.20, dan 3.6.21 ke dalam


0

(3.6.22)

Untuk ℓ 2


(3.6.23)

Akan dicari terlebuh dahulu

94

Karena runtun saing bebas dan 0, serta ,

maka diperoleh

(3.6.24)

Dengan menggunakan Persamaan 3.6.19 dan mensubstitusikan Persamaan 3.6.24

ke dalam persamaan 3.6.23 maka diperoleh

0 0

(3.6.25)

Untuk ℓ 2


ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

0 (3.6.26)

Maka ACF untuk ℓ 1

Dengan menggunakan Persamaan 3.6.22 dan Sifat 3.6.2.2, maka diperoleh

1

1

untuk ℓ 2

Dengan menggunakan Persamaan 3.6.25 dan Sifat 3.6.2.2 diperoleh

95

1

1

untuk ℓ 2

ℓℓ 0


ℓ 0

Dari sifat tersebut, dapat dikatakan untuk model MA (2), ACF terpotong

pada lag-2.

PACF pada proses MA (2) sangat rumit, tetapi secara geometris

menunjukkan pola eksponensial teredam jika akar-akar karakteristiknya real dan

pola sinus bila akar karakteristiknya kompleks.

3. Sifat-sifat MA (q)

Sifat 3.6.8

Nilai harapan dari untuk model MA (q) bernilai konstan.

Bukti:

Nilai harapan dari Persamaan 3.6.9 adalah

96

Sifat 3.6.9

Variansi dari untuk model MA (q) bernilai konstan.

Bukti:

Variansi dari Persamaan 3.6.9 adalah



1

ACF dari MA(1) terpotong pada lag 1 dan ACF dari MA(2) terpotong pada lag 2.

Kedua sifat tersebut dapat digeneralisasi ke model MA yang lain. Sehingga ACF

dari MA(q) akan terpotong pada lag-q. Oleh karena itu, ACF dapat digunakan

untuk mengidentifikasi orde q pada model MA(q).

97

G. MODEL AUTOREGRESI MOVING-AVERAGE (ARMA)

1. Model ARMA (1,1)

Model ARMA(1,1) didefinisikan sebagai berikut

(3.7.1)

Dengan sebuah runtun white noise.

Sifat 3.7.1.1

Nilai harapan dari untuk model ARMA (1,1) yang stasioner bernilai konstan.

Bukti:


Dengan asumsi bahwa runtun stasioner, dan

0, untuk semua t, maka diperoleh

1

1

98

Sifat 3.7.1.2

Diasumsikan bahwa 0, maka variansi dari untuk model ARMA (1,1)

yang stasioner bernilai konstan.

Bukti:

Diasumsikan bahwa 0, maka persamaan 3.7.1 menjadi

Kedua ruas dikalikan dengan


(3.7.2)

Persamaan 3.7.1 dapat ditulis kembali menjadi

Model untuk adalah

Karena dan saling bebas, maka nilai harapan dari adalah

0 (3.7.3)


(3.7.4)


99

Variansi dari persamaan tersebut adalah

Karena tidak berkorelasi dengan dan , maka

2

2

Dengan mensubstitusikan Persamaan 3.7.4 ke dalam persamaan tersebut, dapat

diperoleh

2

Jika runtun stationer, maka , sehingga dapat diperoleh

2

2

1 1 2

1 21

Sifat 3.7.1.3

Diasumsikan 0, maka fungsi autokorelasi dari model ARMA (1,1) yang

stasioner adalah

ℓ, ℓ 1

ℓ , ℓ 1

Bukti:


100

Kedua ruas dikalikan dengan ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ (3.7.5)

Untuk ℓ 1


Dengan mensubstitusikan persamaan 3.7.3 dan 3.7.4, maka dapat diperoleh

Untuk ℓ 1


ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ (3.7.6)

Sehingga dapat diperoleh ACF dari model ARMA (1,1) yang stasioner, yaitu

Untuk ℓ 1

101

Untuk ℓ 1

ℓℓ

ℓ

ℓ

Dari Sifat 3.7.1.3 dapat dikatakan bahwa ACF dari sebuah model ARMA (1,1)

turun secara eksponensial mulai dari lag 1.

PACF dari model ARMA(1,1) turun secara eksponensial mulai dari lag 1.

2. Model ARMA (p,q)

Model ARMA (p,q) didefinisikan sebagai berikut

3.7.7

dengan sebuah runtun white noise.

Sifat 3.7.2.1

Nilai harapan dari untuk model ARMA (p,q) yang stasioner bernilai konstan.

Bukti:


Dengan menggunakan sifat nilai harapan diperoleh

102

Dengan asumsi bahwa runtun stasioner, dan

0, untuk semua t, maka diperoleh

1

1 ∑

Sifat 3.7.2.2

Diasumsikan 0, maka fungsi autokorelasi dari model ARMA (p,q) yang

stasioner adalah

ℓ ℓ ℓ ℓ , ℓ

Bukti:


103

Kedua ruas dikalikan dengan ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ (3.7.8)

Untuk ℓ


ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ (3.7.9)

Karena ℓ 0 untuk ℓ , maka persamaan 3.7.9 menjadi

ℓ ℓ ℓ ℓ

Kedua ruas dibagi dengan sehingga diperoleh

ℓ ℓ ℓ ℓ

ACF dari model ARMA (p,q) untuk ℓ secara grafis membentuk

campuran dari eksponensial teredam dan atau gelombang sinus teredam mulai dari

lag (q-p).

Model ARMA (p,q) dapat ditulis kembali menjadi

104

Jika persamaan tersebut ditulis dalam operator backshift, maka diperoleh

1 1

dengan merupakan sebuah runtun B yang tak

hingga.

Sehingga model ARMA (p,q) merupakan model MA dengan orde tak hingga.

Oleh karena itu, PACF pada model ARMA (p,q) mengikuti pola PACF pada

model MA yaitu campuran dari eksponensial teredam dan atau gelombang sinus

teredam mulai dari lag (p-q).

3. Peramalan dengan Model ARMA (p,q)

Andaikan data pada waktu ke-h , merupakan titik awal peramalan dan

ℓ merupakan data untuk ℓ langkah ke depan dengan ℓ 1. Ambil ℓ

ramalan dari ℓ dan merupakan kumpulan informasi yang tersedia pada titik

awal peramalan h.

Dengan mensubstitusikan 1 pada persamaan 3.7.7, maka persamaan

tersebut menjadi

Sehingga dapat diperoleh ramalan 1 langkah ke depan dari model ARMA (p,q),

yaitu

105

1 |

Dengan ramalan galat 1 1

Variansi ramalan galat 1 langkah ke depan adalah 1

Dengan mensubstitusikan ℓ pada persamaan 3.7.7, maka persamaan

tersebut menjadi

ℓ ℓ ℓ ℓ

Sehingga dapat diperoleh ramalan ℓ langkah ke depan dari model ARMA (p,q),

yaitu

ℓ ℓ|

ℓ ℓ

Dengan ℓ ℓ jika ℓ 0

ℓ 0 jika ℓ 0

dan ℓ ℓ jika ℓ 0

106

ramalan galat ℓ ℓ ℓ ℓ,

Ramalan 1 langkah ke depan untuk model ARMA (1,1) yaitu

1

3.7.10

Ramalan ℓ langkah ke depan dari model ARMA (1,1), yaitu

ℓ ℓ 1 ℓ 1 3.7.11

107

BAB IV.

MODEL HETEROSKEDASTIK BERSYARAT

Dalam kenyataan, banyak runtun waktu yang menunjukkan volatilitas yang

tinggi untuk beberapa periode. Volatilitas ini merupakan standar deviasi bersyarat.

Untuk runtun waktu yang menunjukkan volatilitas yang tidak konstan, variansi

tak bersyarat dari runtun tersebut bernilai konstan walaupun dalam beberapa

periode variansi relatif besar. Keadaan dimana variansi konstan disebut

homoskedastik, dan sebaliknya keadaan dimana variansi tidak konstan disebut

heteroskedastik. Pendekatan untuk meramalkan volatilitas yang akan dibahas

dalam tulisan ini adalah model Autoregressive Conditional Heteroscedastic

(ARCH) dan Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH).

Ada empat tahap dalam pembuatan model volatilitas untuk sebuah runtun

waktu, yaitu:

1. Menentukan persamaan rata-rata dengan menguji ketergantungan (yaitu

dengan melihat ACF dan PACF) pada suatu data runtun waktu. Model rata-

rata yang digunakan dalam tulisan ini adalah model ARMA, AR, MA, atau

konstan. Diasumsikan model yang sesuai untuk runtun waktu adalah

model ARMA (p,q), maka dengan menggunakan Persamaan 3.7.7

persamaan rata-ratanya adalah

4.1.1

108

Misalkan adalah himpunan informasi pada waktu 1, maka rata-rata

bersyarat adalah sebagai berikut

|

4.1.2

2. Menguji efek ARCH pada galat yang dihasilkan dari persamaan rata-rata

pada no.1.

3. Menentukan model volatilitas jika efek ARCH secara statistik signifikan

dan melakukan pendugaan bersama dari persamaan rata-rata dan volatilitas.

Dengan menggunakan Persamaan 4.1.1 dan 4.1.2 dapat diperoleh

persamaan rata-rata yang baru

Misalkan adalah variansi bersyarat dan adalah himpunan informasi

pada waktu 1, maka

|

|

|

Persamaan tersebut merupakan persamaan volatilitas.

Jika terdapat efek ARCH pada galat yang dihasilkan dari persamaan rata-

ratanya, maka model menjadi

,

|

4. Memeriksa kecocokan model.

109

A. MODEL AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC

(ARCH)

Model ARCH pertama kali diperkenalkan oleh Engle (1982). Model ini

mengasumsikan bahwa variansi bersyarat sebuah runtun waktu tidak konstan. Ide

dasar dari model ARCH adalah galat secara berturut-turut tidak berkorelasi

tetapi dependent. Sebuah model ARCH(m) dapat dirumuskan sebagai berikut:

Dengan ∑ (4.1.3)

dimana

merupakan white noise dengan mean nol dan variansi satu; variansi pada

waktu ke-t; 0, 0 0 ; dan , 1, … , saling bebas;

orde dari ARCH.

1. Sifat-sifat ARCH (1)

Model ARCH (1) adalah sebagai berikut

dengan

Sifat 4.1.1.1

Untuk model ARCH (1), rata-rata bersyarat dari bernilai nol.

110

Bukti:

Nilai harapan bersyarat dari jika diketahui adalah

|

Karena dan saling bebas serta dan konstanta , maka

|

Diketahui 0, sehingga

| 0 0

Sifat 4.1.1.2

Untuk model ARCH (1), rata-rata tak bersyarat dari bernilai nol.

Bukti:

|

Dengan mensubstitusikan Sifat 4.1.1.1 ke dalam persamaan tersebut, maka

0 0

Sifat 4.1.1.3

Untuk model ARCH (1), variansi bersyarat dari tidak konstan.

Bukti:

| | |


| | 0

111

| | (4.1.4)

Karena dan saling bebas, maka

|


| 1

|

Sifat 4.1.1.4

Untuk model ARCH (1), variansi tak bersyarat dari konstan.

Bukti:

Dengan mensubtitusikan Sifat 4.1.1.2 ke dalam persamaan tersebut, maka

0

(4.1.5)

|


(4.1.6)

112

Karena stasioner, maka

Sehingga Persamaan 4.1.6 menjadi

1

Sifat 4.1.1.5

Untuk model ARCH (1), jika diasumsikan berdistribusi normal dan stasio-

ner pada orde ke empat, maka 0 .

Bukti:

Kurtosis dari variabel random bersyarat adalah

|| |

|


|| |

|

Dengan mensubstitusikan Sifat 4.1.1.1, maka diperoleh

|||

Jika berdistribusi normal, maka nilai dari | 3

Dengan asumsi normalitas pada , maka diperoleh

3||

113

| 3 |

| 3

Sehingga dapat diperoleh momen ke empat dari , yaitu

|

3

3 2

3 6 3

3 6 3

3 6 3

Runtun stasioner pada orde ke empat, dengan dan dengan

menggunakan Persamaan 4.1.5, maka diperoleh

3 6 3

3 3 6 1

1 3 3 1 2 1

3 1 2 11 3

3 1 21

1 3

3 11 1 3

(4.1.7)

∞ jika 1 3 0

3 1 0

114

Sifat 4.1.1.6

Untuk model ARCH (1), jika diasumsikan berdistribusi normal dan dan

stasioner pada orde ke empat, serta 1 3 0, maka kurtosis tak bersyarat

dari , 3.

Bukti:

Kurtosis tak bersyarat dari didefinisikan sebagai berikut

Dengan menggunakan Sifat 4.1.1.2 maka dapat diperoleh

4.1.8

Dengan mensubstitusikan Persamaan 4.1.7 dan Sifat 4.1.1.4, maka Persamaan

4.1.8 menjadi

3 11 1 3

1

3 11 1 3

1

3 1 11 3

3 11 3

Menurut Sifat 4.1.1.5, 0 , maka

115

3 11 3

3

Sifat 4.1.1.7

Galat tidak berkorelasi.

Bukti:

Galat dikatakan tidak berkorelasi jika ACF-nya bernilai nol.

Sebelum memperlihatkan ACF-nya, akan diperlihatkan dahulu nilai

autokovariansinya.

,

dengan menggunakan Sifat 4.1.1.2, persamaan tersebut menjadi

, 0 0

ℓ

0

0

Dengan menggunakan hasil tersebut, dapat diperoleh nilai ACF-nya, yaitu

,,

00

116

2. Sifat-sifat ARCH (m)

Sifat 4.1.2.1

Untuk model ARCH (m), rata-rata bersyarat dari bernilai nol.

Bukti:

Nilai harapan bersyarat dari jika diketahui , … , adalah sebagai

berikut

| , … ,

∑


| , … ,


| , … , 0 ∑ 0

Sifat 4.1.2.2

Untuk model ARCH (m), rata-rata tak bersyarat dari bernilai nol.

Bukti:

| , … ,

Dengan menggunakan Sifat 4.1.2.1 maka persamaan tersebut menjadi

0 0

117

Sifat 4.1.2.3

Untuk model ARCH (m), variansi bersyarat dari tidak konstan.

Bukti:

| , … , | , … , | , … ,


| , … , | , … , 0

| , … ,

∑


| , … , ∑


| , … , 1

| , … ,

Sifat 4.1.2.4

Untuk model ARCH (m), variansi tak bersyarat dari konstan.

Bukti:


0

118

| , … ,

∑

∑ (4.1.9)

Karena stasioner, maka , 1, … ,

Sehingga Persamaan 4.1.9 menjadi

1

1 ∑

119

Sifat 4.1.2.5


Bukti:



autokovariansinya.

, ℓ ℓ ℓ

dengan menggunakan Sifat 2.5.1, persamaan tersebut menjadi

, ℓ 0 ℓ 0

ℓ

∑ ℓ ∑ ℓ

ℓ ∑ ∑ ℓ

0 ∑ ∑ ℓ 0


, ℓ

, ℓ

ℓ

ℓ

0

120

3. Langkah-langkah menyusun model ARCH

a. Menentukan persamaan rata-rata yang sesuai

Langkah awal untuk menyusun model ARCH adalah menentukan

persamaan rata-rata yang sesuai. Model rata-rata yang digunakan dalam tulisan ini

adalah model ARMA, AR, MA, atau konstan. Dari persamaan rata-rata tersebut

dapat diperoleh galat ta .

b. Pengujian efek ARCH

Telah diketahui sebelumnya bahwa ta adalah galat dari persamaan rata-rata

yang sesuai. Selanjutnya, barisan 2ta akan digunakan untuk mengecek

heteroskedastisitas bersyarat, yang sering disebut dengan efek ARCH. Ada dua

pengujian yang digunakan, yaitu

1) Pengujian autokorelasi dari 2ta

Hipotesis yang digunakan udalam pengujian ini adalah

a) Model Autoregresi (AR(m)) dari 2ta adalah

Tmteaa t

m

iitit ,,1,

1

20

2 L+=++= ∑=

−αα

dimana te didefinisikan sebagai galat, m bilangan bulat positif, dan T ukuran

sampel.

b) Menentukan hipotesis nol dari tes ini,yaitu 0: 10 === mH ρρ L

c) Menentukan statistik uji

121

Statistik yang digunakan adalah statistik Ljung-Box

2 ℓℓ

ℓ

secara asimtotik berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas .

= banyaknya sampel

d) Menentukan daerah penolakan

0H ditolak jika 2αχ>F , dimana 2

αχ adalah persentil ke ( )α−1100 dari sebuah

distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas .

Derah penolakan dapat dilihat juga dari -value dari F , yaitu 0H ditolak jika

-value dari α<F .

e) Perhitungan dan mengambil kesimpulan

2) Pengujian heteroskedastisitas bersyarat

Langkah-langkah pengujian:

a) Model Autoregresi (AR(m)) dari 2ta adalah

Tmteaa t

m

iitit ,,1,

1

20

2 L+=++= ∑=

−αα

dimana te didefinisikan sebagai galat, m bilangan bulat positif, dan T ukuran

sampel.

b) Menentukan hipotesis nol dari tes ini,yaitu 0: 10 === mH αα L

c) Menentukan statistik uji

122

Statistik uji yang digunakan yaitu , dengan banyaknya sampel dan

koefisien determinasi.

d) Menentukan daerah penolakan

berdistribusi chi-kuadrat.

0H ditolak jika atau 0H ditolak jika -value dari .

e) Perhitungan dan mengambil kesimpulan.

c. Menentukan orde m

Menentukan orde m dari model ARCH(m) dapat menggunakan Partial

Autocorrelation Function (PACF) dari 2ta . PACF dari 2

ta tidak efektif ketika

ukuran sampel kecil.

d. Pendugaan parameter

Pendugaan parameter pada model ARCH menggunakan fungsi

kemungkinan maksimum. Misalkan tF adalah himpunan informasi pada waktu t.

Dengan asumsi normalitas dari ta dan berdasarkan definisi fungsi kemungkinan,

fungsi kemungkinan dari model ARCH(m) dengan ukuran sampel T adalah

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )αα

αα

;,,2

exp2

1;,,

;,,|||;,,

11

2

2

21

112111

m

T

mt t

t

t

T

mmmTTTTT

aafa

aaf

aafFafFafFafaaf

LL

LLL

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

=

∏+=

+−−−

σπσ

dimana ( ) ',,, 10 mααα L=α dan ( )α;,,1 maaf L merupakan fungsi densitas yang

tidak saling bebas dari maa ,,1 L .

123

Karena bentuk eksak dari ( )α|,,1 maaf L rumit, dalam praktek biasanya

diabaikan, terutama ketika ukuran sampelnya cukup besar.

Dengan akibat dari pengabaian ini, fungsi kemungkinan bersyarat menjadi

( ) ∏+=

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

T

mt t

t

t

mTma

aaaaf1

2

2

211 2exp

21,,,;,,

σπσLL α

Memaksimalkan fungsi kemungkinan bersyarat ekivalen dengan memaksimalkan

fungsi logaritmanya. Fungsi kemungkinan logaritma bersyaratnya adalah

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

+

+

+

2

2

221

21

21

2exp

21ln

2exp

21ln

T

T

Tm

m

m

aaL

σπσσπσLα

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

+

+

+

2

2

221

21

21

2expln

2

1ln2

expln2

1lnT

T

Tm

m

m

aaσπσσπσ

L

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

+

+

+

eaea

T

T

Tm

m

m

ln22

1lnln22

1ln 2

2

221

21

21

σσπσσπL

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

+

+

+

2

2

221

21

21

22

1ln22

1lnT

T

Tm

m

m

aaσσπσσπ

L

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

+

+

2

2

221

21

21

21ln

21ln

21ln

21ln

T

T

Tm

m

m

aaσσπσσπ

L

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−−

+

+−

+−

2

221

221

21

212

12

121

21ln2ln

21ln2ln

T

TT

m

mm

aaσ

σπσ

σπ L

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

+

++ 2

22

21

212

1 21ln

212ln

21

21ln

212ln

21

T

TT

m

mm

aaσ

σπσ

σπ L

124

( ) ( ) ( )∑+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

T

mt t

tt

aL

12

22

21ln

212ln

21

σσπα

( ) ( )∑+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−−=

T

mt t

tt

amT1

2

22

21ln

212ln

21

σσπ

Dengan mensubstitusikan persamaan 4.1.1 diperoleh

( ) ( ) ∑∑

∑+=

=−

=−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

−−−=

T

mtm

iiti

tm

iiti

a

aamTL

1

1

20

2

1

20 2

1ln212ln

21

ααααπα

Persamaan tersebut disebut fungsi kemungkinan maksimum. Parameter

mii ,,0,ˆ K=α dapat diperoleh dengan menyelesaikan turunan dari fungsi

kemungkinan maksimum, yaitu 0=∂∂

i

Lα

.

Nilai parameter (berupa koefisien) yang dihasilkan akan diuji apakah nilai

parameter tersebut signifikan (tidak bernilai nol secara statistik) atau tidak dengan

menggunakan statistik berikut

T-statistic

Dengan merupakan nilai parameter; merupakan standard error.

T-statistik berdistribusi normal untuk ukuran sampel yang besar. Nilai parameter

dikatakan signifikan bila T-statistic ⁄ , dengan merupakan tingkat

signifikasi yang dipilih.

125

e. Pemeriksaan model

Model ARCH dikatakan tepat untuk memodelkan suatu data jika galat

terstandarkan ( standardized residuals), yaitu

membentuk barisan dari random variabel yang saling bebas dan berdistribusi

identik. Statistik Ljung-Box dari dapat digunakan untuk memeriksa kecukupan

persamaan rata-rata, statistik Ljung-Box dari digunakan untuk memeriksa

validitas persamaan volatilitas, dan statistik uji efek ARCH untuk memeriksa ada

dan tidaknya efek ARCH pada .

f. Peramalan dengan menggunakan model ARCH (m)

Diasumsikan titik awal peramalan adalah h. Jika 1

disubstitusikan ke dalam persamaan 4.1.1, maka persamaan volatilitas 1 langkah

ke depan untuk model ARCH (m) adalah

Sehingga dapat diperoleh ramalan volatilitas 1 langkah ke depan untuk model

ARCH (m), yaitu

1

126

Jika 2 disubstitusikan ke dalam persamaan 4.1.1, maka persamaan

volatilitas 2 langkah ke depan untuk model ARCH (m) adalah

Sehingga dapat diperoleh ramalan volatilitas 2 langkah ke depan untuk model

ARCH (m), yaitu

2

2 1

Secara umum, jika ℓ disubstitusikan ke dalam persamaan 4.1.1, maka

persamaan volatilitas ℓ langkah ke depan untuk model ARCH (m) adalah

ℓ ℓ

Sehingga dapat diperoleh ramalan volatilitas ℓ langkah ke depan untuk model

ARCH (m), yaitu

ℓ ℓ

ℓ

dengan ℓ ℓ ,jika ℓ 0

127

B. MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL

HETEROSCEDASTIC (GARCH)

Pada subbab sebelumnya telah diperkenalkan model ARCH. Model tersebut

dapat dikatakan model yang sederhana karena suatu galat hanya dipengaruhi oleh

galat sebelumnya. Akan tetapi, tidak menutup kemungkinan bahwa model yang

sesuai untuk suatu data adalah model ARCH dengan orde yang tinggi. Hal ini

dapat meningkatkan galat yang ditimbulkan dari pendugaan parameter. Oleh

karena itu, Bollerslev (1986) menawarkan sebuah alternatif model yaitu

Generalized ARCH (GARCH). Ada kemungkinan bahwa suatu model ARCH

dengan orde tinggi dapat direpresentasikan dengan model GARCH yang

sederhana sehingga dapat mengurangi galat yang dihasilkan dari pendugaan

parameter. Untuk sebuah runtun , ambil yang merupakan galat

pada waktu t. Maka, sebuah model GARCH , dapat didefinisikan sebagai

berikut:

dengan ∑ ∑ (4.2)

dimana

merupakan merupakan proses white noise dengan rata-rata nol dan variansi

satu, dan sering diasumsikan berdistribusi normal atau standardized student-t;

variansi pada waktu ke-t; dan , serta dan saling bebas,

untuk 1, … , dan 1,… , ; 0, 0, 0; , orde dari

GARCH.

128

1. Sifat-sifat GARCH (m,s)

Sifat 4.2.1.1

Untuk model GARCH (m,s), rata-rata bersyarat dari bernilai nol.

Bukti:

| , … , , , … ,

∑ ∑

Karena dan , serta dan saling bebas, maka

| , … , , , … ,


| , … , , , … , 0

| , … , , , … , 0

Sifat 4.2.1.2

Untuk model GARCH (m,s), rata-rata tak bersyarat dari bernilai nol.

Bukti:

| , … , , , … ,


129

0 0

Sifat 4.2.1.3

Untuk model GARCH (m,s), variansi bersyarat dari tidak konstan.

Bukti:

| , … , , , … ,

| , … , , , … , | , … , , , … ,


| , … , , , … ,

| , … , , , … , 0

| , … , , , … ,

| , … , , , … ,

Karena dan serta dan saling bebas, maka

| , … , , , … ,

∑ ∑ 4.2.1.1

Diketahui 0 dan 1,

Menurut sifat variansi,

0

1

130

Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut pada Persamaan 4.2.1.1 diperoleh

| , … , , , … , 1

| , … , , , … ,

Sifat 4.2.1.4

Untuk model GARCH (m,s), variansi tak bersyarat dari konstan.

Bukti:


0

Selanjutnya, ambil

Maka, (4.2.1.2)

Dengan mensubtitusikan Persamaan 4.2.1.2 ke dalam Persamaan 4.2 maka

diperoleh

∑ , ∑ (4.2.1.3)

131

Akan diperlihatkan bahwa 0 dan , 0, 1

Dengan mensubstitusikan Persamaan 4.2 pada persamaan tersebut, maka

diperoleh

∑ ∑

∑ ∑

Karena dan serta dan saling bebas, maka

Karena 1, maka

0

Selanjutnya akan dicari ,

,

0 0

132

,

1 1 1

0

Nilai harapan dari Persamaan 4.2.1.3 adalah

,

,

0

,

0

,

Karena runtun stasioner, maka , 1, … , ,

Sehingga diperoleh

,

133

,

,

1,

1 ∑ ,

Sifat 4.2.1.5


Bukti:



autokovariansinya.

,

dengan mensubstitusikan sifat 4.1.1.1, persamaan tersebut menjadi

, 0 0

134

,

0

0


,,

00

2. Model GARCH (1,1)

Model paling sederhana dari GARCH (p,q) dan sering digunakan adalah

model GARCH (1,1). Model GARCH (1,1) dapat didefinisikan sebagai berikut:

Dengan (4.2.2.1)

dengan merupakan merupakan proses white noise dengan rata-rata nol dan

variansi satu.

0, 0, 0

135

Sifat 4.2.2.1

Untuk model GARCH (1,1) berlaku sifat

1

Bukti:

Dengan menggunakan sifat 4.2.1.4, maka diperoleh

1

Dari sifat tersebut, agar variansi berhingga maka 1. Hal ini untuk

menjamin kestasioneran data.

Sifat 4.2.2.2

Diasumsikan berdistribusi normal. Kurtosis ada jika 1 2

0

Bukti:

Misalkan adalah excess kurtosis untuk galat , maka

3

136

3

3

1 3

3

Momen ke empat dari galat

3 (4.2.2.2)

Persamaan 4.2.2.1 dikuadratkan sehingga diperoleh

2 2 2


2 2

2

2

2 2

2 2

2

Dengan menggunakan Persamaan 4.2.2.2 dan definisi model GARCH (1,1), maka

3 2

2 2

137

3 2

2

2 2

2

Dengan menggunakan Sifat 4.2.2.1 maka dapat diperoleh

3

2 1 2 1 2

Karena runtun stasioner, maka ,sehingga

32

1

21 2

3 2

21

21

1 3 21 2

1

1 2 21 2

1

1 211

11 1 2

Dengan 1 0 dan 1 2 0

Excess kurtosis dari , jika ada, adalah

138

3

Dengan mensubstitusikan Persamaan 4.2.2.2 dan menggunakan Sifat 4.2.2.1,

maka persamaan tersebut menjadi

3

1

3

1 3

1 1 2 1

3

1 3 11 1 2

3

1 3 1 11 1 2

3

1 3 11 2

3

3 11 2

3 4.2.2.3

Jika diasumsikan berdistribusi normal, maka 0, sehingga Persamaan

4.2.2.3 menjadi

3 11 2

3

3 1 3 1 21 2

3 1 3 1 21 2

3 3 3 6 31 2

139

61 2

Dengan digunakan untuk menotasikan distribusi Gaussian.

Jadi, kurtosis ada jika 1 2 0

Jika 0 maka 0, ini berarti bahwa kurtosis model GARCH (1,1)

membentuk kurva paltikurtik yang berarti datanya tersebar secara merata sampai

jauh dari rata-rata.

Berikut akan diperlihatkan bahwa model GARCH (1,1) diharapkan dapat

menggantikan ARCH (q).

Persamaan 4.2.4 pada waktu 1 adalah

Persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam Persamaan 4.2.2.1 sehingga

diperoleh

(4.2.2.4)

Persamaan 4.2.2.1 pada waktu 2 adalah

Persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam Persamaan 4.2.2.4 sehingga

diperoleh

140

1

1

4.2.2.5

Agar mempunyai variansi yang berhingga maka 1 1 .

Sehingga ketika ∞, 0

Dengan menggunakan hasil tersebut, dan rumus runtun tak hingga, maka

persamaan 4.2.2.5 untuk ∞, menjadi

1

Persamaan tersebut merupakan proses ARCH ∞ yaitu

Dengan dan , i 1, … ,∞

Hasil tersebut mengatakan bahwa model GARCH(1,1) memungkinkan untuk

menggantikan model ARCH (q) dengan orde tinggi sehingga model menjadi lebih

sederhana.

3. Langkah-langkah Menyusun Model GARCH

Pada dasarnya, langkah-langkah menyusun model GARCH sama dengan

langkah-langkah ketika menyusun model ARCH. Akan tetapi, ketika menguji ada

141

tidaknya efek GARCH ada sedikit perbedaan walaupun menggunakan statistik uji

dan langkah-langkah pengujian yang sama. Perbedaannya yaitu data dikatakan

mempunyai efek GARCH ketika untuk m yang dipilih besar, .

Pendugaan parameter dari model GARCH dapat menggunakan metode

maksimum likelihood. Karena bentuk fungsi likelihood untuk GARCH(m,s)

rumit, maka hanya akan ditunjukkan fungsi likelihood dari model GARCH yang

paling sederhana, yaitu GARCH(1,1).

Untuk model GARCH (1,1), berdasarkan Definisi 2.5.1 fungsi densitas

bersama dari , … , , banyaknya data, dapat ditulis

, … , ; ; | , … , ;

Untuk besar dan asumsi normalitas, ; diabaikan sehingga untuk

2,… , , fungsi densitas bersyarat dari jika diketahui , … , adalah

sebagai berikut

| , … ,1

√2 2

Dan fungsi likelihood bersyarat jika diketahui dan adalah sebagai

berikut

, , , … , | ,

1

√2 2

Dengan

Logaritma dari fungsi kemungkinan tersebut adalah

142

, ,12 log

Persamaan tersebut merupakan kemungkinan maksimum. Penduga parameter

akan diperoleh dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap parameter yang

akan dicari dan hasilnya nol.

, , , , , ,0

dengan masing-masing koefisien akan diuji dengan T-statistic untuk mengetahui

apakah koefisien tersebut bernilai nol atau tidak secara statistik.

4. Peramalan dengan menggunakan model GARCH (1,1)

Diasumsikan titik awal peramalan adalah h. Jika 1 disubstitusikan ke

dalam persamaan 3.4, maka persamaan volatilitas 1 langkah ke depan untuk mo-

del GARCH (1,1) adalah

Dengan dan diketahui pada waktu h, sehingga dapat diperoleh ramalan

volatilitas 1 langkah ke depan untuk model GARCH (1,1), yaitu

1

1

Untuk menentukan ℓ-langkah ke depan digunakan persamaan yang

disubstitusikan ke dalam persamaan 4.2.2.1 pada waktu 1 sehingga menjadi

143

1 (4.2.2.6)

Ketika 1 maka persamaan 4.2.9 menjadi

1

Karena 1 0, maka ramalan volatilitas 2 langkah ke depan dengan titik

awal h memenuhi persamaan

2 1

1

Secara umum, ramalan ℓ langkah ke depan adalah

ℓ ℓ 1 , ℓ 1

Langkah selanjutnya adalah mensubstitusi berulang-ulang

ℓ ℓ 2

ℓ 2

ℓ 3

ℓ 3

ℓ ℓ 1

1 ℓ

ℓ 1

144

ℓ1 ℓ

1 1

Untuk ℓ ∞ , maka ℓ

dengan 1.

Akibatnya, ramalan volatilitas banyak langkah ke depan untuk model GARCH

(1,1) akan konvergen ke variansi tak bersyarat jika ada.

145

BAB V.

APLIKASI MODEL GARCH PADA DATA HARGA SAHAM MATAHARI

PUTRA PRIMA DAN ASTRA AGRO LESTARI INDONESIA

A. APLIKASI PADA HARGA SAHAM MATAHARI PUTRA PRIMA

Studi kasus yang pertama menggunakan data harian harga saham Matahari

Putra Prima Tbk.(MPPA) pada tanggal 12 Oktober 2000 sampai dengan 30 Juni

2009 sebanyak 2109.

Gambar 5.1.1. Grafik Harga Saham Matahari Putra Prima

Grafik data harga saham Matahari Putra Prima tampak tidak stasioner dalam

rata-rata. Oleh karena itu perlu transformasi agar data tersebut menjadi stasioner,

0 500 1000 1500 2000 2500300

400

500

600

700

800

900

1000

1100Matahari Price

146

yaitu transformasi dari harga saham menjadi return. Misalkan data harga saham

pada waktu dilambangkan dengan , dan return dilambangkan dengan , maka

Dengan menggunakan transformasi tersebut, diperoleh grafik return sebagai

berikut

Gambar 5.1.2. Grafik Return dari Harga Saham Matahari Putra Prima

Tampak bahwa grafik return sudah stasioner. Langkah selanjutnya adalah

menentukan model awal dengan melihat ACF dan PACF dari return. Berikut

adalah grafik ACF dan PACF-nya.

0 500 1000 1500 2000 2500-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Matahari Return

Dai

ly R

etur

n

147

Gambar 5.1.3. Grafik ACF Return dari Harga Saham Matahari Putra Prima

Gambar 5.1.4. Grafik PACF Return dari Harga Saham Matahari Putra Prima

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

Sample Autocorrelation Function (ACF)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns

Sample Partial Autocorrelation Function

148

1. Model pertama yang mungkin adalah ARMA(1,1)

Terlihat bahwa grafik ACF (Gambar 5.1.3) dan PACF (Gambar 5.1.4) dari

data membentuk gelombang sinus teredam mulai dari lag 1. Oleh karena itu, mo-

del yang mungkin adalah model ARMA (1,1). Dengan menggunakan Program 3.1

dapat diperoleh Hasil 5.1 sehingga persamaan rata-ratanya adalah

8.7594 10 0.30089 0.44029

dengan masing-masing koefisien sudah signifikan. Koefisien dikatakan signifikan

jika nilai |T-statitic| ⁄ , dengan merupakan tingkat signifikasi. Tingkat sig-

nifikasi yang dipilih adalah 0.05, sehingga untuk data sebanyak lebih dari 29 ,

koefisien akan signifikan jika |T-statitic| 1.96. Pengujian dengan statistik

Ljung-Box menurut Hasil 5.2 menunjukkan bahwa galat yang diperoleh dari per-

samaan rata-rata tersebut tidak berautokorelasi. Langkah selanjutnya adalah me-

nguji autokorelasi pada galat kuadrat. Pengujian hipotesis dengan statistik Ljung

Box menunjukkan adanya autokorelasi pada galat kuadrat (Hasil 5.3). Hal ini da-

pat diperlihatkan oleh ACF dan PACF dari galat kuadrat.

149

Gambar 5.1.5. Grafik ACF galat kuadrat dari model ARMA(1,1)

Gambar 5.1.6. Grafik PACF galat kuadrat dari model ARMA(1,1)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns


150

Pengujian efek ARCH untuk lag , kelipatannya dan atau lag terakhir

pada grafik ACF, dengan 2109, yaitu lag 7, 14, dan 20 (Hasil 5.4) menun-

jukkan adanya efek GARCH pada galat kuadrat.

a. Model pertama yang mungkin adalah ARMA (1,1)-GARCH (1,1)

Persamaan yang diperoleh dari estimasi parameter dengan menggunakan

Program 3.2 adalah

2.3277 10 0.29832 0.44708

0.0002709 0.57958 0.16197

Berdasarkan Hasil 5.5 semua |T-statitic| 1.96, sehingga semua koefisien sudah

signifikan (tidak bernilai nol).

Pengujian dengan statistik Ljung Box untuk standardized residual (diperli-

hatkan pada Hasil 5.6) menunjukkan bahwa standardized residual tidak berauto-

korelasi. Hal ini berarti bahwa model rata-rata yang dihasilkan sudah baik.

Pengujian dengan statistik Ljung Box untuk kuadrat dari standardized resi-

dual (diperlihatkan pada Hasil 5.7) menunjukkan bahwa kuadrat dari standardized

residual tidak berautokorelasi. Hal ini berarti bahwa model volatilitas yang diha-

silkan sudah baik.

Pengujian efek GARCH dari standardized residual (diperlihatkan pada Ha-

sil 5.8) menunjukkan bahwa standardized residual sudah tidak mempunyai efek

GARCH.

b. Grafik PACF dari galat kuadrat signifikan pada lag 3, sehingga kemungki-

nan model yang ke dua adalah ARMA (1,1)-ARCH (3)

151


Program 3.3 adalah

3.3181 10 0.29488 0.4485

0.00071008 0.17791 0.05651 0.082305

Berdasarkan Hasil 5.9, semua |T-statitic| 1.96, sehingga semua koefisien sudah

signifikan.


hatkan oleh Hasil 5.10) menunjukkan bahwa standardized residual tidak berauto-



dual (diperlihatkan oleh Hasil 5.11) menunjukkan bahwa kuadrat dari standar-

dized residual tidak berautokorelasi. Hal ini berarti bahwa model volatilitas yang

dihasilkan sudah baik.

Pengujian efek ARCH dari standardized residual (diperlihatkan pada Hasil

5.12) menunjukkan bahwa standardized residual sudah tidak mempunyai efek

ARCH.

2. Model ke dua yang mungkin adalah AR (1)

Grafik ACF menunjukkan pola gelombang sinus teredam, sedangkan grafik

PACF signifikan pada lag 1 sehingga model yang mungkin adalah AR (1). De-

ngan menggunakan Program 3.4 diperoleh Hasil 5.13 dengan koefisien AR (1)

yang signifikan (|T-statitic| 1.96). Akan tetapi, pengujian dengan statistik

152

Ljung-Box (diperihatkan oleh Hasil 5.14) menunjukkan bahwa galat yang dihasil-

kan belum random. Oleh karena itu, model AR(1) tidak dapat dipakai.

3. Model ke tiga yang mungkin adalah MA(1)

Grafik PACF menunjukkan pola gelombang sinus teredam, sedangkan gra-

fik ACF signifikan pada lag 1 sehingga model yang mungkin adalah MA (1).

Dengan menggunakan Program 3.5 dapat diperoleh Hasil 5.15 sehingga persa-

maan rata-ratanya adalah

0.00012875 0.14639

dengan koefisien MA(1) sudah signifikan (|T-statitic| 1.96). Pengujian dengan

statistik Ljung-Box menurut Hasil 5.16 menunjukkan bahwa galat yang diperoleh

dari persamaan rata-rata tersebut tidak berautokorelasi. Langkah selanjutnya ada-

lah menguji autokorelasi pada galat kuadrat. Pengujian hipotesis dengan statistik

Ljung Box menunjukkan adanya autokorelasi pada galat kuadrat (Hasil 5.17). Hal

ini dapat diperlihatkan oleh ACF dan PACF dari galat kuadrat.

153

Gambar 5.1.7. Grafik ACF galat kuadrat dari model MA(1)

Gambar 5.1.8. Grafik PACF galat kuadrat dari model MA(1)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns


154

Pengujian efek ARCH untuk lag 7, 14, dan 20 (Hasil 5.18) menunjukkan adanya

efek GARCH pada galat kuadrat.

a. Model pertama yang mungkin adalah MA (1)-GARCH (1,1)


Program 3.6 adalah

4.9917 10 0.15727

0.00025814 0.59727 0.1565







dual (diperlihatkan pada Hasil 5.21) menunjukkan bahwa kuadrat dari standar-


dihasilkan sudah baik.

Pengujian efek GARCH pada standardized residual (diperlihatkan pada Ha-

sil 5.22) menunjukkan bahwa sudah tidak ada efek GARCH pada standardized

residual.

b. Grafik PACF dari galat kuadrat signifikan pada lag 3, sehingga kemungki-

nan model yang ke dua adalah ARMA (1,1)-ARCH (3)

155


Program 3.7 adalah

1.8582 10 0.16387

0.00071081 0.168491 0.05691 0.090096

Berdasarkan Hasil 5.23, semua |T-statitic| 1.96, sehingga semua koefisien su-

dah signifikan.


hatkan oleh Hasil 5.24) menunjukkan bahwa standardized residual tidak berauto-

korelasi. Hal ini berarti bahwa model rata-rata yang dihasilkan sudah cukup baik.


dual (diperlihatkan oleh Hasil 5.25) menunjukkan bahwa kuadrat dari standar-


dihasilkan sudah cukup baik.

Pengujian efek ARCH pada standardized residual (diperlihatkan pada Hasil

5.26) menunjukkan bahwa sudah tidak ada efek ARCH pada standardized resi-

dual.

Sum of Square Error (SSE) yang dihasilkan dari ARMA (1,1)-

GARCH(1,1) adalah 8.3907e+003, dari model ARMA(1,1)-ARCH(3) yaitu

8.5472e+003, dari model MA(1)-GARCH(1,1) yaitu 7.9249e+003, dan dari

model MA(1)-ARCH(3) yaitu 8.0843e+003. Karena model MA(1)-GARCH(1,1)

mempunyai SSE yang paling kecil, maka model tersebut dapat dikatakan model

yang paling baik untuk return dari data harga saham Matahari Putra Prima.

156

Berikut adalah hasil peramalan untuk tanggal 1 Juli 2009-27 Juli 2009 de-

ngan menggunakan model MA (1)-GARCH(1,1).

Tabel 5.1

Hasil Peramalan Data Harga Saham Matahari Putra Prima Tbk dengan

Menggunakan Model MA (1)-GARCH(1,1)

Tanggal Harga saham 7/1/2009 750.0000 7/2/2009 748.3607 7/3/2009 748.3981 7/6/2009 748.4354 7/7/2009 748.4728 7/9/2009 748.5102 7/10/2009 748.5475 7/13/2009 748.5849 7/14/2009 748.6223 7/15/2009 748.6596 7/16/2009 748.6970 7/17/2009 748.7344 7/21/2009 748.7717 7/22/2009 748.8091 7/23/2009 748.8465 7/24/2009 748.8839 7/27/2009 748.9213

157

B. APLIKASI PADA HARGA SAHAM ASTRA AGRO LESTARI INDO-

NESIA

Studi kasus yang ke dua menggunakan data harian harga saham ASTRA

Agro Lestari Indonesia (AALI.JK) pada tanggal 5 April 2001 sampai dengan 30

Juni 2009 sebanyak 2084.

Gambar 5.2.1. Grafik Harga Saham AALI.JK

Grafik data harga saham AALI.JK tampak tidak stasioner dalam rata-rata.

Oleh karena itu perlu transformasi agar data tersebut menjadi stasioner, yaitu

transformasi dari harga saham menjadi return. Berikut ini adalah grafik return

yang dihasilkan.

0 500 1000 1500 2000 25000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 104 AALI.JK Price

158

Gambar 5.2.2. Grafik Return dari Harga Saham AALI.JK

Tampak bahwa grafik return sudah stasioner. Langkah selanjutnya adalah

menentukan model awal dengan melihat ACF dan PACF dari return. Berikut

adalah grafik ACF dan PACF-nya.

0 500 1000 1500 2000 2500-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3AALI.JK Return

Dai

ly R

etur

n

159

Gambar 5.2.3. Grafik ACF Return dari Harga Saham AALI.JK

Gambar 5.2.4. Grafik PACF Return dari Harga Saham AALI.JK

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns


160

1. Model pertama yang mungkin adalah AR (1)

Grafik ACF menunjukkan pola gelombang sinus teredam, sedangkan grafik

PACF signifikan pada lag 1 sehingga model yang mungkin adalah AR (1). Den-

gan menggunakan Program 4.1 diperoleh Hasil 6.1 dengan koefisien AR (1) signi-

fikan(|T-statitic| 1.96). Berikut ini persamaan rata-rata yang dihasilkan.

0.0014571 0.10093

Pengujian dengan statistik Ljung-Box menurut Hasil 6.2 menunjukkan bah-

wa galat yang diperoleh dari persamaan rata-rata tersebut tidak berautokorelasi.

Langkah selanjutnya adalah menguji autokorelasi pada galat kuadrat. Pengujian

hipotesis dengan statistik Ljung Box menunjukkan adanya autokorelasi pada run-

tun galat kuadrat (Hasil 6.3). Hal ini dapat diperlihatkan oleh ACF dan PACF dari

galat kuadrat.

Gambar 5.2.5. Grafik ACF galat kuadrat dari model AR(1)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion


161

Gambar 5.2.6. Grafik PACF galat kuadrat dari model AR(1)



a. Model yang mungkin adalah AR(1)-GARCH(1,1)


Program 4.2 adalah

0.0020184 0.065091

1.3289 10 0.92253 0.067155



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

nsSample Partial Autocorrelation Function

162





dual (diperlihatkan pada Hasil 6.7) menunjukkan bahwa kuadrat dari standardized

residual tidak berautokorelasi. Hal ini berarti bahwa model volatilitas yang diha-

silkan sudah cukup baik.


sil 6.8) menunjukkan sudah tidak adanya efek GARCH pada standardized resi-

dual.

b. Model AR(1)-GARCH(2,1)


Program 4.3 adalah

0.0019809 0.062809

1.9289 10 0.40476 0.47891 0.10166








163




sil 6.12) menunjukkan sudah tidak adanya efek GARCH pada standardized resi-

dual.

c. Model AR(1)-GARCH(1,2)

Dengan menggunakan Program 4.4 diperoleh Hasil 6.13. Hasil tersebut

memperlihatkan bahwa salah satu koefisien, yaitu koefisien ARCH(2) tidak signi-

fikan atau bernilai nol (|T-statitic| 1.96|). Dengan demikian, model AR(1)-

GARCH(1,2) bukan model yang baik bagi return dari harga saham AALI.JK.

d. Model AR(1)-GARCH(2,2)


memperlihatkan bahwa salah satu koefisien, yaitu koefisien GARCH(1) tidak sig-

nifikan atau bernilai nol (|T-statitic| 1.96). Dengan demikian, model AR(1)-


e. Model AR(1)-GARCH(3,5)


memperlihatkan bahwa koefisien yang signifikan (|T-statistic| > 1.96) adalah koe-

fisien AR(1), GARCH(3) dan ARCH(1), sedangkan koefisien yang lain tidak sig-

164

nifikan atau bernilai nol. Dengan demikian, model AR(1)-GARCH(3,5) bukan

model yang baik bagi return dari harga saham AALI.JK.

2. Model kedua yang mungkin adalah MA (1)

Grafik PACF menunjukkan pola gelombang sinus teredam, sedangkan gra-

fik ACF signifikan pada lag 1 sehingga model yang mungkin adalah MA(1). De-

ngan menggunakan Program 4.7 diperoleh Hasil 6.16 dengan koefisien MA(1)

signifikan (|T-statistic| > 1.96). Berikut ini persamaan rata-rata yang dihasilkan.

0.0016208 0.097255

Pengujian dengan statistik Ljung-Box menurut Hasil 6.17 menunjukkan

bahwa galat yang diperoleh dari persamaan rata-rata tersebut tidak berautokorela-

si. Langkah selanjutnya adalah menguji autokorelasi pada galat kuadrat. Pengujian

hipotesis dengan statistik Ljung Box menunjukkan adanya autokorelasi pada run-

tun galat kuadrat (Hasil 6.18). Hal ini dapat diperlihatkan oleh ACF dan PACF

dari galat kuadrat.

165

Gambar 5.2.7. Grafik ACF galat kuadrat dari model MA(1)

Gambar 5.2.8. Grafik PACF galat kuadrat dari model MA(1)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns


166



a. Model yang mungkin adalah MA(1)-GARCH(1,1)


Program 4.8 adalah

0.0021578 0.065513

1.326 10 0.92266 0.067037

Berdasarkan Hasil 6.20 semua |T-statistic| > 1.96, sehingga semua koefisien sudah










sil 6.23) menunjukkan bahwa sudah tidak adanya efek GARCH pada standardized

residual.

167

b. Model MA (1)-GARCH(2,1)


Program 4.9 adalah

0.0021142 0.063289

1.9275 10 0.4038 0.47994 0.1016

Berdasarkan Hasil 6.24 semua |T-statistic| > 1.96, sehingga semua koefisien sudah










sil 6.27) menunjukkan bahwa sudah tidak adanya efek GARCH pada standardized

residual.

c. Model MA(1)-GARCH(1,2)


memperlihatkan bahwa salah satu koefisien, yaitu koefisien ARCH(2) tidak signi-

fikan atau bernilai nol (|T-statistic| < 1.96). Dengan demikian, model MA(1)-


168

d. Model MA(1)-GARCH(2,2)


memperlihatkan bahwa tiga koefisien, yaitu koefisien GARCH(1), GARCH(2),

dan ARCH(2) tidak signifikan atau bernilai nol (|T-statistic| < 1.96). Dengan de-

mikian, model MA(1)-GARCH(2,2) bukan model yang baik bagi return dari har-

ga saham AALI.JK.

e. Model MA(1)-GARCH(3,5)


memperlihatkan bahwa koefisien yang signifikan (|T-statistic| > 1.96)adalah koe-

fisien MA(1), GARCH(3) dan ARCH(1), sedangkan koefisien yang lain tidak sig-

nifikan atau bernilai nol (|T-statistic| < 1.96). Dengan demikian, model MA(1)-


3. Model yang mungkin adalah ARMA(1,1)

Grafik ACF dan PACF (Gambar 5.2.3 dan Gambar 5.2.4 secara berturut-

turut) menunjukkan pola gelombang sinus teredam mulai dari lag 1, sehingga

model yang mungkin adalah ARMA (1,1). Dengan menggunakan Program 4.13

diperoleh Hasil 6.31 dengan koefisien AR (1) dan MA(1) tidak signifikan( kedua

|T-statistic| < 1.96). Oleh karena itu, model ARMA(1,1) tidak dapat dipakai.

Dari kesembilan model tersebut, model yang baik adalah model AR(1)-

GARCH(1,1), model AR(1)-GARCH(2,1), model MA(1)-GARCH(1,1), dan

169

model MA(1)-GARCH(2,1). SSE dari model AR(1)-GARCH(1,1) adalah

1.2215e+007 ,SSE dari model AR(1)-GARCH(2,1) yaitu 1.2119e+007, SSE dari

model MA(1)-GARCH(1,1) adalah 1.2270e+007, dan SSE dari model MA(1)-

GARCH(2,1) yaitu 1.2173e+007. Karena SSE dari model AR(1)-GARCH(2,1)

paling kecil maka dapat dikatakan bahwa model AR(1)-GARCH(2,1) merupakan

model yang paling baik untuk return dari harga saham AALI.JK.

Berikut adalah hasil peramalan untuk tanggal 1 Juli 2009-27 Juli 2009 den-

gan menggunakan model AR(1)-GARCH(2,1).

Tabel 5.2

Hasil Peramalan Data Harga Saham ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk

dengan Menggunakan Model AR(1)-GARCH(2,1)

Tanggal Harga saham 7/1/2009 175007/2/2009 175187/3/2009 175547/6/2009 175917/7/2009 176297/9/2009 176667/10/2009 177037/13/2009 177417/14/2009 177787/15/2009 178167/16/2009 178547/17/2009 178917/21/2009 179297/22/2009 179677/23/2009 180057/24/2009 175007/27/2009 17518

170

BAB VI.

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Dalam kenyataan, banyak data runtun waktu yang menunjukkan variansi

bersyarat (volatilitas) yang tidak konstan. Model GARCH sebagai perumuman

dari model ARCH merupakan salah satu model untuk volatilitas. Untuk

memastikan ada dan tidaknya efek GARCH digunakan pengujian efek ARCH.

Jika pada lag tinggi menunjukkan adanya efek ARCH, maka pada data tersebut

terdapat efek GARCH.

Model GARCH yang paling sederhana adalah model GARCH(1,1). Model

tersebut diharapkan mampu menggantikan model ARCH dengan orde tinggi

sehingga model menjadi lebih sederhana. Parameter dari model GARCH dapat

diperoleh dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum.

Return dari data harga saham Matahari Putra Prima Tbk. menunjukkan

adanya efek GARCH. Hasil analisis menunjukkan bahwa model GARCH (1,1)

lebih baik daripada model ARCH (3). Return dari data harga saham Astra Agro

Lestari Indonesia Tbk. (AALI) juga menunjukkan adanya efek GARCH. Hasil

analisis menunjukkan bahwa model volatilitas yang cocok untuk data tersebut

adalah GARCH (1,1) dan GARCH (2,1), tetapi model GARCH (2,1) lebih baik

daripada GARCH (1,1). Sedangkan model GARCH dengan orde tinggi yang lain,

seperti GARCH (1,2), GARCH (2,2) , dan GARCH (3,5) menghasilkan

pendugaan parameter yang tidak signifikan sehingga model tersebut tidak dapat

171

digunakan untuk memodelkan volatilitas pada return dari harga saham AALI.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa model GARCH dengan orde tinggi

belum tentu merupakan model volatilitas yang baik bagi suatu data runtun waktu.

B. SARAN

Aplikasi dalam tulisan ini mengasumsikan bahwa galat berdistribusi normal

karena keterbatasan program pada MATLAB, mungkin dengan menggunakan

software lain dapat digunakan untuk galat yang tidak berdistribusi normal.

172

DAFTAR PUSTAKA

Box,G.E.P, Jenkins, G.M, and Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis Forecasting and Control. 3rd edition. New Jersey:Prentice-Hall Inc.

Lo, M.S. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic Time Series Models. http://math.bu.edu/misc/DOCSERVER/raw/garch.pdf.

Mendenhall,W, Scheaffer,R.L,and Wackerly,D.D.(1986). Mathematical Statistics with Applications. . 3rd edition. Boston:Duxbury Press.

Mood, A.M, Graybill, F.A.,Boes, D.C.(1974). Introduction to The Theory of Statistics. 3rd edition. Singapore:McGraw-Hill Inc.

Tsay, R.S.(2005). Analysis of Financial Time Series.2nd edition. New York:John Wiley & Sons, Inc.

http://www.ekonofisika.com/bfi/finan2.pdf, diakses tanggal 27 Agustus 2008.

http://www.ekonofisika.com/bfi/garch2.pdf, diakses tanggal 27 Agustus 2008.

http://www.yahoofinance.com, diakses tanggal 30 Juli 2009.

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/econ/index.html?/access/helpdesk/help/toolbox/econ/brskymi-1.html&http://www.google.co.id/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=1&url=http%3A%2F%2Fwww.mathworks.com%2Faccess%2Fhelpdesk%2Fhelp%2Ftoolbox%2Fecon%2Fbrskymi-1.html&ei=6F_FSuDXENSIkQWV9LxB&rct=j&q=T-Statistic%2BGARCH&usg=AFQjCNHm62PDLqp-WHPALJFJmNbHblMU5Q, diakses tanggal 1 Oktober 2009.

LAMPIRAN

Lampiran 1: Harga Saham Matahari Putra Prima Tbk

Tanggal Harga 10/12/2000 540 1/4/2001 445 3/29/2001 455 6/21/2001 485 9/13/2001 525 10/13/2000 545 1/5/2001 470 3/30/2001 455 6/22/2001 490 9/14/2001 475 10/16/2000 545 1/8/2001 460 4/2/2001 450 6/25/2001 495 9/17/2001 475 10/17/2000 570 1/9/2001 455 4/3/2001 450 6/26/2001 515 9/18/2001 480 10/18/2000 565 1/10/2001 455 4/4/2001 445 6/27/2001 525 9/19/2001 500 10/19/2000 600 1/11/2001 440 4/5/2001 445 6/28/2001 500 9/20/2001 500 10/20/2000 600 1/12/2001 440 4/6/2001 445 6/29/2001 525 9/21/2001 500 10/23/2000 600 1/15/2001 450 4/9/2001 440 7/2/2001 475 9/24/2001 500 10/24/2000 600 1/16/2001 450 4/10/2001 440 7/3/2001 495 9/25/2001 490 10/25/2000 600 1/17/2001 455 4/11/2001 445 7/4/2001 510 9/26/2001 485 10/26/2000 575 1/18/2001 460 4/12/2001 445 7/5/2001 525 9/27/2001 495 10/27/2000 575 1/19/2001 450 4/13/2001 445 7/6/2001 525 9/28/2001 495 10/30/2000 575 1/22/2001 460 4/16/2001 445 7/9/2001 525 10/1/2001 505 10/31/2000 575 1/23/2001 455 4/17/2001 440 7/10/2001 525 10/2/2001 525 11/1/2000 575 1/24/2001 455 4/18/2001 430 7/11/2001 550 10/3/2001 475 11/2/2000 575 1/25/2001 455 4/19/2001 405 7/12/2001 575 10/4/2001 505 11/3/2000 575 1/26/2001 450 4/20/2001 395 7/13/2001 575 10/5/2001 500 11/6/2000 550 1/29/2001 445 4/23/2001 400 7/16/2001 550 10/8/2001 475 11/7/2000 600 1/30/2001 450 4/24/2001 400 7/17/2001 550 10/9/2001 495 11/8/2000 600 1/31/2001 455 4/25/2001 400 7/18/2001 575 10/10/2001 490 11/9/2000 600 2/1/2001 455 4/26/2001 400 7/19/2001 575 10/11/2001 500

11/10/2000 575 2/2/2001 495 4/27/2001 400 7/20/2001 575 10/12/2001 475 11/13/2000 600 2/5/2001 500 4/30/2001 405 7/23/2001 600 10/15/2001 475 11/14/2000 575 2/6/2001 500 5/1/2001 415 7/24/2001 575 10/16/2001 495 11/15/2000 575 2/7/2001 500 5/2/2001 420 7/25/2001 575 10/17/2001 495 11/16/2000 575 2/8/2001 475 5/3/2001 430 7/26/2001 575 10/18/2001 490 11/17/2000 575 2/9/2001 465 5/4/2001 430 7/27/2001 575 10/19/2001 500 11/20/2000 575 2/12/2001 465 5/7/2001 430 7/30/2001 575 10/22/2001 525 11/21/2000 575 2/13/2001 470 5/8/2001 425 7/31/2001 575 10/23/2001 500 11/22/2000 600 2/14/2001 465 5/9/2001 430 8/1/2001 575 10/24/2001 525 11/23/2000 625 2/15/2001 485 5/10/2001 425 8/2/2001 550 10/25/2001 500 11/24/2000 625 2/16/2001 475 5/11/2001 440 8/3/2001 550 10/26/2001 525 11/27/2000 600 2/19/2001 485 5/14/2001 460 8/6/2001 550 10/29/2001 525 11/28/2000 600 2/20/2001 510 5/15/2001 445 8/7/2001 550 10/30/2001 500 11/29/2000 600 2/21/2001 475 5/16/2001 455 8/8/2001 575 10/31/2001 500 11/30/2000 600 2/22/2001 500 5/17/2001 450 8/9/2001 550 11/1/2001 525 12/1/2000 600 2/23/2001 500 5/18/2001 460 8/10/2001 550 11/2/2001 525 12/4/2000 575 2/26/2001 500 5/21/2001 450 8/13/2001 575 11/5/2001 500 12/5/2000 575 2/27/2001 500 5/22/2001 450 8/14/2001 575 11/6/2001 475 12/6/2000 575 2/28/2001 500 5/23/2001 450 8/15/2001 550 11/7/2001 495 12/7/2000 525 3/1/2001 475 5/24/2001 450 8/16/2001 550 11/8/2001 495 12/8/2000 500 3/2/2001 485 5/25/2001 460 8/17/2001 550 11/9/2001 495

12/11/2000 450 3/5/2001 485 5/28/2001 455 8/20/2001 550 11/12/2001 495 12/12/2000 480 3/6/2001 485 5/29/2001 480 8/21/2001 550 11/13/2001 500 12/13/2000 510 3/7/2001 495 5/30/2001 475 8/22/2001 575 11/14/2001 500 12/14/2000 500 3/8/2001 495 5/31/2001 485 8/23/2001 575 11/15/2001 525 12/15/2000 500 3/9/2001 485 6/1/2001 475 8/24/2001 550 11/16/2001 525 12/18/2000 500 3/12/2001 465 6/4/2001 475 8/27/2001 525 11/19/2001 525 12/19/2000 500 3/13/2001 455 6/5/2001 475 8/28/2001 550 11/20/2001 500 12/20/2000 500 3/14/2001 455 6/6/2001 470 8/29/2001 550 11/21/2001 500 12/21/2000 500 3/15/2001 460 6/7/2001 470 8/30/2001 550 11/22/2001 475 12/22/2000 500 3/16/2001 460 6/8/2001 470 8/31/2001 550 11/23/2001 485 12/25/2000 500 3/19/2001 450 6/11/2001 475 9/3/2001 550 11/26/2001 490 12/26/2000 500 3/20/2001 450 6/12/2001 500 9/4/2001 550 11/27/2001 480 12/27/2000 500 3/21/2001 455 6/13/2001 525 9/5/2001 550 11/28/2001 480 12/28/2000 500 3/22/2001 455 6/14/2001 500 9/6/2001 575 11/29/2001 480 12/29/2000 500 3/23/2001 460 6/15/2001 525 9/7/2001 550 11/30/2001 480

1/1/2001 500 3/26/2001 460 6/18/2001 525 9/10/2001 550 12/3/2001 475 1/2/2001 475 3/27/2001 455 6/19/2001 475 9/11/2001 575 12/4/2001 460 1/3/2001 460 3/28/2001 455 6/20/2001 480 9/12/2001 550 12/5/2001 460

Tanggal Harga 12/6/2001 460 3/5/2002 600 5/31/2002 650 8/28/2002 550 11/25/2002 475 12/7/2001 455 3/6/2002 600 6/3/2002 650 8/29/2002 550 11/26/2002 490

12/10/2001 460 3/7/2002 600 6/4/2002 650 8/30/2002 550 11/27/2002 480 12/11/2001 455 3/8/2002 600 6/5/2002 625 9/2/2002 550 11/28/2002 485 12/12/2001 445 3/11/2002 575 6/6/2002 650 9/3/2002 525 11/29/2002 490 12/13/2001 450 3/12/2002 575 6/7/2002 650 9/4/2002 525 12/2/2002 490 12/14/2001 450 3/13/2002 575 6/10/2002 650 9/5/2002 650 12/3/2002 485 12/17/2001 450 3/14/2002 500 6/11/2002 650 9/6/2002 600 12/4/2002 480 12/18/2001 450 3/15/2002 500 6/12/2002 650 9/9/2002 575 12/5/2002 480 12/19/2001 445 3/18/2002 525 6/13/2002 700 9/10/2002 600 12/6/2002 480 12/20/2001 445 3/19/2002 525 6/14/2002 675 9/11/2002 600 12/9/2002 480 12/21/2001 445 3/20/2002 525 6/17/2002 700 9/12/2002 600 12/10/2002 480 12/24/2001 445 3/21/2002 600 6/18/2002 700 9/13/2002 575 12/11/2002 475 12/25/2001 445 3/22/2002 650 6/19/2002 675 9/16/2002 575 12/12/2002 480 12/26/2001 450 3/25/2002 625 6/20/2002 675 9/17/2002 575 12/13/2002 485 12/27/2001 445 3/26/2002 600 6/21/2002 675 9/18/2002 575 12/16/2002 485 12/28/2001 435 3/27/2002 625 6/24/2002 675 9/19/2002 550 12/17/2002 480 12/31/2001 435 3/28/2002 625 6/25/2002 675 9/20/2002 550 12/18/2002 485

1/1/2002 435 3/29/2002 625 6/26/2002 625 9/23/2002 550 12/19/2002 510 1/2/2002 440 4/1/2002 600 6/27/2002 675 9/24/2002 550 12/20/2002 525 1/3/2002 440 4/2/2002 625 6/28/2002 675 9/25/2002 550 12/23/2002 525 1/4/2002 440 4/3/2002 625 7/1/2002 675 9/26/2002 550 12/24/2002 525 1/7/2002 455 4/4/2002 650 7/2/2002 675 9/27/2002 550 12/25/2002 525 1/8/2002 450 4/5/2002 675 7/3/2002 650 9/30/2002 525 12/26/2002 525 1/9/2002 450 4/8/2002 675 7/4/2002 650 10/1/2002 525 12/27/2002 500

1/10/2002 470 4/9/2002 700 7/5/2002 650 10/2/2002 525 12/30/2002 500 1/11/2002 475 4/10/2002 725 7/8/2002 650 10/3/2002 525 12/31/2002 500 1/14/2002 485 4/11/2002 750 7/9/2002 650 10/4/2002 525 1/1/2003 500 1/15/2002 485 4/12/2002 750 7/10/2002 650 10/7/2002 525 1/2/2003 475 1/16/2002 485 4/15/2002 800 7/11/2002 625 10/8/2002 525 1/3/2003 465 1/17/2002 485 4/16/2002 775 7/12/2002 625 10/9/2002 500 1/6/2003 465 1/18/2002 485 4/17/2002 750 7/15/2002 625 10/10/2002 500 1/7/2003 475 1/21/2002 480 4/18/2002 725 7/16/2002 625 10/11/2002 475 1/8/2003 465 1/22/2002 480 4/19/2002 725 7/17/2002 625 10/14/2002 390 1/9/2003 475 1/23/2002 475 4/22/2002 725 7/18/2002 600 10/15/2002 435 1/10/2003 480 1/24/2002 485 4/23/2002 750 7/19/2002 625 10/16/2002 445 1/13/2003 470 1/25/2002 490 4/24/2002 775 7/22/2002 575 10/17/2002 445 1/14/2003 475 1/28/2002 485 4/25/2002 775 7/23/2002 600 10/18/2002 470 1/15/2003 475 1/29/2002 490 4/26/2002 775 7/24/2002 600 10/21/2002 500 1/16/2003 465 1/30/2002 480 4/29/2002 725 7/25/2002 600 10/22/2002 500 1/17/2003 465 1/31/2002 480 4/30/2002 750 7/26/2002 600 10/23/2002 500 1/20/2003 465

2/1/2002 535 5/1/2002 750 7/29/2002 600 10/24/2002 475 1/21/2003 450 2/4/2002 525 5/2/2002 750 7/30/2002 575 10/25/2002 480 1/22/2003 455 2/5/2002 525 5/3/2002 750 7/31/2002 600 10/28/2002 485 1/23/2003 460 2/6/2002 525 5/6/2002 750 8/1/2002 600 10/29/2002 480 1/24/2003 455 2/7/2002 550 5/7/2002 750 8/2/2002 575 10/30/2002 485 1/27/2003 450 2/8/2002 525 5/8/2002 725 8/5/2002 600 10/31/2002 490 1/28/2003 450

2/11/2002 525 5/9/2002 725 8/6/2002 600 11/1/2002 480 1/29/2003 440 2/12/2002 525 5/10/2002 750 8/7/2002 575 11/4/2002 520 1/30/2003 440 2/13/2002 525 5/13/2002 750 8/8/2002 575 11/5/2002 525 1/31/2003 430 2/14/2002 550 5/14/2002 750 8/9/2002 575 11/6/2002 475 2/3/2003 420 2/15/2002 575 5/15/2002 750 8/12/2002 550 11/7/2002 480 2/4/2003 415 2/18/2002 575 5/16/2002 750 8/13/2002 525 11/8/2002 475 2/5/2003 410 2/19/2002 575 5/17/2002 725 8/14/2002 550 11/11/2002 480 2/6/2003 410 2/20/2002 625 5/20/2002 700 8/15/2002 550 11/12/2002 480 2/7/2003 380 2/21/2002 600 5/21/2002 700 8/16/2002 550 11/13/2002 480 2/10/2003 380 2/22/2002 600 5/22/2002 675 8/19/2002 550 11/14/2002 495 2/11/2003 385 2/25/2002 575 5/23/2002 625 8/20/2002 550 11/15/2002 480 2/12/2003 385 2/26/2002 625 5/24/2002 625 8/21/2002 550 11/18/2002 475 2/13/2003 380 2/27/2002 600 5/27/2002 650 8/22/2002 550 11/19/2002 480 2/14/2003 385 2/28/2002 600 5/28/2002 675 8/23/2002 550 11/20/2002 480 2/17/2003 390

3/1/2002 600 5/29/2002 675 8/26/2002 550 11/21/2002 485 2/18/2003 385 3/4/2002 600 5/30/2002 650 8/27/2002 550 11/22/2002 480 2/19/2003 385

Tanggal Harga 2/20/2003 380 5/20/2003 490 8/15/2003 475 11/12/2003 525 2/9/2004 700 2/21/2003 380 5/21/2003 480 8/18/2003 475 11/13/2003 500 2/10/2004 675 2/24/2003 380 5/22/2003 480 8/19/2003 470 11/14/2003 500 2/11/2004 675 2/25/2003 375 5/23/2003 480 8/20/2003 465 11/17/2003 500 2/12/2004 675 2/26/2003 365 5/26/2003 480 8/21/2003 475 11/18/2003 500 2/13/2004 700 2/27/2003 390 5/27/2003 475 8/22/2003 470 11/19/2003 475 2/16/2004 675 2/28/2003 390 5/28/2003 490 8/25/2003 475 11/20/2003 485 2/17/2004 725

3/3/2003 390 5/29/2003 495 8/26/2003 475 11/21/2003 505 2/18/2004 725 3/4/2003 400 5/30/2003 495 8/27/2003 475 11/24/2003 505 2/19/2004 700 3/5/2003 390 6/2/2003 490 8/28/2003 475 11/25/2003 505 2/20/2004 700 3/6/2003 395 6/3/2003 490 8/29/2003 475 11/26/2003 505 2/23/2004 700 3/7/2003 395 6/4/2003 505 9/1/2003 470 11/27/2003 505 2/24/2004 675

3/10/2003 385 6/5/2003 525 9/2/2003 475 11/28/2003 505 2/25/2004 700 3/11/2003 370 6/6/2003 525 9/3/2003 475 12/1/2003 550 2/26/2004 675 3/12/2003 380 6/9/2003 575 9/4/2003 485 12/2/2003 550 2/27/2004 675 3/13/2003 380 6/10/2003 525 9/5/2003 485 12/3/2003 550 3/1/2004 675 3/14/2003 385 6/11/2003 550 9/8/2003 490 12/4/2003 525 3/2/2004 650 3/17/2003 370 6/12/2003 500 9/9/2003 495 12/5/2003 525 3/3/2004 650 3/18/2003 370 6/13/2003 500 9/10/2003 480 12/8/2003 550 3/4/2004 675 3/19/2003 370 6/16/2003 525 9/11/2003 490 12/9/2003 575 3/5/2004 675 3/20/2003 380 6/17/2003 500 9/12/2003 485 12/10/2003 575 3/8/2004 650 3/21/2003 375 6/18/2003 500 9/15/2003 470 12/11/2003 600 3/9/2004 650 3/24/2003 380 6/19/2003 525 9/16/2003 480 12/12/2003 600 3/10/2004 600 3/25/2003 375 6/20/2003 525 9/17/2003 535 12/15/2003 575 3/11/2004 575 3/26/2003 380 6/23/2003 525 9/18/2003 500 12/16/2003 600 3/12/2004 550 3/27/2003 385 6/24/2003 500 9/19/2003 500 12/17/2003 600 3/15/2004 550 3/28/2003 385 6/25/2003 500 9/22/2003 500 12/18/2003 575 3/16/2004 550 3/31/2003 375 6/26/2003 525 9/23/2003 475 12/19/2003 575 3/17/2004 600

4/1/2003 385 6/27/2003 525 9/24/2003 495 12/22/2003 575 3/18/2004 575 4/2/2003 385 6/30/2003 525 9/25/2003 495 12/23/2003 600 3/19/2004 575 4/3/2003 385 7/1/2003 525 9/26/2003 485 12/24/2003 600 3/22/2004 575 4/4/2003 390 7/2/2003 550 9/29/2003 490 12/25/2003 600 3/23/2004 600 4/7/2003 440 7/3/2003 575 9/30/2003 485 12/26/2003 600 3/24/2004 625 4/8/2003 425 7/4/2003 575 10/1/2003 495 12/29/2003 600 3/25/2004 575 4/9/2003 430 7/7/2003 575 10/2/2003 495 12/30/2003 525 3/26/2004 525

4/10/2003 425 7/8/2003 575 10/3/2003 505 12/31/2003 525 3/29/2004 550 4/11/2003 430 7/9/2003 575 10/6/2003 475 1/1/2004 525 3/30/2004 550 4/14/2003 425 7/10/2003 550 10/7/2003 490 1/2/2004 550 3/31/2004 575 4/15/2003 430 7/11/2003 500 10/8/2003 500 1/5/2004 600 4/1/2004 550 4/16/2003 455 7/14/2003 500 10/9/2003 500 1/6/2004 550 4/2/2004 575 4/17/2003 505 7/15/2003 525 10/10/2003 500 1/7/2004 575 4/5/2004 575 4/18/2003 505 7/16/2003 500 10/13/2003 525 1/8/2004 700 4/6/2004 625 4/21/2003 500 7/17/2003 525 10/14/2003 550 1/9/2004 725 4/7/2004 625 4/22/2003 500 7/18/2003 500 10/15/2003 625 1/12/2004 725 4/8/2004 650 4/23/2003 500 7/21/2003 475 10/16/2003 600 1/13/2004 700 4/9/2004 650 4/24/2003 500 7/22/2003 495 10/17/2003 550 1/14/2004 725 4/12/2004 625 4/25/2003 525 7/23/2003 495 10/20/2003 575 1/15/2004 700 4/13/2004 650 4/28/2003 525 7/24/2003 490 10/21/2003 550 1/16/2004 700 4/14/2004 625 4/29/2003 525 7/25/2003 480 10/22/2003 550 1/19/2004 650 4/15/2004 625 4/30/2003 525 7/28/2003 475 10/23/2003 525 1/20/2004 675 4/16/2004 650

5/1/2003 500 7/29/2003 475 10/24/2003 525 1/21/2004 700 4/19/2004 650 5/2/2003 500 7/30/2003 470 10/27/2003 525 1/22/2004 700 4/20/2004 650 5/5/2003 500 7/31/2003 455 10/28/2003 500 1/23/2004 700 4/21/2004 675 5/6/2003 500 8/1/2003 445 10/29/2003 500 1/26/2004 700 4/22/2004 700 5/7/2003 475 8/4/2003 445 10/30/2003 500 1/27/2004 675 4/23/2004 725 5/8/2003 495 8/5/2003 435 10/31/2003 500 1/28/2004 700 4/26/2004 700 5/9/2003 495 8/6/2003 440 11/3/2003 475 1/29/2004 675 4/27/2004 700

5/12/2003 495 8/7/2003 470 11/4/2003 510 1/30/2004 650 4/28/2004 700 5/13/2003 505 8/8/2003 460 11/5/2003 550 2/2/2004 650 4/29/2004 650 5/14/2003 500 8/11/2003 465 11/6/2003 500 2/3/2004 600 4/30/2004 650 5/15/2003 500 8/12/2003 460 11/7/2003 525 2/4/2004 625 5/3/2004 650 5/16/2003 500 8/13/2003 485 11/10/2003 500 2/5/2004 650 5/4/2004 650 5/19/2003 475 8/14/2003 485 11/11/2003 525 2/6/2004 675 5/5/2004 600

Tanggal Harga 5/6/2004 600 8/3/2004 550 10/29/2004 550 1/26/2005 690 4/25/2005 570 5/7/2004 575 8/4/2004 525 11/1/2004 575 1/27/2005 650 4/26/2005 580

5/10/2004 525 8/5/2004 550 11/2/2004 575 1/28/2005 680 4/27/2005 590 5/11/2004 525 8/6/2004 550 11/3/2004 575 1/31/2005 650 4/28/2005 590 5/12/2004 575 8/9/2004 525 11/4/2004 600 2/1/2005 640 4/29/2005 580 5/13/2004 525 8/10/2004 525 11/5/2004 600 2/2/2005 650 5/2/2005 580 5/14/2004 525 8/11/2004 525 11/8/2004 600 2/3/2005 650 5/3/2005 610 5/17/2004 500 8/12/2004 500 11/9/2004 600 2/4/2005 650 5/4/2005 640 5/18/2004 500 8/13/2004 500 11/10/2004 600 2/7/2005 660 5/5/2005 640 5/19/2004 525 8/16/2004 500 11/11/2004 625 2/8/2005 660 5/6/2005 660 5/20/2004 525 8/17/2004 500 11/12/2004 600 2/9/2005 660 5/9/2005 660 5/21/2004 525 8/18/2004 500 11/15/2004 600 2/10/2005 660 5/10/2005 650 5/24/2004 550 8/19/2004 500 11/16/2004 600 2/11/2005 650 5/11/2005 640 5/25/2004 500 8/20/2004 500 11/17/2004 600 2/14/2005 650 5/12/2005 640 5/26/2004 500 8/23/2004 500 11/18/2004 600 2/15/2005 650 5/13/2005 630 5/27/2004 500 8/24/2004 500 11/19/2004 600 2/16/2005 650 5/16/2005 610 5/28/2004 500 8/25/2004 500 11/22/2004 625 2/17/2005 650 5/17/2005 600 5/31/2004 500 8/26/2004 500 11/23/2004 600 2/18/2005 640 5/18/2005 570

6/1/2004 525 8/27/2004 500 11/24/2004 600 2/21/2005 660 5/19/2005 540 6/2/2004 550 8/30/2004 525 11/25/2004 600 2/22/2005 640 5/20/2005 560 6/3/2004 550 8/31/2004 500 11/26/2004 600 2/23/2005 660 5/23/2005 580 6/4/2004 525 9/1/2004 500 11/29/2004 600 2/24/2005 650 5/24/2005 580 6/7/2004 500 9/2/2004 500 11/30/2004 625 2/25/2005 660 5/25/2005 570 6/8/2004 525 9/3/2004 500 12/1/2004 625 2/28/2005 670 5/26/2005 580 6/9/2004 550 9/6/2004 525 12/2/2004 625 3/1/2005 670 5/27/2005 590

6/10/2004 525 9/7/2004 575 12/3/2004 600 3/2/2005 670 5/30/2005 580 6/11/2004 525 9/8/2004 575 12/6/2004 625 3/3/2005 680 5/31/2005 570 6/14/2004 525 9/9/2004 525 12/7/2004 600 3/4/2005 690 6/1/2005 570 6/15/2004 525 9/10/2004 550 12/8/2004 575 3/7/2005 690 6/2/2005 610 6/16/2004 525 9/13/2004 550 12/9/2004 600 3/8/2005 800 6/3/2005 610 6/17/2004 525 9/14/2004 575 12/10/2004 575 3/9/2005 760 6/6/2005 610 6/18/2004 525 9/15/2004 625 12/13/2004 575 3/10/2005 780 6/7/2005 600 6/21/2004 500 9/16/2004 600 12/14/2004 575 3/11/2005 780 6/8/2005 600 6/22/2004 500 9/17/2004 600 12/15/2004 575 3/14/2005 820 6/9/2005 580 6/23/2004 500 9/20/2004 600 12/16/2004 575 3/15/2005 790 6/10/2005 590 6/24/2004 500 9/21/2004 625 12/17/2004 575 3/16/2005 790 6/13/2005 580 6/25/2004 550 9/22/2004 600 12/20/2004 600 3/17/2005 760 6/14/2005 590 6/28/2004 550 9/23/2004 600 12/21/2004 600 3/18/2005 760 6/15/2005 600 6/29/2004 525 9/24/2004 625 12/22/2004 625 3/21/2005 770 6/16/2005 610 6/30/2004 525 9/27/2004 600 12/23/2004 625 3/22/2005 770 6/17/2005 610

7/1/2004 525 9/28/2004 575 12/24/2004 625 3/23/2005 760 6/20/2005 610 7/2/2004 550 9/29/2004 600 12/27/2004 600 3/24/2005 760 6/21/2005 600 7/5/2004 550 9/30/2004 600 12/28/2004 575 3/25/2005 760 6/22/2005 570 7/6/2004 550 10/1/2004 600 12/29/2004 600 3/28/2005 730 6/23/2005 590 7/7/2004 575 10/4/2004 625 12/30/2004 575 3/29/2005 650 6/24/2005 590 7/8/2004 550 10/5/2004 625 12/31/2004 575 3/30/2005 630 6/27/2005 590 7/9/2004 575 10/6/2004 600 1/3/2005 580 3/31/2005 660 6/28/2005 600

7/12/2004 550 10/7/2004 600 1/4/2005 580 4/1/2005 670 6/29/2005 600 7/13/2004 525 10/8/2004 600 1/5/2005 580 4/4/2005 680 6/30/2005 590 7/14/2004 525 10/11/2004 575 1/6/2005 570 4/5/2005 680 7/1/2005 640 7/15/2004 525 10/12/2004 575 1/7/2005 590 4/6/2005 670 7/4/2005 620 7/16/2004 525 10/13/2004 600 1/10/2005 570 4/7/2005 690 7/5/2005 630 7/19/2004 525 10/14/2004 575 1/11/2005 570 4/8/2005 700 7/6/2005 620 7/20/2004 525 10/15/2004 575 1/12/2005 570 4/11/2005 690 7/7/2005 610 7/21/2004 525 10/18/2004 575 1/13/2005 560 4/12/2005 690 7/8/2005 620 7/22/2004 550 10/19/2004 575 1/14/2005 570 4/13/2005 700 7/11/2005 620 7/23/2004 525 10/20/2004 575 1/17/2005 570 4/14/2005 680 7/12/2005 610 7/26/2004 525 10/21/2004 525 1/18/2005 560 4/15/2005 670 7/13/2005 670 7/27/2004 525 10/22/2004 550 1/19/2005 560 4/18/2005 600 7/14/2005 660 7/28/2004 525 10/25/2004 550 1/20/2005 580 4/19/2005 620 7/15/2005 650 7/29/2004 525 10/26/2004 550 1/21/2005 580 4/20/2005 630 7/18/2005 670 7/30/2004 550 10/27/2004 525 1/24/2005 600 4/21/2005 600 7/19/2005 720

8/2/2004 550 10/28/2004 575 1/25/2005 680 4/22/2005 600 7/20/2005 730

Tanggal Harga 7/21/2005 730 10/18/2005 880 1/13/2006 970 4/12/2006 1030 7/10/2006 750 7/22/2005 740 10/19/2005 850 1/16/2006 940 4/13/2006 1030 7/11/2006 740 7/25/2005 740 10/20/2005 850 1/17/2006 950 4/14/2006 1030 7/12/2006 760 7/26/2005 720 10/21/2005 840 1/18/2006 940 4/17/2006 1020 7/13/2006 760 7/27/2005 720 10/24/2005 830 1/19/2006 940 4/18/2006 1030 7/14/2006 760 7/28/2005 730 10/25/2005 830 1/20/2006 940 4/19/2006 1000 7/17/2006 760 7/29/2005 720 10/26/2005 830 1/23/2006 910 4/20/2006 1020 7/18/2006 760

8/1/2005 800 10/27/2005 830 1/24/2006 880 4/21/2006 1020 7/19/2006 760 8/2/2005 830 10/28/2005 830 1/25/2006 910 4/24/2006 1020 7/20/2006 740 8/3/2005 870 10/31/2005 860 1/26/2006 900 4/25/2006 1010 7/21/2006 740 8/4/2005 860 11/1/2005 900 1/27/2006 910 4/26/2006 1000 7/24/2006 740 8/5/2005 840 11/2/2005 900 1/30/2006 930 4/27/2006 990 7/25/2006 730 8/8/2005 840 11/3/2005 900 1/31/2006 930 4/28/2006 970 7/26/2006 740 8/9/2005 880 11/4/2005 900 2/1/2006 950 5/1/2006 970 7/27/2006 780

8/10/2005 880 11/7/2005 900 2/2/2006 950 5/2/2006 960 7/28/2006 800 8/11/2005 850 11/8/2005 900 2/3/2006 930 5/3/2006 960 7/31/2006 820 8/12/2005 830 11/9/2005 940 2/6/2006 940 5/4/2006 960 8/1/2006 820 8/15/2005 820 11/10/2005 890 2/7/2006 920 5/5/2006 950 8/2/2006 810 8/16/2005 820 11/11/2005 890 2/8/2006 920 5/8/2006 950 8/3/2006 820 8/17/2005 820 11/14/2005 890 2/9/2006 920 5/9/2006 940 8/4/2006 820 8/18/2005 800 11/15/2005 920 2/10/2006 910 5/10/2006 1010 8/7/2006 820 8/19/2005 770 11/16/2005 920 2/13/2006 900 5/11/2006 970 8/8/2006 790 8/22/2005 820 11/17/2005 920 2/14/2006 880 5/12/2006 980 8/9/2006 820 8/23/2005 790 11/18/2005 940 2/15/2006 900 5/15/2006 940 8/10/2006 810 8/24/2005 790 11/21/2005 1020 2/16/2006 880 5/16/2006 920 8/11/2006 820 8/25/2005 790 11/22/2005 1060 2/17/2006 890 5/17/2006 950 8/14/2006 790 8/26/2005 790 11/23/2005 1010 2/20/2006 880 5/18/2006 860 8/15/2006 790 8/29/2005 730 11/24/2005 1020 2/21/2006 860 5/19/2006 870 8/16/2006 780 8/30/2005 800 11/25/2005 990 2/22/2006 860 5/22/2006 820 8/22/2006 770 8/31/2005 800 11/28/2005 1020 2/23/2006 850 5/23/2006 830 8/23/2006 750

9/1/2005 770 11/29/2005 1010 2/24/2006 820 5/24/2006 780 8/24/2006 710 9/2/2005 770 11/30/2005 1020 2/27/2006 790 5/25/2006 780 8/25/2006 740 9/5/2005 750 12/1/2005 990 2/28/2006 790 5/26/2006 780 8/28/2006 740 9/6/2005 780 12/2/2005 1010 3/1/2006 850 5/29/2006 740 8/29/2006 750 9/7/2005 770 12/5/2005 990 3/2/2006 840 5/30/2006 730 8/30/2006 750 9/8/2005 820 12/6/2005 990 3/3/2006 870 5/31/2006 720 8/31/2006 760 9/9/2005 800 12/7/2005 980 3/6/2006 960 6/1/2006 680 9/1/2006 760

9/12/2005 800 12/8/2005 970 3/7/2006 900 6/2/2006 700 9/4/2006 770 9/13/2005 800 12/9/2005 970 3/8/2006 880 6/5/2006 720 9/5/2006 790 9/14/2005 780 12/12/2005 970 3/9/2006 880 6/6/2006 740 9/6/2006 780 9/15/2005 770 12/13/2005 950 3/10/2006 880 6/7/2006 700 9/7/2006 800 9/16/2005 800 12/14/2005 950 3/13/2006 870 6/8/2006 710 9/8/2006 790 9/19/2005 780 12/15/2005 930 3/14/2006 910 6/9/2006 730 9/11/2006 780 9/20/2005 790 12/16/2005 910 3/15/2006 890 6/12/2006 720 9/12/2006 780 9/21/2005 810 12/19/2005 930 3/16/2006 910 6/13/2006 690 9/13/2006 780 9/22/2005 780 12/20/2005 940 3/17/2006 900 6/14/2006 720 9/14/2006 780 9/23/2005 780 12/21/2005 960 3/20/2006 900 6/15/2006 720 9/15/2006 790 9/26/2005 830 12/22/2005 960 3/21/2006 980 6/16/2006 730 9/18/2006 780 9/27/2005 820 12/23/2005 970 3/22/2006 1000 6/19/2006 740 9/19/2006 810 9/28/2005 820 12/26/2005 970 3/23/2006 1060 6/20/2006 730 9/20/2006 860 9/29/2005 820 12/27/2005 950 3/24/2006 1040 6/21/2006 730 9/21/2006 870 9/30/2005 840 12/28/2005 960 3/27/2006 1100 6/22/2006 720 9/22/2006 870 10/3/2005 830 12/29/2005 960 3/28/2006 1040 6/23/2006 720 9/25/2006 860 10/4/2005 830 12/30/2005 960 3/29/2006 1030 6/26/2006 720 9/26/2006 860 10/5/2005 850 1/2/2006 940 3/30/2006 1040 6/27/2006 720 9/27/2006 820 10/6/2005 850 1/3/2006 930 3/31/2006 1040 6/28/2006 720 9/28/2006 840 10/7/2005 850 1/4/2006 940 4/3/2006 1010 6/29/2006 720 9/29/2006 830

10/10/2005 860 1/5/2006 940 4/4/2006 1020 6/30/2006 750 10/2/2006 820 10/11/2005 850 1/6/2006 940 4/5/2006 1010 7/3/2006 770 10/3/2006 840 10/12/2005 880 1/9/2006 940 4/6/2006 1010 7/4/2006 740 10/4/2006 800 10/13/2005 870 1/10/2006 940 4/7/2006 1050 7/5/2006 750 10/5/2006 810 10/14/2005 860 1/11/2006 950 4/10/2006 1050 7/6/2006 740 10/6/2006 830 10/17/2005 880 1/12/2006 950 4/11/2006 1030 7/7/2006 770 10/9/2006 820

Tanggal Harga 10/11/2006 810 1/18/2007 660 4/20/2007 690 7/25/2007 810 10/30/2007 750 10/12/2006 760 1/19/2007 730 4/23/2007 680 7/26/2007 790 10/31/2007 750 10/13/2006 750 1/22/2007 760 4/24/2007 680 7/27/2007 780 11/1/2007 750 10/16/2006 760 1/23/2007 730 4/26/2007 720 7/31/2007 780 11/2/2007 740 10/17/2006 760 1/24/2007 780 4/27/2007 700 8/1/2007 770 11/5/2007 700 10/18/2006 750 1/25/2007 730 4/30/2007 710 8/2/2007 770 11/6/2007 720 10/19/2006 760 1/26/2007 740 5/1/2007 700 8/3/2007 770 11/7/2007 710 10/20/2006 760 1/29/2007 740 5/2/2007 700 8/6/2007 740 11/8/2007 690 10/30/2006 750 1/30/2007 740 5/3/2007 710 8/7/2007 750 11/9/2007 700 10/31/2006 730 1/31/2007 710 5/4/2007 690 8/8/2007 770 11/12/2007 690 11/1/2006 750 2/1/2007 740 5/7/2007 690 8/9/2007 760 11/13/2007 680 11/2/2006 760 2/2/2007 720 5/8/2007 680 8/10/2007 740 11/14/2007 700 11/3/2006 760 2/5/2007 720 5/9/2007 710 8/14/2007 730 11/15/2007 690 11/6/2006 770 2/6/2007 740 5/10/2007 700 8/15/2007 700 11/16/2007 680 11/7/2006 830 2/7/2007 750 5/11/2007 730 8/16/2007 630 11/19/2007 680 11/8/2006 790 2/8/2007 780 5/14/2007 740 8/20/2007 710 11/20/2007 670 11/9/2006 790 2/9/2007 780 5/15/2007 760 8/21/2007 710 11/21/2007 650

11/10/2006 790 2/12/2007 750 5/16/2007 750 8/22/2007 750 11/22/2007 660 11/13/2006 790 2/13/2007 740 5/21/2007 740 8/23/2007 720 11/23/2007 690 11/14/2006 790 2/14/2007 750 5/22/2007 750 8/24/2007 730 11/26/2007 660 11/15/2006 750 2/15/2007 760 5/23/2007 750 8/27/2007 760 11/27/2007 670 11/16/2006 750 2/16/2007 720 5/24/2007 740 8/28/2007 770 11/28/2007 660 11/17/2006 740 2/20/2007 710 5/25/2007 750 8/29/2007 770 11/29/2007 650 11/20/2006 720 2/21/2007 720 5/28/2007 730 8/30/2007 770 11/30/2007 650 11/21/2006 730 2/22/2007 710 5/29/2007 740 8/31/2007 800 12/3/2007 690 11/22/2006 750 2/23/2007 720 5/30/2007 750 9/3/2007 790 12/4/2007 720 11/23/2006 750 2/26/2007 730 5/31/2007 760 9/4/2007 780 12/5/2007 720 11/24/2006 740 2/27/2007 720 6/4/2007 750 9/5/2007 790 12/6/2007 710 11/27/2006 740 2/28/2007 700 6/5/2007 780 9/6/2007 810 12/7/2007 700 11/28/2006 740 3/1/2007 690 6/6/2007 750 9/7/2007 820 12/10/2007 710 11/29/2006 740 3/2/2007 680 6/7/2007 740 9/10/2007 830 12/11/2007 700 11/30/2006 740 3/5/2007 660 6/8/2007 730 9/11/2007 800 12/12/2007 700 12/1/2006 740 3/6/2007 670 6/11/2007 750 9/12/2007 800 12/13/2007 680 12/4/2006 740 3/7/2007 670 6/12/2007 750 9/13/2007 820 12/14/2007 690 12/5/2006 730 3/8/2007 710 6/13/2007 760 9/14/2007 800 12/17/2007 660 12/6/2006 730 3/9/2007 690 6/14/2007 760 9/17/2007 800 12/18/2007 670 12/7/2006 730 3/12/2007 710 6/15/2007 770 9/18/2007 780 12/19/2007 670 12/8/2006 720 3/13/2007 690 6/18/2007 760 9/19/2007 790 12/26/2007 690

12/11/2006 730 3/14/2007 690 6/19/2007 780 9/20/2007 800 12/27/2007 680 12/12/2006 720 3/15/2007 690 6/20/2007 780 9/21/2007 810 12/28/2007 690 12/13/2006 720 3/16/2007 700 6/21/2007 780 9/24/2007 810 1/2/2008 690 12/14/2006 720 3/20/2007 680 6/22/2007 760 9/25/2007 800 1/3/2008 690 12/15/2006 710 3/21/2007 700 6/25/2007 790 9/26/2007 800 1/4/2008 690 12/18/2006 730 3/22/2007 720 6/26/2007 810 9/27/2007 800 1/7/2008 690 12/19/2006 710 3/23/2007 700 6/27/2007 810 9/28/2007 770 1/8/2008 690 12/20/2006 730 3/26/2007 700 6/28/2007 810 10/1/2007 800 1/9/2008 690 12/21/2006 730 3/27/2007 700 6/29/2007 810 10/2/2007 800 1/14/2008 680 12/22/2006 740 3/28/2007 690 7/2/2007 840 10/3/2007 790 1/15/2008 650 12/26/2006 750 3/29/2007 700 7/3/2007 830 10/4/2007 800 1/16/2008 630 12/27/2006 780 3/30/2007 690 7/4/2007 830 10/5/2007 800 1/17/2008 640 12/28/2006 800 4/2/2007 690 7/5/2007 850 10/8/2007 800 1/18/2008 610

1/2/2007 980 4/3/2007 700 7/6/2007 850 10/9/2007 780 1/21/2008 590 1/3/2007 930 4/4/2007 680 7/9/2007 840 10/10/2007 800 1/22/2008 610 1/4/2007 960 4/5/2007 700 7/10/2007 830 10/11/2007 790 1/23/2008 640 1/5/2007 750 4/9/2007 700 7/11/2007 830 10/17/2007 780 1/24/2008 620 1/8/2007 750 4/10/2007 690 7/12/2007 840 10/18/2007 770 1/25/2008 640 1/9/2007 730 4/11/2007 690 7/13/2007 830 10/19/2007 770 1/28/2008 600

1/10/2007 730 4/12/2007 680 7/17/2007 820 10/22/2007 770 1/29/2008 600 1/11/2007 680 4/13/2007 680 7/18/2007 820 10/23/2007 770 1/30/2008 580 1/12/2007 620 4/16/2007 670 7/19/2007 820 10/24/2007 770 1/31/2008 570 1/15/2007 690 4/17/2007 690 7/20/2007 820 10/25/2007 770 2/1/2008 570 1/16/2007 670 4/18/2007 680 7/23/2007 820 10/26/2007 770 2/4/2008 580 1/17/2007 670 4/19/2007 670 7/24/2007 820 10/29/2007 760 2/5/2008 580

Tanggal Harga 2/6/2008 570 5/15/2008 600 8/15/2008 550 11/24/2008 600 3/2/2009 530

2/11/2008 570 5/16/2008 590 8/19/2008 550 11/25/2008 620 3/3/2009 530 2/12/2008 560 5/19/2008 580 8/20/2008 550 11/26/2008 650 3/4/2009 530 2/13/2008 560 5/21/2008 570 8/21/2008 550 11/27/2008 660 3/5/2009 560 2/14/2008 590 5/22/2008 550 8/22/2008 540 11/28/2008 660 3/6/2009 550 2/15/2008 620 5/23/2008 550 8/25/2008 540 12/1/2008 630 3/10/2009 590 2/18/2008 640 5/26/2008 540 8/26/2008 540 12/2/2008 620 3/11/2009 580 2/19/2008 610 5/27/2008 530 8/27/2008 530 12/3/2008 600 3/12/2009 570 2/20/2008 590 5/28/2008 540 8/28/2008 560 12/4/2008 600 3/13/2009 570 2/21/2008 570 5/29/2008 530 8/29/2008 560 12/5/2008 580 3/16/2009 560 2/22/2008 570 5/30/2008 530 9/1/2008 540 12/9/2008 590 3/17/2009 560 2/25/2008 570 6/2/2008 530 9/2/2008 530 12/10/2008 590 3/18/2009 570 2/26/2008 650 6/3/2008 520 9/3/2008 530 12/11/2008 590 3/19/2009 570 2/27/2008 640 6/4/2008 520 9/4/2008 530 12/12/2008 590 3/20/2009 580 2/28/2008 630 6/5/2008 520 9/5/2008 530 12/15/2008 620 3/23/2009 580 2/29/2008 610 6/6/2008 530 9/8/2008 550 12/16/2008 600 3/24/2009 580

3/3/2008 580 6/10/2008 510 9/9/2008 550 12/17/2008 600 3/25/2009 590 3/4/2008 580 6/11/2008 500 9/10/2008 550 12/18/2008 600 3/27/2009 560 3/5/2008 610 6/12/2008 510 9/11/2008 570 12/19/2008 600 3/30/2009 560 3/6/2008 600 6/13/2008 520 9/12/2008 570 12/22/2008 600 3/31/2009 560

3/10/2008 580 6/16/2008 540 9/15/2008 570 12/23/2008 600 4/1/2009 560 3/11/2008 580 6/17/2008 540 9/16/2008 590 12/24/2008 630 4/2/2009 560 3/12/2008 570 6/18/2008 550 9/17/2008 610 12/26/2008 630 4/3/2009 560 3/13/2008 540 6/19/2008 570 9/18/2008 590 12/30/2008 630 4/6/2009 560 3/14/2008 530 6/20/2008 560 9/19/2008 600 1/5/2009 640 4/7/2009 570 3/18/2008 540 6/23/2008 550 9/22/2008 610 1/6/2009 640 4/8/2009 570 3/19/2008 580 6/24/2008 530 9/23/2008 620 1/7/2009 620 4/13/2009 580 3/25/2008 600 6/25/2008 520 9/24/2008 620 1/8/2009 610 4/14/2009 560 3/26/2008 600 6/26/2008 530 9/25/2008 610 1/9/2009 620 4/15/2009 560 3/27/2008 600 6/27/2008 530 9/26/2008 600 1/12/2009 600 4/16/2009 560 3/28/2008 600 6/30/2008 530 9/29/2008 590 1/13/2009 600 4/17/2009 560 3/31/2008 590 7/1/2008 540 10/6/2008 560 1/14/2009 600 4/20/2009 580

4/1/2008 580 7/2/2008 550 10/7/2008 570 1/15/2009 600 4/21/2009 560 4/2/2008 600 7/3/2008 530 10/8/2008 530 1/16/2009 590 4/22/2009 560 4/3/2008 560 7/4/2008 540 10/14/2008 550 1/19/2009 580 4/23/2009 610 4/4/2008 570 7/7/2008 560 10/15/2008 550 1/20/2009 580 4/24/2009 570 4/7/2008 580 7/8/2008 570 10/16/2008 550 1/21/2009 570 4/27/2009 570 4/8/2008 580 7/9/2008 580 10/17/2008 550 1/22/2009 570 4/28/2009 580 4/9/2008 550 7/10/2008 570 10/20/2008 540 1/23/2009 570 4/29/2009 570

4/10/2008 560 7/11/2008 570 10/21/2008 550 1/27/2009 570 4/30/2009 580 4/11/2008 570 7/14/2008 560 10/22/2008 530 1/28/2009 550 5/1/2009 620 4/14/2008 580 7/15/2008 560 10/23/2008 530 1/29/2009 550 5/4/2009 620 4/15/2008 600 7/16/2008 550 10/24/2008 530 1/30/2009 560 5/5/2009 620 4/16/2008 620 7/17/2008 540 10/27/2008 520 2/2/2009 540 5/6/2009 620 4/17/2008 620 7/18/2008 540 10/28/2008 530 2/3/2009 520 5/7/2009 620 4/18/2008 620 7/21/2008 550 10/29/2008 550 2/4/2009 520 5/8/2009 620 4/21/2008 620 7/22/2008 540 10/30/2008 560 2/5/2009 540 5/11/2009 620 4/22/2008 590 7/23/2008 540 10/31/2008 590 2/6/2009 540 5/12/2009 620 4/23/2008 580 7/24/2008 530 11/3/2008 630 2/9/2009 540 5/13/2009 620 4/24/2008 570 7/25/2008 550 11/4/2008 640 2/10/2009 540 5/14/2009 620 4/25/2008 570 7/28/2008 550 11/5/2008 630 2/11/2009 520 5/15/2009 630 4/28/2008 550 7/29/2008 530 11/6/2008 630 2/12/2009 530 5/18/2009 620 4/29/2008 560 7/31/2008 570 11/7/2008 630 2/13/2009 520 5/19/2009 630 4/30/2008 560 8/1/2008 570 11/10/2008 640 2/16/2009 540 5/20/2009 640

5/2/2008 600 8/4/2008 570 11/11/2008 610 2/17/2009 540 5/22/2009 660 5/5/2008 600 8/5/2008 560 11/12/2008 610 2/18/2009 520 5/25/2009 620 5/6/2008 600 8/6/2008 560 11/13/2008 610 2/19/2009 510 5/26/2009 620 5/7/2008 590 8/7/2008 580 11/14/2008 610 2/20/2009 520 5/27/2009 620 5/8/2008 580 8/8/2008 560 11/17/2008 590 2/23/2009 520 5/28/2009 620 5/9/2008 580 8/11/2008 550 11/18/2008 580 2/24/2009 530 5/29/2009 620

5/12/2008 590 8/12/2008 540 11/19/2008 620 2/25/2009 520 6/1/2009 620 5/13/2008 620 8/13/2008 550 11/20/2008 620 2/26/2009 540 6/2/2009 630 5/14/2008 600 8/14/2008 560 11/21/2008 620 2/27/2009 530 6/3/2009 630

Tanggal Harga 6/4/2009 630 6/5/2009 630 6/8/2009 610 6/9/2009 620

6/10/2009 630 6/11/2009 630 6/12/2009 680 6/15/2009 710 6/16/2009 710 6/17/2009 710 6/18/2009 700 6/19/2009 700 6/22/2009 710 6/23/2009 700 6/24/2009 710 6/25/2009 700 6/26/2009 710 6/29/2009 710 6/30/2009 720

Lampiran 2:Harga Saham ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk Tanggal Harga

4/5/2001 575 7/2/2001 1000 9/26/2001 1200 12/21/2001 950 3/19/2002 1450 4/6/2001 575 7/3/2001 1125 9/27/2001 1175 12/24/2001 950 3/20/2002 1500 4/9/2001 575 7/4/2001 1275 9/28/2001 1175 12/25/2001 950 3/21/2002 1575

4/10/2001 575 7/5/2001 1225 10/1/2001 1150 12/26/2001 925 3/22/2002 1550 4/11/2001 575 7/6/2001 1400 10/2/2001 1050 12/27/2001 900 3/25/2002 1550 4/12/2001 575 7/9/2001 1575 10/3/2001 1050 12/28/2001 925 3/26/2002 1550 4/13/2001 575 7/10/2001 1475 10/4/2001 1175 12/31/2001 925 3/27/2002 1525 4/16/2001 575 7/11/2001 1550 10/5/2001 1150 1/1/2002 925 3/28/2002 1600 4/17/2001 550 7/12/2001 1500 10/8/2001 1100 1/2/2002 900 3/29/2002 1600 4/18/2001 550 7/13/2001 1675 10/9/2001 1250 1/3/2002 900 4/1/2002 1775 4/19/2001 525 7/16/2001 1750 10/10/2001 1250 1/4/2002 925 4/2/2002 1700 4/20/2001 475 7/17/2001 1750 10/11/2001 1225 1/7/2002 975 4/3/2002 1675 4/23/2001 475 7/18/2001 1750 10/12/2001 1175 1/8/2002 925 4/4/2002 1700 4/24/2001 495 7/19/2001 2050 10/15/2001 1175 1/9/2002 1000 4/5/2002 1750 4/25/2001 495 7/20/2001 1975 10/16/2001 1150 1/10/2002 1025 4/8/2002 1825 4/26/2001 495 7/23/2001 1900 10/17/2001 1250 1/11/2002 1050 4/9/2002 1825 4/27/2001 485 7/24/2001 1750 10/18/2001 1225 1/14/2002 1125 4/10/2002 1925 4/30/2001 490 7/25/2001 1750 10/19/2001 1200 1/15/2002 1200 4/11/2002 1925

5/1/2001 500 7/26/2001 1700 10/22/2001 1225 1/16/2002 1125 4/12/2002 2000 5/2/2001 475 7/27/2001 1725 10/23/2001 1125 1/17/2002 1075 4/15/2002 2125 5/3/2001 490 7/30/2001 1725 10/24/2001 1000 1/18/2002 1100 4/16/2002 2225 5/4/2001 515 7/31/2001 1500 10/25/2001 1000 1/21/2002 1100 4/17/2002 2000 5/7/2001 515 8/1/2001 1600 10/26/2001 1000 1/22/2002 1100 4/18/2002 1875 5/8/2001 500 8/2/2001 1550 10/29/2001 950 1/23/2002 1125 4/19/2002 1775 5/9/2001 500 8/3/2001 1550 10/30/2001 975 1/24/2002 1150 4/22/2002 1850

5/10/2001 500 8/6/2001 1500 10/31/2001 1025 1/25/2002 1125 4/23/2002 1900 5/11/2001 525 8/7/2001 1500 11/1/2001 975 1/28/2002 1075 4/24/2002 1975 5/14/2001 525 8/8/2001 1525 11/2/2001 1000 1/29/2002 1100 4/25/2002 1925 5/15/2001 575 8/9/2001 1400 11/5/2001 950 1/30/2002 1100 4/26/2002 1875 5/16/2001 600 8/10/2001 1500 11/6/2001 950 1/31/2002 1100 4/29/2002 1725 5/17/2001 600 8/13/2001 1575 11/7/2001 875 2/1/2002 1125 4/30/2002 1825 5/18/2001 600 8/14/2001 1575 11/8/2001 850 2/4/2002 1100 5/1/2002 1775 5/21/2001 575 8/15/2001 1525 11/9/2001 850 2/5/2002 1100 5/2/2002 1850 5/22/2001 600 8/16/2001 1500 11/12/2001 850 2/6/2002 1100 5/3/2002 1900 5/23/2001 575 8/17/2001 1500 11/13/2001 850 2/7/2002 1075 5/6/2002 1875 5/24/2001 575 8/20/2001 1525 11/14/2001 900 2/8/2002 1100 5/7/2002 1900 5/25/2001 625 8/21/2001 1575 11/15/2001 900 2/11/2002 1075 5/8/2002 1900 5/28/2001 600 8/22/2001 1575 11/16/2001 900 2/12/2002 1075 5/9/2002 1900 5/29/2001 650 8/23/2001 1625 11/19/2001 950 2/13/2002 1075 5/10/2002 1875 5/30/2001 700 8/24/2001 1600 11/20/2001 1000 2/14/2002 1100 5/13/2002 1850 5/31/2001 625 8/27/2001 1375 11/21/2001 1000 2/15/2002 1125 5/14/2002 1800

6/1/2001 575 8/28/2001 1450 11/22/2001 975 2/18/2002 1150 5/15/2002 1875 6/4/2001 575 8/29/2001 1325 11/23/2001 975 2/19/2002 1100 5/16/2002 1825 6/5/2001 575 8/30/2001 1325 11/26/2001 975 2/20/2002 1150 5/17/2002 1800 6/6/2001 575 8/31/2001 1300 11/27/2001 950 2/21/2002 1225 5/20/2002 1775 6/7/2001 600 9/3/2001 1275 11/28/2001 950 2/22/2002 1225 5/21/2002 1800 6/8/2001 625 9/4/2001 1325 11/29/2001 950 2/25/2002 1225 5/22/2002 1725

6/11/2001 650 9/5/2001 1300 11/30/2001 950 2/26/2002 1325 5/23/2002 1650 6/12/2001 650 9/6/2001 1325 12/3/2001 950 2/27/2002 1375 5/24/2002 1650 6/13/2001 675 9/7/2001 1300 12/4/2001 950 2/28/2002 1375 5/27/2002 1700 6/14/2001 675 9/10/2001 1275 12/5/2001 950 3/1/2002 1400 5/28/2002 1725 6/15/2001 675 9/11/2001 1275 12/6/2001 950 3/4/2002 1350 5/29/2002 1750 6/18/2001 700 9/12/2001 1175 12/7/2001 975 3/5/2002 1325 5/30/2002 1825 6/19/2001 700 9/13/2001 1150 12/10/2001 950 3/6/2002 1350 5/31/2002 1975 6/20/2001 900 9/14/2001 1075 12/11/2001 925 3/7/2002 1325 6/3/2002 2125 6/21/2001 1050 9/17/2001 950 12/12/2001 925 3/8/2002 1300 6/4/2002 1975 6/22/2001 975 9/18/2001 1000 12/13/2001 925 3/11/2002 1325 6/5/2002 2050 6/25/2001 975 9/19/2001 1100 12/14/2001 925 3/12/2002 1350 6/6/2002 2025 6/26/2001 950 9/20/2001 1275 12/17/2001 925 3/13/2002 1350 6/7/2002 2025 6/27/2001 950 9/21/2001 1300 12/18/2001 925 3/14/2002 1425 6/10/2002 2025 6/28/2001 925 9/24/2001 1300 12/19/2001 950 3/15/2002 1425 6/11/2002 2000 6/29/2001 950 9/25/2001 1275 12/20/2001 950 3/18/2002 1475 6/12/2002 2025

Tanggal Harga 6/13/2002 2225 9/10/2002 1500 12/6/2002 1375 3/5/2003 1325 6/2/2003 1650 6/14/2002 2150 9/11/2002 1500 12/9/2002 1375 3/6/2003 1375 6/3/2003 1625 6/17/2002 2150 9/12/2002 1500 12/10/2002 1375 3/7/2003 1325 6/4/2003 1625 6/18/2002 2150 9/13/2002 1475 12/11/2002 1450 3/10/2003 1250 6/5/2003 1625 6/19/2002 2050 9/16/2002 1425 12/12/2002 1425 3/11/2003 1150 6/6/2003 1575 6/20/2002 2125 9/17/2002 1475 12/13/2002 1400 3/12/2003 1225 6/9/2003 1600 6/21/2002 2075 9/18/2002 1400 12/16/2002 1325 3/13/2003 1225 6/10/2003 1600 6/24/2002 2025 9/19/2002 1300 12/17/2002 1350 3/14/2003 1300 6/11/2003 1575 6/25/2002 2000 9/20/2002 1225 12/18/2002 1425 3/17/2003 1225 6/12/2003 1550 6/26/2002 1900 9/23/2002 1250 12/19/2002 1650 3/18/2003 1250 6/13/2003 1525 6/27/2002 2000 9/24/2002 1225 12/20/2002 1675 3/19/2003 1275 6/16/2003 1500 6/28/2002 1975 9/25/2002 1250 12/23/2002 1625 3/20/2003 1325 6/17/2003 1450

7/1/2002 1850 9/26/2002 1250 12/24/2002 1625 3/21/2003 1325 6/18/2003 1375 7/2/2002 1850 9/27/2002 1250 12/25/2002 1625 3/24/2003 1325 6/19/2003 1425 7/3/2002 1850 9/30/2002 1175 12/26/2002 1625 3/25/2003 1325 6/20/2003 1475 7/4/2002 1975 10/1/2002 1175 12/27/2002 1550 3/26/2003 1325 6/23/2003 1450 7/5/2002 1900 10/2/2002 1125 12/30/2002 1550 3/27/2003 1325 6/24/2003 1425 7/8/2002 1900 10/3/2002 1150 12/31/2002 1550 3/28/2003 1325 6/25/2003 1425 7/9/2002 1850 10/4/2002 1150 1/1/2003 1550 3/31/2003 1300 6/26/2003 1400

7/10/2002 1875 10/7/2002 1075 1/2/2003 1550 4/1/2003 1300 6/27/2003 1375 7/11/2002 1800 10/8/2002 1125 1/3/2003 1600 4/2/2003 1300 6/30/2003 1400 7/12/2002 1825 10/9/2002 1100 1/6/2003 1575 4/3/2003 1325 7/1/2003 1350 7/15/2002 1825 10/10/2002 1100 1/7/2003 1625 4/4/2003 1350 7/2/2003 1375 7/16/2002 1800 10/11/2002 1075 1/8/2003 1625 4/7/2003 1425 7/3/2003 1375 7/17/2002 1825 10/14/2002 950 1/9/2003 1700 4/8/2003 1400 7/4/2003 1400 7/18/2002 1875 10/15/2002 950 1/10/2003 1650 4/9/2003 1400 7/7/2003 1400 7/19/2002 1925 10/16/2002 1025 1/13/2003 1700 4/10/2003 1400 7/8/2003 1425 7/22/2002 1850 10/17/2002 1025 1/14/2003 1775 4/11/2003 1400 7/9/2003 1400 7/23/2002 1875 10/18/2002 1025 1/15/2003 1800 4/14/2003 1400 7/10/2003 1375 7/24/2002 1725 10/21/2002 1050 1/16/2003 1800 4/15/2003 1375 7/11/2003 1375 7/25/2002 1750 10/22/2002 1025 1/17/2003 1775 4/16/2003 1450 7/14/2003 1400 7/26/2002 1700 10/23/2002 1025 1/20/2003 1750 4/17/2003 1425 7/15/2003 1400 7/29/2002 1750 10/24/2002 1025 1/21/2003 1750 4/18/2003 1425 7/16/2003 1350 7/30/2002 1800 10/25/2002 1025 1/22/2003 1750 4/21/2003 1425 7/17/2003 1375 7/31/2002 1825 10/28/2002 1050 1/23/2003 1775 4/22/2003 1450 7/18/2003 1375

8/1/2002 1800 10/29/2002 1050 1/24/2003 1750 4/23/2003 1550 7/21/2003 1375 8/2/2002 1750 10/30/2002 1150 1/27/2003 1725 4/24/2003 1500 7/22/2003 1350 8/5/2002 1750 10/31/2002 1225 1/28/2003 1725 4/25/2003 1475 7/23/2003 1350 8/6/2002 1625 11/1/2002 1275 1/29/2003 1700 4/28/2003 1475 7/24/2003 1350 8/7/2002 1650 11/4/2002 1325 1/30/2003 1775 4/29/2003 1525 7/25/2003 1325 8/8/2002 1625 11/5/2002 1250 1/31/2003 1725 4/30/2003 1525 7/28/2003 1350 8/9/2002 1650 11/6/2002 1275 2/3/2003 1750 5/1/2003 1525 7/29/2003 1375

8/12/2002 1650 11/7/2002 1225 2/4/2003 1725 5/2/2003 1575 7/30/2003 1375 8/13/2002 1650 11/8/2002 1225 2/5/2003 1750 5/5/2003 1600 7/31/2003 1375 8/14/2002 1650 11/11/2002 1175 2/6/2003 1725 5/6/2003 1600 8/1/2003 1350 8/15/2002 1625 11/12/2002 1250 2/7/2003 1750 5/7/2003 1625 8/4/2003 1350 8/16/2002 1650 11/13/2002 1325 2/10/2003 1725 5/8/2003 1575 8/5/2003 1325 8/19/2002 1650 11/14/2002 1325 2/11/2003 1725 5/9/2003 1575 8/6/2003 1350 8/20/2002 1700 11/15/2002 1325 2/12/2003 1725 5/12/2003 1575 8/7/2003 1375 8/21/2002 1725 11/18/2002 1225 2/13/2003 1725 5/13/2003 1575 8/8/2003 1400 8/22/2002 1725 11/19/2002 1250 2/14/2003 1700 5/14/2003 1550 8/11/2003 1400 8/23/2002 1725 11/20/2002 1275 2/17/2003 1700 5/15/2003 1550 8/12/2003 1400 8/26/2002 1675 11/21/2002 1250 2/18/2003 1675 5/16/2003 1550 8/13/2003 1400 8/27/2002 1650 11/22/2002 1275 2/19/2003 1600 5/19/2003 1475 8/14/2003 1400 8/28/2002 1625 11/25/2002 1275 2/20/2003 1500 5/20/2003 1500 8/15/2003 1450 8/29/2002 1625 11/26/2002 1275 2/21/2003 1500 5/21/2003 1525 8/18/2003 1450 8/30/2002 1650 11/27/2002 1275 2/24/2003 1500 5/22/2003 1525 8/19/2003 1450

9/2/2002 1625 11/28/2002 1275 2/25/2003 1500 5/23/2003 1550 8/20/2003 1450 9/3/2002 1550 11/29/2002 1250 2/26/2003 1475 5/26/2003 1550 8/21/2003 1425 9/4/2002 1450 12/2/2002 1250 2/27/2003 1425 5/27/2003 1550 8/22/2003 1475 9/5/2002 1500 12/3/2002 1325 2/28/2003 1375 5/28/2003 1575 8/25/2003 1450 9/6/2002 1500 12/4/2002 1375 3/3/2003 1375 5/29/2003 1600 8/26/2003 1475 9/9/2002 1475 12/5/2002 1375 3/4/2003 1350 5/30/2003 1600 8/27/2003 1475

Tanggal Harga 8/28/2003 1475 11/25/2003 1575 2/20/2004 1900 5/19/2004 2225 8/16/2004 2250 8/29/2003 1450 11/26/2003 1575 2/23/2004 1900 5/20/2004 2225 8/17/2004 2250

9/1/2003 1450 11/27/2003 1575 2/24/2004 1875 5/21/2004 2225 8/18/2004 2275 9/2/2003 1500 11/28/2003 1575 2/25/2004 1975 5/24/2004 2275 8/19/2004 2250 9/3/2003 1525 12/1/2003 1650 2/26/2004 2000 5/25/2004 2450 8/20/2004 2275 9/4/2003 1575 12/2/2003 1625 2/27/2004 2000 5/26/2004 2450 8/23/2004 2250 9/5/2003 1575 12/3/2003 1700 3/1/2004 2000 5/27/2004 2475 8/24/2004 2275 9/8/2003 1625 12/4/2003 1700 3/2/2004 2025 5/28/2004 2500 8/25/2004 2275 9/9/2003 1675 12/5/2003 1675 3/3/2004 1975 5/31/2004 2500 8/26/2004 2275

9/10/2003 1625 12/8/2003 1675 3/4/2004 1975 6/1/2004 2500 8/27/2004 2250 9/11/2003 1625 12/9/2003 1700 3/5/2004 2000 6/2/2004 2500 8/30/2004 2375 9/12/2003 1675 12/10/2003 1675 3/8/2004 2000 6/3/2004 2500 8/31/2004 2525 9/15/2003 1650 12/11/2003 1675 3/9/2004 2000 6/4/2004 2400 9/1/2004 2525 9/16/2003 1625 12/12/2003 1675 3/10/2004 1950 6/7/2004 2350 9/2/2004 2525 9/17/2003 1650 12/15/2003 1675 3/11/2004 1825 6/8/2004 2350 9/3/2004 2500 9/18/2003 1625 12/16/2003 1700 3/12/2004 1875 6/9/2004 2275 9/6/2004 2475 9/19/2003 1625 12/17/2003 1675 3/15/2004 1850 6/10/2004 2250 9/7/2004 2500 9/22/2003 1625 12/18/2003 1675 3/16/2004 1875 6/11/2004 2225 9/8/2004 2500 9/23/2003 1575 12/19/2003 1700 3/17/2004 1950 6/14/2004 2125 9/9/2004 2475 9/24/2003 1625 12/22/2003 1700 3/18/2004 1925 6/15/2004 2200 9/10/2004 2525 9/25/2003 1600 12/23/2003 1675 3/19/2004 1925 6/16/2004 2225 9/13/2004 2525 9/26/2003 1625 12/24/2003 1675 3/22/2004 1925 6/17/2004 2175 9/14/2004 2550 9/29/2003 1600 12/25/2003 1675 3/23/2004 1925 6/18/2004 2150 9/15/2004 2625 9/30/2003 1575 12/26/2003 1675 3/24/2004 1950 6/21/2004 2100 9/16/2004 2650 10/1/2003 1625 12/29/2003 1750 3/25/2004 1925 6/22/2004 2125 9/17/2004 2650 10/2/2003 1625 12/30/2003 1725 3/26/2004 1900 6/23/2004 2125 9/20/2004 2650 10/3/2003 1650 12/31/2003 1725 3/29/2004 1900 6/24/2004 2125 9/21/2004 2650 10/6/2003 1650 1/1/2004 1725 3/30/2004 1900 6/25/2004 2125 9/22/2004 2625 10/7/2003 1650 1/2/2004 1775 3/31/2004 1950 6/28/2004 2150 9/23/2004 2600 10/8/2003 1625 1/5/2004 1800 4/1/2004 1975 6/29/2004 2150 9/24/2004 2600 10/9/2003 1650 1/6/2004 1825 4/2/2004 1975 6/30/2004 2250 9/27/2004 2600

10/10/2003 1650 1/7/2004 1800 4/5/2004 1975 7/1/2004 2225 9/28/2004 2550 10/13/2003 1650 1/8/2004 1850 4/6/2004 1975 7/2/2004 2250 9/29/2004 2575 10/14/2003 1700 1/9/2004 1875 4/7/2004 1950 7/5/2004 2250 9/30/2004 2575 10/15/2003 1875 1/12/2004 1825 4/8/2004 2125 7/6/2004 2200 10/1/2004 2650 10/16/2003 1825 1/13/2004 1850 4/9/2004 2125 7/7/2004 2200 10/4/2004 2700 10/17/2003 1825 1/14/2004 1825 4/12/2004 2050 7/8/2004 2275 10/5/2004 2750 10/20/2003 1775 1/15/2004 1775 4/13/2004 2150 7/9/2004 2300 10/6/2004 2700 10/21/2003 1750 1/16/2004 1800 4/14/2004 2550 7/12/2004 2250 10/7/2004 2725 10/22/2003 1750 1/19/2004 1775 4/15/2004 2425 7/13/2004 2225 10/8/2004 2725 10/23/2003 1700 1/20/2004 1775 4/16/2004 2275 7/14/2004 2175 10/11/2004 2700 10/24/2003 1725 1/21/2004 1750 4/19/2004 2300 7/15/2004 2200 10/12/2004 2700 10/27/2003 1725 1/22/2004 1750 4/20/2004 2300 7/16/2004 2225 10/13/2004 2700 10/28/2003 1700 1/23/2004 1775 4/21/2004 2375 7/19/2004 2200 10/14/2004 2700 10/29/2003 1725 1/26/2004 1775 4/22/2004 2475 7/20/2004 2200 10/15/2004 2700 10/30/2003 1700 1/27/2004 1675 4/23/2004 2450 7/21/2004 2175 10/18/2004 2700 10/31/2003 1725 1/28/2004 1675 4/26/2004 2450 7/22/2004 2200 10/19/2004 2725 11/3/2003 1700 1/29/2004 1650 4/27/2004 2375 7/23/2004 2200 10/20/2004 2700 11/4/2003 1700 1/30/2004 1650 4/28/2004 2475 7/26/2004 2200 10/21/2004 2725 11/5/2003 1725 2/2/2004 1650 4/29/2004 2325 7/27/2004 2175 10/22/2004 2825 11/6/2003 1675 2/3/2004 1600 4/30/2004 2300 7/28/2004 2250 10/25/2004 2800 11/7/2003 1625 2/4/2004 1575 5/3/2004 2300 7/29/2004 2200 10/26/2004 2800

11/10/2003 1575 2/5/2004 1600 5/4/2004 2300 7/30/2004 2225 10/27/2004 2900 11/11/2003 1625 2/6/2004 1650 5/5/2004 2250 8/2/2004 2175 10/28/2004 2925 11/12/2003 1575 2/9/2004 1675 5/6/2004 2200 8/3/2004 2175 10/29/2004 2925 11/13/2003 1575 2/10/2004 1675 5/7/2004 2150 8/4/2004 2200 11/1/2004 2875 11/14/2003 1575 2/11/2004 1750 5/10/2004 2000 8/5/2004 2225 11/2/2004 2875 11/17/2003 1550 2/12/2004 1750 5/11/2004 2125 8/6/2004 2175 11/3/2004 2925 11/18/2003 1525 2/13/2004 1800 5/12/2004 2225 8/9/2004 2175 11/4/2004 2925 11/19/2003 1500 2/16/2004 1850 5/13/2004 2200 8/10/2004 2200 11/5/2004 2925 11/20/2003 1525 2/17/2004 1900 5/14/2004 2175 8/11/2004 2250 11/8/2004 2900 11/21/2003 1575 2/18/2004 1875 5/17/2004 2100 8/12/2004 2250 11/9/2004 2925 11/24/2003 1575 2/19/2004 1875 5/18/2004 2125 8/13/2004 2275 11/10/2004 3075

Tanggal Harga 11/11/2004 3050 2/8/2005 2875 5/6/2005 3550 8/3/2005 4200 10/31/2005 5400 11/12/2004 3050 2/9/2005 2875 5/9/2005 3650 8/4/2005 4175 11/1/2005 5500 11/15/2004 3050 2/10/2005 2875 5/10/2005 3600 8/5/2005 4225 11/2/2005 5500 11/16/2004 3050 2/11/2005 3000 5/11/2005 3500 8/8/2005 4200 11/3/2005 5500 11/17/2004 3050 2/14/2005 3000 5/12/2005 3475 8/9/2005 4200 11/4/2005 5500 11/18/2004 3050 2/15/2005 3025 5/13/2005 3500 8/10/2005 4200 11/7/2005 5500 11/19/2004 3050 2/16/2005 3050 5/16/2005 3525 8/11/2005 4150 11/8/2005 5500 11/22/2004 3050 2/17/2005 2975 5/17/2005 3550 8/12/2005 4075 11/9/2005 5450 11/23/2004 3050 2/18/2005 2975 5/18/2005 3500 8/15/2005 4000 11/10/2005 5500 11/24/2004 3050 2/21/2005 3125 5/19/2005 3500 8/16/2005 4000 11/11/2005 5450 11/25/2004 3025 2/22/2005 3125 5/20/2005 3500 8/17/2005 4000 11/14/2005 5450 11/26/2004 3100 2/23/2005 3100 5/23/2005 3500 8/18/2005 3975 11/15/2005 5350 11/29/2004 3150 2/24/2005 3150 5/24/2005 3500 8/19/2005 3800 11/16/2005 5300 11/30/2004 3300 2/25/2005 3100 5/25/2005 3550 8/22/2005 3775 11/17/2005 5350 12/1/2004 3300 2/28/2005 3100 5/26/2005 3625 8/23/2005 3825 11/18/2005 5300 12/2/2004 3275 3/1/2005 3125 5/27/2005 3625 8/24/2005 3850 11/21/2005 5300 12/3/2004 3250 3/2/2005 3100 5/30/2005 3575 8/25/2005 3975 11/22/2005 5300 12/6/2004 3275 3/3/2005 3100 5/31/2005 3650 8/26/2005 3875 11/23/2005 5250 12/7/2004 3200 3/4/2005 3100 6/1/2005 3600 8/29/2005 3725 11/24/2005 5250 12/8/2004 3150 3/7/2005 3200 6/2/2005 3650 8/30/2005 3950 11/25/2005 5350 12/9/2004 3075 3/8/2005 3500 6/3/2005 3650 8/31/2005 4075 11/28/2005 5350

12/10/2004 3025 3/9/2005 3600 6/6/2005 3575 9/1/2005 3975 11/29/2005 5500 12/13/2004 3000 3/10/2005 3575 6/7/2005 3500 9/2/2005 3975 11/30/2005 5500 12/14/2004 2975 3/11/2005 3575 6/8/2005 3475 9/5/2005 4100 12/1/2005 5350 12/15/2004 3050 3/14/2005 3675 6/9/2005 3475 9/6/2005 4275 12/2/2005 5700 12/16/2004 3100 3/15/2005 3975 6/10/2005 3500 9/7/2005 4400 12/5/2005 5750 12/17/2004 3150 3/16/2005 4200 6/13/2005 3625 9/8/2005 4425 12/6/2005 5800 12/20/2004 3275 3/17/2005 4175 6/14/2005 3650 9/9/2005 4400 12/7/2005 5800 12/21/2004 3250 3/18/2005 4200 6/15/2005 3725 9/12/2005 4450 12/8/2005 5850 12/22/2004 3125 3/21/2005 4000 6/16/2005 3700 9/13/2005 4450 12/9/2005 5600 12/23/2004 3175 3/22/2005 3950 6/17/2005 3725 9/14/2005 4450 12/12/2005 5600 12/24/2004 3175 3/23/2005 3825 6/20/2005 3775 9/15/2005 4475 12/13/2005 5650 12/27/2004 3150 3/24/2005 3675 6/21/2005 3900 9/16/2005 4575 12/14/2005 5700 12/28/2004 3125 3/25/2005 3675 6/22/2005 4000 9/19/2005 4650 12/15/2005 5600 12/29/2004 3075 3/28/2005 3775 6/23/2005 3925 9/20/2005 4625 12/16/2005 5500 12/30/2004 3100 3/29/2005 3700 6/24/2005 3950 9/21/2005 4600 12/19/2005 5450 12/31/2004 3100 3/30/2005 3700 6/27/2005 3900 9/22/2005 4625 12/20/2005 5450

1/3/2005 3075 3/31/2005 4000 6/28/2005 3925 9/23/2005 4650 12/21/2005 5450 1/4/2005 3175 4/1/2005 3925 6/29/2005 3975 9/26/2005 4675 12/22/2005 5300 1/5/2005 3125 4/4/2005 3900 6/30/2005 3975 9/27/2005 4950 12/23/2005 5150 1/6/2005 3150 4/5/2005 3825 7/1/2005 3925 9/28/2005 4900 12/26/2005 5150 1/7/2005 3125 4/6/2005 3975 7/4/2005 3850 9/29/2005 4950 12/27/2005 5200

1/10/2005 3100 4/7/2005 4000 7/5/2005 3825 9/30/2005 5125 12/28/2005 5000 1/11/2005 3075 4/8/2005 3975 7/6/2005 3875 10/3/2005 5150 12/29/2005 4900 1/12/2005 3075 4/11/2005 3975 7/7/2005 3925 10/4/2005 5650 12/30/2005 4900 1/13/2005 3025 4/12/2005 4100 7/8/2005 4050 10/5/2005 5550 1/2/2006 5050 1/14/2005 3050 4/13/2005 4100 7/11/2005 4050 10/6/2005 5400 1/3/2006 5100 1/17/2005 3025 4/14/2005 4150 7/12/2005 4025 10/7/2005 5650 1/4/2006 5150 1/18/2005 3000 4/15/2005 4050 7/13/2005 4000 10/10/2005 5500 1/5/2006 5200 1/19/2005 3075 4/18/2005 3975 7/14/2005 3950 10/11/2005 5450 1/6/2006 5150 1/20/2005 3025 4/19/2005 3925 7/15/2005 3950 10/12/2005 5500 1/9/2006 5250 1/21/2005 3025 4/20/2005 3950 7/18/2005 3950 10/13/2005 5500 1/10/2006 5250 1/24/2005 3025 4/21/2005 3850 7/19/2005 3950 10/14/2005 5550 1/11/2006 5200 1/25/2005 3000 4/22/2005 3850 7/20/2005 4050 10/17/2005 5550 1/12/2006 5100 1/26/2005 3050 4/25/2005 3850 7/21/2005 4125 10/18/2005 5500 1/13/2006 5150 1/27/2005 3000 4/26/2005 3775 7/22/2005 4100 10/19/2005 5650 1/16/2006 5000 1/28/2005 3000 4/27/2005 3625 7/25/2005 4050 10/20/2005 5550 1/17/2006 5000 1/31/2005 3000 4/28/2005 3600 7/26/2005 4150 10/21/2005 5500 1/18/2006 4950

2/1/2005 2950 4/29/2005 3600 7/27/2005 4100 10/24/2005 5400 1/19/2006 5000 2/2/2005 2975 5/2/2005 3550 7/28/2005 4100 10/25/2005 5350 1/20/2006 5000 2/3/2005 2950 5/3/2005 3400 7/29/2005 4125 10/26/2005 5300 1/23/2006 5000 2/4/2005 2950 5/4/2005 3550 8/1/2005 4125 10/27/2005 5250 1/24/2006 5100 2/7/2005 2875 5/5/2005 3550 8/2/2005 4150 10/28/2005 5250 1/25/2006 5150

Tanggal Harga 1/26/2006 5150 4/25/2006 6600 7/21/2006 7550 10/31/2006 9750 1/31/2007 13200 1/27/2006 5100 4/26/2006 6750 7/24/2006 7650 11/1/2006 9850 2/1/2007 12800 1/30/2006 5050 4/27/2006 6750 7/25/2006 8050 11/2/2006 10100 2/2/2007 12800 1/31/2006 5050 4/28/2006 6600 7/26/2006 8750 11/3/2006 10550 2/5/2007 12900

2/1/2006 5100 5/1/2006 6750 7/27/2006 8650 11/6/2006 10550 2/6/2007 12850 2/2/2006 5550 5/2/2006 6700 7/28/2006 8400 11/7/2006 10500 2/7/2007 12900 2/3/2006 5600 5/3/2006 6600 7/31/2006 8350 11/8/2006 10200 2/8/2007 12900 2/6/2006 5750 5/4/2006 6600 8/1/2006 8300 11/9/2006 10200 2/9/2007 13000 2/7/2006 5750 5/5/2006 6700 8/2/2006 8300 11/10/2006 10300 2/12/2007 12700 2/8/2006 5800 5/8/2006 6650 8/3/2006 8250 11/13/2006 10100 2/13/2007 12550 2/9/2006 5900 5/9/2006 7000 8/4/2006 8250 11/14/2006 10500 2/14/2007 12700

2/10/2006 5900 5/10/2006 6900 8/7/2006 8400 11/15/2006 10500 2/15/2007 13350 2/13/2006 5900 5/11/2006 7150 8/8/2006 8650 11/16/2006 10450 2/16/2007 13400 2/14/2006 5900 5/12/2006 7000 8/9/2006 8900 11/17/2006 10300 2/20/2007 13400 2/15/2006 6200 5/15/2006 6500 8/10/2006 8600 11/20/2006 10300 2/21/2007 13350 2/16/2006 6300 5/16/2006 6500 8/11/2006 8500 11/21/2006 10400 2/22/2007 13550 2/17/2006 6150 5/17/2006 6500 8/14/2006 8500 11/22/2006 10800 2/23/2007 13400 2/20/2006 6150 5/18/2006 6450 8/15/2006 8500 11/23/2006 10600 2/26/2007 13250 2/21/2006 5800 5/19/2006 6700 8/16/2006 8450 11/24/2006 10600 2/27/2007 12900 2/22/2006 5850 5/22/2006 6250 8/22/2006 8400 11/27/2006 10800 2/28/2007 12550 2/23/2006 5900 5/23/2006 6000 8/23/2006 8600 11/28/2006 10500 3/1/2007 12600 2/24/2006 6000 5/24/2006 6700 8/24/2006 8800 11/29/2006 10550 3/2/2007 12600 2/27/2006 6150 5/25/2006 6700 8/25/2006 9050 11/30/2006 10650 3/5/2007 12050 2/28/2006 5900 5/26/2006 6700 8/28/2006 9050 12/1/2006 11500 3/6/2007 12100

3/1/2006 5900 5/29/2006 6550 8/29/2006 9050 12/4/2006 11150 3/7/2007 12300 3/2/2006 5950 5/30/2006 6600 8/30/2006 8800 12/5/2006 11350 3/8/2007 12450 3/3/2006 5950 5/31/2006 6500 8/31/2006 9200 12/6/2006 11300 3/9/2007 12250 3/6/2006 5800 6/1/2006 6750 9/1/2006 9600 12/7/2006 11350 3/12/2007 12500 3/7/2006 5800 6/2/2006 6950 9/4/2006 9550 12/8/2006 11150 3/13/2007 12500 3/8/2006 5850 6/5/2006 7000 9/5/2006 9450 12/11/2006 11250 3/14/2007 12250 3/9/2006 6250 6/6/2006 6650 9/6/2006 9300 12/12/2006 11300 3/15/2007 12300

3/10/2006 6250 6/7/2006 6650 9/7/2006 9100 12/13/2006 11000 3/16/2007 12200 3/13/2006 6250 6/8/2006 6450 9/8/2006 8900 12/14/2006 10950 3/20/2007 11900 3/14/2006 6200 6/9/2006 6350 9/11/2006 8800 12/15/2006 11100 3/21/2007 12050 3/15/2006 6200 6/12/2006 6500 9/12/2006 8400 12/18/2006 11450 3/22/2007 12150 3/16/2006 6150 6/13/2006 6400 9/13/2006 8700 12/19/2006 10950 3/23/2007 12150 3/17/2006 6200 6/14/2006 6350 9/14/2006 9000 12/20/2006 11500 3/26/2007 12700 3/20/2006 6150 6/15/2006 6000 9/15/2006 9000 12/21/2006 12050 3/27/2007 12700 3/21/2006 6200 6/16/2006 6500 9/18/2006 8850 12/22/2006 12000 3/28/2007 12450 3/22/2006 6200 6/19/2006 6650 9/19/2006 8900 12/26/2006 12300 3/29/2007 12550 3/23/2006 6150 6/20/2006 6700 9/20/2006 8800 12/27/2006 12550 3/30/2007 12600 3/24/2006 6150 6/21/2006 6850 9/21/2006 8750 12/28/2006 12600 4/2/2007 13000 3/27/2006 6250 6/22/2006 6700 9/22/2006 8700 1/2/2007 12800 4/3/2007 13550 3/28/2006 6150 6/23/2006 6700 9/25/2006 8700 1/3/2007 13000 4/4/2007 13750 3/29/2006 6200 6/26/2006 6500 9/26/2006 8700 1/4/2007 12850 4/5/2007 13650 3/30/2006 6150 6/27/2006 6450 9/27/2006 8800 1/5/2007 12450 4/9/2007 13950 3/31/2006 6150 6/28/2006 6400 9/28/2006 9050 1/8/2007 12250 4/10/2007 14250

4/3/2006 6300 6/29/2006 6400 9/29/2006 9100 1/9/2007 11800 4/11/2007 13800 4/4/2006 6100 6/30/2006 6500 10/2/2006 8900 1/10/2007 11500 4/12/2007 14250 4/5/2006 6100 7/3/2006 6500 10/3/2006 9300 1/11/2007 11750 4/13/2007 14200 4/6/2006 6200 7/4/2006 6700 10/4/2006 9100 1/12/2007 12050 4/16/2007 14450 4/7/2006 6100 7/5/2006 6950 10/5/2006 9050 1/15/2007 12700 4/17/2007 14750

4/10/2006 6100 7/6/2006 7000 10/6/2006 9200 1/16/2007 13400 4/18/2007 14600 4/11/2006 6200 7/7/2006 7000 10/9/2006 9100 1/17/2007 13600 4/19/2007 14050 4/12/2006 6200 7/10/2006 6900 10/11/2006 9250 1/18/2007 14200 4/20/2007 14100 4/13/2006 6100 7/11/2006 6800 10/12/2006 9100 1/19/2007 13900 4/23/2007 14700 4/14/2006 6100 7/12/2006 6950 10/13/2006 9100 1/22/2007 14400 4/24/2007 14550 4/17/2006 6100 7/13/2006 6950 10/16/2006 9100 1/23/2007 14100 4/26/2007 16200 4/18/2006 6250 7/14/2006 6850 10/17/2006 9050 1/24/2007 13950 4/27/2007 15600 4/19/2006 6300 7/17/2006 6800 10/18/2006 9000 1/25/2007 13100 4/30/2007 15750 4/20/2006 6500 7/18/2006 6750 10/19/2006 9000 1/26/2007 12950 5/1/2007 15900 4/21/2006 6600 7/19/2006 7100 10/20/2006 9400 1/29/2007 13500 5/2/2007 15950 4/24/2006 6400 7/20/2006 7400 10/30/2006 9900 1/30/2007 13500 5/3/2007 15600

Tanggal Harga 5/4/2007 15450 8/8/2007 14600 11/12/2007 23550 2/21/2008 31850 5/29/2008 26700 5/7/2007 15050 8/9/2007 14700 11/13/2007 22900 2/22/2008 32400 5/30/2008 26450 5/8/2007 14850 8/10/2007 14550 11/14/2007 23000 2/25/2008 34000 6/2/2008 25700 5/9/2007 14850 8/14/2007 14500 11/15/2007 22800 2/26/2008 33250 6/3/2008 25050

5/10/2007 15000 8/15/2007 13300 11/16/2007 22750 2/27/2008 32350 6/4/2008 24700 5/11/2007 14800 8/16/2007 12250 11/19/2007 22700 2/28/2008 31950 6/5/2008 24350 5/14/2007 14900 8/20/2007 13450 11/20/2007 21500 2/29/2008 31600 6/6/2008 24450 5/15/2007 14850 8/21/2007 13050 11/21/2007 21200 3/3/2008 32100 6/10/2008 24850 5/16/2007 14700 8/22/2007 13400 11/22/2007 21200 3/4/2008 32250 6/11/2008 25350 5/21/2007 14350 8/23/2007 13600 11/23/2007 21950 3/5/2008 32150 6/12/2008 26950 5/22/2007 14400 8/24/2007 13900 11/26/2007 23500 3/6/2008 32250 6/13/2008 27300 5/23/2007 14850 8/27/2007 14250 11/27/2007 24050 3/10/2008 29450 6/16/2008 27450 5/24/2007 14500 8/28/2007 14250 11/28/2007 23800 3/11/2008 28600 6/17/2008 26600 5/25/2007 14450 8/29/2007 14050 11/29/2007 23900 3/12/2008 28600 6/18/2008 26350 5/28/2007 14550 8/30/2007 14400 11/30/2007 25450 3/13/2008 26000 6/19/2008 28050 5/29/2007 14600 8/31/2007 14300 12/3/2007 27000 3/14/2008 24600 6/20/2008 29700 5/30/2007 15000 9/3/2007 14350 12/4/2007 27100 3/18/2008 24300 6/23/2008 30250 5/31/2007 15100 9/4/2007 14600 12/5/2007 26350 3/19/2008 25000 6/24/2008 29750

6/4/2007 15750 9/5/2007 14700 12/6/2007 26250 3/25/2008 26950 6/25/2008 27900 6/5/2007 15650 9/6/2007 15050 12/7/2007 25500 3/26/2008 26600 6/26/2008 28200 6/6/2007 15250 9/7/2007 15050 12/10/2007 25800 3/27/2008 26700 6/27/2008 28800 6/7/2007 15300 9/10/2007 14800 12/11/2007 25850 3/28/2008 26750 6/30/2008 29550 6/8/2007 15350 9/11/2007 15150 12/12/2007 25800 3/31/2008 25850 7/1/2008 29400

6/11/2007 15300 9/12/2007 14950 12/13/2007 25800 4/1/2008 23950 7/2/2008 29500 6/12/2007 14900 9/13/2007 15100 12/14/2007 25550 4/2/2008 22800 7/3/2008 28450 6/13/2007 14800 9/14/2007 15550 12/17/2007 24350 4/3/2008 20750 7/4/2008 28000 6/14/2007 14100 9/17/2007 15550 12/18/2007 24050 4/4/2008 21200 7/7/2008 27500 6/15/2007 13800 9/18/2007 15700 12/19/2007 24450 4/7/2008 23000 7/8/2008 26550 6/18/2007 13600 9/19/2007 16050 12/26/2007 26250 4/8/2008 23500 7/9/2008 26600 6/19/2007 13600 9/20/2007 15800 12/27/2007 27650 4/9/2008 23000 7/10/2008 26900 6/20/2007 14450 9/21/2007 17500 12/28/2007 28000 4/10/2008 24800 7/11/2008 27100 6/21/2007 14250 9/24/2007 17250 1/2/2008 28350 4/11/2008 25600 7/14/2008 26350 6/22/2007 14200 9/25/2007 16700 1/3/2008 29650 4/14/2008 25950 7/15/2008 25750 6/25/2007 14100 9/26/2007 16700 1/4/2008 30100 4/15/2008 26300 7/16/2008 25300 6/26/2007 13900 9/27/2007 16700 1/7/2008 29650 4/16/2008 26400 7/17/2008 23900 6/27/2007 13700 9/28/2007 16800 1/8/2008 29700 4/17/2008 25750 7/18/2008 21300 6/28/2007 13450 10/1/2007 17050 1/9/2008 32950 4/18/2008 25550 7/21/2008 22100 6/29/2007 13750 10/2/2007 17950 1/14/2008 33000 4/21/2008 25100 7/22/2008 21900

7/2/2007 13900 10/3/2007 18250 1/15/2008 33150 4/22/2008 24900 7/23/2008 20400 7/3/2007 14100 10/4/2007 18250 1/16/2008 30350 4/23/2008 25100 7/24/2008 20200 7/4/2007 13850 10/5/2007 17850 1/17/2008 31350 4/24/2008 23800 7/25/2008 21750 7/5/2007 13850 10/8/2007 18000 1/18/2008 30550 4/25/2008 23200 7/28/2008 21850 7/6/2007 13950 10/9/2007 18150 1/21/2008 29400 4/28/2008 23900 7/29/2008 21200 7/9/2007 14100 10/10/2007 18950 1/22/2008 27000 4/29/2008 24300 7/31/2008 21900

7/10/2007 14200 10/11/2007 19000 1/23/2008 29650 4/30/2008 23700 8/1/2008 21250 7/11/2007 14650 10/17/2007 19700 1/24/2008 28950 5/2/2008 23600 8/4/2008 21050 7/12/2007 14850 10/18/2007 19400 1/25/2008 29900 5/5/2008 23900 8/5/2008 20200 7/13/2007 14900 10/19/2007 18700 1/28/2008 28850 5/6/2008 24000 8/6/2008 19200 7/17/2007 15050 10/22/2007 18150 1/29/2008 30050 5/7/2008 24700 8/7/2008 18900 7/18/2007 14950 10/23/2007 19050 1/30/2008 30450 5/8/2008 24450 8/8/2008 18500 7/19/2007 14900 10/24/2007 18950 1/31/2008 30200 5/9/2008 24450 8/11/2008 17600 7/20/2007 14950 10/25/2007 20100 2/1/2008 32050 5/12/2008 24500 8/12/2008 16100 7/23/2007 15450 10/26/2007 22100 2/4/2008 32500 5/13/2008 24900 8/13/2008 16000 7/24/2007 15500 10/29/2007 23650 2/5/2008 31200 5/14/2008 25500 8/14/2008 17700 7/25/2007 15350 10/30/2007 22900 2/6/2008 30500 5/15/2008 25250 8/15/2008 16600 7/26/2007 15250 10/31/2007 22500 2/11/2008 29500 5/16/2008 25800 8/19/2008 15950 7/27/2007 14900 11/1/2007 23250 2/12/2008 29800 5/19/2008 26900 8/20/2008 16300 7/31/2007 15350 11/2/2007 22950 2/13/2008 28850 5/21/2008 26350 8/21/2008 17000

8/1/2007 14800 11/5/2007 22700 2/14/2008 29600 5/22/2008 26700 8/22/2008 18200 8/2/2007 15000 11/6/2007 22700 2/15/2008 30200 5/23/2008 26400 8/25/2008 18050 8/3/2007 15100 11/7/2007 23800 2/18/2008 30800 5/26/2008 25850 8/26/2008 17650 8/6/2007 14700 11/8/2007 23750 2/19/2008 31700 5/27/2008 26050 8/27/2008 17550 8/7/2007 14100 11/9/2007 23600 2/20/2008 31800 5/28/2008 26150 8/28/2008 18100

Tanggal Harga 8/29/2008 17950 12/5/2008 7900 3/16/2009 12350 6/17/2009 17850

9/1/2008 18200 12/9/2008 8250 3/17/2009 12200 6/18/2009 16700 9/2/2008 17800 12/10/2008 9200 3/18/2009 12500 6/19/2009 16700 9/3/2008 16650 12/11/2008 9800 3/19/2009 12450 6/22/2009 16600 9/4/2008 16800 12/12/2008 9100 3/20/2009 12350 6/23/2009 17500 9/5/2008 16100 12/15/2008 10050 3/23/2009 12900 6/24/2009 17800 9/8/2008 15950 12/16/2008 9700 3/24/2009 13700 6/25/2009 17800 9/9/2008 14250 12/17/2008 9850 3/25/2009 13500 6/26/2009 17500

9/10/2008 12900 12/18/2008 9850 3/27/2009 14250 6/29/2009 17100 9/11/2008 12800 12/19/2008 9700 3/30/2009 13850 6/30/2009 16850 9/12/2008 12750 12/22/2008 9800 3/31/2009 14100 9/15/2008 12200 12/23/2008 9900 4/1/2009 14550 9/16/2008 12150 12/24/2008 9850 4/2/2009 15400 9/17/2008 12000 12/26/2008 9800 4/3/2009 15550 9/18/2008 12900 12/30/2008 9800 4/6/2009 15850 9/19/2008 14000 1/5/2009 11750 4/7/2009 15400 9/22/2008 14500 1/6/2009 12300 4/8/2009 14500 9/23/2008 14700 1/7/2009 11700 4/13/2009 15350 9/24/2008 14350 1/8/2009 10850 4/14/2009 14950 9/25/2008 13800 1/9/2009 11850 4/15/2009 15250 9/26/2008 13250 1/12/2009 11700 4/16/2009 15200 9/29/2008 12950 1/13/2009 11050 4/17/2009 15050 10/6/2008 10000 1/14/2009 11300 4/20/2009 15050 10/7/2008 9900 1/15/2009 10750 4/21/2009 14950 10/8/2008 8400 1/16/2009 11000 4/22/2009 14750

10/14/2008 9550 1/19/2009 11250 4/23/2009 15050 10/15/2008 9300 1/20/2009 11250 4/24/2009 15850 10/16/2008 8400 1/21/2009 11300 4/27/2009 15700 10/17/2008 7600 1/22/2009 11100 4/28/2009 15500 10/20/2008 7650 1/23/2009 10750 4/29/2009 15450 10/21/2008 7400 1/27/2009 11200 4/30/2009 15800 10/22/2008 6750 1/28/2009 11050 5/1/2009 17200 10/23/2008 6250 1/29/2009 11000 5/4/2009 18100 10/24/2008 5650 1/30/2009 10900 5/5/2009 18000 10/27/2008 5100 2/2/2009 10850 5/6/2009 18300 10/28/2008 4600 2/3/2009 10700 5/7/2009 19500 10/29/2008 4700 2/4/2009 10800 5/8/2009 19150 10/30/2008 5150 2/5/2009 10800 5/11/2009 18700 10/31/2008 6050 2/6/2009 12100 5/12/2009 18400 11/3/2008 7250 2/9/2009 12800 5/13/2009 18450 11/4/2008 8050 2/10/2009 12300 5/14/2009 16900 11/5/2008 8250 2/11/2009 12550 5/15/2009 17800 11/6/2008 8000 2/12/2009 12100 5/18/2009 18100 11/7/2008 8550 2/13/2009 12300 5/19/2009 18900

11/10/2008 8200 2/16/2009 12150 5/20/2009 18950 11/11/2008 8100 2/17/2009 12200 5/22/2009 18550 11/12/2008 7950 2/18/2009 12200 5/25/2009 18650 11/13/2008 7500 2/19/2009 12100 5/26/2009 17800 11/14/2008 7100 2/20/2009 12100 5/27/2009 17650 11/17/2008 6850 2/23/2009 12300 5/28/2009 17750 11/18/2008 6600 2/24/2009 12300 5/29/2009 17800 11/19/2008 6700 2/25/2009 13000 6/1/2009 18500 11/20/2008 6450 2/26/2009 12900 6/2/2009 18500 11/21/2008 6550 2/27/2009 12850 6/3/2009 18700 11/24/2008 6550 3/2/2009 12850 6/4/2009 18650 11/25/2008 6650 3/3/2009 12700 6/5/2009 19250 11/26/2008 7100 3/4/2009 12800 6/8/2009 18900 11/27/2008 7350 3/5/2009 12700 6/9/2009 18700 11/28/2008 8450 3/6/2009 11850 6/10/2009 18650 12/1/2008 8150 3/10/2009 12250 6/11/2009 18700 12/2/2008 7900 3/11/2009 12550 6/12/2009 18600 12/3/2008 8050 3/12/2009 12500 6/15/2009 18450 12/4/2008 8050 3/13/2009 12900 6/16/2009 17900

Lampiran 3:Program Aplikasi Pada Harga Saham Matahari Putra Prima Tbk Program 3.1

J1=[%harga saham MPPA harian%]; J2=price2ret(J1); plot(J1) plot(J2) autocorr(J2) parcorr(J2) spec=garchset('R',1,'M',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest(innovations,[7 14

20],0.05) autocorr(innovations.^2) parcorr(innovations.^2) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations.^2),[7 14

20],0.05) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest(innovations,[7 14

20],0.05)

Program 3.2

J1=[%harga saham MPPA harian%]; J2=price2ret(J1); spec=garchset('R',1,'M',1,'P',1,'Q',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,

CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma).^2,[7 14 20],0.05)

[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) J3=[750 770 760 750 760 750 760 770 770 760 770 760 760 760 750 760 820]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,J2,16)

J4=ret2price(yFcast,750) J5=(J3-J4).^2 SSE=sum(J5) Program 3.3 J1=[%harga saham MPPA harian%]; J2=price2ret(J1); spec=garchset('R',1,'M',1,'P',0,'Q',3) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) J3=[750 770 760 750 760 750 760 770 770 760 770 760 760 760 750 760 820]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,J2,16) J4=ret2price(yFcast,750) J5=(J3-J4).^2 SSE=sum(J5) Program 3.4 J1=[%harga saham MPPA harian%]; J2=price2ret(J1); spec=garchset('R',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest(innovations,[7 14

20],0.05) autocorr(innovations) parcorr(innovations) autocorr(innovations.^2) parcorr(innovations.^2)

[H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations.^2),[7 14 20],0.05)

[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest(innovations,[7 14 20],0.05)

Program 3.5 J1=[%harga saham MPPA harian%]; spec=garchset('M',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest(innovations,[7 14



20],0.05) Program 3.6 J1=[%harga saham MPPA harian%]; J2=price2ret(J1); spec=garchset('M',1,'P',1,'Q',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) J3=[750 770 760 750 760 750 760 770 770 760 770 760 760 760 750 760 820]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,J2,16) J4=ret2price(yFcast,750)

J5=(J3-J4).^2 SSE=sum(J5)

Program 3.7

J1=[%harga saham MPPA harian%]; J2=price2ret(J1); spec=garchset('M',1,'P',0,'Q',3) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,J2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) J3=[750 770 760 750 760 750 760 770 770 760 770 760 760 760 750 760 820]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,J2,16) J4=ret2price(yFcast,750) J5=(J3-J4).^2 SSE=sum(J5)

Lampiran 4:Program Aplikasi Pada Harga Saham ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk

Program 4.1

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); plot(G1) plot(G2) autocorr(G2) parcorr(G2) spec=garchset('R',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest(innovations,[7 14



20],0.05) Program 4.2 G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('R',1,'P',1,'Q',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) G3=[17500 17450 17450 17100 17200 16850 16650 16000 16300 16800 16600 16550 18450 18000 17900]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,G2,14) G4=ret2price(yFcast,17500)

G5=(G3-G4).^2 SSE=sum(G5)

Program 4.3

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('R',1,'P',2,'Q',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) G3=[17500 17450 17450 17100 17200 16850 16650 16000 16300 16800 16600 16550 18450 18000 17900]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,G2,14) G4=ret2price(yFcast,17500) G5=(G3-G4).^2 SSE=sum(G5)

Program 4.4

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('R',1,'P',1,'Q',2) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors)

Program 4.5


Program 4.6


Program 4.7

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('M',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest(innovations,[7 14



20],0.05) Program 4.8 G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('M',1,'P',1,'Q',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) G3=[17500 17450 17450 17100 17200 16850 16650 16000 16300 16800 16600 16550 18450 18000 17900]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,G2,14)

G4=ret2price(yFcast,17500) G5=(G3-G4).^2 SSE=sum(G5)

Program 4.9

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('M',1,'P',2,'Q',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors) [H, pValue, Stat, CriticalValue]=lbqtest((innovations./sigma),[7

14 20],0.05) [H, pValue, Stat,


[H, pValue, Stat, CriticalValue]=archtest((innovations./sigma),[7 14 20],0.05) G3=[17500 17450 17450 17100 17200 16850 16650 16000 16300 16800 16600 16550 18450 18000 17900]; [sFcast yFcast]=garchpred(coeff,G2,14) G4=ret2price(yFcast,17500) G5=(G3-G4).^2 SSE=sum(G5)

Program 4.10

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('M',1,'P',1,'Q',2) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors)

Program 4.11

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('M',1,'P',2,'Q',2)

[coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors)

Program 4.12

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('M',1,'P',3,'Q',5) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors)

Program 4.13

G1=[%harga saham AALI harian%]; G2=price2ret(G1); spec=garchset('R',1,'M',1) [coeff, errors, LLF,innovations, sigma, summary]=garchfit(spec,G2) garchdisp(coeff, errors)

Lampiran 5:Hasil Perhitungan MATLAB Pada Harga Saham Matahari Putra Prima Tbk

Hasil 5.1

Hasil 5.2

Hasil 5.3

Mean: ARMAX 1,1,0 ; Variance: GARCH 0,0 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 4 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 8.7594e‐005 0.00038055 0.2302 AR 1 0.30089 0.1076 2.7963 MA 1 ‐0.44029 0.098763 ‐4.4580 K 0.0010131 1.5327e‐005 66.0963

H 0 0 0pValue 0.1868 0.2083 0.2823 Stat 10.0318 17.9674 23.1339 CriticalValue 14.0671 23.6848 31.4104

H 1 1 1pValue 1.0e‐011 * 0.0000 0.0082 0.3773 Stat 87.4920 93.5251 97.3304 CriticalValue 14.0671 23.6848 31.4104

Hasil 5.4

Hasil 5.5

Hasil 5.6

Hasil 5.7


Mean: ARMAX 1,1,0 ; Variance: GARCH 1,1 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 6 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 2.3277e‐005 0.00034947 0.0666 AR 1 0.29832 0.14344 2.0798 MA 1 ‐0.44708 0.13089 ‐3.4158 K 0.0002709 2.4711e‐005 10.9625 GARCH 1 0.57958 0.033289 17.4106 ARCH 1 0.16197 0.015082 10.7392



Hasil 5.8

Hasil 5.9

Hasil 5.10

Mean: ARMAX 1,1,0 ; Variance: GARCH 0,3 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 7 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 3.3181e‐006 0.00036455 0.0091 AR 1 0.29488 0.13188 2.2360 MA 1 ‐0.4485 0.11887 ‐3.7731 K 0.00071008 1.98e‐005 35.8620 ARCH 1 0.17791 0.02048 8.6870 ARCH 2 0.05651 0.013288 4.2525 ARCH 3 0.082305 0.012068 6.8198



Hasil 5.11

Hasil 5.12

Hasil 5.13

Hasil 5.14


Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 0,0 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 3 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0001469 0.00068091 0.2157 AR 1 ‐0.13481 0.016925 ‐7.9652 K 0.0010159 1.5173e‐005 66.9555



Hasil 5.15

Hasil 5.16

Hasil 5.17

Hasil 5.18

Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 0,0 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 3 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.00012875 0.00058012 0.2219 MA 1 ‐0.14639 0.016434 ‐8.9075 K 0.0010143 1.5113e‐005 67.1157




Hasil 5.19

Hasil 5.20

Hasil 5.21

Hasil 5.22

Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 1,1 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 5 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 4.9917e‐005 0.00052807 0.0945 MA 1 ‐0.15727 0.025371 ‐6.1989 K 0.00025814 2.3715e‐005 10.8848 GARCH 1 0.59727 0.032615 18.3131 ARCH 1 0.1565 0.014783 10.5863




Hasil 5.23

Hasil 5.24

Hasil 5.25


Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 0,3 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 6 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 1.8582e‐005 0.0005465 0.0340 MA 1 ‐0.16387 0.02618 ‐6.2592 K 0.00071081 1.9898e‐005 35.7228 ARCH 1 0.16849 0.020356 8.2771 ARCH 2 0.05691 0.013215 4.3064 ARCH 3 0.090096 0.011951 7.5386


Hasil 5.26


Lampiran 6:Hasil Perhitungan MATLAB Pada Harga Saham ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk

Hasil 6.1

Hasil 6.2

Hasil 6.3

Hasil 6.4

Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 0,0 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 3 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0014571 0.00075458 1.9310 AR 1 0.10093 0.013454 7.5020 K 0.0011663 1.8541e‐005 62.9032


H 1 1 1pValue 0 0 0 Stat 271.6948 540.6625 770.6454 CriticalValue 14.0671 23.6848 31.4104


Hasil 6.5

Hasil 6.6

Hasil 6.7

Hasil 6.8

Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 1,1 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 5 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0020184 0.00064749 3.1173 AR 1 0.065091 0.020541 3.1688 K 1.3289e‐005 2.045e‐006 6.4984 GARCH 1 0.92253 0.0057814 159.5685 ARCH 1 0.067155 0.0058368 11.5055




Hasil 6.9

Hasil 6.10

Hasil 6.11

Hasil 6.12

Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 2,1 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 6 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0019809 0.00064359 3.0779 AR 1 0.062809 0.021405 2.9344 K 1.9289e‐005 3.4105e‐006 5.6557 GARCH 1 0.40476 0.1301 3.1112 GARCH 2 0.47891 0.11931 4.0141 ARCH 1 0.10166 0.013457 7.5546




Hasil 6.13

Hasil 6.14

Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 1,2 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 6 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0020189 0.00064823 3.1146 AR 1 0.065086 0.021559 3.0190 K 1.3288e‐005 2.2422e‐006 5.9263 GARCH 1 0.92253 0.0067524 136.6224 ARCH 1 0.067147 0.016783 4.0009 ARCH 2 0 0.018467 0.0000

Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 2,2 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 7 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0020283 0.00064573 3.1410 AR 1 0.061318 0.02131 2.8774 K 2.4412e‐005 3.7764e‐006 6.4643 GARCH 1 0.063208 0.065058 0.9716 GARCH 2 0.79265 0.060409 13.1215 ARCH 1 0.095993 0.013917 6.8978 ARCH 2 0.029606 0.013769 2.1502

Hasil 6.15

Hasil 6. 16

Hasil 6.17

Mean: ARMAX 1,0,0 ; Variance: GARCH 3,5 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 11 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0018975 0.00061846 3.0680 AR 1 0.058478 0.023785 2.4586 K 2.3626e‐005 5.7106e‐006 4.1371 GARCH 1 0.23624 0.20427 1.1565 GARCH 2 0 0.14721 0.0000 GARCH 3 0.59749 0.11977 4.9885 ARCH 1 0.1505 0.023008 6.5413 ARCH 2 0 0.033323 0.0000 ARCH 3 0 0.02242 0.0000 ARCH 4 0 0.030957 0.0000 ARCH 5 0 0.02391 0.0000

Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 0,0 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 3 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0016208 0.00082771 1.9582 MA 1 0.097255 0.013701 7.0986 K 0.0011667 1.8403e‐005 63.4010


Hasil 6.18

Hasil 6.19

Hasil 6.20

Hasil 6.21



Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 1,1 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 5 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0021578 0.00069243 3.1163 MA 1 0.065513 0.020618 3.1775 K 1.326e‐005 2.0457e‐006 6.4821 GARCH 1 0.92266 0.0057899 159.3578 ARCH 1 0.067037 0.0058358 11.4873


Hasil 6.22

Hasil 6.23

Hasil 6.24

Hasil 6.25


Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 2,1 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 6 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0021142 0.00068781 3.0738 MA 1 0.063289 0.021498 2.9440 K 1.9275e‐005 3.4184e‐006 5.6386 GARCH 1 0.4038 0.12978 3.1115 GARCH 2 0.47994 0.11899 4.0335 ARCH 1 0.1016 0.013454 7.5515



Hasil 6.26

Hasil 6.27

Hasil 6.28


Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 1,2 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 6 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0021578 0.00069412 3.1086 MA 1 0.065512 0.021743 3.0130 K 1.3261e‐005 2.2388e‐006 5.9233 GARCH 1 0.92266 0.0067486 136.7178 ARCH 1 0.067041 0.016853 3.9780 ARCH 2 0 0.018534 0.0000


Hasil 6.29

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.

Hasil 6.30

Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 2,2 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 7 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0021142 0.00068878 3.0696 MA 1 0.063354 0.023127 2.7394 K 1.9272e‐005 5.5851e‐006 3.4505 GARCH 1 0.40365 0.2762 1.4614 GARCH 2 0.4801 0.24959 1.9236 ARCH 1 0.1016 0.018123 5.6059 ARCH 2 0 0.03334 0.0000

Mean: ARMAX 0,1,0 ; Variance: GARCH 3,5 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 1 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0020155 0.00066104 3.0489 MA 1 0.058006 0.023984 2.4186 K 2.3598e‐005 5.7062e‐006 4.1355 GARCH 1 0.23641 0.20432 1.1570 GARCH 2 0 0.14748 0.0000 GARCH 3 0.59753 0.11971 4.9913 ARCH 1 0.1503 0.023061 6.5175 ARCH 2 0 0.033272 0.0000 ARCH 3 0 0.022421 0.0000 ARCH 4 0 0.030921 0.0000 ARCH 5 0 0.023868 0.0000

Hasil 6.31

Mean: ARMAX 1,1,0 ; Variance: GARCH 0,0 Conditional Probability Distribution: Gaussian Number of Model Parameters Estimated: 4 Standard T Parameter Value Error Statistic ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ C 0.0012074 0.00065617 1.8401 AR 1 0.25484 0.13369 1.9062 MA 1 ‐0.15558 0.13809 ‐1.1267 K 0.001166 1.8839e‐005 61.8954

repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27023/2/053114011_full.pdf · vi tembikar terlalu gigih...

Documents