Biostatistika 27

VI. PEUBAH ACAK

Percobaan dengan metode statistika telah digunakan untuk menjelaskan setiap proses

yang menghasilkan pengukuran yang berkemungkinan. Untuk memusatkan perhatian kita

pada ukuran kuantitatif maka kita lebih tertarik terhadap gambaran numeric dari hasil

percobaan. Sebagai contoh ruang sample yang memberikan gambaran menyeluruh bilasuatu

mata uang bersisi dua muka (M) dan belakang (B) dilantunkan tiga kali dapat ditulis sebagai

berikut : S = {MMM,MMB,MBM,BMM,MBB,BMB,BBM,BBB}

Bila diperhatikan hanya banyaknya belakang (B) yang muncul maka hasilnumeriknya adalah

0,1,2 atau 3 bilamana 0,1,2 dan 3 merupakan pengamatan acak yang ditentukan oleh hasil

percobaan dalam hal ini menyatakan keungkinan banyaknya kali uang bagian muka yang

muncul bila satu mata uang dilantunkan tiga kali.

Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai nyata yang harganya ditentukan oleh tiap

anggota dalam ruang sample.

Suatu peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf besar mislnya A,B,X,Y dan seterusnya

sedangkan harganya denagn huruf kecil misalnya a,b,x,y dst.

Bila x menyatakan kemungkinan jumlah anak laki yang lahir bila pasangan suami istri

merencanakan punya 2 anak sudah cukup maka nilai x yang mungkin dari peubah acak X

adalah :

Bila suatu percobaan menghasilkan ruang sample yang berhingga dan ruang sampelnya

merupakan bilangan bulat maka ruang sample itu disebut ruang sample Diskret dan peubah

acak yang didefinisikan tersebut disebut peubah acak diskret.

Hasil percobaan mungkin saja tidak terhingga banyaknya atau tak terhitung sehingga peubah

acak tersebut menghasilkan nilai rasional (pecahan) maka peubah acak tersebut disebut

peubah acak kontinu. Dalam kebanyakan persoalan praktis peubah acak kontinu mempunyai

nilai berupa data terukur denagn menggunakan skala rasional seperti tinggi, berat, jangka

waktu dan sebagainya.

a. Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret

suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin mendapatkan nialai peluang tertentu.

Dalam kasusu melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang menyatakan

Biostatistika 28

banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2 dengan peluang 3/8 .pada contoh

kemungkinan banyaknya anak laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri merencanakan 2

anak cukup disajikan pada table berikut :

Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu), karena x menyatakan suatu yang

mungkin.

Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan sebagainya jadi f(x) =P(X=X)

Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4

Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam broiler 5 ekor diantaranya adalah

jantan.jika seorang peternak mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah sebaran

peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan yang terambil

Ayam broiler jantan yang mungkin terambil adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang

yangberbeda seperti disajikan pada table berikut :

Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24 coba cari yang lain

15 14 13 2730 91

Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran peluang diskret. Ada dua macam

grafik yang biasa digunakan adalah diagram batang atau histogram.

Sebagai contoh kita gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M) yang peluang

muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan.

Adapun sebaran peluang seperti table berikut :

Biostatistika 29

Gambar grafik batang gambar histogram

b. Sebaran peubah Acak Kontinu

suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. mungkin hal ini

mengejutkan pada permulaan, tetapi akan mudah dipahami denagn contoh berikut.

Pandanglah peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi tersebut

mempunyai berat normal antara 200-300 Kg. ternyata banyak sekali sapi bali yang berumur 2

tahun yang mempunyai berat 200-300 Kg salah satu diantaranya adalah sapi bali yang

beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya tepat tidak kurang sedikitpun

atau persisi 210 kg mendekati 0 atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali (1 : tak

hingga).

Kenyataan diatas menyebabkan :

P(a<x≤b) = P (a<x<b) + P (x=b)

= P (a<x<b) + 0

= P(Ax<b)

Jadi tidaklah menjadi masalah apakah titik ujung diikut sertakan ataupun tidak.

Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk table,tetapi rumusnya

Biostatistika 30

ada. Seperti sediakala sebaran peluang akan dinyatakan denagn fungsi f(x).sebaran

peluang kontinu f(x) biasa disebut fungsi padat atau fungsi kepekatan, dimana x berada

dalam selang dua nilai tertentu di dalam ruang contoh sehingga grafik f(x) digambarkan

secara seimbang.

Gambar grafik diatas disebut grafik fungsi kepekatan f(x) fungsi kepekatan peluang

digambarkan oleh luas daerah dibawah kurva yang bersangkutan dan diatas sumbu x. bila

digambar secara keseluruhan maka luas kurva tersebut = 1 artinya total peluang diri -

~<x<+~ adalah sama denagn satu.

Peluang bagi semua nilai x yangberada dalam selang (a,b) sama denagn luas

dibawah kurva kepekatan antara x=a sampai x=b.

Jadi fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu x yang didefinisikan

diatas terdefinisi pada semua bilangan nyata (real) R bila :

c. Sebaran Peluang Bersama

setelah kita pelajari peubah acakdan sebaran peluangnya pada ruang sample

berdimensi satu dangan kata lain hasil percobaan berasal dari peubah acak yang tunggal

ternyata pada banyak keadaan diperelukan pencatatan hasil beberapa peubah acak secara

serempak,jadi deminsi pengamatan lebih dari satu.

Biostatistika 31

Bila X dan Y dua peubah acak sebaran peluang terjadinya secara serempak dapat

dinyatakan denagn fungsi f(x,y0. biasanya f(x,y) disebut peluang bersama (gabungan) X

dan Y . jadi dalam kasusu diskret f(x,y0 = P(X=x,Y=y) yaitu f(x,y) menyatakan peluang

bahwa X dan Y terjadi bersama-sama. Sebagai contoh bila X menyatakan umur (tahun)

sapai bali betina dan Y menyatakan banyaknya kali kelahiran maka f(3,4) berarti sapi bali

betina umur 3 tahun dan telah melahirkan sebanyak 4 kali.

Contoh

Dua ekor anak anjing Kintamani dipilih secara acak dari dalamkeranjang seorang

pedagang anjing yang berisi 3 ekor warna putih, 2 ekor warna hitam dan 3 ekor warna

kemerahan. Bila X menyatakan anak anjing kintamani yang bulunya berwarna putih dan

Y anak anjing Kintamanai berwarna hitam terambil/terpilih.

Hitunglah

1. fungsi peluang bersama f(x.y)

2. P [ (x,y) ЄA] bila A daerahnya { (x,y) │x + y ≤ 1}

Jawab

Pasangan harga (x,y) yang memungkinkan adalah : (0,0), (0,1)

(1,0)(1,1)(0,2)atau(2,0)

Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua ekor anak anjing kintamani

dari 8 ekor (3+2+3 ekor) yang bulunya berwarna putih dan hitam adalah (8

2) = 8/2!(8-2)!

= 28

Misalkan f(0,1) menyatakan peluang bahwa anak anjing Kintamani yang warna bulunya

kemerahan dan hitam yang terpilih dapat dicari denagn cara :

Dengan jalan yang sama dapat dihitung peluang untuk kasus yang lainnya.hasil

perhitungannya disajikan pada table dibawah ini.

Table sebaran peluang bersama x dan y serta peluang marginalnya.

Biostatistika 32

2. P[(x,y) ЄA] = P[(x + y)≤1]

= f (0,0) + f(0,1) + f(1,0)

= 3/29 + 6/28 + 9/28

= 18/28

Sebaran peluang bersama f(x,y) yang dihasilkan oleh peubah acak diskret x dan Y sehingga

diperoleh sebaran peluang berdeminsi satu g (x) bagi peubah x dan h(x) bagi peubah y,maka

g(x) dan h (x) disebut sebaran marginal bagi X dan Y

Misalnya kita mencari g(0) :

g (0 )- P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(=0,Y=1) + P(X=0,Y=2)

= f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)

=3/28+6/28+1/28

= 10/28

Telah kita pelajari bahwa nilai x dari peubah acak X menyatakan kejadian yang merupakan

himpunan bagian dari ruang sample dengan menggunakan definisi peluang bersyarat

Jika A dan B menyatakan kejadian yang ditentukan oleh masing-masing X=x dan Y= y maka

contoh

carilah sebaran peluang bersyarat f(x/1) dari soal diatas

h(1) = f(0,1) + f(1,1) =f(2,1)

Biostatistika 33

= 6/28 + 6/29 + 0 = 12/28

Jadi :

Hasil ini menunjukkan bila kita mengambail 2 ekor anjing kintamani yang pertama diambil

yang bulunya hitam untuk pengambilan yang kedua peluang untuk tidak mendapatkan anjing

bulu putih dan mendapatkan anjing bulu putih adalh sama yaitu ½ tetapi tidak akan mungkin

mendapatkan 2 ekor lagi anjing bulu hitam.

Coba perhatikan ;

Apabila X dan Y adalh peubah peubah acak diskret atau kontinu yang sebaran peluangnya

f(x.y) dan sebaran marginalnya adalag g(x) dan h(x) maka X dan y dikatakan bebas secara

statistika jika dan hanya jika :

f(x,y) = g(x),h(x) untuk semua nilai-nilai x dan y

misalkan contoh soal diatas kita ambil f(0,20 g(0) dan h(2) maka

f(0,2) ≠g(0),h(2)

3/28 ≠ (15/28)(3/28)

Jadi contoh diatas tidak bebas secara statsitika(tidak indevenpen)

Cobalah cari contoh yang bebas /

Soal

1. carilah rumus sebaran peluang dan nyatakan denagn gambar histogram.

a.banyaknya anak pria yang akan lahir jika pasangan suami istri merencanakan punya

anak(peluang lahirnya anak ppria=wanita =0,50)

Biostatistika 34

b. banyaknya anak babi jantan yang lahir jika induk babi dipastikan mempunyai anak 10 ekor

(peluang lahirnya anak babi jantan =betina=0,50)

2. carilah soal nomor 1b

a. P(x<5)

b. P(3<x<7)

c. P(x<3)

d. P(x≥8)

3.Suatu peubah acak X dapat memperoleh setiap nilai antara x=1 dan x=3 mempunyai fungsi

peluang f(x) =1/2

a.tentukan luas kurva sama denagn 1

b. P(2<x<2,5)

c.P(x<1,6)

4. Dua puluh lima ekor ternak kelinci diperiksa kehalusan bulunya dan banyaknya cacing

didalam tinjanya.kehalusan bulunya dikelompokkan menjadi kasar,sedang dan halus

(x=0,1,2) sedangkan banyaknya cacing di dalam tinjanya dikelompokkan menjadi tidak

ada,ada dan banyak (y=0,1,2)

Datanya seperti tebel berikut :

Tentutan sebaran peluang marginal dan bersyarat serta tunjukkan apakah X dan Y bebas

secara statistika

Biostatistika 35

VII. NILAI HARAPAN (EKSPETASI)

Dari 16 orang ibu rumah tangga yang ikut program keluarga berencana(KB) catur

Warga( cukup punya anak dua)ternyata 4 keluarga mempunyai anak keduanya perempuan, 7

keluarga satu anak laki satu anak perempuan dan 5 keluarga keduanya anak laki-laki. Coba

perhatikan jika x menyatakan anak laki-laki dari keluarga tersebut maka x bisabernilai 0,1

dan 2 .bila kita ingin mencari nilai rata-rata anak laki-laki yang lahir dari 16 orang ibuyang

ikut program KB maka

x= 0(4/16) + 1(7/16)+2(5/16) = 17/16=1,06

hasil rata-rata ini mendekati 1 yaitu nilai yang mungkin terjadi namun nilai rata-rata tersebut

biasanya (secara teoritis) akan mendekati 1,keluarga yang ikut KB yang dicatat semakin

banyak.Sesuatu yang mungkin ini adalah sesuatu yang diharapkan terjadi,jadi nilai

kemungkinan yang diharapkan terjadi ini disebut Nilai harapan (Ekspetasi).

Nilai harapan ini biasanya diberi symbol atau ntasi E(x),dapat dicari dari definisi peluangnya

atau dalam uraian diatas adalah dari kemungkinan anak laki-laki yang lahir dari ibu-ibu yang

ikut KB Catur Warga tersebut yaitu :

f(0) = P(X=0)=(20)/22 =1/4

f(1) =P(X=0) =(21)/22=2/4

f(2)=P(X=0) =(22)/22=1/4

jadi E[x] =0(1/4) +1(2/4)+2(1/4)=1

hal ini berarti bila semua ibu rumah tangga yang KB Catur waga dicatat (sample

diperbanyak) maka rata-rata banyaknya anak laki-laki yang dilahirkannya sama dengan

1(setengah anak-anak yang lahir dari ibu-ibu yang ikut program KB Catur warga adalah laki-

laki hal ini memang yang kita harapkan, kenapa?

Bila x adalah suatu peubah acak yang memiliki sebaran peluang(peluang teoriis) seperti table

berikut :

Table sebara peluang

Biostatistika 36

Bila x adalah peubah acak dengan sebaran peluang f(xi0, untuk i=1,2,3,…..,n maka

nilai harapn fungsi g(x) yang merupakan fungsi dari peubah X adalah :

Contoh:

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang seperti table berikut ;

Hitunglah nilai harapan g(x) =(x-1)2

Jawab:

Bila X dan Y merupakan peubah acak dengan sebaran peluang gabungan f(x,y) maka

nilai harapan fungsi g(x,y) adalah :

Contoh:

Dua puluh sample daging sapi diperiksa pHnya sebagai peubah acak X dan

warnanya sebagai peubah acak Y kedua peubah tersebur diberikan ekor 0,1 dan 2.Skor

tersebut menunjukkan dibawah normal,normal dan diatas normal, hasilnya disajikan pada

table berikut :

Biostatistika 37

Maka :

Kaedah-kaedah Nilai harapan

Dengan mengetahui kaedah-kaedah atau sifat-sifat dari nilai harapan akan

memungkinkan kita menghitung suatu nilai harapan melalui nilai harapan melalui nilai

harapan yang telah diketahui atau pun dapat mempermudah perhitungan. Hal ini berlaku

untuk peubah acak diskret maupun konyinu.

Jika a dan b merupakan suatu konstanta atau tatapan maka:

E[aX + b] =aE[X] = b

Bila diambil a=0 maka E[b] =b

Bila diambil b=0 maka E[aX]=aE[X]

Jika X dan Ydua buah peubah acak yang saling bebas maka

E[XY] =E[X].E[Y]

Contoh

Dua puluh ekor anjing Bali jantan diperiksa tinjanya,untuk mengetahui apakah

ada atau tidaknya cacing (x=0,1).disamping itu juga diperiksa kadar Haemoglobin

darahnya untuk mengetahui apakah dibawah normal,normal ata diatas normal(y=0,1,2)

datanya seperti table berikut :

Tentukan distribinal dan peluang marginal dan bersama serta tunjukkan apakan X dan Y

bebas secara statistika

Biostatistika 38

E[XY] = (0) (0)(9/20)+(0)(1)(3/20) +………………+(2)(1)(1/20)

= 3/20

E[X] = (0)(12/20)+(1)(4/20)+(2)(4/20)

= 12/20

E[Y] = (0)(15/20)+(1)(15/20)

=5/20

E[XY] =E[X].E[Y]

3/20 =(12/20)(5/20)

3/20 =3/20

Jadi X dan Y saling bebas statistika

b. Nilai Harapan Khusus

Bila g(x) =xk menghasilkan nilai harapan yang momen ke –k disekitar titik asal

peubah acak X yang dinotasikan denagn μ3k. jadi bila X diskret maka:

bila k=0 maka diperoleh μ30 = 1, hasil ini merupakan total peluang didalam ruang sample

bila k=1 maka diperoleh μ31 = E[X]

Hasil ini merupakan nilai tengah populasi biasanya ditulis μx atau μ jadi μ = μx = E[X]

Bila k=2 maka diperoleh μ32=E[X2} dan seterusnya.

Bila g(x) =(x-μ)k memberikan nilai harapan yang disebut momen ke k disekitar

rata-rata peubah acak X,yang dinyatakan dengan μk jadi μk = E [x-μ)k]

Bila k =2 maka μ2 mempunyai makna khusus karena memberikan gambaran

penyebaran pengukuran disekitar rata-rata.jadi μ2 disebut gaman/variasi peubah acak X

dan dinyatakan denagn α2x atau α2

Jadi α2 = μ2 = E [(x- μ)2]

= E[(x2-2 μx + μ2)]

=`E[x2] –E[2 μx] +E[μ2]

= E[x2] –2μE[x] +μ2

= E [x2] -2μ.μ +μ2

= E[x2] - 2 μ2 + μ2

= E[x2] - μ2

Biostatistika 39

Jika pengamatan/observasi kita ukur dengan ukuran tertentu misalkan meter maka

μ = E[X] mempunyai satuan meter pula,sedangkan α2 =E[(x-μ)2] mempunyai satuan

pengukuran meter kuadarat (m2). Untuk menyeragamkan satuan ukurannya,mengakarkan

ragamnya (√α2) hasilnya disebut standar deviasi atau simpangan baku dan dinyatakan

dengan α atau disingkat SD.

Contoh

Berdasarkan teori peluang lahirnya anak jantan sama denagn betina dari seekor

induk sapi Bali. Jika seorang peternak mempunyai 5 ekor sapi Bali betina bunting maka:

hitunglah rata-rata anak sapi bali jantan yang mungkin lahir dan simpangan bakunya.

Jawab

Kemungkinan anak sapi bali jantan (x) yang lahir yaitu x=0,1,2,3,4 dan 5

Peluang lahir anak sapi Bali jantan adalah :

Biostatistika 40

Jadi :

E[X] = 0(1/32) + 1(5/32) +2(10/32)+3(10/3)+4(5/32)+5(1/32)

= 80/32=2,5 jadi μ =2,5

E[X2] =02(1/32) + 1

2(5/32) +2

2(10/32)+3

2(10/3)+4

2(5/32)+5

2(1/32)

= 240/32 =7,5

α2=E(X2)-μ2=7,5-(2,5)2

=1,25

Jadi SD= √1,25 =1.11

Bila g(x,y) =(x-μx)(y-μy) dengan μx=E[X] dan μy =E[Y] maka akan

menghasilkan suatu nilai harapan khusus yang disebut kovariasi atau keragaman X dan Y

yang diberikan notasi αxy atau kov (xy) jadi

αxy=E[(x-μx)(y-μy)]

= E[(xy-μyx-μxy+μxμy)]

=E[xy]-μyE[x]-μxE[y]+μxμy

=E[xy]-2μyx+ μxμy

=E[(xy)-μxy

Jadi αxy = kov (xy) =E[XY]- μxμy

Harga kovariasi tergantung pada satuan pengukuran X dan Y biasanya kita menginginkan

suatu ukuran yang menyatakan hubunga dua peubah yang tidak tergaantung dari pada satuan

ukurannya. Hal ini dapat diperoleh denagn membagi kovariasinya denagn standar deviasi

peubah X dan Y

Ukuran hubungan yang diperoleh dinamakan koefisien korelasi antara peubah X dan Y yang

diberikan notasi kor (X<Y) atau r

Jadi : Kor (X,Y) = r = Kov (XY)

αx αy

c. Sifat-sifat Koefisien korelasi (r)

Kor(X,Y) adalah bilangan yang harganya antar -1 dan 1 (-1≤r≤1). Harga -1 dan 1 dicapai bila

hubungan peubah X dan Y sangat erat yaitu sebagai suatu garis lurus dengan koefisien arah

negative dan positif

Kor(X,Y) tidak berubah apabila peubanya ditambah ata dikalikan bilangan konstan yang

tandanya sama. Misalnya Z= 5x + 2 dan v=2y+3 maka Kor(Z,V) =Kor(X,Y)

Biostatistika 41

Contoh

Sepuluh ekor babi yang sedang beranak dicatat periode kelahirannya sebagai peubah X dan

jumlah anaknya sebagai peubah Y datanya seperti table berikut :

Tabel sebaran peubah acak X dan Y

Tentukan koefisien korelasi antara peubah X dan Y

Jawab

μx = E[X] = 1(3/10) + 2(4/10) +3(3/10)

=3/10 + 8/10 + 9/10

=20/10 =2

μx = E[Y] =8(4/10) +9(3/10)+10(3/10)

=32/10 +27/10 +30/10

=89/10=8,9

E[X,Y] = (1)(8)(3/10)+(1)(9)(0/10)+……..+(3)(10)(3/10)

=24/10 +16/10 +54/10 +90/10

= 184/10 =18,4

Kov (XY) = E[X,Y] –μxμy

=18,4 –(2)(8,9)

=18,4 -17,8 =0,6

E[X2] =12(3/10) + 2

2(4/10) +3

2(3/10)

=3/10 +16/10+27/10

=46/10 =4,6

E[Y2] =82(4/10) +9

2(3/10) +10

2(3/10)

=26/10 +234/10 +300/10

=799/10 =79,9

α2x =E[X2]-(μx)2

=4,6 –(2)2

Biostatistika 42

=4,6 -4 =0,6

αx =√0,6 =0,77

α2y = E[Y2]-(μy)2

=79,9 –(8,9)2

=79,9 – 79,21 =0,69

αy =√0,89 =0,83

d. Sifat-Sifat Ragam/Variasi

Bila dimisalkan g(x) sebagai fungsi peubah acak X maka rata-rata dan variasi g(x) akan

dinyatakan denagn μg(x) dan α2g(x)

Teorema : misalkan X peubah acak denagn sebaran peluang f(x) maka variasi g(x) adalah :

Var [g(x)] = E[{g(x) – μ g(x)}2]

(sesuai dengan teorema ragam)

Teorema ; Bila X suatu peubah acak dan b suatu konstanta atau tetapan maka :

α2 (x+b) = α2x =α2

Bukti:

α2 (x+b) = E[{x+b) – μ(x+b) }2]

Oleh karena μ(x+b) = E[X+b] =E[X] + b =μ + b

Sehingga : α2 (x+b) = E[(X + b – μ-b)2]

= E[(X –μ)2]

=α2

Rumusn /teorema ini menyatakan bahwa ragam /variasi tidak berubah bila suatu

konstanta/tetapan ditambahkan ke ataupun dikurangkan dari suatu peubah acak. Penambahan

atau pengurangan suatu konstanta hanyalah mengeser harga μx ke kanan ata kekiri dan tidak

akan mengubah ragamnya.

Teorema : Bila X suatu peubah acak digandakan denagn a dan a adalah suatu konstanta

maka : α2ax =a2α2x =a2α2 (coba buktikan pembaca membuktikan )

Teorema ini menyatakan bila suatu peubah acak dikalikan atau dibagi denagn suatu konstanta

maka variasinya dikalikan atau dibagi denagn kuadrat konstanta tersebut

Teorema : Bila X dan Y peubah acak denagn sebaran peluang gabungan f(x,y) maka

α2a +by =a2 α2x +b2α2y +2abα2xy

Biostatistika 43

e. Teorema chebyshev

telah kita ketahui bahwa variasi suatu peubah acak memberikan gambaran mengenai

penyebaran pengamatan disekitar nilai tengahnya. Bila variasi ataupun aimpangan baku suatu

peubah acak kecil nilainya maka umumnya pengamatan mengelompokkan dekat disekitar

nilai tengahnya,sebaliknya jika variasi ataupun simpangan bakunya semakin besar nilainya

maka umumnya pengamatan lebih menyebar /jauh dari nilai tengahnya. Keadaan ini berlaku

pada sebaran diskret maupun kontinu.

Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva berikut ;

Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu disekitar nilai tengah disini αx<αy

Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia menemukan bahwa bagian paling

luas dua nilai tengahnya berkaitan denagn simpangan bakunya. Karena luas dibawah sebaran

peluang peubah acak sama denagn 1 maka luas antara bilangan sembarang menyatakan

peluang peubah acak yang bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut .

Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap peubah acak X mendapat nilai k

simpangan baku dari nilai rata-rata adalah paling sedikit (1-1/k2) yaitu :

P(μ – kα <X<μ+kα≥1-1/k2

Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif) tentang peluang suatu

peubah acak mendapat nilai dalam jarak kesimpangan baku dari harga rata-rata.

Misalkan untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai peluang paling

sedikit 1-1/22

=3/4 mendapat nilai dalam jarak dua simpangan baku dari nilai rata-rata. Yaitu

¾ atau lebih pengamatan setiap sebaran terletak dalam selang μ ± 2α

Contoh

Suatu peubah X mempunyai rata-rata μ=8 dan ragam α2=9 sedangkan sebaran tidak diketahui

Hitunglah P(-4 < X <20) dan P (│x-8│>6)

Biostatistika 44

Jawab :

P(-4<X<20) = P(8-(4)(3)<X<8 + (4)(3)

Dalam hal ini digunakan k=4 maka

P(-4<X<20) ≥ 1-1/42

P(-4<X<20) ≥ 15/16

P(│x -8│) >6 = 1-P(│x - 8│<6)

P(│x -8│) >6 = 1-P( -6<x -8<6)

P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-6<x<8 +6)

P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-(2)(3)<x<8 + (2)(3)

Dalam hal ini diperoleh/digunakan k=2 maka :

P(│x -8│) ≤1-(1-1/22)

P(│x -8│) ≤1-1-1/4

P(│x -8│) ≤1/4

Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap sebaran pengamatan oleh karena itu hasilnya

biasanya lemah. Hasil yang diberikan teori tersebut hanyalah batas bawah. Yaitu kita tahu

bahwa peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak dua simpangan baku dari harga

rata-rata tidak mungkin kurang dari ¾. Tetapi kita tidak tahu lebih dari itu (nilai

sesunguhnya) hanya bila sebaran peluangnya diketahui baru peluangnya yang tetap dapat

ditentukan.

.

Soal

1. Seratus ekor anjing yang sedang beranak dicatat periode kelahiranya sebagai peubah acak

X dan jumlah anaknya sebagai peubah acak Y datanya seperti tabel berikut :

Biostatistika 45

Hitunglah:

a. rata-rata anak anjing yang lahir dari seekor induknya.

b. Ragam peubah acak X dan Y

c. Korelasi (X,Y)

2. Beradasarkan hasil penelitian didapatkan bahwa perkawinan antara ayam buras jantan

berbulu putih denagn ayam buras betina berbulu hitam anak ayam yang menetas terdiri atas

15%putih, 20 % hitam dan 65% bulu campuran (warna lain)

Sedangkan jenis kelaminnya 60%jantan. Jika warna bulu dianggap e=sebagai peubah X dan

jenis kelamin sebagai peubah Y hitunglah

a. E[X] dan E[Y]

b. Keragaman peubah acak X dan Y

c. Kovariasi (XY)

d. α2x+y

e. α22x-2y

3.Suatu peubah acak X mempunyai 12 dan ragam 4 denagn menggunakan teorema

Chebushev hitunglah :

a.P (│x-12│≥3) b│x-12│<3)

c.P(6<x<16) d. harga c sehingga P(│x-12>c│)≤0,04

Biostatistika 46

VIII. SEBARAN PELUANG DISKRET DAN KONTINU

1. Sebaran Peluang Kontinu.

Seperti kita ketahui bahwa sebaran peluang diskret dapat disajikan dalam bentuk tabel

grafik dan bila mungkin dalam bentuk rumus. Cara manapun yang digunakan tidaklah enjadi

persoalan asalkan menggambarkan sifat-sifat ataupun kelakuan dan peubah acak tersebut.

Banyak peubah acak yang dihasilkan dari percobaan statistika mempunyai sifat-sifat yang

sama dan pada dasarnya dapat dinyatakan dalam sebaran peluang yang sama Sebagai contoh

semua peubah acak uang menyatakan banyaknya sukses dalam usaha,mempunyai cirri umum

yang sama karenanya dapat dinyatakan enagn rumus tunggal. Jadi bila anak sapi betina yang

lahir dari induk sapi perah dianggap sukses, mempunyai susunan rumus yang sama denagn

munculnya mata dadu empat, bila mata empat dianggap peristiwa sukses dari lantunan

sebuah dadu;hanyalah peluang yang berbeda. Suatu peubah acak tertentu haruslah selalu

hati-hati memilih sebaran peluang diusahakan setepat mungkin dapat menggambarkan

pengamatan yang dihasilkan oleh percobaan.

Dalam bab ini akan dibahas beberapa sebaran peluang diskret yang sering muncul

dalam percobaan statistika.

a. Sebaran Seragam

Sebaran peluang diskret yang paling sederhana ialah sebaran yang peubah acaknya

memperoleh semua harga denagn peluang yang sama sebaran peluang semacam ini disebut

sebaran seragam atau uniform.

Bila peubah acak X mendapat harga x1,x2,…..xk dengan peluang yang sama maka sebaran

seragam disket diberikan oleh f(X;k) =1/k, X=x1,x2,…..xk

Notasi f(X:k) dipakai sebagai penggati f(x) untuk menunjukkan bahwa sebaran seragam

tersebut bergantung atas parameter k

Rata-rata dan variasi sebaran seragam disket f(x;k) adalah :

Contoh :

Bila sebuah dasu dilantunkan maka tiap ekemen ruang sample S =(1,2,3,4,5,6) muncul

dengan peluang yang sama yaitu 1/6

Jadi merupakan sebaran seragam f( x:6) =1/6 disini x= 1,2,3,2,3,4,5,6

Biostatistika 47

Demikian juga misalkan kita memilih 5 ekor anak ayam betina secara acak dari seekor induk

yang mempunyai 6 ekor anak betina.

Banyaknya kombinasi yang mungkin = (65) = 6 kombinasi karena satiap anak ayam

mempunyai peluang yang sama untuk terpilih berarti sebaran sampelnya mengikuti sebaran

saragam f(X;6=1/6 untuk X=1,2,3,4,5,6

Kedua contoh diatas mempunyai gambar histogram sebagai berikut :

Gambar histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/6

b. Sebaran Binomial dan Multinomil

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa uaha/trial,bial setiap usaha memberikan hasil

salah satu dari dua kemungkinan yang dinamakan sukses atau gagal, maka percobaan

demikian disebut percobaan binomial. Dalam percobaan binomial pendifinisian atau

menentukan kejadian sukses harus jelas dn kita dapat menentukan atau memilih salah satu

hasil sebagai sukses.

Misalkan pada pelantunan 3 mata uang yang seimbang maka muncul salah satu muka kita

sebut kejadian sukses, demikian pula kekahiran anak sapi perah, bila lahir anak betina bisa

disebut suatu kejadian sukses

Syarat-syarat suatu percobaan binomial adalah sebagai berikut :

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal.

3. Peluang sukses dinyatakan denagn p tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha

berikutnya.

4. Tiap usaha bebas denagn usaha lainnya.

Biostatistika 48

Pandanglah suatu percobaan binomial pemeriksaan tiga sample tinja ayam mengenai

ada tidaknya cacing. Bila diketemukan cacing pada ayam tinja tersebut dianggap sukses dan

berdasarkan teori atau hasil penelitian, peluang ditemukannya cacing tersebut p=0,75=3/4

Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang harganya adalah bilangan bulat dari 0

sampai 3

Kedelapan hasil yang mungkin harga x dan peluangnya disajikan dalam tabel berikut

Hasil X P(X=x) =f(x)

TTT 0 (1/4)(1/4)(1/4) = 1/64

TCT 1 (1/4)(3/4)(1/4) = 3/64

TTC 1 (1/4)(1/4)(3/4) =3/64

CTT 1 (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64

TCC 2 (1/4)(3/4)(3/4) =9/64

CTC 2 (3/4)(1/4)(3/4) =9/64

CCT 2 (3/4)(3/4)(1/4) =9/64

CCC 3 (3/4)(3/4)(3/4) = 27/64

Total 64/64 = 1

Catatan T (tidak diketemukan cacing atau gagal)

C(ditemukan cacing atau sukses)

Sebaran peluang diatas dapat disajikan lebih ringkas seperti tabel dibawah ini :

Biostatistika 49

Sebaran acak binomial yang menggambarkan banyaknya sukses x dan N usaha diberikan

notasi b(X;n,p), karena nilai sebaran ini tergantung dari banyaknya usaha (n) dan peluang

sukses dalam suatu usaha (p)

Jadi untuk contoh diatas sebaran peluang X bila X menyatakan kemungkinan ditemukannya 2

sampel berisi cacing dari tiga sample tinja ayam adalah P(X=2) =f(x) =b(2;3,3/4)=27/64

Selanjutnya akan dicara rumus yang akan memberikan peluang sukses sebanyak x dan gagal

sebanyak n-x dalam suatu tertentu. Karena uaha semuanya bebas maka peluang tiap hasil

dapat diperkalikan .tiap sukses terjadi denag peluang p dan tiap gagal denagn peluang q = 1-

p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah px q

n-x. banyaknya tititk sample sama dengan

banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga hasil pada kelompok

pertaman dan sisanya n-x hasil pada kelompok kedua.

Jumlah ini dinyatakan dengan : )xn( ( karena pembagian saling berpisah maka peluangnya

dijumlahkan untuk mendapatkan rumus umum atau denagn kata lain menghasilkan px q

n-x.

dengan )xn(

Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal

denagn peluang q =1-p, maka sebaran peluang peubah acak binomial X yaitu banyaknya

sukses dalam n usaha bebas adalah :

untuk x=0,1,2,…..,n

Perhatikan contoh diatas n= 3 dan p=3/4 maka sebaran peluang X yang

menyatakan ditemukannya cacing pada 3 sampel tinja ayam dapat disajikan dalam bentuk

rumus sebagai berikut:

hal ini merupakan suatu yang harus dipenuhi untuk setiap sebaran peluang peubah acak.

Untuk mempermudah perhitungan telah disajikan dalam bentuk tabel (lihat tabel

binomial pada lampiran )

contoh

peluang kesembuhan suatu penyakit pada babi Bali bila diobati dengan obat

tertentu adalh 0,4 bila 15 ekor babi Bali menderita penyakit tersebut hitunglah peluang :

Biostatistika 50

a. paling sedikit 10 ekor akan sembuh

b. antar 3 sampai 8 ekor sembuh

c. tepat 4 ekor sembuh

jawab: misalkan x banyaknya yang sembuh dan p = 0,4 maka q=1-0,4 =0,6

dengan menggunakan tabel sebaran binomial diperoleh hasil sebagai berikut :

a. P(x≥10) =

15

10x

b(x;15,0.4)

= 0,0245 + 0,0074 +0,0016 +0,0003 +0,00 +0,00

= 0,0338

b. P(3≤x≤8) =

8

3x

b(x;15,0.4)

=0,0634 + 0,1268 + 0,1859 +0,2066 +0,1771 +0,1181

=0,8779

c. P(x=5) = b(5;15,0,4)=0,1859

sebaran binomial b( x; n,p) mempunyai rata-rata ( μ) dan ragam (α2)sebagai berikut :

μ= np dan α2

=npq=np(1-p)

Bukti

Misalkan hasil usaha ke j dinyatakan denagnpeubah acak Ij : Ij dimisalkan

mendapat nilai 1 jika sukses (p) dan nilai 0 bila gagal(q). ini disebut peubah Bernoulli

dan kerap kali disebut peubah petunjuk, karena Ij=0 menunjukkan suatu kegagalan,

sedangkan Ij =1 menunukkan suatu kesuksesan jadi banyaknya sukses dalam suatu

percobaan binomial dapat ditulis sebagai jumlah n peubah petunjuk bebas sehingga

X= I1 +I2 +………..+In

Nilai tengah (rata-rata0 dari setiap peubah acak Ij adalah :

E[Ij] = 0(q) +1(p) =p

Sehingga μx =E[X]= E(I1) + E(I2] +………..+E[In)

= p + p +………..+p

= np

Ragam setiap Ij diberikan oleh:

α2=E[(Ij – p)

2] = E[Ij

2] – p

2

=(02)q + (1

2)p-p

2

= p-p2

=p(1-p)=pq

Biostatistika 51

Maka :

α2

= α2

I1 + α2I2+…………..+α

2In

= pq + pq+……………….+pq

= npq

Dari contoh soal diatas dapat rata-rata babi bali yang sembuh dan ragamnya diri 15 ekor

yang diobati yaitu :

μ=np=15 x0,4=6ekor

α2=npq=15 x0,4x0,6 =0,36

percobaan binomial akan berubah menjadi percobaan multinomial jika satiap

usaha mempunyai lebih dari dua hasil yang mungkin

bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1,E2,………,Ek

sengan peluang p1,p2,…….pk maka sebaran peluang acak X1,X2,…………………..Xk yang

menyatakan terjadinya E1,E2,…………..Ek dalam n usaha bebas adalah :

jawab

kejadian diatas mengikuti sebaran multinomial dimana x1 =3 x2=1 dan x3=6-3-

1=2 denagn peluang masing-masing p1=0,50 p2=0,30 dan p3=0,20

maka diperoleh hasil sebagai berikut :

c. Sebaran Hipergeometrik

Untuk mempelajari sebaran hipergeometrik kita perhatikan contoh berikut. Dalam

sebuah kandang berisi 50 ekor anak itik 10 ekor diantranya jantan dan sisianya betina seorang

peternak mambenli 3 ekor anak itik diambil secara acak dari kandang itu (jadi pengambilan

tanpa pengembalian ) dan kemudian diadakan sexing terhadap anak itik yang telah

diambil/dibeli. Apakah anak itik yang telah diambil jantan atau betina yang terambil jiak

jantan yang diambil pembeli mengangap sukses dan kita berikan lambang x maka nilia

numeric x = 0,1,2,atau 3 secara lebih umum dapat kita pandang persoalan diatas sebagai

berikut. Misalkan dalam kandang tersebut a ekor anak itik jantan, dan b ekor anak itik

betina,sehingga seluruh itik yang ada N =a + b ekor jadi b = N-a kita ambil tanpa

Biostatistika 52

pengembalian n ekor (1≤n≤N) sedemikian hingga Nn himpuna bagian mempunyai

peluang yang sama yaitu N1 akan terambil. Jadi ada N benda yang terdiri dari a benda

yang akan diberi nama sukses. Sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.Umumnya yang

akan dicari adalah peluang memilih x sukses dari sebanyak a yang tersedia dan n-x gagal dari

sebanyak N-a yang tersedia. Bila sample ukurannya n diambil N benda. Ini dikenal percobaan

hipergeometrik denagn sifat-sifat sebagai berikut :

1. sample acak ukuran n diambil dari N benda

2. sebanyak a benda dapat nama sukses sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.

Banyaknya X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik dan

diberi notasi h(x;N,n,a) disini :

Jadi kemungkinan anak itik jantan yang terambil dapat diselesaikan denagn rumus

sebaran hiepergeometrik .

Dalam bentuk tabel dapat disajikan sebagai berikut :

Dari contoh diatas kita dapat mencari nilai tengah (μ) dan ragamnya (α2) sebagai berikut :

μ = 0(0,504) +1(0,393) +2(0,092)+3(0,006)

= 0,6

α2= {(02(0,504)+12(0,393) +32(0,006)}-0,62

= 0,46

Biostatistika 53

Dapat dicari rumus untuk menghitung nilai tengah (μ) dan ragamnya (α2) sebagai berikut :

) [(N-n)/(N-1)]

Jadi : μ = (3)(10/50)=0,6

α2

=(3)(10/50)(1-10/50)[(50-3)/(50-1)]

= (0,6)(0.8)(959) =0,46

Rumus nilai tengahdan ragam identik denagn rumus-rumus untuk sebaran binomial bila n

kecil dibandingkan N maka peluang penarikan/pengambilan hanya berubah cukup kecil

.jadi pada dasarnya percobaan adalah binomial sehingga sebaran hipergeometrik dapat

dihampiri denagn sebaran binomial denagn p=a/N

Jadi nilai tengah dan ragamnya dapat pula dihampiri denagn rumus sebagai berikut

μ = np = n a/N dan α2=npq= n a/N(1-k/n)

jadi terlihat rumus nilai tengah sama sedangkan rumus ragam ada perbedan denagn factor

koreksi [N-n)/(N-1)] basarnya factor koreksi dapat diabaikan jika n cukup kecil bila

dibandingkan denqagn N atau jika N cukup besar dibandingkan n

contoh

dalam program vaksinasi ayam buras disuatu propinsi dikirim 1000 ampul vaksin

diantaranya terdapay 200 ampul yang rusak bila pada suatu desa mendapat jatah 5 ampul

berapa peluangnya terdapat satu ampul yang rusak

Jawab

karena n =5 cukup kecil dibandingkan denagn N=1000 maka peluangnya dapat

dihampiri dengan menggunakan sebaran binomial

jadi peluang mendapatkan 1 ampul vaksin yang rusak adalah :

Jadi peluangnya bisa didekati dengan 0,41

Biostatistika 54

c. Sebaran Poisson

percoban yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numeric yaitu banyaknya sukses

dalam selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebuit percobaan poisson panjang

selang waktu tertentu dapat berupa apa saja, bis saja semenit, sehari,seminggu,sebulan

setahun dan sebagainya. Seperti pada peubah acak binomial X yang menunjukkan banyaknya

sukses dalam n usaha independent, namun pada peubah acak Poisson terjadi bila n cukup

besar, tetapi p sangat kecil mendekati 0. Dalam hal ini misalnya X mungkin menyatakan tikus

sawah dalam sehari yang matai ,banyaknya bakteri pathogen yang tumbuh pada suatu media

dalam waktu tertentu dan sebagainya. Perhatikan sebaran peluang peubah acak binomial mX

yaitu :

misalkan n cukup besar tetapi p sangat kecil mendekati nol (p→ 0) misalkan hasil kali p

denagn n kita tulis λ =np sehingga p =λ/n. maka nilai tengah dan ragamnya dapat kita tulis :

μ=λ dan α2 =λ (1-λ/n)

jika λ dibuat konstan n diperbesar dan p mendekati 0 ( sehingga p =λ/n→0) maka

ragamnya akan mendekati harga konstan yaitu α=λ jadi untuk peubah acak binomial X

dengan n cukup besar dan p mendekati nol dan np=λ maka nilai tengah dan ragamnya

keduanya akan mendekati harga yang sama yaitu λsebagai contoh misalkan λ=2 maka

peubah acak binomial dengan :

n = 4 p=0,5 maka μ=4(0,5) =2 ; α2 =2(0,5) =1,0

n = 20 p=0,1 maka μ=20(0,1) =2; α2 =2(0,9) =1,8

n = 100 p=0,02 maka μ=100(0,02) =2; α2 =2(0,98) =1,96

n = 300 p=0,01 maka μ=300(0,01) =2; α2 =2(0,99) =1,98

jadi jika n bertambah besar dan np diambil konstan maka μ dan α2 keduanya mendekati limit

yang memuat λ dan x. hal ini dapat ditunjukkan memang demikian adanya. Jika np=λ dan n

cukup besar maka untuk sembarang harga tertentu x, maka fungsi peluang f(x) =P(X=x) =

(xn nx (λ/n)

x(1-λ)

n-x harga fungsi peluang ini mendekati suatu limit seperti rumus berikut :

Biostatistika 55

Sebaran peubah acak ini disebut sebaran poisson dan dinyatakan denagn P(x;μ) karena

nilainya hanya tergantung dari x dan μ yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam

selang waktu atau daerah tertentu dan oleh karena μ=λ maka :

nilai-nilai sebaran poisson telah disajikan dalam tabel (lihat lampiran)

contoh

berdasarkan teori/penelitian banyaknya telur cacing hati yang menetas dalam air yang

mengandung Furadan dengan konsentrasi 2 gram/liter sebanyak 2 butir telur dari 100 butir

telur yang ditetaskan bila kita juga menetas dengan cara yang sama berapa peluang bahwa :

a. 4 butir telur yang menetas

b. Antara 0 dan 4 (0<x<4) yang menetas

Jawab

Jadi x= 4 dan μ=2, maka coba lihat tabel Poisson)

9

1x

)2;x(P = P(1;2) + P92;2) + P93;2)

= 0,270671 +0,270671 +0,180447 = 0,721789

d. Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik

percobaan binomial negative adalah suatu percobaan yang berbagai sifatnya sama dengan

percobaan binomial, kecuali bahwa disini usaha diulang sampai terjadi sejumlah sukses

tertentu.jadi jika n tetap maka ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha

ke x

sebagai contoh dalam usaha meningkatkan mutu ternak sapi Bali dan efisiensi penguunaan

pejantan maka dilakukan kawin suntik atau inseminasi buatan (IB). jika diketahui

keberhasilan IB 60 % ingin dicari peluang sapi betina yang ke 7 yang di Ib. nyatakan sapi

Bali betina yang bunting (sukses) denagnS dan yang gagal atau tidak beruntung denagnG

maka salah satu kemungkinan adalah SSGSSGS

kemungkinan susunan lain dari S dan G dapat disusun sedemikian rupa asalkan memenuhi

syarat yang terakhir harus S (sukses) yang ke lima. Jumlah semua urutan yang mungkin sama

Biostatistika 56

dengan banyaknya cara memisahkan (menyekat keenam usaha yang pertama menjadi dua

kelompok yaitu kelompok pertama mengandung dua G dan kelompok ke dua yang

mengandung empat S jadi ada 46 =15 cara yang berlainan itu yaitu :

GGSSSSS, GSGSSSS, GSSGSSS, GSSSGSS, GSSSSGS

SGGSSSS, SGSGSSS, SGSSGSS, SGSSSGS, SSGGSSS

SSGSGSS, SSGSSGS, SSSGGSS, SSSGSGS, SSSSGGS

Jadi merupakan peluang mendapatkan 4 kejadian sukses p=0,6 dari 6 kejadian yang terjadi

karena kejadian yang ke 7 selalu sukses. Sehingga dapat dihitung besar peluang denagn

sebaran binomial sebagai berikut \;

b(4;6,0,6) = 46 (0,6)

6 (0,4)

4-2= 0,112

Sebaran ini sangat menyerupai sebaran binomial sehingga disebut sebaran binomial negative

dan diberikan notasi atau lambing b* (x,k,p) Berdasarkan ilustrasi diatas maka bila usaha

yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan

gagal denagn peluang q=1 - p maka sebaran peluang acak X yaitu banyaknya usaha yang

tepat pada sukses ke k adalah :

Contoh

Seekor sapi bali yang diperiksa kesehatannya mungkin jinak (berhasil diperiksa) mungkin

juga liar (gagal diperiksa )kemungkinan berhasil atau gagal adalah sama yaitu 0,5 tergantung

dari cara pemeriksaannya. Jika seorang doketr hewan memeriksa dengan cara tertentu berapa

peluanng sapi yang ke 5 dalam keadaan jinak yang kedua :

Jawab

Dengan menggunakan sebaran peluang binomial negatip maka x=5,k=2 dan p=0,5 Sehingga :

b*(5; 2,0,5) = 1215

( (0,5)

2(0,5)

5-2

=0,125

Pada sebaran binomial negatip yang bersifat khusus dimana k=1 maka diperoleh sebaran

peluang denagn satu S didalam sejumlah usaha yang dilakukan.misalkan pada contoh diatas

yaitu pada pemerikasaan kesehatan 5 ekor sapi Bali. Seandainya 4 ekor sapi yang diperiksa

gagal/tidak mau jinak maka eluang sapi yang kelima mau jinak menjadi b*(x; 1,p) =pqx-1

untuk x=1,2,3,…. Yang suku-suku ekspansinya membentuk persamaan yang meningkat

Biostatistika 57

secara geometric. Oleh karena itu sebaran yang demikian disebut sebaran geometric yang

dinotasikan dengan g(x;p). umumnya percobaan ini terus menerus dilakukan dn baru berhenti

setelah berhasil/sukses,namun saja terus gagal karena peluang berhasil/sukses akan semakin

kecil bila percobaan terus dilakukan. Mungkin akan lebih besar kemungkinan akan berhasil

jika teknik/cara percobaan yang diruber.

Sebaran geometric terjadi,bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali sampai

mencapai sukses,denganpeluang sukses p dan peluang gagal q=1-p maka sebaran peluang

peubah acak X yaitu banyaknya yang berakhir sukses yang pertama adalah :

g(x;p) =pqx-1

; x=1,2,3,………..

contoh

telah diketahui bahwa peluang untuk mendapatkan parasit cacing tertetu pada jantung seekor

penyu adalah 0,30 jika seorang dokter hewan memeriksa jantung penyu ditempat pemotongan

penyu dan dokter hewan tersebut mempunyai keyakinan jik apeluang untuk mendapatkan

parasit cacing tersebut pada jantung penyu ≤0,01 maka penyu-penyu yang dipotong ditempat

pemotongan tersebut semuanya bebas dari parasit cacing tersebut.

Berapa ekor penyu paling sedikit harus diperiksa untuk meyakinkan bahwa penyu-penyu di

rumah potobf tersebut bebas dari parasit pad jantungnya.

Jawab

Dengan menggunakan sebaran peluang geometric p=0,30 dan q =1-0,30 =0,70 maka

Gg(x;p) =pqx-1

0,001= (0,3)(0,7)x-1

Log0,01 = log[(0,3) (0,7)x-1

]

Log 0,01=Log0,3 + (x-1)Log 0,7

-2 =-0,523 +(x-1)-0,155

-2 = -0,523-0,155x + 0,155

0,155x = 1,632

x =10,5

Karena dokter hewan tersebut baru yakin jika peluangnya ≤0,01 maka diperiksa minimal 11

ekor ekor yang diperiksa menunjukkan negatip/tidak ada cacing pada jantungnya.

Soal

Biostatistika 58

1. Untuk memeriksa kepalsuan susu serbuk jenis tertentu yang beredar di kota denpasar,maka

diperiksa 10 sampel took penjual susu serbuk secara acak dan sample yang diambil berturut-

turut diberikan kode 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 dan seluruh sample disimpan dlam kotak

a.jika pemeriksa mengambil satu sample secara acak berapa peluang bahwa yang terambil

adalah sample yang kode 4

b.jika ada dua kemungkinan yang sma yaitu palsu dan tidak berapa peluang semua sample

yang diperiksa tidak ada yang palsu

2. Berdasrkan hasil pemeriksaan pravalensi infestasi cacing Ascaridia galli pada tinja itik Bali

jantan adalah 22 %. Bila diperiksa 15 ekor itik jantan hitunglah :

a. paling sedikit 9 ekor didapatkan cacing tersebut.

b. antara 2 sampai 6 ekor didapatkan cacing tersebut

c. tepat 5 ekor ditemukan cacing tersebut

d. bila anda yakin pasti salah satu itik yang diperiksa atau minimal satu ekor yang diperiksa

pada tinjanya terdapat cacing tersebut, bila peluang ditemukannya 0,99 berapa ekor minimal

itik Bali tinjanya harus diperiksa

3. Dua belas butir telur ayam konsumsi yang masing-masing 2,4 dan 6 butir diberi zat

pengawet A,B dan C dan kemudian disimpan pada suhu 37 C.jik a telur yang diambil seua

diberikat pengawet B

4. Disuatu rumah pemotongan hewan (RPH) dalam jangka waktu satu tahun yang rata-rata

memotong sapi betina 50 ekor per hari hanya ada 2 ekor sapi betina bunting yang dipotong

berapa peluang dalam jangka waktu satu tahun.

a. kurang dari 2 ekor sapi betina bunting

b. antar 1-3 ekor sapi betina bunting yang dipotong

c.tidak ada sapi betina bunting yang dipotong.

5. Untuk membuktikan suatu obat yang baru ditemukan dapat menyembuhkan suatu penyakit

tertentu pada ternak kambing kacang dalam jangka waktu 3 hari maka obat tersebut

disuntikkan pada beberapa ekor kambing penderita.

a. berapa peluang kambing yang ke 7 diobati merupakan sembuh yang ke 3 kalinya dalam

jangka waktu 3 hari

b. bila pemakai obat tersebut baru yakin obat itu dapat diandalkan jiak semua ternak

diobatiberturut-turut sembuh peluangnya lebih kecil daro 0,01 berapa ekor ternak penderita

menimal diobati berturut-turut sembuh.

Biostatistika 59

6. Daging babi yang dipasarkan disekitar kota denpasar disinyalir 20 % tercemar bakteri

Salmonella. Untuk yakin 99% bahwa daging babi yang dijual di suatu kias daging bebas dari

bakteri salmonella berapa paling sedikit jumlah sample daging yang harus diperiksa

2. Sebaran Peluang Kontinu

Peubah-peubah yang menggunakan skala rasional seperti pengukuran

berat,panjang,volume,waktu dn sebagainyabiasanya mengikuti sebaran peluang kontinu.

Salah satu sebaran peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah

sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk lonceng atau genta seperti gambar

dibawah ini :

Gambar kurva normal

Pad tahun 1733 De Moive menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi

dasar bayak teori statistika induktif. Sebaran normal disebut juga sebaran Gaus untuk

menghormati Gauss (1777-1855) yang juga menemukan persamaan waktu menghitung

kesalahan penelitian (galat penelitian)dalam pengukuran yang berulangulang mengenai bahan

yang sama Suatu peubah acak X yang sebarannya berbentuk Genta seperti gambar diats

disebut peubah acak normak. Persamaan matematik sebaran peluang peubah acak normal

kontinu tergantung pada dua parameter yaitu μ dan α, yang biasa disebut rata-rata hitung dan

simpangan baku jadi fungsi pada X biasanya dinotasikan dengan n(x ; μ,α) persamaan :

Disini – ~<x<+~ dengan π =3,14159… dan e=2,71828……. Secara ringkas sebaran peluang

peubah acak normal sering ditulis X ~N(μx , αx) dan dibaca peubah X menyebar normal

dengan nilai tengah μx dan simpangan baku αx.

Biostatistika 60

Bila μ danα diketahui maka seluruh kurva normal diketahui sebagai contoh bila μ=60 dan

α=8 maka ordinat n(x: 6o,8) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan

kurvanya dapat digambar.

Bila nilai –nilai μ dan α tertentu maka akan menghasilkan kurva dengan gambar tertentu pula.

Coba perhatikan gambar dibawah ini

Gambar kurva A dan B memiliki nilai tengah(rata0rata hitung) yang sama,tetapi simpangan

baku yang berbeda. Sedangkan kurva B dan C memiliki nilai tengan yang berbeda tetapi

simpangan bakunya sama. Kurva A dan C memiliki nilai tengan dan simpangan baku yang

berbeda.

Dengan kurva serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari nilai n(x;μ,α) dapat diperoleh

lima sifat kurva normal sebagai berikut :

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x¯ =μ.

2. Kurva staangkup terhadap garis tegak yang nilainya sma dengan μ

3. Kurva mempunyai titik belok pada x=μ +α dan x=μ-α cembung ke atas bila μ-α < x< μ+α

dan cembung ke bawah untuk harga x lainnya.

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar (sumbu x) bila harga x bergerak

menjauhi μ baik dari ke kiri maupun ke kanan.

5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar (sumbu X )sama dengan 1,0(100%)

b. Luas Daerah Di bawah Kurva Normal

kurva setiap semaran peluang atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas kurva

diantara kedua koordinat x= x1 dan x= x2 sama dengan harga peubah acak X mendapat harga

antar x= x1 dan x=x2. jadi untuk kurva normal seperti bi bawah ini

Biostatistika 61

Gambar kurva normal f(x1<x<x2)= luas daerah yang diarsir

Jadi bagi suatu fungsi padat tertentu yang memiliki μ danα lain akan menghasilkan

peluang P (x1<x<x2) yang berbeda pula besarnya, walaupun letak x1 dan x2 tetap.

Sehingga setiap kali ingin menghitung besarnya peluang tersebut harus mencari interval

terhadap bentuk fungsi f(x) = n(x; μ,α) itu ini merupakan pekerjaan merepatkan dan

kurang efisien. Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat

normal, maka dibuat tabel luas kurva normal,sehingga memudahkan penggunaannya.

Akan tetapi mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap harga μ dan α . Untuk

itu peubah acak normal dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru

yang dikenal peubah acak normal Z.

Sebaran normal Z disebut pula sebaran normal baku yang memiliki nilai tengah μz =

0 dan simpangan baku αz = 1 jadi biasanya ditulis Z ~ N(0,1) dan dirumuskan dengan :

Bila diketahui bahwa peubah acak X ~ N(μ, α) maka semua nilai Xi yang berada pada

selang (x1, x2) dapat ditransformasikan menjadi peubah baku Z yang berada dalam

selang Z1 =( x1 –μ)/α dan Z2 = (x2 –μ)/α .. sehingga P(x1 <x<x2) dapat dicari dengan cepat

menggunakan P( Z1<Z<Z2) berdasarkan nilai tabel (lihat tabel Z pada lampiran)

Contoh

Sapi bali jantan yang berumur 2 tahun rata-rata beratnya 250 kg dan simpangan

bakunya 11,05 kg. bila diasumsikan berat sapi tersebut mengikuti sebaran normal berapa

% (peluangnya) :

a. Berat Sapi Bali jantan antara 240-260 kg

b. Berat sapi Bali jantan kurang dari 235 kg

Jawab :

Untuk menyelesaikan soal diatas kita transformasikan dulu nilai-nilai x1 =240,

x2=260 dan x3 =235 menjadi Z1, Z2 dan Z3

Biostatistika 62

dengan menggunakan tabel Z maka :

a. P(Z1<Z<Z2) = P(-0,90<Z<0,90)

Karena kurva simetris dan luasnya = 1 maka

P(-0,90<Z<0,90) = 1- 2(P(Z<90)

= 1- (0,1841)

= 1- 0,3684 =0,6316

Jadi sekitar 63,16 % sapi Bali jantan yang berumur 2 tahun berat antara 240 -260 kg

b. P(Z<Z3) = P(Z<-1,36) = P(Z>1,36) = 0,0869

Jadi sekitar 8,69 % sapi bali jantan umur 2 tahun beratnta kurangf 235 kg.

c. Pendekatan Normal terhadap Binomial.

Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial secara langsung dapat diperoleh dari

rumus sebaran binomial atau dari tabel binomial pad alampiran, n cukup kecil (n<25). Bila n

besar atau tak tersedia dalam tabel, maka peluang binomial dapat dihitung dengan pendekatan

sebaran normal.

Pada uraian sebelumnya sebaran poisson dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial,

jika n cukup besar dan p mendekati 0. Sedangkan jika n cukup besar dan p tidak cukup dekat

denagn 0 atau 1 maka sebaran binomial dapat dihampiri oleh sebaran normal dan hampiran

itu sangat baik bila n cukup besar dan p mendekati 0,50.

Bila X peubah acak binomial dengan nilai tengah μ= np dan α2 =npq, bila n cukup besar maka

betuk limit sebaran normal baku n(Z;0,1) adalah :

Untuk melihat pendekatan normal terhadap sebaran binomial perhatikan conoth berikut

:mula-mula lukislah histogram b(x; 16, 0,5) dan kemudian letakkan kurva normal dengan

rata-rata dan ragam yang sama dengan peubah binomial X sehingga keduanya saling tumpang

tindih. Untuk itu lukislah kurva normal denagn μ= np = 16 (0,5) =8,0 dan α2

=npq

=16(0,5)(0,5)=4,0

Biostatistika 63

Histogram b(x;16,0,5) dan kurva normal padanannya yang seluruhnya telah tertentu oleh

rata-rata dan ragamnya seperti gambar dibawah ini.

Gambar hampiran kurva normal terhadap b(x;16,0,5)

Tingkat akurasi (ketepatan) pendekatan tergantung dari sejauh mana kurva normal yang

dihasilkan dapat mendekati histogram dari binomial.

Dari contoh diatas kita dapat menghitung peluang yang tepat bahwa X berharga 4 sama

dengan luas persegi panjang dengan yang titik tenganya x= 4 yaitu b(4;16,0,5) = 0,0278 luas

ini dengan pendekatan normal identik dengan luas daerah dibawah kurva normal antar x 1

=3,5 dan x 2 =4,5.jiak diubah kedalam sebaran normal Z maka:

jadi

P (-2,25 <Z<-1,75) = P(Z.1,75) – P (Z>2,25)

= 0,0401 – 0,0122

= 0,0279

Jadi nilainya sama bila kita ambil 3 angka dibelakang koma yaitu 0,028.

Contoh

Berdasarkan pengalaman 30 % dari itik Bali yang dibeli pada peternak adalah invertil (tidak

bisa menetas) jika seorang pengusaha peternakan menetaskan 250 butir telur berpa peluang

bahwa yang invertil kurang dari 60 butir.

Biostatistika 64

Jawab

Banyaknya telur yang invertil mengikuti sebaran binomial dengan parameter n =250 dan p

=0,30 karena ukuran sample cukup besar an p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1 maka dapat

digunakan pendekatan sebaran normal baku yaitu

μ= np = 250 (0,30)=75

α2

=npq = 250(0,30)(0,70) =52,5 dan α =√52,5 =7,25

untuk mendapatkan peluany yang ditanyakan harus dicari luas daerahnya yaitu :

Jadi P(x<60) = P (Z< -2,07) = P(Z.2,07) = 0,0192

Soal

1. Diketahui peubah acak X yang menyebar normal dengan rata-rata 16 dan simpangan baku

2,5 hitunglah :

a. P(X<5)

b. Nilai k sehigga P(x<k) = 0,2578

c. P(17<x<21)

d. Nilai k sehingga P(x>k) =0,2578

2. Berat badan sapi Bali jantan 2 tahun mengikuti sebran normal dengan rata-rata 250 kg

simpangan baku 8,30kg. bila sebuah rumah pemotongan hewan memotong 200 ekor sapi Bali

jantan umur 2 tahun berapa ekor dapat diharapkan.

a. Beratnya kurang dari 240 kg

b. Beratnya antara 235 dan 265 kg

c. Beratnya lebih dari 270 kg

3. Hitunglah galat (kesalahan) dalam pengampiran dengan kurva normal sebaran binomial

dibawah ini

a.

10

0x

)3,0,10;x(b

b.

20

0x

)3,0,20;x(b

c.

20

0x

)5,0,20;x(b

d.

20

0x

)3,0,30;x(b

Biostatistika 65

e.

20

0x

)5,0,20;x(b

4. Suatu perusahaan farmasi mengatakan bahwa suatu jenis obat tertentu dapat

menyembuhkan rata-rata 80 % penyakit kulit pada kelinci. Untuk menguji kebenaran maka

obat tersebut dicoakan pada 100 ekor kelinci penderita :

a. berapa peluang 75 ekor ikelinci atau lebih dapat disembuhkan.

b. Bila peluang kesembuhan 0,95 diputuskan obat tersebut masih bisa diterima leh pemakai

obat,berapa menimal jimlah ternak yang diharapkan sembuh.

c. Bila ingin mengurangi jumlah kelinci penderita yang dipakai mencoba obat tersebut,

berapa jumlah minimal kelinci penderita yang diperlukan jika peluang semua ternak yang

diinginkan sembuh maksimal 0,01.