Ua

kn

u rU

a n Ka

e c o n d o n g a n ( S k e wu

n e ss

si

)sd k u r n K e r u n c i n g a n ( K r t o )

D i s i a p k a n o l e h : B a m b a n g S u t r i s n o , S . E . , M . S . M .

bambang.sutrisno@umj.ac.id

U k u r a n K e c o n d o n g a n ( S k e w n e s s )

Ukuran kecondongan merupakan tingkat ketidaksimetrisan atau

kejauhan simetri dari sebuah distribusi.

Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan

besarnya (Mean ≠ Median ≠ Modus), sehinggamodus yang tidak sama

distribusi akan

condong.

terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan

2

U k u r a(

nS

K e c oe

ns

ds

o)

n g a n

k e w n

Rumus Kecondongan:

3

Kurva Sim etris

Md

=Md=MoX

U k u r a(

nS

K e c o n d o n g a n

k e w n e s s )

Nilai Sk akan berkisar dari -3 sampai +3, apabila nilai Sk negatif

menunjukkan kurva menceng ke kiri atau menceng negatif, sebaliknya jika

Sk positif, maka kurva condong ke kanan atau condong positif. Apabila Sk

nilainya sama dengan 0 (nol)

nol,

maka

akan

kurvanya

semakin

simetris. Kurva dengan nilai

Sk semakin mendekati mendekati kurva berbentuk

normal.

4

U k u r a n K e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )

Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah ditribusi yang

secara relatif terhadap suatu distribusi normal.

biasanya diambil

Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam yaitu :

1. Leptokurtik (4 > 3)

Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

2. Platikurtik (4 < 3)

Merupakan distribusi

3. Mesokurtik (4 = 3)

Merupakan distribusi

yang memiliki puncak hampir mendatar.

yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.

5

U k u r a n K e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )

6

Ker uncingan Kur va

Platykurtic Mesokurtic

Leptokurtic

U k u r a n K

(4)

e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )

Koefisien kurtosis untuk data berkelompok adalah:

dimana:

α4

n

f

X

μ

σ

=

=

=

=

=

=

koefisien kurtosis

jumlah data

jumlah frekuensi kelas

nilai tengah kelas

nilai rata-rata hitung

standar deviasi

data

8

CONTOH SOAL

Berikut adalah distribusi frekuensi dari 20 saham pilihanpada Bursa Efek Indonesia bulan April 2017.

a. Hitunglah nilai rata-rata hitung, median, modus, danstandar deviasi.

b. Hitunglah koefisien kecondongan (skewness) dankeruncingan (kurtosis).

Interval Frekuensi (f)

160-303 2

304-447 5

448-591 9

592-735 3

736-878 1

PENYELESAIAN

n = 20

μ = ∑fx / n = 9.813,5 / 20 = 490,7

Standar deviasi =

σ =∑𝑓.(𝑋−𝜇)2

𝑛−1=

397.814,6

19= 144,7

Titik Tengah (X) f f.X X - μ (X - μ)2 f.(X - μ)2 (X - μ)4 f.(X - μ)4

231,5 2 463,0 -259,2 67.171,7 134.343,4 4.512.034.678,0 9.024.069.356,0

375,5 5 1.877,5 -115,2 13.265,3 66.326,4 175.967.670,1 879.838.350,3

519,5 9 4.675,5 28,8 830,9 7.477,9 690.362,6 6.213.263,5

663,5 3 1.990,5 172,8 29.868,5 89.605,4 892.126.134,8 2.676.378.404,5

807,0 1 807,0 316,3 100.061,5 100.061,5 10.012.304.907,9 10.012.304.907,9

9.813,5 397.814,6 22.598.804.282,3Jumlah

PENYELESAIAN

• Letak median n/2 =20/2=10; jadi terletak pada frek.kumulatif antara 7-16

• Nilai Median

Md = 447,5 + (20/2) - 7 x 1449

= 495,5

Interval Frekuensi Tepi Kelas Frek. Kumulatif

160 - 303 2

159,5 0

304 - 447 5

303,5 2

448 - 591

447,5 7

Letak Median

592 - 735 3

591,5 16

736 - 878 1

735,5

878,5

19

2015

9

PENYELESAIAN

• Letak modus padafrekuensi kelas palingbesar = 9 kelas 448-591.

• Nilai Modus

4Mo 447,5 +4 6

447,5 57,6

505,1

17

Interval Frekuensi Tepi Kelas

160 - 303 2

159,5

304 - 447 5

303,5

448 - 591 d1

9

447,5

LetakModus

592 - 735

d2

3591,5

736 - 878 1

735,5

878,5

x 144

PENYELESAIAN

μ = 490,7

Md = 495,5

Mo = 505,1

σ = 144,7

Sk =490,7 −505,1

144,7atau Sk =

3(490,7−495,5)

144,7

Sk = -0,10 Sk = -0,10

Sk menunjukkan nilai negatif. Jadi kurva condong negatif (ke kanan). Hal ini

disebabkan adanya nilai yang sangat kecil sehingga menurunkan nilai rata-rata

hitungnya. Angka -0,10 menunjukkan kedekatan dengan nilai 0 sehingga kurva

tersebut kecondongannya tidak terlalu besar atau mendekati kurva normal.

PENYELESAIAN

μ = 490,7; Md = 495,5, Mo = 505,1; σ = 144,7

α4 =(1/20)(22.598.804.282,3)

(144,7)4= 2,58

Hasil koefisien keruncingan 2,58 dan lebih kecil dari 3, maka bentuk kurva adalah

platykurtic, sehingga data terdistribusi agak merata, di mana puncaknya termasuk

rendah. Hal tersebut menunjukkan tidak adanya frekuensi pada suatu kelas yang

sangat ekstrim dibandingkan dengan frekuensi pada kelas lainnya.

Titik Tengah (X) f f.X X - μ (X - μ)2 f.(X - μ)2 (X - μ)4 f.(X - μ)4

231,5 2 463,0 -259,2 67.171,7 134.343,4 4.512.034.678,0 9.024.069.356,0

375,5 5 1.877,5 -115,2 13.265,3 66.326,4 175.967.670,1 879.838.350,3

519,5 9 4.675,5 28,8 830,9 7.477,9 690.362,6 6.213.263,5

663,5 3 1.990,5 172,8 29.868,5 89.605,4 892.126.134,8 2.676.378.404,5

807,0 1 807,0 316,3 100.061,5 100.061,5 10.012.304.907,9 10.012.304.907,9

9.813,5 397.814,6 22.598.804.282,3Jumlah

Tugas Mandiri

Berikut ini adalah distribusi frekuensi nilai mata kuliahStatistika Deskriptif dari 40 mahasiswa FEB UMJ semester 2tahun 2017.

a. Carilah nilai rata-rata hitung, median, modus, dan standardeviasi.

b. Hitunglah tingkat kecondongan (skewness) dankeruncingan (kurtosis).

Nilai Frekuensi (f)

50-59 2

60-69 11

70-79 17

80-89 6

90-99 4

TERIMA KASIH.