• Tujuan Pembelajaran UmumSetelah membaca modul mahasiswa memahami

penggunaan atau penerapan persamaanmomentum untuk aliran saluran terbuka.

• Tujuan Pembelajaran KhususSetelah membaca modul dan menyelesaikan

soal-soal pelatihan mahasiswa dapatmenyelesaikan kegunaan persamaan

momentum.

Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa momentum darialiran melalui suatu penampang saluran sama denganjumlah gaya–gaya yang bekerja pada elemen aliran yang ditinjau. Ambil suatu volume kontrol aliran seperti padagambar berikut ini :

Gambar 2.23. Sket penerapan prinsip momentum untuk suatu aliransaluran terbuka

2

G sinθ

Pf

G θ

P1

P2

Datum

1

Z2

z1 L

y

Kembali digunakan Hukum Newton :K = m . a (2.24)

Untuk aliran dalam saluran terbuka berpenampangpersegi empat dengan kemiringan kecil PersamaanNewton tersebut dapat diuraikan sebagai berikut :

Gambar 2.24. Sket penampang saluran dari Gb. 2.23. berbentuk persegi empat

B

y

Dari gambar 2.23 dapat dinyatakan jumlah gaya–gaya yang bekerja di arah aliran yaitu :

K = P1 - P2 + G sin θ - Pf (2.25)

Dari hukum hidrostatika diketahui bahwa(lihat gambar 2.23) :

P1 = ½ ρ g y12 B (2.26)

P2 = ½ ρ g y12 B (2.27)

Komponen berat cairan aliran di arah aliran :( ) θρθ sin

2sin 21 LyyBgG +

=

( )L

zz 21sin −=θ (2.29)

(2.28)

Gaya geser yang bekerja sepanjang aliran adalah :

'2

''

..

21

0

0

ff

fff

fff

f

f

hyyBgp

hhBghAgp

LiORgLOiRgp

iRgT

LOTP

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=

==

==

=

=

ρ

ρρ

ρρ

ρ

(2.30)

( ) ( )tVVVVyytBgyyyBg

LyyBgBygByg

f21

212121

2122

21

22

sin2

2121

−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+−

βρρ

θρρρ

( )t

VVa 12 −=β

Dengan menggabungkan persamaan (2.26 s/d2.31 ke dalam persamaan 2.25) didapatpersamaan sebagai berikut :

ttQm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==∀=2

yy B 2

VV 2121ρρρ

Besarnya massa aliran adalah :

Percepatan aliran adalah : (2.31)

( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )21

2221

2121212121

21

22

21

2121

2122

21

21

'2121212

'22

2121

VVyyg

hyyzzyyyyyy

VVgyy

hyyzzyyyy

f

f

−+=

+−−+++−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+−

β

β

( )21

222121 ' VV

ghzzyy f −=−−++

β

'22

22

22

21

11 fhg

Vyzg

Vyz +++=++ββ

atau

dibagi ρ g B persamaan tersebut menjadi :

dibagi ½ (y1 + y2) persamaan tersebut menjadi :

(2.32)

Persamaan tersebut tampak seperti persamaanenergi, hanya saja koefisien pembagian yang digunakan adalah β bukan α, dan tinggikehilangan energi adalah hf' = kehilangan energieksternal yang disebabkan oleh gaya–gayayang bekerja dari dinding dan dasar saluranpada cairan. c

Dalam aliran seragam dimana gaya–gayapermukaan yang bekerja sama dengan jumlahperedaman energi maka perbedaan antara hfdan hf' tidak terjadi.

Penerapan persamaan momentum pada suatualiran dalam saluran prismatis lurus, horisontaldan pada jarak pendek, menghasilkanpersamaan sebagai berikut :

Gambar 2.25. Sket saluran prismatis lurus horisontal danberpenampang persegi empat

y

B

1 2

P1

P2

L

Y

1

Y

2

G

( )112221 sin VVg

yQPGPP f ββθ −=−++

22222

22

11112

11

2121

2121

AzgByygBygP

AzgByygBygP

ρρρ

ρρρ

===

===

( )112221 00 VVg

yQAzgAzg ββρρ −=−+−

dimana := jarak titik berat ke dasar saluran

Persamaan momentum di arah aliran :

Karena terletak horizontal : sin θ = 0Karena yang ditinjau jarak yang pendekPf = 0 ( kecil sekali sehingga dapat diabaikan)

(2.33)

zDengan besaran – besaran tersebut diatas makapersamaan (2.33) menjadi :

AzgAQAz

gAQ

gAQ

gAQ

AQ

AQ

gQAzAz

A 22

2

1

2

1

2

2

2

1221

+=+

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

FAzgAQ

=+2

dibagi ρ g atau γ, dan apabila β1 = β2 = 1 makapersamaan tersebut menjadi :

(2.34)

(2.35)

Apabila :

maka persamaan (2.34) dapat dinyatakan sebagaiberikut :

F1 = F2 (2.36)

Persamaan (2.35) menunjukkan bahwa Fmerupakan fungsi dari y ( F = f(y) ), sehingga dapatdibuat suatu lengkung hubungan antara F dan y.

Untuk memperjelas hal ini dapat dilihat pada contohsoal sebagai berikut :

Contoh soal 2.6

(a) Buat suatu kurva hubungan antara y dan F untuksuatu aliran saluran terbuka berpenampangpersegi empat dengan lebar = 6 m danQ = 5,4 m3/det. Disamping itu buat pula kurva hubungan antaray dan E. Letakkan dua gambar tersebut pada satuhalaman sehingga dapat dilihat persamaan danperbedaan antara dua kurva tersebut.

(b) Tentukan besarnya kedalaman kritis yc.

(c) Apabila kedalaman air awal adalah y1 = 0,40 yc. berapa besar kedalaman urutannya y2dengan menggunakan cara aljabar dandengan kurva tersebut pada soal a)

(d) Perbedaan y1 dan y2 membentuk suatuloncatan air maka hitung besarnya kehilanganenergi akibat loncatan tersebut.

(a) Perhitungan harga E dan harga F untuk berbagaikedalaman air dari 0,10 m sampai dengan 1,00 m dilakukan dengan membuat tabel sebagai berikut :

Tabel 2.4. Perhitungan harga E dan harga F contoh soal 2.5

y A = b y V = Q/A V2/2g E zA Q2/gA F

0,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

0,601,201,802,403,003,604,204,805,406,00

9,004,503,002,251,801,501,191,1251,000,90

4,1281,0320,4590,2580,1650,1150,0720,0650,0510,041

4,2281,2320,7590,6580,6650,7150,7720,8560,9511,041

0,030,120,270,480,751,081,471,922,433,00

4,9542,4471,6511,2390,9910,8260,7080,6190,5500,495

4,9842,5971,9211,7191,7411,9062,1782,5392,9803,495

Harga E dan F untuk setiap harga y diplot padakertas milimeter dengan hasil seperti padagambar 2.26.

Gambar 2.26. Hubungan antara lengkung energi spesifik(a) dan gaya spesifik (b)

0,5 1,0 1,5 1,0 2,02,75

2

0,5

y1 = 0,18

y2 = 0,87

1,0

y

E (m)

y

F (m³)4,03,0

1,0

0,5

E2 = 0,924 E1 = 1,454

Loncatan Air

1

(b)Menentukan besarnya kedalaman kritis yc :(1) Dari kurva seperti pada gambar (hasil

perhitungan pada pertanyaan a) didapat hargayc = 0,44 m (titik pada E dan F minimum).

(2) Dengan cara aljabarUntuk saluran berpenampang persegi empatdiketahui ;

Ac = B yc Vc = ccc y

qByqB

AQ

==

2D

g2V 2

=Aliran kritis :

Untuk saluran berpenampang persegi empat : D = y berarti untuk aliran kritis ;

( )3

2

cc

2c

gq

y................2y

g2y/q

==

det90,000,640,5

2mBQq

=

==

( )

m

yc

44,081,99,0

3

2

=

=

(c) Apabila kedalaman air awal y1 = 0,40 yc = 0,40 x 0,45 m = 0,18 m.Maka untuk mencari kedalaman urutannya(sequent depth) digunakan persamaan gayaspesifik : F1 = F2

849,20972,0752,2

18,06218,0

18,0681,94,5 2

111

2

=+=

××+××

=+ AzgAQ

22

2

2

2 62681,9

4,5849,2 yyy

F ×+×

==

0615,0950,0 23

2 =+− yy

mg

VyE 924,0054,087,0)87,06(81,92

4,587,02 2

222

22 =+=××

+=+=

mg

VyE 454,1274,118,0)18,06(81,92

4,518,02 2

221

11 =+=××

+=+=

mmmEEE 529,0924,0454,121 =−=−=Δ

Dengan cara coba-coba didapat harga y2 = 0,865 mDengan menggunakan kurva y vs E dan y vs F didapat y2 = 0,87 mSelanjutnya diambil y2 = 0,87 m

(d) Dari kurva pada Gb 2.26 didapat harga ΔE = E1 – E2 = 0,530 m

Dari kurva hubungan antara F dan y yang ditunjukkan dalam soal 2.5a dapat dilihatbahwa untuk satu harga F didapat dua harga y yaitu y1 dan y2 yang merupakan kedalamanurutan (sequent depth), kecuali pada harga F minimum yang hanya mempunyai satu hargay, atau dapat dikatakan bahwa y1 = y2 = yc . Untuk membuktikan bahwa untuk F minimum, y = yc diperlukan penurunan sebagai berikut :

( ) 0dy

AzddydA

gAQ

dAdF

QF

2

2

2

=+−=

+= AzgA

Gambar 2.27. Penampang saluran berbentuk sembarang

dA dy

z

T

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa T=dydA

Untuk perubahan kedalaman dy perubahan

( )

( ) AzdyTdyzA

atau

AzdydyTdyzA

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

2

:2

2

( )Azd

Apabila diferensial tingkat tinggi (dy2) dianggapsama dengan nol:

( ) dyAAzd =

dalam static moment dari luas penampang basahterhadap permukaan air adalah :

sehingga : AdydF

+−=dydA

gAQ

2

2

0dydF

=

2

:

0dydA

gAQ

2

2

2

2

2

2

Dg

V

DTA

gV

AgA

TQatau

A

=

==

=

=+−Jadi :

yang berarti pada harga F minimum aliran adalahaliran kritis.

F minimum apabila

y1

y2

Sisi miring

APRON

1.Suatu pelimpah amabang pendek seperti pada gambar 2.28 terletak pada suatu saluran berpenampang persegi empat

Gambar 2.28. Suatu pelimpah ambang pendek

Aliran pada sisi miring pelimpah merupakanaliran super kritis. Tinggi permukaan air disaluran hilir sedemikian sehingga alirannyasubkritis. Perubahan kedalaman air dari y1 = 1,00 m key2 = 1,50 m menyebabkan adanya loncatan air. Dengan menggunakan persamaan momentum hitung besarnya debit tiap satuan lebar (q) dandebit aliran (Q).

2. Untuk menstabilkan loncatan air tersebut padasoal 1 pada apron dipasang suatu ambangsehingga debit aliran q = 10 m2/det dan kedalaman awal dari loncatan air y1 = 1,50 m dan kedalaman urutannya y2 = 2,50 m.

Gambar 2.29. Suatu pelimpah pada apronnya dipasangsuatu ambang

y1y2

Sisi miring

AMBANG

Dengan menggunakan persamaan momentum hitung tekanan pada muka ambang dalam KN/m.

• Penerapan Hukum Momemtum dapatditurunkan persamaan gaya spesifik F yang

merupakan fungsi dari kedalaman aliran.

• Karena gaya spesifik meruapakan fungsi darikedalaman aliran (F = f(y)) maka dapat

digambarkan suatu kurva hubungan antarakedalaman air dan gaya spesifik.

• Dari kurva F vs y tersebut dapat dilihat bahwauntuk satu harga F terdapat dua harga y. Dalam

hal ini kedalaman y2 merupakan kedalamanurutan (sequence depth) dari kedalaman y1 dari

suatu loncatan air.

• Kedalaman air dimanaharga F minimum

menunjukkan angkayang sama antara y1

dan y2 (y1 = y2) kedalaman ini disebut

kedalaman kritis.

• Apabila untuk suatudebit aliran tertentudalam suatu saluran

prismatis kurva “energispesifik” dan kurva gaya

“gaya spesifik”disandingkan akan

dapat digunakan untukmenentukan besarnyakehilangan energi darisuatu loncatan air yang

terjadi di salurantersebut.