TUGAS PEMROGRAMAN KOMPUTER

PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN DENGAN METODE ITERASI

SATU TITIK SEDERHANA

DOSEN PENGAMPU: VISKA INDA VARIANI, M.Si.

OLEH:

AHMAD TORIQ M0206014

DEWAN PRATOMO M0206024

FAHRUDIN AHMAD M0206031

FU’AD PURNOMO M0206038

HASTHO WURIATMO M0206041

PRIHANTO HSBR M0206058

ROSYID KUS R. M0206060

SURYONO M0206070

TATAG TRI L. M0206072

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2010

2

I. PENDAHULUAN

Pemrograman komputer memiliki fasilitas perulangan yang dapat

diset sedemikian rupa sehingga dapat mengulang suatu steatment program,

sampai batas yang sudah ditentukan. Pemrograman computer juga

memiliki fasilitas penyelesaian kondisi yang dapat menyeleksi eksekusi

steatment berikutnya sesuai dengan kondisi yang diberikan.

Ada beberapa metode dalam mencari akar suatu persamaan. Salah

satunya adalah metode akolade, iterasi perhitungannya akan menghasilkan

nilai yang makin mendekati nilai sebenarnya (bersifat konvergen). Pada

metode terbuka diperlukan satu atau dua titik taksiran yang tidak harus

mengapit nilai akar yang dicari. Konsekuensinya dari metode terbuka ini

seringkali nilai hasil iterasi perhitungan menjauh dari nilai akar yang

dicari(bersifat konvergen). Tetapi bila metode terbuka konvergen, akan

diperoleh perhitungan yang lebih cepat dari metode akolade. Metode

iterasi sederhana satu titik adalah salah satu metode terbuka konvergen

yang sederhana dan cukup akurat untuk mencari sebuah akar persamaan.

Tugas kali ini akan mencoba mengimplementasikan penyelesaian

kondisi dan perulangan untuk menyelesaikan suatu persamaan dengan

metode iterasi stu titik sederhana. Persamaan yang akan diselesaikan di

sini maksudnya adalah pencarian akar-akar dari persamaan tersebut.

II. TEORI

Menentukan satu titik taksiran dengan cara mengatur fungsi f(x) = 0

sedemikian hingga x berada di ruas kiri, sehingga menjadi persamaan x =

g(x) dimanipulasi, sehingga persamaan iterasinya menjadi X i+1 =g(xi),

contoh:

1. x2 - 2x + 3 = 0 dimanipulasi menjadi x= x2+3

2

2. sinx = 0 dimanipulasi menjadi x =sinx+x

3

III. LISTING PROGRAM

Program Iterasi_Satu_Titik_Sederhana;

Usescrt;

Var XR,XN,ES,EA:Real;

IM,i:Integer;

Function PersIterasi(XF:Real):Real;

Begin

PersIterasi:=(-0.875*sqr(XF)+(1.75*XF)+2.625);

End;

Begin

Clrscr;

Writeln('Mencari Akar Persamaan');

Write('Perkiraan Akar Pertama= ');

Readln(XR);

Write('Toleransi Kesalahan= ');

Readln(ES);

Write ('Jumlah Iterasi Maksimal= ');

Readln(IM);

i:=1;

While i<=IM do

Begin

XN:=PersIterasi(XR);

If XN=0 Then XR:=XN Else

Begin

EA:=abs((XN-XR)/XN)*100;

IF EA<=ES Then

Begin

Writeln('Nilai Akar= ',XN:3:2);

Writeln('Toleransi= ',EA:3:2);

Writeln('Jumlah Iterasi= ',i);

i:=IM+1;

End;

4

XR:=XN;

End;

i:=i+1;

End;

If i=IM+1 Then

Writeln('Tidak ditemukan akar');

Readln;

End.

IV. OUTPUT PROGRAM

Mencari Akar Persamaan

Perkiraan Akar Pertama= 3.1

Toleransi Kesalahan= 0.001

Jumlah Iterasi Maksimal= 9

Tidak ditemukan akar

V. ANALISIS

Pada percobaan pertama yaitu mencari besarnya akar-akar persamaan

dari f ( x )=−0 , 875 x2+1 , 75 x+2 , 625 dengan metode iterasi satu titik

sederhana dan metode Newton Raphson. Pada metode iterasi satu titik

sederhana memerlukan tiga buah masukan dari luar yaitu perkiraan akar

pertama sebesar 3,1 , toleransi kesalahan sebesar 0,001% dan iterasi

maksimal. Iterasi maksimal merupakan suatu batas yang akan membawa

taksiran lebih mendekati harga akar yang sebenarnya. Pada program

terdapat perintah XN:=PersIterasi(XR) yang berfungsi memanggil

Function PersIterasi, apabila besarnya nilai akar yang sebenarnya (XN)

sama dengan nol maka besarnya perkiraan akar (XR) akan sama dengan

besarnya nilai akar yang sebenarnya (XN). Kemudian program akan

menghitung besarnya toleransi dengan listing

EA:=abs((XN-XR)/XN)*100, apabila besarnya toleransi sama atau lebih

kecil dari pada toleransi kesalahan pada masukan, maka program akan

5

menampilkan out put yaitu besarnya nilai akar, toleransi dan iterasi, tetapi

apabila besarnya iterasi sama dengan besarnya nilai iterasi maksimal

ditambah satu maka program akan mengeluarkan out put “Tidak

ditemukan akar”. Kita tinjau beberapa sifat dari metode interasi satu titik

sederhana, kalau turunan positif maka kesalahan akan positif sehingga

solusi iterasi akan monoton tapi jika turunan iterasi negative kesalahan

akan berosilasi. Dari analisa ini dapat diketahui bilamana metode

konvergen, kesalahan secara kasar akan sebanding dengan dan lebih kecil

daripada kesalahan dari langkah sebelumnya. Untuk alasan ini iterasi satu

titik sederhana dikatakan konvegen linier.

VI. SIMPULAN

1. Konsep dasar komputasi numeric untuk mencari akar persaman dengan metode

terbuka adalah formula yang membutuhkan sebuah harga tunggal dari x, oleh

karena itu, persamaan perlu dimodifikasi.

2. Kelebihan dari metode iterasi satu titik sederhana adalah akurat untuk

menghitung persamaan eksponensial.