tugas mekanika batuan 1 b

ANALISIS TEGANGAN

ANALISIS TEGANGAN1TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanMengapa mempelajari tegangan?Pada massa batuan terdapat kondisi tegangan awal yang harus dimengerti, baik secara langsung maupun sebagai kondisi tegangan yang diterapkan pada analisis dan desain.Selama dilakukan penggalian pada massa batuan kondisi tegangan akan berubah secara dramatik karena batuan yang tadinya mengalami tegangan telah digali sehingga tegangan akan diredistribusikan.Tegangan merupakan besaran tensor dan tensor tidak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.RKW2TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanSkalar, Vektor, dan TensorSkalar merupakan besaran yang hanya memiliki besar (contoh: suhu, waktu, massa).Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah (contoh: gaya, kecepatan, percepatan)Tensor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah serta bergantung kepada bidang tempat bekerjanya (contoh: tegangan, regangan, permeabilitas).RKW3TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanDefinisi TeganganUntuk setiap arah OP melalui O dapat dianggap bahwa benda dapat dipotong melalui suatu bidang kecil dA melalui O dan normal terhadap OP.Permukaan pada sisi P disebut sisi positif, sedangkan pada sisi lainnya disebut sisi negatif.RKW4Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O dalam suatu benda dapat diterangkan sebagai berikut

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanDefinisi Tegangan (Lanjutan)Efek dari gaya-gaya internal di dalam benda adalah sama dengan gaya dF yang dialami benda pada sisi positif. Juga akan terdapat kopel yang dapat dibaikan karena dA dianggap sangat kecil.Nilai limit dari rasio dF/dA dengan dA mendekati nol adalah vektor tegangan pada titik O yang bekerja pada bidang dengan normal pada arah OP.RKW5

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanDefinisi Tegangan (Lanjutan)Vektor tegangan ini adalah vektor pOP yang didefinisikan sebagai:

RKW6

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi TandaGaya-gaya yang dianggap positif adalah gaya-gaya tekan, yaitu yang berarah seperti yang ditunjukkan oleh dF.Hal ini berlawanan dengan konvensi yang digunakan dalam teori elastisitas dan mekanika kontinu. RKW7

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi Tanda (Lanjutan)Dalam mekanika batuan, akan lebih memudahkan untuk menggunakan tegangan tekan bertanda positif karena:Kondisi tegangan (tegangan in situ akibat overburden, tekanan pemampatan dalam peralatan-peralatan, dan tekanan fluida di dalam pori) selalu berupa tegangan tekan.Konvensi ini digunakan juga di dalam mekanika tanah dan geologi struktur.Banyak problem dalam mekanika batuan menyangkut gesekan pada permukaan dan dalam kasus ini tegangan normal pada permukaan adalah postif.RKW8TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi Tanda (Lanjutan)Perhatikan sebuah kubus dengan sisi paralel dengan sumbu x, y, dan z. Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:Tiga tegangan normal sxx, syy, dan szzEnam tegangan geser txy, tyx, tyz, tzy, tzx, dan txzRKW9

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi Tanda (Lanjutan)Arti subscript pada tegangan:Subscript pertama menunjukkan arah dari normal bidang dimana tegangan tersebut bekerja.Subscript kedua menunjukkan arah dari tegangan tersebut.Catatan: Untuk tegangan normal, kadang-kadang hanya digunakan satu subscript.Sebagai syarat kesetimbangan rotasional, maka semua gaya yang bekerja pada sisi kubus harus setimbang, sehingga: txy = tyx, tyz = tzy, dan tzx = txzRKW10TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi Tanda (Lanjutan)Konvensi tanda untuk komponen tegangan dapat didasarkan pada normal kedalam (inward normal) yaitu normal dari muka kubus yang berarah ke pusat kubus.Tegangan yang searah dengan normal kedalam adalah positif.RKW11

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi Tanda (Lanjutan)Pada muka horisontal bagian atas yang paralel dengan bidang x-y, normal kedalam berarah ke arah sumbu z negatif.Tegangan normal szz yang bekerja pada muka ini searah dengan arah normal kedalam, sehingga dianggap positif.RKW12

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanKonvensi Tanda (Lanjutan)+tzx dan +tzy bekerja pada arah negatif sumbu x dan y.Semua tegangan pada muka yang terlihat pada gambar di samping adalah positif.Pada muka bagian bawah, normal kedalam berarah ke arah sumbu z positif, sehingga +szz berarah yang sama.RKW13

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua DimensiPerhatikan sebuah elemen bujursangkar dengan sisi yang sangat kecil pada bidang x-y dan tebal t.Elemen ini mengalami tegangan normal sx, sy dan tegangan geser txy = tyx.RKW14

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)Akan ditentukan tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada sebuah bidang yang normalnya membentuk sudut q terhadap sumbu x dimana sx bekerja.Perlu digunakan prinsip kesetimbangan gaya dalam sebuah segitiga yang sangat kecil dengan tebal t.RKW15

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)Panjang sisi segitiga:AB = aOA = a sin qOB = a cos qUntuk memenuhi kondisi kesetimbangan, seluruh gaya yang bekerja pada arah s dan t dalam keadaan setimbang.RKW16

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

RKW17Fs = 0s at = sx cosq a cosq t + txy sinq a cosq t + sy sinq a sinq t + tyx cosq a sinq ts = sx cos2q + sy sin2q + 2txy sinq cosqDari trigonometri:


RKW18


RKW19Ft = 0t at = -sx sinq a cosq t + txy cosq a cosq t + sy cosq a sinq t - tyx sinq a sinq tt = (sy-sx)sinqcosq + txy(cos2q-sin2q)Dari trigonometri:


RKW20


RKW21Persamaan persamaan :Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normal s dan tegangan geser t pada setiap bidang yang didefinisikan oleh q untuk setiap kombinasi nilai sx, sy, dan txy.TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)Persamaan-persamaan yang diturunkan untuk s dan t dapat juga dilihat sebagai persamaan untuk menghitung sx dan txy pada sebuah sistem sumbu O,x,y yang merupakan hasil rotasi sumbu O,x,y sebesar q.Tegangan sy dapat dihitung dengan mengganti q dengan q+90ORKW22

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)RKW23

Sehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu menjadi:sx = sxcos2q + 2txysinqcosq + sysin2qsy = sxcos2(q+90O) + 2txysin(q+90O)cos(q+90O) + sysin2(q+90O)sy = sxsin2q 2txysinqcosq + sycos2q TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)RKW24Dengan menjumlahkansx = sxcos2q + 2txysinqcosq + sysin2q dansy = sxsin2q 2txysinqcosq + sycos2qdiperolehsx + sy = sx(cos2q+sin2q) + sy(cos2q+sin2q)sx + sy = sx + syJadi, hasil penjumlahan komponen-komponen tegangan normal yang saling tegak lurus adalah konstan atau invariant dengan perputaran sumbu. Ini merupakan sifat skalar dari tegangan dalam dua dimensi. TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

RKW25Ekspresi untuk tegangan geser tidak berubah:Arah-arah dimana t=0 disebut sumbu-sumbu utama (principal axes) dan komponen-komponen tegangan pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama (principal stresses) dan dinotasikan dengan s1 dan s3.Akan terdapat satu nilai q untuk mana tegangan geser tidak ada (t=0). TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

RKW26TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)Sudut 2q merupakan sudut dari sumbu x yang menunjukkan arah tegangan-tegangan utama s1 dan s3.Karena tan 2q = tan (2q+180O) makaSudut q merupakan arah s1 Sudut q+90 merupakan arah s3.Setelah sudut q diperoleh, s1 dan s3 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan untuk menghitung s di depan.RKW27TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

RKW28Tunjukkan bahwa s1 dan s3 dapat dinyatakan sebagai:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran MohrRKW29

Lihat kembali persamaan untuk menghitung s dan tTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)RKW30

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan menempatkan semua 2q di sebelah kananTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)RKW31

Pengkuadratan persamaan yang mengandung s menghasilkan:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)

RKW32Pengkuadratan persamaan yang mengandung t menghasilkan:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)

RKW33Penjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan:Persamaan apa yang mempunyai bentuk seperti ini?PERSAMAAN LINGKARANTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)

RKW34Persamaan umum lingkaran berbentuk:

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)

RKW35Persamaan :adalah Persamaan Lingkaran dengan:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)RKW36

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)Untuk memplot tegangan geser pada Lingkaran Mohr, digunakan konvensi tanda positif dan negatif yang hanya valid untuk keperluan presentasi grafis.Tegangan geser diplot positif jika tegangan tersebut akan memutar elemen berlawanan dengan arah putaran jarum jam.Tegangan geser diplot negatif jika tegangan tersebut akan memutar elemen searah dengan arah putaran jarum jam.RKW37TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)

RKW38++++++--TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)

RKW39

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLingkaran Mohr (Lanjutan)Lingkaran Mohr merupakan metode grafis sederhana dan cepat yang dapat digunakan untuk:Menentukan besar tegangan normal dan tegangan geser pada bidang tertentu.Menentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama.RKW40TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan

Tentukan tegangan normal dan tegangan geser (ke arah mana?) yang bekerja pada Bidang CTentukan besar dan arah tegangan utama mayor (s1) dan tegangan utama minor (s3)TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika Batuan

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika Batuan

RKW43Perhatikan Bidang CNormalnya bersudut 30O counter clockwise dari arah bekerjanya sx (sumbu x)ATAUBersudut 30O counter clockwise dari bidang tempat sx bekerja (Bidang A)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30O = 60OTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika Batuan

Perhatikan Bidang CNormalnya bersudut 60O clockwise dari arah bekerjanya sy (sumbu y)ATAUBersudut 60O clockwise dari bidang tempat sy bekerja (Bidang B)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60O = 120OTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanJadi secara grafis:s = 23.2 MPat = 3.9 MPaDengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:



Secara grafis:s = 23.2 MPat = 3.9 MPaDengan rumus:s = 23.196 MPat = -3.928 MPaOKOK?


s1 = 24 MPaBekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5O counter clockwise dari arah bekerjanya sx (sumbu x)ATAUBekerja pada bidang yang bersudut 18.5O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya sx (Bidang A)TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika Batuan

s3 = 4 MPaBekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5O counter clockwise dari arah bekerjanya sx (sumbu x)ATAUBekerja pada bidang yang bersudut 108.5O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya sx (Bidang A)TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanDengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:



TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 1 (Lanjutan)

OKOKTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika Batuan

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan dalam 3 DimensiTegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:Tiga tegangan normal sxx, syy, dan szzEnam tegangan geser txy, tyx, tyz, tzy, tzx, dan txzSebagai syarat kesetimbangan rotasional : txy = tyx, tyz = tzy, dan tzx = txzTegangan-tegangan yang bekerja cukup dinyatakan dengan enam komponenRKW55

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan dalam 3 Dimensi (Lanjutan)Jadi, kondisi tegangan pada sebuah titik dapat dinyatakan dengan matriks tegangan [s], sebagai berikut:

RKW56TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi TeganganSumbu-sumbu referensi untuk penentuan kondisi tegangan dapat dilakukan secara bebas.Sistem sumbu asal (x,y,z)Sistem sumbu baru (l,m,n)Orientasi dari sumbu tertentu, relatif terhadap sumbu-sumbu asal didefinsikan oleh sebuah vektor baris dari cosinus arah.Cosinus arah adalah proyeksi dari vektor satuan yang paralel dengan salah satu sumbu baru (l, m, atau n) pada salah satu sumbu lama (x, y, atau z).

RKW57TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Cosinus arah sumbu l: lx = cos al, ly = cos bl, lz = cos glRKW58

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Cosinus arah sumbu m: mx = cos am, my = cos bm, mz = cos gmRKW59

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Cosinus arah sumbu n: nx = cos an, ny = cos bn, nz = cos gnRKW60

TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Tetrahedron OABC adalah bagian dari kubus yang digunakan untuk menentukan kondisi tegangan sebelum ini.Untuk kesetimbangan, material yang dihilangkan digantikan oleh gaya penyeimbang sebesar t per unit luas yang bekerja pada ABC. Normal bidang ABC, yaitu OP mempunyai cosinus arah (lx, ly, dan lz).

RKW61TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Jika luas ABC adalah A, maka proyeksi ABC pada bidang-bidang dengan normal sumbu-sumbu x, y, dan z adalah:OAC = Ax = AlxOAB = Ay = AlyOBC = Az = AlzAnggap komponen-komponen vektor traksi t adalah tx, ty, tz.

RKW62TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Syarat kesetimbangan gaya pada arah x akan menghasilkan: txA sxAx txyAy tzxAz = 0 txA sxAlx txyAly tzxAlz = 0 atau tx = sxlx + txyly + tzxlzDengan menggunakan syarat kesetimbangan gaya pada arah y dan z, diperoleh:

RKW63TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Dengan melakukan hal yang sama untuk sumbu-sumbu l, m, dan n diperoleh:

RKW64TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)[t], [t*], [l], dan [l*] adalah vektor-vektor yang dinyatakan relatif terhadap sistem koordinat x,y,z dan l,m,n.

RKW65TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Dari dasar-dasar analisis vektor (MA2132): Suatu vektor [v] ditransformasikan dari satu sistem sumbu x,y,z ke sistem sumbu l,m,n melalui persamaan transformasi:

RKW66TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)Matriks [R] adalah matriks rotasi yang baris-barisnya dibentuk oleh vektor baris cosinus arah dari sumbu baru terhadap sumbu asal.Sifat khas matriks [R] adalah bahwa invers-nya sama dengan transpose-nya, atau:

RKW67Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan [t] dan [t*] serta [l] dan [l*]:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)

RKW68TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTransformasi Tegangan (Lanjutan)

RKW69Jadi, dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan persamaan di atas, maka komponen-komponen tegangan akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukanTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan UtamaSeperti telah diuraikan sebelumnya, bidang utama (principal plane) adalah bidang dimana tidak terdapat tegangan geser.Pada bidang ini hanya bekerja tegangan normal yang merupakan tegangan utama (principal stress), sedangkan normal dari bidang tersebut merupakan arah dari sumbu utama (principal axis).Karena terdapat tiga acuan arah yang harus diperhitungkan, akan terdapat juga tiga sumbu utama.Jadi, ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama yang harus ditentukan untuk menggambarkan kondisi tegangan di sebuah titik.RKW70TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)Misalkan bahwa bidang ABC pada pembahasan terdahulu mempunyai orientasi sedemikian rupa sehingga resultan tegangan yang bekerja padanya hanya tegangan normal sp. Komponen-komponen traksi pada bidang ABC adalah:

RKW71Pada pembahasan terdahulu komponen-komponen traksi dapat dihubungkan juga dengan kondisi tegangan dan orientasi bidang:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

RKW72Persamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan simultan yang homogen dalam lx, ly, dan lz. Persamaan di atas akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan dari matriks koefisien = 0, yang menghasilkan persamaan pangkat tiga:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)

RKW73I1 = Invariant tegangan (Stress invariant) pertamaI2 = Invariant tegangan (Stress invariant) keduaI3 = Invariant tegangan (Stress invariant) ketigaTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)Solusi dari persamaan

RKW74 adalah tiga tegangan utama, dengan urutan dari yang terbesar ke terkecil sebagai berikut: s1 = Tegangan utama mayor (Major principal stress) s2 = Tegangan utama tengah (Intermediate principal stress) s3 = Tegangan utama minor (Minor principal stress)TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan) Setiap tegangan utama akan berhubungan dengan sumbu utama, yang cosinus arahnya (lx,ly,lz) dapat dicari langsung dari persamaan matriks:

RKW75 dan sifat dasar dari cosinus arah, yaitu:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan) Brady & Brown (1993) mengusulkan bahwa untuk setiap tegangan utama si (i =1,2,3), cosinus arahnya adalah:

RKW76 dengan A, B, dan C adalah:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)

RKW77TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)Prosedur untuk menghitung tegangan-tegangan utama dan orientasi dari sumbu utama secara sederhana adalah penentuan nilai-nilai eigen (eigenvalues) dari matriks tegangan dan vektor eigen (eigenvector) dari setiap nilai eigen (Ingat: MA2132)Karena ketiga sumbu utama saling tegak lurus, maka hasil perkalian skalar (dot product) dari vektor cosinus arahnya sama dengan nol:

RKW78TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanTegangan Utama (Lanjutan)Karena penjumlahan komponen tegangan normal yang saling tegak lurus bersifat invariant (ingat materi terdahulu), maka:

RKW79Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitungan besar dan arah tegangan utamaTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 2sx = 7.825 MPasy = 6.308 MPasz = 7.866 MPatxy = 1.422 MPatyz = 0.012 MPatzx = -1.857 MPaRKW80Tentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama pada suatu titik jika keenam komponen tegangan pada titik tersebut adalahTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 2 (Lanjutan)

RKW81sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung tegangan utama menjadi:yang menghasilkan:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 2 (Lanjutan)

RKW82Mencari cosinus arah s1:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 2 (Lanjutan)

RKW83Periksa:TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 2 (Lanjutan)





RKW88Periksa ketegaklurusan sumbu utama 1 terhadap sumbu utama 2Periksa ketegaklurusan sumbu utama 2 terhadap sumbu utama 3Periksa ketegaklurusan sumbu utama 3 terhadap sumbu utama 1TA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika BatuanLatihan 2 (Lanjutan)

RKW89Periksa sifat invariant tegangan-tegangan utamaTA3111 Mekanika BatuanTA3111 Mekanika Batuan

tugas mekanika batuan 1 b

Documents