tugas materi determinan aljabar linear
DESCRIPTION
TUGAS MATERI DETERMINAN ALJABAR LINEAR. Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Determinan Matriks Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Sifat Determinan. Aplikasi penggunaan determinan. Beberapa Aplikasi Determinan Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Aljabar Linear 2
Determinan Matriks
Sub Pokok BahasanDeterminan MatriksDeterminan dengan Ekspansi KofaktorSifat Determinan
Aplikasi penggunaan determinan Beberapa Aplikasi Determinan
Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain
Aljabar Linear 4
Definisi Determinan Matriks
Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.Contoh :
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,
a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
21111
11111
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Aljabar Linear 5
Hasil kali elementer bertandaa11 a22 a33
– a11 a23 a32
– a12 a21 a33
a12 a23 a31
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
Perhatikan…Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif)
Aljabar Linear 6
Contoh : Tentukan Determinan matriks
Jawab :Menurut definisi :Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
Aljabar Linear 7
Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122
011
123
B
122
011
123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
22
11
23
Aljabar Linear 8
bcaddc
baA
det)det(
Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar
Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A
Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar
Aljabar Linier 9
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131
133123332121
123223332211
11 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)=3231
22213113
3331
23212112
3332
23221111 )1()1()1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132
233113331122
223213331212
21 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)= 3231
12113223
3331
13112222
3332
13121221 )1()1()1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:
21/04/23 19:03 MA-1223 Aljabar Linear 10
Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A 1
1 0
2 1
maka 13 M
Aljabar Linear 11
• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 1
0 1 1 12
12C
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 12
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j
det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn
Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 13
Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
jjjcaA
23)1(10 1 1
0 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 14
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
iii caA
32)1(10 1 0
1 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 15
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1
2- 1 2
2 1- 1-
C
1- 2- 2
1 1 1-
1 2 1-
)( TCAadj
Aljabar Linear 16
Latihan Bab 2
1. Tentukan determinan matriks dengan determinan/cramer dan ekspansi kofaktor
dan
2. Diketahui :
dan
Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211
121
112
P
144
010
023
Q
200
043
012
A
105
217
311
B
Aljabar Linear 17
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai
43
101
51
k
k
D
543
012
001
A
BA
BAx
tdet
5det2det 2
Aljaar Linear 18
Sifat-sifat determinan
1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann
{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann
{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka
det(A)=0
Aljabar Linear 19
Sifat-sifat determinan
8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:
a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)
b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)
c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)
9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0