Pokok Pembahasan:

“Aplikasi Integral Dalam Bidang Ekonomi”

Oleh: Widya PutriNPM: 1615310170Kelas: II Siang D

Prodi: ManajemenFakultas: Ekonomi Dan Bisnis

UNIVERSITAS PEMBANGUNAN PANCA BUDIMEDAN 2017

Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini seringdigunakan dalam menyelesaikan masalah fungsibiaya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsiproduksi serta fungsi konsumsi dan tabungan.

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkanuntuk mencari persamaan fungsi total dari suatuvariabel ekonomi apabila fungsi marjinalnyadiketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnyamerupakan turunan dari fungsi total, makadengan proses sebaliknya, yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebutatau fungsi totalnya. Marilah kita lihat masalahseperti apa yang mungkin akan timbul darimasing-masing fungsi tersebut.

FUNGSI BIAYA

Contoh kasus:Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

Biaya total C = f(Q)Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal

C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:Biya total : C = ∫ MCdQ= ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ= Q3 - 3Q2 + 4Q + k

Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/QKonstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetaptersebut adalah 4, maka:C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q

FUNGSI PENERIMAAN

Contoh kasus:Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q

Penerimaan total : R = f(Q)Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaanmarjinal

R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:Penerimaan total : R = ∫ MR dQ= ∫ (16 – 4Q) dQ= 16Q – 2Q2Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2QDalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebabpenerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

FUNGSI UTILITAS

Contoh kasus:Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jikautilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q

Utilitas total : U = f(Q)Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal

U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:Utilitas total: U = ∫ MU dQ= ∫ (90 – 10Q) dQ= 90Q – 5Q2Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipunkonstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.

FUNGSI PRODUKSI

Contoh kasus:Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya.

Produsi total :P = f(x) dimana.P = keluaran; x = masukanProduk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal

P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:Produk total : P = ∫ MPdX= ∫ (18x – 3x2 ) dX= 9x2 – x3Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2

FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN

Contoh kasus:carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negarajika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakanfungsional terhadap pendapatan nasional (Y).C = f(Y) = a + ByMPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = bKarena Y = C + S, makaS = g(y) = -a + (1 – b) YMPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-masingadalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ aS = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a

Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masingadalah outonomous consumption dan outonomous saving.

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.

Kalau ʃf(x).dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F (x) + c yang turunannya = F’(x) = f (x) maka yang dimaksud denganintegral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentuk

aʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah

batas atas.

Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).

Jadi, aʃb f(x)= [F(x)]b

a =F(b) – F(a)

Notasi [F(x)]ba berarti bahwa pada fungsi F(x),

harga x harus diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b) denganF(a).

Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dariintegral tak tentu, tetapi tidak lagimemasukkan faktor konstan c padaperhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.

Contoh:

2ʃ4 (3x2 + 4x – 2).dx = [x3 + 2x2 – 2x]4

2

= (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2)

= 88 – 12 = 76

B. Sifat-sifat Integral Tertentu

1. aʃbf(x).dx = 0

2. aʃbf(x).dx = –aʃ

bf(x).dx

3. aʃbf(x).dx + aʃ

cf(x).dx = aʃcf(x).dx

4. aʃb{f(x) + g(x)}.dx = aʃ

bf(x).dx + aʃbg(x).dx

5. aʃbk.f(x).dx = k.aʃ

bf(x).dx ; (k = bilangankonstan)

Operasi hitung integral dapat diterapkandalam persoalan ekonomi, misalnya dalamintegral tak tentu digunakan menghitungfungsi total, dan dalam integral tertentudigunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.

Jika diketahui fungsi demand dan supply suatubarang, operasi hitung integral dapat dipakaiuntuk menghitung surplus konsumen dansurplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.

Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebihtinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperolehkelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli denganharga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalahluas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari hargaP0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).

Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antarajumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlahpengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapatdinyatakan sebagai berikut:

SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = oʃxof(x).dx –

P0.X0

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah

jumlah uang yang disediakan.

Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barangdengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalampenjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barangini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jualuntuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po denganharga kurang dari po.

Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akanmenerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalamgambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkansebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uangyang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengansumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:

SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 – oʃxcg(x).dx

CONTOH SOAL :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D: p = –1/2 x2 – 1/2 x + 33 S: p = 6 + x Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat

terjadi markwt equilibrium (ME).

Penyelesaian: ME terjadi pada saat D = S –1/2 x2 – 1/2 x + 33 = 6 + x –1/2 x2 – 11/2 x + 27 = 0 X2 + 3x – 54 = (x + 9) (x – 6) = 0 Jadi, kuantitas equilibrium xo = 6 unit price

equilibrium po = 6 + 6 = 12 satuan rupiah.

Karena market equilibrium terjadi pada xo = 6 dan po = 12 maka;

SK = 0ʃ6(-1/2 x2 – 1/2 x + 33).dx – 12.6

= [-1/6 x3 – 1/4 x2 + 33x]60

= (-1/6 63 – 1/4 62 + 33.6) – (0) – 12.6 = (-36 – 9 + 198) – 72 = 81

Angka itu adalah selisih antara jumlah uang yang disediakankonsumen dengan jumlah uang yang dibelanjakan. Berdasarkancontoh diatas, surplus produsen adalah:

SP = 12.6 – 0ʃ6 (6 + x)dx

= 72 – [6x + 1/2 x2]60

= 72 – ((6.6 + 1/2 62)-0) = 72 – 54 = 18