RUANG VEKTOR

Trihastuti Agustinah.

Vektor pada Rn

• Definisi Ruang-n – Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real

• Notasi: Rn

– n = 2 pasangan terurut;

– n = 3 triple terurut

– n = 1 satu bilangan real (notasi: R1 atau R)

• 2 interpretasi geometris tripel terurut (a1,a2,a3):

– Titik: a1,a2,a3 sebagai koordinat

– Vektor: a1,a2,a3 sebagai komponen vektor

Interpretasi tripel terurut

Operasi standar

• Dua vektor u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn) pada Rn

– Sama u=v; u1= v1, u2= v2, ···, un= vn

– Jumlah: u+v = (u1+v1, u2+v2, ···, un+vn)

– Perkalian skalar: ku=(ku1, ku2,···, kun)

• Vektor nol Notasi: 0 0 = (0,0, ···,0)

Sifat-sifat aritmatika

• Jika u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) pada Rn

– Negatif: -u = (-u1, -u2,···, -un)

– Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v1-u1, v2-u2, ···, vn-un)

• Teorema: (k,l: skalar) v+ u = u +v k(l u) = (kl) u

u + (v+w) = (u +v) + w k(u +v) = k u + kv

u + 0 = 0+ u = u (k+l) u = ku+lu

u +(- u)= 0 u - u = 0 1u = u

Ruang n-Euclidean

• Misal u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn), w=(w1, w2,···, wn)

adalah vektor pada Rn dan k skalar

• Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean:

u·v = (u1v1 + u2v2 + ··· + unvn)

• 4 sifat penting inner product u·v = v·u (u+v)·w = uw + vw (ku)·v = k(u·v) v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0

Contoh 1

• Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor:

u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)

u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18

• Cara penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa

(3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v)

= (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v

= 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)

Norm dan jarak

• Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u1, u2,···, un):

• Definisi jarak (distance) antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn):

222

21

21)( nuuu uuu

2222

211 )()()(),( nn vuvuvud vuvu

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

• Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) pada Rn

• Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz:

atau

vuvu

nnvuvuvu 2211

21222

21

21222

21 )()( nn vvvuuu

Sifat-sifat norm dan jarak

• Jika u dan v adalah vektor dan k skalar ||u|| ≥ 0 ||u|| = 0 iff u =0 ||ku|| = |k| ||u||

perkalian vektor dgn skalar mengalikan panjang dr vektor sebesar k

||u +v|| ≤ ||u||+||v|| jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga

dr segitiga tersebut

u

ku

v

u

u + v

Vektor ortogonal

• Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff

u·v=0

• Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga

u

vu + v

• Teorema Phytagoras

||u+v||2=||u||2+||v||2

Ruang Vektor Real

• Definisi ruang vektor V:– himpunan objek di mana dua operasi berikut

didefinisikan pada V• jumlah dari pasangan objek dalam V • perkalian objek dengan skalar

• Jika aksioma –aksioma untuk ruang vektor terpenuhi oleh seluruh objek u,v,w dalam V dan skalar k dan l, maka

• V disebut ruang vektor • objek dalam V disebut vektor.

Aksioma-aksioma

• Jika u dan v adalah objek dalam V, maka u + v juga objek dalam V– u + v = v + u– u +(v +w) = (u+ v) + w

• Objek 0 dalam V disebut vektor nol untuk V – 0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V

• Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u– u + (- u) = (- u) + u = 0

• Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V– k(u +v) = ku + kv– k(l u) = (kl) u– 1u = u

Bukti

2221

1211

uu

uuu• Misal

2221

1211

vv

vvv

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

vuvu

vuvu

vv

vv

uu

uuvu

2221

1211

2221

1211 kuku

kuku

uu

uukku

uu0

2221

1211

2221

1211

00

00

uu

uu

uu

uu

0uu

00

00)(

2221

1211

2221

1211

uu

uu

uu

uu

Subspace (subruang)

• Definisi:– Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V jika

W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V

• Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W subspace dari V iff– Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W

– Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W

Contoh1: subruang

• Garis melalui origin adalah subruang u

vu + v

WW

uku

• Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v W adalah subruang dari R3

u

vu + v

W

ku

Subruang dari R2 dan R3

• Subruang dari R2

{0} Garis melalui origin R2

• Subruang dari R3

{0} Garis melalui origin Bidang melalui

origin R3

• Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang:– Subruang V – Vektor nol dalam V subruang nol (zero subspace)

Kombinasi linear dari vektor

• Untuk r = 1: w = k1v1

Kombinasi linear vektor tunggal v1

• Vektor w adalah kombinasi linear dari v1, v2,, vr dan k1,k2, , kr jika

rrkkk vvvw 2211

• Vektor v=(a,b,c): kombinasi linear dari vektor basis standar

kjiv cbacbacba )1 ,0 ,0()0 ,1 ,0()0 ,0 ,1() , ,(

Contoh 2

• w kombinasi linear dari u dan v bila

w = k1u + k2v

(9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2)

(9,2,7) = k1+6k2, 2k1+4k2, -k1+2k2

k1 + 6k2 = 9; 2k1 + 4k2 = 2; -k1 + 2k2 = 7 → k1=-3; k2=2

Maka w = -3u + 2v

• Vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2)

Tunjukkan bahwa w=(9,2,7): kombinasi linear dari u dan v w´=(4,-1,8): bukan kombinasi linear

Rentangan (spanning)

• Jika v1, v2,, vr adalah vektor dalam ruang vektor V, maka – Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,, vr

adalah subruang V– W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v1,v2,, vr

• Jika S = {v1, v2,, vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka – Subruang W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,, vr

disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut– W= span (S) atau W= span {v1, v2,, vr}

• Jika v1dan v2 adalah vektor di R3 dengan titik awal pada origin– Span{v1, v2} yang berisi seluruh kombinasi linear k1v1 +

k2v2: bidang melalui origin yang ditentukan oleh v1 dan v2

• Jika v merupakan vektor di R2 atau R3 – Span{v} yang berupa seluruh perkalian kv: garis yang

ditentukan oleh v

v1

k1v1

k1v1+ k2v2k2v2

v2

y

z

x

span{v1, v2}

v

kv

span{v}

y

z

x

Contoh 3

• Tentukan vektor semu b=(b1,b2,b3) sebagai kombinasi linear

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

(b1,b2,b3) = k1(1,1,2) + k2(1,0,1)+k3(2,1,3)

k1 + k2 + 2k3 = b1

k1 + k3 = b2

2k1 + k2 + 3k3 = b3

Sistem linear konsisten iff matriks koefisien A dapat diinverskan

det(A)=0 → A tidak dapat diinverskan

v1, v2 dan v3 tidak dapat merentang pada R3

• Tunjukkan bahwa v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1), v3 = (2,1,3) merentang ruang vektor pada R3

312

101

211

A

• Himpunan vektor S = {v1, v2, , vr}

• Persamaan vektor

k1v1 + k2v2 + + krvr = 0

• Jika hanya ada satu solusi– k1= 0, k2 = 0, , kr = 0

– S adalah himpunan bebas linier (linearly independent)

• Jika ada solusi yang lain

– S disebut himpunan takbebas linear

Kebebasan linear

Contoh 4

• Persamaan vektor dalam komponen

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0

k1(1, -2,3) + k2(5,6, -1)+k3(3,2,1)=(0,0,0)

(k1+5k2+3k3, –2k1+6k2+2k3, 3k1– k2 +k3) = (0,0,0)

• Persamaan untuk tiap komponen

k1 + 5k2 + 3k3 = 0

– 2k1 + 6k2 + 2k3 = 0

3k1 – k2 + k3 = 0

• Tunjukkan bahwa v1 = (1, -2,3), v2 = (5,6,-1), v3 = (3,2,1) membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas linear

Contoh 4 (cont.)

• Solusi sistem

k1= t/2; k2 = -t/2; k3 = t

• Solusi nontrivial

• v1, v2 dan v3: himpunan takbebas linear

• Eksistensi solusi nontrivial Determinan matriks koefisien sama dengan nol

Matrik tsb tidak dapat diinverskan

Interpretasi geometri dari kebebasan linear

y

z

x

v1

v2

y

z

x

v1

v2y

z

x

v1

v2

(a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier

y

z

x

v3

v2

y

z

x

v1

v2

y

z

x

v1

v2

v1

v3

v3

(a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier

Basis

• Definisi:– Jika V adalah ruang vektor– S = {v1, v2, , vn}: himpunan vektor dalam V

– S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut• S adalah bebas linear• S merentang V (S spans V)

• Teorema:– Jika S = {v1, v2, , vn}: basis untuk ruang vektor V

– Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja

Basis

• Bukti:

v = c1v1+ c2v2+ + cnvn

dan

v = k1v1+ k2v2+ + knvn

• Kurangkan kedua persamaan

0 = (c1– k1)v1+ (c2 – k2)v2+ + (cn – kn)vn

• Solusi: c1= k1, c2 = k2, , cn = kn

• Kedua ekspresi untuk v adalah sama

Dimensi

• Definisi:– Ruang vektor tak nol V disebut dimensi berhingga

– Bila V berisi himpunan vektor-vektor berhingga {v1, v2, , vn} yang membentuk sebuah basis

– Jika tidak terdapat himpunan vektor tersebut, V disebut dimensi tak berhingga

• Teorema:– Jika V adalah ruang vektor dimensi berhingga dan {v1, v2,

, vn} merupakan basis • Tiap himpunan yang memiliki vektor > n takbebas linear• Himpunan vektor < n tidak dapat merentang V

Dimensi

• Catatan: – Bila S = {v1, v2, , vn} adalah basis untuk V

– Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S

– Basis untuk Rn memiliki n vektor– Basis untuk R3 memiliki 3 vektor– Basis untuk R2 memiliki 2 vektor– Basis untuk R1 memiliki 1 vektor– Jumlah vektor dalam basis = jumlah dari dimensi

Contoh 5

• Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem homogen berikut:

2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0

– x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0

x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

• Augmented matriks:

011100

010211

013211

010122

• Reduksi eselon baris:

000000

001000

010100

010011

• Bentuk reduksi dalam persamaan:x1+ x2+ x5 = 0

x3+ x5 = 0

x4 = 0

• Dalam bentuk vektor:

• Solusi:

x1 = –s –t; x2 = s; x3 = –t; x4 =0; x5 = t;

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

5

4

3

2

1

ts

t

t

t

s

s

t

t

s

ts

x

x

x

x

x

• Vektor yang merentang ruang solusi:

1

0

1

0

1

dan

0

0

0

1

1

21 vv

• Vektor v1, v2: bebas linear

• {v1, v2}: basis

• Ruang solusi: dua dimensi

Ruang baris, kolom dan nul

• Jika A matriks m×n:– subruang Rn direntang oleh vektor baris disebut ruang baris

dari A– subruang Rm direntang oleh vektor kolom disebut ruang

kolom dari A– ruang solusi dari sistem homogen dari persamaan Ax = 0

yang merupakan subruang Rn disebut ruang nul dari A

• Teorema:– Sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b

merupakan ruang kolom dari A

Contoh 6

• Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A:

3

9

1

212

321

231

3

2

1

x

x

x

Contoh 6 (cont.)

• Solusi sistem:

x1 = 2; x2 = – 1; x3 = 3

• Sistem konsisten b merupakan ruang kolom A

• Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A

3

9

1

2

3

2

3

1

2

3

2

1

1

2

Basis untuk ruang baris, kolom dan nul

• Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks

• Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris:– Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol) basis untuk

ruang baris

– Vektor kolom dengan leading 1 basis untuk ruang kolom

Contoh 7

• Matriks:

00000

01000

00310

30521

R

• Basis untuk ruang baris:

• Basis untuk ruang kolom:

Rank dan nullity

• Rank: dimensi dari ruang baris dan ruang kolom

• Notasi: rank(A)

• Nulitas(nullity): dimensi dari ruang nul

• Notasi: nullity(A)

• rank(A)=dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom AT)

• rank(A) + nullity(A) = n

• Jumlah var. leading + jumlah var. bebas = n

Nilai maksimum dari rank

• Jika A matriks m×n:– rank(A) = jumlah var. leading dalam solusi Ax = 0

– nullity(A) = jumlah parameter dalam solusi Ax = 0

– Vektor baris terletak pada Rn ruang baris berdimensi n

– Vektor kolom terletak pada Rm ruang kolom dimensi m

– Ruang baris = ruang kolom

– mn, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n

• Nilai maksimum rank:– rank(A) min(m,n)