thmd 06 teori kinetika gas - staff. · pdf fileeksperimen hukum termodinamika i, ii, iii...

M. Hikam, Termodinamika: Teori Kinetika Gas

67

VI. Teori Kinetika Gas 6.1. Pendahuluan dan Asumsi Dasar Subyek termodinamika berkaitan dengan kesimpulan yang dapat ditarik dari hukum-hukum eksperimen tertentu, dan memanfaatkan kesimpulan ini untuk menghubungkan sifat-sifat material seperti kapasitas panas, koefisien ekspansi, kompresibilitas etc.

Eksperimen Hukum Termodinamika I, II, III Terlihat tidak ada hipotesa apa pun tentang sifat-sifat atau penyusun materi. Sampai disini termodinamika merupakan sains empiris. Meskipun dengan prinsip termodinamika dapat diprediksikan relasi beberapa sifat zat seperti selisih harga CP − Cv, namun nilai absolut kapasitas panas tidak dapat diturunkan dari prinsip termodinamika murni. Kita dapat mengatasi keterbatasan ini dengan melakukan beberapa hipotesa mengenai sifat materi.

CP , β, κ etc.


68

Hipotesa yang sudah cukup lama tetapi masih berguna sbb: Sifat-sifat zat dalam secara besar dapat diprediksi dengan teori molekular melalui dua cara: 1. Teori kinetik atau dinamik menggunakan hukum-hukum

mekanika untuk individual molekul. Dari sini dapat diturunkan beberapa ekspresi seperti tekanan, energi dalam dll.

2. Termodinamika Statistik mengabaikan detail pembahasan individual molekul, tetapi menggunakan probabilitas sejumlah besar molekul yang membentuk materi makro. Metode statistik ini dapat memperjelas lebih lanjut konsep entropi.

Asumsi Dasar (lihat juga buku-buku Fisika SMU Standar) Model molekular untuk gas ideal: 1. Volume makroskopik berisi sejumlah besar molekul-molekul. 2. Molekul-molekul dipisahkan pada jarak yang cukup besar

dibandingkan ukuran mereka. Molekul terus menerus bergerak. 3. Pada pendekatan pertama tidak ada gaya molekuler kalau terjadi

kolisi/tumbukan 4. Kolisi antar molekul dan dengan dinding terjadi secara elastik 5. Bila tidak ada gaya luar, molekul terdistribusi secara uniform 6. Arah pergerakan molekul terdistribusi secara uniform

Benda kontinu Terdiri dari partikel molekul


69

Bila ada N molekul pada suatu wadah dengan volume V maka jumlah molekul per-unit volume n: n = N/V Bila terdistribusi secara uniform maka: ∆N = n ∆V Secara analitik, asumsi ke 6 berbunyi: jumlah titik per unit area:

24 r

Nπ

dan pada sebarang elemen luas ∆A jumlah titik menjadi:

∆N = 24 r

Nπ

∆A

Lebih lanjut perhatikan gambar berikut: ∆A = (r sin θ ∆θ) ( r ∆φ) = r2 sin θ ∆θ ∆φ Jumlah titik pada area ini atau jumlah molekul ∆Nθφ yang memiliki kecepatan dengan arah antara θ dan θ+∆θ serta φ dan φ +∆φ

∆Nθφ = 24 r

Nπ

r2 sin θ ∆θ ∆φ = π4N sin θ ∆θ ∆φ

φ

θ

r

∆A


70

Kalau kedua suku dibagi V maka:

∆nθφ = π4n sin θ ∆θ ∆φ

Disini ∆nθφ berarti kerapatan molekul yang memiliki kecepatan dengan arah antara θ dan θ+∆θ serta φ dan φ +∆φ. 6.2. Fluks Molekular Karena gerakan random terjadi terus menerus, sejumlah molekul misal ∆N sampai ke dinding. Fluks molekular dapat dirumuskan:

Φ = tA

N∆∆

∆

Kalau ∆nv merupakan kerapatan molekul yang memiliki kecepatan antara v dan v + ∆v, maka

∆nθφv = π41

∆nv sin θ ∆θ ∆φ

Volume silinder ∆V = (∆A cos θ) (v∆t), sehingga:

Normal

v∆t

φ

∆Α

θ

Bidang

Referensi


71

∆Nθφv = π41 v ∆nv sin θ cos θ ∆θ ∆φ ∆A ∆t

Fluks menjadi:

∆Φθφv = tA

N v

∆∆

∆ θφ = π41 v ∆nv sin θ cos θ ∆θ ∆φ

6.3. Persamaan Gas Ideal Molekul-molekul menabrak dinding dan terjadi tumbukan elastik sempurna dapat diperkirakan tekanan pada dinding. Perubahan momentum: mv cosθ − (−mv cosθ) = 2 mv cosθ Tekanan pada dinding merupakan gaya per satuan luas: Tekanan = F/A

θ

vθ v cosθ

v sin θ

∆Α

Normal

v sin θ

−v cosθ v


72

Untuk ∆N molekul pada area ∆A

Tekanan = ∆N At

p∆∆

∆ , disini ∆p merupakan perubahan momentum

Hal ini berarti tekanan merupakan fluks dikalikan perubahan momentum, sehingga: ∆Pθv = (½v∆nv sin θ cos θ ∆θ)(2mv cosθ) = mv2∆nv sin θ cos2θ ∆θ Integrasi pada semua nilai θ: ∆Pv = 3

1 mv2∆nv akhirnya (jumlah untuk semua kecepatan): P = 3

1 m Σ v2∆nv Nilai kuadrat rata-rata kecepatan molekul dapat dinyatakan:

2v = Nv∑ 2

Kalau sejumlah ∆N1 memiliki kecepatan v1; ∆N2 memiliki kecepatan v2 dan seterusnya, maka:

2v = N

Nv v∑ ∆2 atau 2v =

nnv v∑ ∆2

sehingga Σ v2∆nv = n 2v dan P = 3

1 n m 2v Karena n = N/V maka

PV = 31 N m 2v

persamaan terakhir sudah seperti persamaan gas ideal PV = nRT (watch out n disini merupakan

jumlah mole, bukan N/V)

F = dtdp


73

Persamaan gas ideal dapat juga ditulis

PV = N AN

R T (mengingat n = N/NA)

sering dijumpai di fisika AN

R , sebut saja sebagai konstanta

Boltzmann:

k = AN

R

Secara numerik

k = AN

R = 26

3

10022,610314,8

×

× = 1,381×10-23 J molekul-1 K-1

Sehingga dalam konstanta Boltzmann:

PV = NkT

Kalau kita bandingkan dengan hasil dari teori kinetika gas PV = 3

1 N m 2v maka

NkT= 31 N m 2v

seterusnya

2v = mkT3

Teori ini secara tidak sengaja telah memberikan interpretasi molekuler tentang konsep suhu mutlak yang ternyata berbanding lurus dengan kecepatan kuadrat rata-rata. Juga:

energi kinetik translasional rata-rata berbanding lurus dengan suhu mutlak.


74

Tampak bahwa (karena 23 k merupakan konstanta) energi kinetik

hanya tergantung pada suhu dan tidak tergantung jenis molekul gas. Contoh pada suhu 300 K,

23 kT = 2

3 ×1,381×10-23×300 = 6,21×10-21 J

Kalau molekul berupa oksigen, maka 2v = 23,4×104 m2/detik2, sehingga vrms = 472 m/detik. Rms = root mean square. 6.4. Kolisi dengan Dinding Bergerak Sekarang kita tinjau mekanisme gas yang berekspansi menggerakkan piston. Bila komponen normal sebelum tumbukan v cos θ dan setelah tumbukan v′ cos θ′, maka v′ cos θ′ = v cos θ − 2u Kehilangan energi kinetik: ½ m(v cos θ)2 − ½ m(v cos θ − 2u)2 ≅ 2mvu cos θ (dengan hipotesis u << v).

θ′ θ v′ v

u


75

Kehilangan energi kinetik ini tergantung pada θ dan v tetapi tidak pada φ. Jumlah kolisi-θv dengan dinding per-unit area per-unit waktu: ∆Φθv = ½ v ∆nv sin θ cos θ ∆θ Jadi kehilangan energi kinetik: muv2 ∆nv sin θ cos θ ∆θ Integrasikan seluruh θ dan v didapat: 3

1 n m 2v u yang merupakan kehilangan energi kinetik total persatuan luas persatuan waktu. Karena 3

1 n m 2v merupakan tekanan (P), maka penurunan energi kinetik molekular per-unit waktu pada suatu luasan A sama dengan: 3

1 n m 2v u A = PA u = Fu laju kerja Jadi laju kerja sama dengan penurunan energi kinetik. Bila gas tidak menerima energi dari tempat lain, maka jelas temperatur gas tersebut turun. Ahtung! adalah nonsense untuk mengatakan bahwa temperatur molekul turun. (Why?) Dari segi pandang molekular, temperatur merupakan atribut molekul secara keseluruhan, yakni berbanding lurus dengan energi kinetik rata-rata. Secara individual energi kinetik molekul dapat lebih tinggi atau rendah.


76

6.5. Prinsip Equipartisi Energi Anggap campuran gas-gas tidak bereaksi maka tekanan total adalah jumlah tekanan parsial komponen-komponen gas (Hukum Dalton). (Lihat buku “Sains Fisika” SLTP) Bila gas-gas yang bercampur diberi nomor 1,2,3 etc., sehingga tekanan parsial masing-masing p1, p2, etc. dengan jumlah molekul N1, N2 etc., maka: p1V = N1kT, p2V = N2kT, etc. Massa masing-masing komponen m1, m2 etc., dapat ditulis: p1V = 3

1 N1m121v , p2V = 3

1 N2m222v , etc.

Dengan menyamakan ekspresi p1V, p2V etc. yang sesuai: 2

1 m121v = 2

3 kT , 21 m2

22v = 2

3 kT , etc. Suku sebelah kiri merupakan energi kinetik translasi rata-rata berbagai gas.

dalam campuran Ek rata-rata ini bernilai sama. Disebut sebagai “prinsip equipartisi energi”.


77

Sekarang kita tinjau keadaan lain. Energi kinetik translasi yang berkaitan dengan molekul dengan kecepatan pada komponen-x dan massa m dapat ditulis: ½ m 2

xv . Nilai kuadrat rata-rata kecepatan: 2v = 2

xv + 2yv + 2

zv Karena arah-arah x, y dan z merupakan arah yang ekuivalen, maka 2

xv = 2yv = 2

zv dan 2v = 3 2

xv = 3 2yv = 3 2

zv Energi kinetik rata-rata per molekul pada salah satu komponen: 2

1 m 2xv = 6

1 m 2v = 21 kT

Tampak merupakan sepertiga energi kinetik total.

Energi kinetik rata-rata per komponen: Ek = 2

1 kT Energi kinetik translasi mempunyai tiga komponen kecepatan, dikatakan memiliki 3 derajat kebebasan, f. Molekul tidak hanya memiliki derajat kebebasan translasi, khususnya yang diatomik, triatomik dll., tetapi ada juga vibrasi dan rotasi. Apabila ada f derajat kebebasan, maka energi per molekul:

ε = 2f kT

dan energi total dari N molekul:

Nε = 2f NkT =

2f nRT


78

6.6. Teori Kapasitas Panas Klassik Perubahan energi dalam antara dua keadaan keseimbangan: Ua − Ub = Wad Disini yang terdefinisikan hanyalah perubahan energi dalam. Kalau dilihat dari model molekular, maka energi dalam dapat diidentifikasi (secara hipotesis) sebagai jumlah energi-energi individual molekul. Untuk N molekul gas dengan f derajat kebebasan:

U = 2f NkT =

2f nRT

Energi dalam spesifik (per-mole):

u = nU =

2f RT

Untuk mengecek kebenaran hal ini paling mudah dilihat dengan kapasitas panas. Kapasitas panas molal pada volume tetap:

cv = vT

u

∂∂

sehingga hipotesa di atas akan benar bila:

cv =

RTf

dTd

2=

2f R

Dari relasi termodinamika untuk gas ideal:


79

cP = cv + R cP = 2f R + R =

22+f R

dan

γ = v

Pcc =

2

22

f

f +

= f

f 2+

Nilai γ ini dapat dicocokkan dengan hasil eksperimen. Sekarang evaluasi: f = 3 γ = 1,6667 cP/R = 2,5 cv/R =1,5 f = 4 γ = 1,5 cP/R = 3 cv/R =2 f = 5 γ = 1,4 cP/R = 3,5 cv/R =2,5 f = 6 γ = 1,3333 cP/R = 4 cv/R =3 f = 7 γ = 1,284 cP/R = 4,5 cv/R =3,5

Cocokkan dengan data eksperimen:

Gas

γ

cP/R

cv/R R

cc vP −

He Ne Ar Kr Xe

1,66 1,64 1,67 1,69 1,67

2,50 2,50 2,51 2,49 2,50

1,506 1,52 1,507 1,48 1,50

0,991 0,975 1,005 1,01 1,00

H2 O2 N2 CO NO Cl2

1,40 1,40 1,40 1,42 1,43 1,36

3,47 3,53 3,50 3,50 3,59 4,07

2,47 2,52 2,51 2,50 2,52 3,00

1,00 1,01 1,00 1,00 1,07 1,07

CO2 NH3

1,29 1,33

4,47 4,41

3,47 3,32

1,00 1,10

CH4 Udara

1,30 1,40

4,30 3,50

3,30 2,50

1,00 1,00


80

Diskusi: Untuk gas-gas mulia (He, Ne, Ar, Kr, Xe): Cukup “match” untuk f = 3 Fisis: gas monatomik memiliki 3 derajat kebebasan translasi Untuk gas-gas diatomik (H2, O2, N2, CO, NO, Cl2) Cukup “match” untuk f =5 (perkecualian untuk gas Cl2 yang “meminta” f =6)

Fisis: Untuk gas diatomik seharusnya ada 7 derajat kebebasan (3 translasi, 2 rotasi dan 2 vibrasi). Tampaknya ada satu atau dua “mode” vibrasi yang tidak terjadi pada temperatur ruang.

Untuk gas-gas triatomik dan yang lebih tinggi, juga ada kesesuaian dengan eksperimen. Konklusi umum: (leave to the readers)

y

y

x

x

z

z


81

6.7. Kapasitas Panas Spesifik Zat Padat Molekul-molekul dalam zat padat, tidak seperti pada gas, memiliki keterbatasan gerak biasanya hanya memiliki gerak vibrasi sekitar titik tetap. Dapat dibayangkan masing-masing molekul melakukan gerak harmonis. Masing-masing memiliki 3 derajat kebebasan. Karena gerak harmonis maka energi kinetik akan bernilai sama dengan energi potensial, jadi energi setiap derajat kebebasan menjadi kT (yakni ½kT untuk energi kinetik dan ½kT untuk energi potensial). Energi total untuk N molekul dapat ditulis: U = 3NkT Apakah ini cocok? Tinjau parameter yang dapat diukur secara eksperimen yaitu kapasitas panas spesifik molal pada volume tetap: cv = 3R = 3×8,31×103 = 24,9×103 J kilomole-1 K-1

Angka ini ternyata cocok dengan eksperimen kapasitas panas spesifik zat padat pada suhu temperatur kamar, tetapi tidak sesuai untuk suhu rendah. Diperlukan koreksi Mekanika Kuantum untuk teori cP pada suhu rendah. (Akan dibahas pada bab selanjutnya) Latihan 1. 9-5 2. 9-13 3. 9-21 4. 9-23

thmd 06 teori kinetika gas - staff. · pdf fileeksperimen hukum termodinamika i, ii, iii...

Documents