Teknik Integrasi 1. Integrasi dengan subtitusi Substitusi dalam Integral Tak-tentu Teorema Substitusi dalam Integral Tak-tentu Andaikan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan anggaplah F antiturunan dari f. Kemudian, jika u = g(x), ( ) = ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) Contoh 1 Carilah Penyelesaian Misalkan ; ; Lalu substitusikan ke soal sehingga menjadi =

Substitusi dalam Integral Tentu Contoh Hitunglah 2. Integral Trigonometri Jika metode subtitusi dikombinasikan pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka banyak bentuk trigonometri yang dapat diintegralkan. 1. 2. 3. dan , , ,

Jenis 1 ( a. Untuk n ganjil Contoh Carilah Penyelesaian ( Misal ; (

dan

)

) )

(

)

=

=

b. Untuk n genap Contoh Carilah Penyelesaian Misalkan ( ) = ( = ( ( ) = ( ; ) )+C = ( ) = ( ) )

Jenis 2 ( a. m atau n ganjil Contoh Carilah Penyelesaian ( Misal ( ) = = )(

)

= ( )

)(

)

(

)

*

(

)

(

)

+

=

b. m dan n keduanya genap Contoh Carilah Penyelesaian ( ( ( )) )( = ( ) ( = ( )) )

Jenis 3 ( 1. 2. 3. Contoh Carilah Penyelesaian Misalkan ( ) = [ [ [ [

( ( ( ) ) ) ( ( (

) ] ) ] ) ]

)

(

)]

=

+C

3. Substitusi yang Merasionalkan Integral yang melibatkan Jika integral kita berbentuk Contoh Carilah

, maka substitusi

akan menghilangkan akar

Penyelesaian Misal Maka

sehingga =

dan = ln | , |

.

Integral yang Melibatkan

dan

Untuk merasionalkan tiga persamaan ini, maka substitusi trigonomei nya adalah Akar 1. 2. 3. Substitusi

Contoh 1 Carilah Penyelesaian Misalkan Contoh 2 Carilah Misalkan

; = =

; =

= ( )

=

Penyelesaian ; = = ln | | | = = ln|

= |+C

=

= ln|

| - ln 2 + C = ln|

Contoh 3 Carilah Penyelesaian Misalkan

; =

; = (

= ) =

=

Integral Parsial Integral parsial ini digunakan apabila integrasi menggunakan substitusi tidak berhasil. Integral Parsial: Integral Tak tentu Integral Parsial: Integral Tentu [ | ]

Contoh 1 Penyelesaian Misalkan Sehingga =[ Contoh 2 Penyelesaian Misalkan Sehingga =[

dan ] =

dan | ] = ( )

Integrasi Fungsi Rasional Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Linier) 1. Faktor linier yang berbeda Contoh1 Carilah Penyelesaian( )( )

; ( )( ) ( ) ( ) A= -1; B=C= .

Sehingga = |+ ln| | = - ln | | - ln|

2. Faktor linier berulang Contoh2 Carilah ( ) Penyelesaian( )

=

(

)

(

)

;

( Sehingga ()

)

; A=1 dan B=3

= ( = ln |

)

+ ( |

)

3. Beberapa faktor linier berbeda dan ada yang berulang Contoh Carilah ( Penyelesaian)( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

) ) ( )

( )( ( ) Sehingga diperoleh A= 4; B=-1 dan C=2 |

(

)(

)

(

) |

( |

)

(

)

= 4 ln |