TUGAS

Deret Taylor dan Transformasi Laplace pada Persamaan Aliran Air Tanah dalam Akuifer

Mata Kuliah: SA-2205 Air Tanah

Dosen: Eka Oktariyanto N., ST., MT., Ph.D.

Disusun oleh:Wildan Al Farisy 15813018

PROGRAM STUDI TEKNIK DAN PENGELOLAAN SUMBER DAYA AIRFAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2015

Persamaan gerak di aliran air tanah merupakan hubungan matematis, persamaan ini digunakan sebagai tools untuk menggambarkan atau mendekati aliran air tanah melalui akuifer.

Digunanakan pendekatan melalui deret taylor dan transformasi laplace

Penggunaan Deret Taylor

Aliran tidak tetap air tanah digambarkan melalui persamaan difusi (penyebaran).

Massa adalah massa jenis dikalikan volume. Pada kebanyakan kasus, air dapat diasumsikan tidak dapat dimampatkan (incompressible) sebab massa jenis tidak dipengaruhi oleh tekanan. Fluks massa melintasi suatu batasan dan menjadi fluks volume (sesuai hukum Darcy).

Menggunakan persamaan Taylor untuk merepresentasikan fluks masuk dan fluks keluar melintasi suatu batasan dari volume kontrol:

∑n=0

∞ f (n) .(a)n!

(x−a)n=f (a )+ f ' (a)1 !

( x−a )+ f ' '(a)2!

(x−a)2+f (3)(a)3 !

(x−a)3+…

Dan dengan menggunakan teorema divergensi Gauss untuk merubah fluks di batas menjadi fluks pada keseluruhan volume:

∭ (∇ .F )dV=∬ F .ndS

Maka persamaan akhir gerak air tanah menjadi:

Ss∂h∂ t

=−∇ . q−G

*) Fluks adalah aliran properti fisik dalam ruang dengan dua penerapan utama: dalam fenomena perpindahan dan integral permukaan.

Persamaan di atas lebih dikenal dikenal dengan persamaan difusi, yakni suatu persamaan diferensial parabola parsial. Persamaan matematika ini membuktikan bahwa perubahan dalam head hidraulik terhadap waktu (ruas kiri) sama dengan –q dan G. Kedua persamaan tersebut memiliki head dan fluks yang tidak diketahui, namun Hukum Darcy mengaitkan fluks terhadap head hidraulik, sehingga apabila disubstitusi menjadi:

Ss∂h∂ t

=−∇ . (−K .∇h )−G

Apabila nilai K adalah seragam dan isotropic, persamaan tersebut dapat dipisahkan dari turunan spasial, lalu disederhanakan menjadi persamaan berikut:

Ss∂h∂ t

=K ∇2h−G

Persamaan tersebut kemudian dibagi dengan Ss, substitusikan difusi hidraulik (α = K/Ss). Difusi hidraulik sebanding dengan kecepatan ketika tekanan pada batas tertentu merambat melalui sistem, mengakibatkan persamaan gerak air tanah menjadi:

∂h∂ t

=α ∇2h−G

Penggunaan Transformasi Laplace

Aliran steady air tanah digambarkan melalui persamaan Laplace.

Persamaan umum Laplace: F ( s )=∫0

∞

e−st f ( t )dt

Persamaan Laplace untuk Confined Aquifer: ∂2h∂ x2

+ ∂2h∂ y2

= ST∂h∂t

Persamaan Laplace untuk Unconfined Aquifer: T∂2h∂ x2

+T ∂2h∂ y2

+K ∂hh

=n ∂h∂ t

Apabila tidak ada aliran yang masuk ataupun keluar sepanjang arah z (nilai K∂hh

=0), persamaannya

menjadi: ∂2h∂ x2

+ ∂2h∂ y2

= nT∂h∂t

Akibat adanya dua lapisan kedap air yang menjadi pembatas akuifer atas dan akuifer bawah, maka confined aquifer menyeimbangkan laju bersih transport massa (masuk dan keluar) pada volume kontrol adalah nilai S yang merupakan kumulatif perubahan isi air akibat kompresi akuifer dan kompresi air di dalam akuifer. Penyeimbang laju bersih transport massa pada unconfined aquifer adalah kadar air dalam kondisi jenuh(saturated) atau disebut juga porositas akuifer.

Ketika kondisi aliran baik itu pada confined aquifer maupun pada unconfined aquifer dalam kondisi

steady (∂hdt

=0), maka kedua persamaan akuifer tersebut menjadi:

∂2h∂ x2

+ ∂2h∂ y2

=0

Persamaan tersebut adalah persamaan Laplace untuk dua dimensi, merupakan persamaan dasar aliran air tanah pada aliran air steady untuk aliran fluida tak termampatkan (incompressible flow) pada formasi geologi tanah yang homogen isotropis.