sudut, sin Ѳ,cos Ѳ,tgn Ѳ, secan Ѳ
TRANSCRIPT
1
sudut, sin Ѳ,cos Ѳ,tgn Ѳ,
secan Ѳ?
tan tan1
tan tan)( tan
Henny Ekana C, SSi, MPd Prodi Pendidikan Matematika
2
KATA PENGANTAR
Masih ingat tentang trigonometri? Apa yang terlintas di benak anda jika kita berbicara
tentang trigonometri? Materi ini sudah anda kenal sejak duduk di bangku SMA. Sulit, banyak
rumus? Tidak. Trigonometri berarti tentang sudut? Benar. Trigonometri sebagai suatu metode
dalam perhitungan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-
perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada
prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut,
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu trigonom
berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran.
Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang
mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu
sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga
pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900) artinya
segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.
3
BAB1 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
KOMPETENSI DASAR
Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti.
INDIKATOR
Setelah mempelajari modul ini diharapkan :
1. Mahasiswa mampu memahami dan menentukan besaran sudut (radian/derajat)
2. Mahasiswa dapat memanipulasi bentuk trigonometri yang satu ke bentuk trigonometri
yang lain.
3. Mahasiswa dapat membandingkan nilai sinus,kosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen
suatu sudut.
4. Mahasiswa dapat membuktikan rumus identitas trigonometri
1. SATUAN SUDUT
Dalam pembicaraan tentang trigonometri, tidak lepas dari konsep sebuah sudut, karena
dalam fungsi trigonometri domain fungsi tersebut berupa sudut. Sebuah sudut
dihasilkan oleh putaran sebuah sinar terhadap titik pangkalnya. Terdapat beberapa
satuan untuk menyatakan besar sudut :
Derajat siksagesimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 360 bagian yang
sama. Setiap bagian disebut 10 . Sehingga satu putaran penuh = 360 0
Satuan derajat sentisimal tersebut yang sering kita gunakan dalam penghitungan
besar sudut
Derajat sentisimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 400 bagian yang sama.
Setiap bagian disebut 10 . Sehingga satu putaran penuh = 400 0
Radian.
1 radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya
sama dengan jari-jari.
Perhatikan gambar berikut: lingkaran O tersebut memiliki jari-jari r. Panjang busur AB
=jari-jari lingkaran O = r
AOB = 1 rad
4
Hubungan radian dengan derajat :
Jika 1 putaran penuh adalah 3600, maka besar sudut tersebut dalam radian adalah
memiliki panjang busur yang merupakan keliling sebuah lingkaran
360 = r
r2 rad
= 2 rad
180 = rad.
Sehingga pendekatan untuk 1 rad =
0180= 57,3
Pertanyaan penalaran : Apakah nilai di atas sama dengan harga = 3,14…?
LATIHAN
Ubahlah satuan sudut berikut ke dalam derajat
1. 3π rad
2. 10 rad
3. rad4
3
Jadi 1 0 =……………………rad
Ubahlah satuan sudut berikut dalam satuan rad
1. 2000
2. 1200
3. 800
Jadi besar 1 rad = ……………………..0
r
r
O
r
A
B
r
5
2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
a c
c b A
Gambar di atas adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di
hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b dan panjang sisi di
hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
Pertanyaan : ada berapa perbandingan yang dapat anda buat dari ke 3 sisi segitiga tsb?
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri
terhadap sudut sebagai berikut:
1. c
a
hipotenusa panjang
Asudut depan disiku -siku sisi panjang sin
2. c
b
hipotenusa panjang
Asudut (berimpit)dekat disiku -siku sisi panjang osc
3. b
a
Asudut dekat disiku -siku sisi panjang
Asudut depan disiku -siku sisi panjangtan
4. a
c
Asudut depan disiku -siku sisi panjang
hipotenusa panjang osecc
5. b
c
Asudut dekat disiku -siku sisi panjang
hipotenusa panjang ecs
α
6
6. a
c
Asudut depan disiku -siku sisi panjang
Asudut dekat disiku -siku sisi panjangcot
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
3. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB
Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius
adalah dengan koordinat kutub.
Pada gambar A titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat
kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar B.
Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan
hubungan:
r
xcos cosrx sehingga koordinat kutubnya adalah
P( sin,cos rr )
r
ysin sinry
cos
sin tan
sin
cos cot
cos
1 sec
sin
1 csc
y
x X
Y P(x,y)
O
Koordinat kartesius
artesius
y
x X
Y P(r, )
r
O
Koordinat kutub
7
Namun ada yang perlu diperhatikan, kedudukan titik tersebut berada? Karena hal tersebut
berkaitan dengan besar sudut di kuadrannya. Coba ubah koordinat A ( 1,1) , B ( -1,1) dan C(-1, -
1) ke dalam koordinat kutub? Bagaimana besar sudutnya?
4. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT ISTIMEWA
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel
matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90. Sudut-sudut istimewa yang akan
dipelajari adalah 30, 45,dan 90.
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan lingkaran satuan
x2 + y2 = 1 seperti gambar berikut ini.
a. Sudut 450
Perhatikan segitiga OAB dengan OAB= 450 ,maka :
OA=OB
OA2 + OB2 = OC2
OA2 + OA2 = r2
2OA2 = 1
OA2 = OA = = OB
Sehingga koordinat P( x,y) adalah (
b. Sudut 300
Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C terletakpada
AB. dengan sudut COB = 30o . Segitiga OAB adalah segitiga sama sisi dengan r =1,
sehingga panjang sisi OB= OA =AB = 1, dan CB = CA = dan OC= 32
1
.
Sehingga P(x,y) adalah )2
1,3
2
1(P
2
103 sin
32
103 cos
O
B
A
Y
X
45O
O
B
C
Y
X
30O
30O
A
8
33
1
3
130tan
Cobalah untuk sudut 600, bagimana dengan perbandingan trigonometri pada sudut 900
dan 1800
Kesimpulan tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0 30 45 60 90
sin 0 2
1 2
2
1 3
2
1 1
cos 1 32
1 2
2
1
2
1 0
tan 0 33
1 1 3
tak terdefinisi
cot tak
terdefinisi 3 1 33
1 0
Jika 0
0
90cos
90sin90tan ..maka benarkah jika harga
0
190tan
Gambar grafik :
y=sin x
y= cos x
9
5. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN
P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP
adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam
koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai
dengan 90. Perlu diketahui bahwa
ry 22xOP dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri
baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang
OP (r) sebagai berikut:
1. r
y
OP panjang
Pordinat α sin 4.
y
r
P ordinat
OP panjangαcsc
2. r
x
OP panjang
P absisα cos 5.
x
r
P absis
OP panjangα sec
3. x
y
P absis
Pordinat αtan 6.
y
x
Pordinat
P absisαcot
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II,
kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
y
x X
Y P(x,y)
r
O
y= tangent x
10
6. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360
), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya
penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen)
untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut
110 adalah 70.
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )
Dari gambar, Titik P1 (x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y x,
sehingga diperoleh:
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
Titik di berbagai kuadran
y
x X
Y P(x,y)
r
1
O
y
x X
Y P(x,y)
r
2
O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
3 O
y
x
X
Y
r
P(x,y)
4
O
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(90-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
y = x
sudut yang berelasi pada 90 0 -
O
11
y
x X
Y
P(x,y)
r
(180-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
sudut yang berelasi 1800-
cos90 sin1
1 r
x
r
y
sin90 cos1
1 r
y
r
x
cot 90tan 1
1 y
x
x
y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - )
dapat dituliskan sebagai berikut:
Pertanyaan : Coba buat perbandingan trigonometri untuk sudut (900+ )
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik
P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu
y, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
sin180 sin1
1 r
y
r
y
sin180 cos1
1 r
x
r
x
tan180tan 1
1
x
y
x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. cos90 sin d. sec90csc
b. sin90 cos e. ec cos90sec
c. cot90 tan f. tan90 cot
a. sin180 sin d. csc180csc
b. cos180 cos e. sec 180sec
c. tan180 tan f. cot180 cot
12
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )
Dari gambar di samping titik P1(x1,y1) adalah bayangan
dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y
x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
sin180 sin1
1
r
y
r
y
cos180 cos1
1
r
x
r
x
tan 180tan 1
1
x
y
x
y
x
y
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
Dari gambar di samping diketahui titik P1(x1,y1)
bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap
sumbu x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan
sin sin1
1
r
y
r
y
cos cos1
1 r
x
r
x
tan tan 1
1
x
y
x
y
a. sin180 sin d. csc 180csc
b. cos180 cos e. sec 180sec
c. tan180 tan f. cot180 cot
y
x X
Y
P(x,y)
r
(180+)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Sudut berelasi 1800+
y
x
X
Y
P(x,y)
r
(360-1)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O -
Sudut yang berelasi
13
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya
sin (360 ) sin
7. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Dari gambar di samping diperoleh r
xcos ,
r
ysin dan 22 yxr .
Sehingga
2
2
2
222 cossin
r
x
r
y
12
2
2
22
r
r
r
yx
Coba masukkan nilai = 450 dan 600....apakah kesamaan tersebut masih berlaku?
Begitu pun untuk :
22
22
cos 1
sec 1
ecctgn
tgn
8. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
a. Rumus cos ( + ) dan cos ( )
Pada gambar di samping diketahui garis CD
dan AF keduanya adalah garis tinggi dari
segitiga ABC. Akan dicari rumus cos (+ ).
a. sin sin d. csc csc
b. cos cos e. sec sec
c. tan tan f. cot cot
y
x X
Y P(x, y)
r
O
sin2 +cos2 1
Jadi
A D E B
C
G F
14
AC
AD cos cos ACAD
Pada segitiga sikusiku CGF
CF
GF sin sin CFGF …………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
AC
CF sin sin ACCF …………..(2)
AC
AFβ cos cos ACAF …………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF,
AF
AE cos cos AFAE …………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh
GF AC sin sin
Karena DE GF maka DE AC sin sin
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE AC cos cos
Sehingga AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
Jadi untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan ()
cos ( ) cos ( + ())
cos cos () sin sin ()
cos cos sin (sin )
cos cos + sin sin
Rumus sin ( + ) dan sin ( )
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus sebelumnya,
yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
15
sin ( + ) cos (90 ( + ))
cos ((90 ) )
cos (90 ) cos + sin (90 ) sin
sin cos + cos sin
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah
dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin ( ) sin ( + ( ))
sin cos () + cos sin ()
sin cos + cos (sin )
sin cos cos sin
Rumus tan ( + ) dan tan ( )
Dengan mengingat
cos
sin tan , maka
sin sin cos cos
sin cos cos sin
)( cos
)( sin)( tan
cos
sin
cos
sin1
cos
sin
cos
sin
cos cos
sin sin cos cos
cos cos
sin cos cos sin
)( tan
tan tan 1
tan tan
Jadi
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ).
tan ( ) tan ( + ( ))
)(- tan tan1
)(- tan tan
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
tan tan 1
tan tan )(tan
16
) tan( tan1
)( tan tan
tan tan1
tan tan
Jadi
ctg ( + ) ) (tan
1
)
tan tan
tan tan 1
ctg
1
ctg
1
ctg
1
11
ctg
ctg tg
1 ctg ctg
c
9. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat
dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos
cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin2
tan tan1
tan tan)( tan
17
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan
mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.
cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2
2cos2 1 1 2 sin2
Sehingga
2tan1
tan 2
tan tan 1
tan tan )( tan 2tan
Bagaimana dengan sin 3, cos 3,tgn 3?
sin 3 = sin (2+)
= sin 2cos + cos 2sin
= 2sin cos cos + ( 1-2sin 2)sin
= 2 sin cos 2+ sin -2sin 3
= 2sin( 1-sin 2) + sin -2sin 3
= 3sin - 4sin 3
Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan
Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin
cos 2 cos2 sin2
cos 2 2cos2 1 = 1 2 sin2
2tan1
tan 2 2tan
+
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
Fungsi Trigonometri Jumlahan 2 sudut
Identitas trigonometri sin 2+ cos 2 =1
18
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:
sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
+
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
19
Mari kita simpulkan untuk materi Identitas Trigonometri berikut :
Perbandingan Trigonometri
Sudut Berelasi
Jumlah dan Selisih dua Sudut
Kita bisa memulai dari penjumlahan cos (a+b) dengan menggunakan bantuan gambar segitiga tapi kita juga bisa melalui sin (a+b)
cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin
untuk mengubah digunakan sudut berelasi sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos - cos sin
tan tan 1
tan tan )(tan
tan tan 1
tan tan )(tan
Sudut Ganda Ubah rumus penjumlahan sudut di atas dengan mengubah = , sehingga kita akan memperoleh
cos ( + )= cos (2)
sin ( + )= sin (2)
tg ( + )= tgn (2)
Penjumlahan dan pengurangan perbandingan trigonometri : cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
20
Contoh 1 :
Dalam lancip diketahui cos A = , cos A = . Tentukan sin C
Jawab : A+B+C = 1800 sin C = sin ( 1800 – ( A+B)) = sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
Jika cos A = maka sin A = , dan jika cos A = maka sin A =
sin C =
=
Contoh 2 Buktikan bahwa berlaku tg A + tg B +tg C = tg A.tg B. tg C
Jawab :
tg A+ tg B+tg C = tg (A+B) ( 1- tg A tg B) + tg C
ingat bahwa A+B+C = 1800 , artinya tg ( A+B) = tg ( 1800 –C) = - tg C ( 1- tg A tg B) + tg C = tg A.tg B. tg C
Contoh 3 Jika A + B + C + D = 180 0, buktikan cos A cos B +cos C cos D = sin A sin B + sin C sin D Jawab : A + B = 180 0- ( C + D) cos (A + B) = cos (180 0- ( C + D)) cos (A + B) = - cos ( C + D) cos A cos B – sinA sin B = - ( cos C cos D –sin C sin D) cos A cos B -sin C sin D = - cos C cos D + sin C sin D cos A cos B +cos C cos D = sin A sin B + sin C sin D Latihan Pilihlah jawaban yang tepat : 1. Jika ∆ ABC siku-siku di C dan memenuhi 2 tan A = sin B , maka sin A = …
A. 22
1 B. 32
1 C. 12 D. 13 E. 23
2. Nilai dari oo
oo
300cos120cos
120sin150sin
= …
A. –2 – 3 B. –1 C. 2 – 3 D. 1 E. 2 + 3
3. Jika tan x =2
1 , maka 2 sin x + sin (x +2
1 ) + cos ( – x) = …
21
A. 2
1 5 B. 1 C. 5
2 5 D. 0 E. –5
1 5
4. Harga sin 2 sama dengan …
A. 22 + qp
pq
p
B. 22 + qp
pq
q
C. 22
2
+ qp
q
D. 22
2
+ qp
pq
E. 22
2
+ qp
pq
5. Diketahui a0, b0 dan c0 menyatakan besar sudut-sudut segitiga ABC dengan tan a0 = 3
dan tan b0 = 1. Maka nilai tan c0 = …
A. 2 B. 1
C. – 2
1
D. 2 E. 3
Selesaikan
1. Dalam ABC diketahui bahwa cos A = 5
3 dan cos B =
13
12. Berapakah harga cos C?
2. Buktikan bahwa dalam ABC berlaku : tgn A + tgn B + tgn C = ( tgn A+B) ( 1-tgA tgn B)+ tgn C= tg A.tgnB.tg C
3. Buktikan : xx
xctgnxecxtgnx22
4444
cossin
21))(cos(sec
4. Hitunglah tanpa kalkulator : sin 540sin 180 5. Ubahlah bentuk penjumlahan /pengurangan tersebut ke dalam bentuk perkalian sin A + sin B + sin C –sin (A + B+C)
DAFTAR PUSTAKA
Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika
. Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley
and Sons, Inc. Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New
York: Harper & Brothers Publisher.
22
Edwin J Purcell , Dale Varberg, Steven Ridgon, Calculus, Ninth edition (2007). USA :
Pearson Prentice Hall Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin
Company. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK.
Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta:
PPPG Matematika. Trigonometry, matxtc.com Tedy Setiawan, Trigonometri 123+ 45. (2009). Bandung : Yaama Widya Wijdenes, Goniometrie Trigonometri (1950). Amsterdam