• Suatu pemetaan f dari himpunan A ke

himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota

dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan

dengan tepat satu anggota dari himpunan Bdengan tepat satu anggota dari himpunan B

• Suatu Fungsi biasanya dinyatakan denganhuruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun hurufbesar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dansebagainya

• Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A→ B

yang artinya f memetakan A ke B

• A disebut daerah asal (domain) dari f dan B

disebut daerah hasil (codomain) dari f.

• Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df

• Apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa

domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam

R sehingga f terdefinisikan atau ada.

• Himpunan semua anggota B yang mempunyai

kawan di A dinamakan Range atau daerah hasil

fungsi f, ditulis Rf

{ }| ( )fD x f x= ∈ ∈� �

{ }( ) |f fR f x x D= ∈ ∈�

• Jika pada fungsi f : A→ B , sebarang elemen x∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “ymerupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakanvariable bebas dan variabel tak bebas.Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

• Tentukan domain dan range dari fungsi

berikut:

1. ( ) 3f x x= + 2. 2( )f x x=

3. ( ) 2 6f x x= − 4. 2( ) 9f x x= −

5. 3( )

4f x

x=

−

1. ( ) 3f x x= +

Untuk setiap x ∈ � nilai dari ( )f x

selalu ada dan ( )f x ∈ � .

{ | }fD x x= ∈ � dan { }fR y y= ∈ �

2. 2( )f x x=

Untuk setiap x ∈ � nilai dari ( )f x selalu ada

dan memiliki nilai positif ( ( )f x ∈ +� ) sehingga:

{ | }fD x x= ∈ � dan { }fR y y += ∈ �

{ | }fD x x= ∈ � dan { }fR y y= ∈ �

3. ( ) 2 6f x x= −

Jika kita memasukan nilai x = 1 maka

(1) 2(1) 6 4f = − = − (tak terdefinisi),

Karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan Karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan

yang lebih dari atau sama dengan nol. Jadi

2 6 0 2 6 3x x x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .

Jadi daerah asalnya dalah: { | 3, }fD x x x= ≥ ∈ �

Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan

nilai x pada daerah asal. { } )[0 , 0 , ~fR y y y= ≥ ∈ =�

4. 2( ) 9f x x= −

f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar lebih dari atau sama dengan nol, sehingga

2 9 0 ( 3)( 3) 0x x x− ≥ ⇒ + − ≥ 9 0 ( 3)( 3) 0x x x− ≥ ⇒ + − ≥

Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah

3x ≤ atau 3x ≥ jadi daerah asalnya adalah

{ }3 3fD x x atau x= ≤ − ≥ .

{ } )[0 , 0 , ~fR y y y= ≥ ∈ =�

-3 0 3

5. 3( )

4f x

x=

−

Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka

4 0 4x x− ≠ ⇒ ≠ sehingga: 4 0 4x x− ≠ ⇒ ≠ sehingga:

{ } { }4 4 atau 4,fD x x x x x x= ≠ = < > ∈ �

Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :

{ }0 , ( , 0 ) (0 , )fR y y y= ≠ ∈ = −∞ ∪ ∞�

4

Carilah domain dan range dari fungsi :

Solusi:

( ) 1

4 3f x

x=

+

Solusi:

a. Mencari domain

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

34 3 0

4x x+ ≠ ⇔ ≠ − { }3 3 3

, ,4 4 4

fD

= −∞ − ∪ − ∞ = − −

�

{ }0fR = −�

b. Mencari Range

f(x) tidak mungkin bernilai nol, sehingga

( ) ( )∞∪∞−= ,00,fR

( )13

2

+

+=x

xxf

a. Mencari domain

2. Carilah domain dan range dari fungsi :

013 ≠+x

3

1−≠x

Sehingga

∞−∪

−∞−= ,3

1

3

1,tD

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

( )13

2

+

+==x

xyxf

23 +=+ xyxy

b. Range

013 ≠−y

3

1≠y

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

23 +=+ xyxy

yxxy −=− 23

( ) yyx −=− 213

13

2

−

−=y

yx

3≠y

∞∪

∞−= ,3

1

3

1,fR

{ }13−�

Jadi

Atau

• Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi

yang diberikan!

a. 2( ) 2 3f x x= +

d. 4( )

2 6f x

x=

+

b. ( ) 3 9f x x= −

c. = −2( ) 16f x x

2 6x +

e. 2 5

( )3 9

xf x

x

−=

−

( ) n

nxaxaxaaxf ++++= ...2

210

( ) =-Fungsi konstan,

1. Fungsi polinom

( ) 0axf =

( ) xaaxf 10 +=

( ) 2

210 xaxaaxf ++=

-Fungsi linier,

-Fungsi kuadrat,

( )( )xqxp

2. Fungsi Rasional

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0

Bentuk umum :

( )xq

( ) ( )1

123

2

+++

=xx

xxf

contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak

( ) 2213 −+−= xxxf

Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

x

55 =

4. Fungsi bilangan bulat terbesar

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x

22,1 −=− 55 =

32,3 =

( ) ( )xfxf =−

5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika

terhadap sumbu y

22,1 −=−

( ) 2xxf =

( ) xxf =

( ) ( )xxf cos=

Contoh :

( ) ( )xxf cos=

( ) ( )xfxf −=−

( ) ( )xxf sin=

( ) 3xxf =

6. Fungsi Ganjil

simetris terhadap titik asal, contoh :

Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya

( )xf ( )xg( )xf ( )xg ( )( ) ( )( )xgfxgf =o

( )( )xgf o

7. Fungsi Komposisi

dan , komposisi fungsi antara

dan ditulis Domain dari

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain

Diberikan fungsi

( )( )xgf o

( )xg ( )xg fD

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain

sehingga di dalam

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,

terpenuhi

maka harus

g fR D∩ ≠ ∅

g fR D∩ ≠ ∅

Dengan cara yang sama, ( )( ) ( )( )xfgxfg =o

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,

terpenuhi

maka harus

f gR D∩ ≠ ∅

Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :

( ){ }fggf DxgDxD ∈∈=o

( ){ }gffg DxfDxD ∈∈=o

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi

( ){ }fgfg RttgyRyR ∈=∈= ,o

( ){ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ,o

( ) xxf = ( ) 21 xxg −=

fg o gf o

Tentukan

dan beserta domain dan range-nya!

1. Jika diketahui

[ )∞= ,0fD

[ )∞= ,0R

gD = �

( ]1,∞−=R[ )∞= ,0fR ( ]1,∞−=gR

gf DR ∩ [ )0,∞ ≠ ∅ fg o

( )( ) ( )( ) ( ) xxgxfgxfg −=== 1o

Karena = , maka fungsi

terdefinisi

fg o

( ){ }g f f gD x D f x D= ∈ ∈

o

[ ){ }0 ,x x= ∈ ∞ ∈ �

a. Mencari Domain

{ }{ }∞<<∞−≥= xx 0

{ }00 ≥≥= xx

{ }00 ≥≥= xx

[ ) [ )∞∩∞∈= ,0,0x

[ )∞∈= ,0x

fg o

( ){ }fgfg RttgyRyR ∈=∈= ,o

( ] [ ){ }∞∈−=∞−∈= ,0,11, 2 ttyyR fg o

b. Mencari Range

( ] ( ]1,1, ∞−∩∞−∈= yRJadi ( ] ( ]1,1, ∞−∩∞−∈= yR fgo

( ]1,∞−∈= y

Jadi

gf oc.Domain

=∩ fg DR ( ] [ ) =∞∩∞− ,01, [ ]0,1 ≠ ∅

gf o

( )( ) =xgf o ( )( ) =xgf ( )=− 21 xf 21 x−

Karena , maka fungsi

terdefinisi dengan

gf o

( ){ }fggf DxgDxD ∈∈=o

[ ){ }21 0,x x= ∈ − ∈ ∞�

{ }21 0x x= ∈ − ≥�

c.Domain

{ }1 1x x= ∈ − ≤ ≤�

[ ]1,1= ∩ −� [ ]1,1−=

gf o

( ){ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ,o

[ ) ( ]{ }1,,,0 ∞−∈=∞∈= ttyy

{ }10,0 ≤≤=≥= ttyy

d. Range

MA 1114 Kalkulus I

{ }10,0 ≤≤=≥= ttyy

{ }100 ≤≤≥= yy

[ ) [ ]1,0,0 ∩∞=

[ ]1,0=

Tentukan

a. 2( ) 5f x x= − dan ( ) 2 3g x x= +

b. ( ) 1f x x= − dan 2( ) 4g x x= +

fg ogf o dan beserta domain dan range-nya!

b. ( ) 1f x x= − dan 2( ) 4g x x= +