statmat

7/21/2019 Statmat

http://slidepdf.com/reader/full/statmat-56d98335af32f 1/14

BAB 1

Peubah Acak dan Distribusi

Kontinu

1.1 Fungsi distribusi

Definisi:

Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah

F X (x) = P (X ≤ x)

Contoh:

1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah fungsitangga berikut

F (x) =

0, x ∈ (−∞, 0);

1/8, x ∈ [0, 1);

1/2, x ∈ [1, 2);

7/8, x ∈ [2, 3);

1, x ∈ [3,∞).

2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkanpeluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang se-lang. Dengan kata lain,

P (x1 ≤ X ≤ x2) = λ (x2 − x1),

1

7/21/2019 Statmat


untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a danx2 = b. Maka,

P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b− a) ⇒ λ = 1/(b− a)

Fungsi distribusinya:

F (x) = P (X ≤ x) = P (a ≤ X ≤ x) =

0, x < a;x−ab−a

, x ∈ [a, b];

1, x > b.

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X ∼ U (a, b).

Sifat-sifat fungsi distribusi:

• F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1

• F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b

• F adalah fungsi kontinu kanan; lim→0+ F (x + ) = F (x)

Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x).

• Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

• Untuk setiap x, P (X = x) = lim→0+ P (x− < X ≤) = F (x)− F (x−)(Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu

kiri)

Definisi:

Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi dis-etiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan.

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x).

• Misalkan g(X ) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada didaerah hasil dari g, fungsi invers x = g−1(y) ada. Misalkan Y = g(X ).Fungsi distribusi dari Y adalah

P (Y ≤ y) = P (g(X ) ≤ y) = P (X ≤ g−1(y)) = F X (g−1(y))

• Misalkan g(X ) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada didaerah hasil dari g, fungsi invers x = g−1(y) ada. Misalkan Y = g(X ).Fungsi distribusi dari Y adalah

P (Y ≤ y) = P (g(X ) ≤ y) = P (X > g−1(y)) = 1 − F X (g−1(y))

MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

7/21/2019 Statmat


• Misalkan X ∼ U (0, 1) dan Y = g(X ) = hX + k,h < 0. Maka

X = g−1(Y ) =

F X

(x) =

F Y (y) =

Y ∼

Latihan:

1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi F X (x)yang naik murni. Misalkan Y = F X (X ). Tentukan distribusi dari Y

2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U (0, 1). Misalkan F X (x) fungsi

distribusi yang naik murni dari X . Tentukan fungsi distribusi dari peubahacak F −1X (U )

3. Misalkan U 1, U 2, . . . , U n sampel acak dari U (0, 1). Bangkitkan sampelacak dari F X (x) (ambil contoh misalnya untuk F X (x) = 1−e−λx, x > 0)

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). MisalkanY = g(X ) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsiyang monoton,

F Y (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X ) ≤ y)

dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g−1(y) digunakan untuk menen-tukan F Y (y) dengan menggunakan F X (g−1(y)). Untuk X ∼ U (−1, 2) dang(X ) = Y = X 2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y :

F Y (y) =


7/21/2019 Statmat


1.2 Unsur Peluang

Misalkan X peubah acak kontinu, x bilangan positif kecil. Definisikan

h(a, b) =def P (a ≤ X ≤ a + b) = F X (a + b) − F X (a)

Untuk h(x,x) = P (x ≤ X ≤ x + x), maka deret Taylor-nya disekitarx = 0 adalah

h(x,x) = F (x +x)− F (x)

= h(x, 0) + d

dxh(x,x)

x=0

x + o(x)

=

=

dimana

limx→0

o(x)

x = 0

Fungsi

dF (x) =

d

dx F (x)

x

disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusiadalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x,x)).Unsur peluang adalah fungsi linier dari d

dx F (x).

Contoh:Misalkan F (x) = 1 − e−3x untuk x ≥ 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi?Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 ≤ X ≤ 2.01).

Densitas rata-rata pada selang (x, x +x) didefinisikan:

Density rata-rata =def P (x ≤ X ≤ x +x)

x

Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit


7/21/2019 Statmat


densitas rata-rata saat x → 0:

f.p = f (x) =def limx→0

P (x ≤ X ≤ x +x)

x

==

= d

dx F (x)

Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai dF (x) = f (x)x.

Sifat-sifat fungsi peluang:

• f (x) ≥ 0 untuk semua x

• ∞−∞

f (x) = 1

Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi:

f (x) = d

dxF (x)

F (x) =

x−∞

f (u)du

P (a < X < b) = ... = ... = ... = F (b)− F (a) =

ba

f (x)dx

Latihan:

1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 − e−λx, maka f (x) =

2. Jika X ∼ U (a, b) maka F (x) = dan f (x) =

3. *Misalkan f (x) = c/(1 + x2) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta.Fungsi f (x) tak negatif dan

∞−∞

(1 + x2)−1 dx = π. Berapa nilai c agarf (x) menjadi fungsi peluag? Tentukan fungsi distribusinya.

4. *Pandang distribusi waktu tunggu. Misalkan T adalah waktu kedatan-gan kejadian ke-r dalam Proses Poisson dengan laju λ. Tentukan fungsipeluang dari T


7/21/2019 Statmat


Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) dan Y = g(X )fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y :

f Y (y) = f X (g−1(y)) d

dy

g−1(y)untuk ‘support’ Y = g(X ). Komponen

J (y) = d

dyg−1(y)

adalah transformasi Jacobian.BUKTI:

Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yangterpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼

U (−1, 2) dan Y = g(X ) = X 2. Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi inversyaitu ?, dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu ?. Fungsi peluang dari Y adalah:

f (y) =


7/21/2019 Statmat


1.3 Ekspektasi

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Nilai harapan dari X , jika ada, adalah

E (X ) = µX =

∞−∞

f (x)dx

Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga.

Misalkan X rv dengan pdf f (x). Maka nilai harapan dari g(X ), jika ada,adalah

E [g(X )] =

∞−∞

g(x)f (x)dx

.

Operator integral bersifat linier. Jika g1(X ) dan g2(X ) fungsi-fungsi yangmemiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka

E [ag1(X ) + bg2(X ) + c] = aE [g1(X )] + bE [g2(X )] + c

Contoh/Latihan:

1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapanny ada maka

E (X ) = c.

Bukti:

E (X − c) =

∞−∞

(x− c)f (x) dx

=

c−∞

(x− c)f (x)dx +

∞c

(x− c)f (x)dx

= −

∞0

uf (c− u)du +

∞0

uf (c + u)du

= ∞0

u(f (c + u) − f (c− u)) du = 0

2. Misalkan X ∼ U (a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrikdisekitar (a + b)/2.


7/21/2019 Statmat


Bukti:

f

a + b

2 − δ

= f

a + b

2 + δ

=

1

b− a

untuk δ ∈− b−a

2 , b−a2

3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang

f (x) = 1

σπ

1 + (x−µ)2

σ2

,

dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tun- jukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinyabukanlah µ.

4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan dari X adalah...


7/21/2019 Statmat


1.4 Distribusi Bivariat

Suatu fungsi f X,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika

• f X,Y (x, y) ≥ 0, untuk semua x, y

• ∞−∞

∞−∞ f X,Y (x, y) dxdy = 1

Jika f X,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka

F X,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =

x−∞

y−∞

f X,Y (u, v) dvdu

Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat:

1. F X,Y (x,∞) = F X (x)

2. F X,Y (∞, y) = F Y (y)

3. F X,Y (∞,∞) = 1

4. F X,Y (−∞, y) = F X,Y (x,−∞) = F X,Y (−∞,−∞) = 0

5. f X,Y (x, y) = ∂ 2

∂x∂y F X,Y (x, y)

f X,Y (x, y)xy adalah unsur peluang bersama,

P (x ≤ X ≤ x +x, y ≤ Y ≤ y + y) = f X,Y (x, y)xy + o(xy)

Contoh/Latihan:

1. Jika (X, Y ) ∼ U (a,b,c,d) maka f X,Y (x, y) =

2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka

P (2.5 ≤ X ≤ 3.5, 1 ≤ Y ≤ 4) =

P (X 2 + Y 2 > 16) =

3. Jika f X,Y (x, y) = 6/5(x + y2) untuk x ∈ (0, 1) dan y ∈ (0, 1). TentukanP (X + Y < 1).


7/21/2019 Statmat


Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan “peubah yang tidakdiinginkan”:

f X (x) = ∞

−∞

f X,Y (x, y) dy

f Y (y) =

∞−∞

f X,Y (x, y) dx

f X,Y (x, y) =

∞−∞

∞−∞

f W,X,Y,Z (w,x,y,z ) dwdz

Pada fungsi peluang f X,Y (x, y) = 6/5(x + y2) diperoleh

f X (x) =

f Y (y) =

dan nilai harapan

E (g(X, Y )) = E (X ) =

∞−∞

∞−∞

g(x, y) f X,Y (x, y) dxdy =


7/21/2019 Statmat


1.5 Distribusi Bersyarat

Misalkan f X,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y ,diberikan X = x, adalah

f Y |X (y|x) =def f X,Y (x, y)

f X (x) ,

asalkan f X (x) > 0.

Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama

f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1,

maka

f X (x) =

E (X r) =

f Y (y) =

E (Y r) =

f X |Y (x|y) =

f Y |X (y|x) =

E (X r|Y = y) =

E (Y r |X = x) =

Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersamaf X,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi.Prediktor dinotasikan sebagai y(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagaifungsi Y (X ) yang meminimumkan

E

Y − Y (X )2

=

∞−∞

∞−∞

(y − y(x))2 f X,Y (x, y) dydx

Prediktor terbaik adalah y(x) = E (Y |X = x).BUKTI:

Contoh/Latihan:

1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama

f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1,


7/21/2019 Statmat


maka

f Y |X (y|x) =

y(x) =

2. Misalkan (Y, X ) berdistribusi normal bivariat dengan E (Y ) = µY , E (X ) =µX , V ar(Y ) = σ2

Y , V ar(X ) = σ2X ,Cov(X, Y ) = ρX,Y σX σY . Distribusi

bersyarat Y , diberikan X , adalah

(Y |X = x) ∼

3. Tunjukkan bahwa

E X f Y |X (y|X )

= f Y (y)

4. Buktikan

E X

E

h(Y )|X

= E

h(Y )

5. Buktikan

V ar(Y ) = E X

V ar(Y |X )

+ V ar

E (Y |X )

6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama

f X,Y (x, y) = 3y2

x3 , 0 < y < x < 1

Maka

f Y (y) =

E (Y r) = · · · , E (Y ) = · · · , V ar(Y ) = · · ·

f X (x) =

f Y |X (y|x) =

E (Y r |X = x) = · · · , E (Y |X = x) = · · · , V ar(Y |X = x) = · · ·

V ar(E (Y |X )) =

E (V ar(Y |X )) =


7/21/2019 Statmat


1.6 Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah

M X (t) = E (etX ) = ∞

−∞

etxf (x)dx,

asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidakada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkitmomen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang

M X (t) = GX (et)

asalkan GX (t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X (t) adalah fungsi pembangkitpeluang maka M X (0) = 1.

Contoh/Latihan:

1. Jika f X (x) = λe−λx I 0,∞(x), maka

M X (t) =

2. Jika M X (t) ada maka

M a+bX (t) =

3. Jika X i, i = 1, . . . , n saling bebas, M X i(t) ada untuk setiap i, dan S =X i, maka

M S (t) =

4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memilikifungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkitmomen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jikafungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebutsecara unik menentukan distribusinya. Beri contoh.

5. Pandang turunan dari M X (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apayang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen ordetinggi?

6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contohdistribusi Geometrik dengan parameter p.


7/21/2019 Statmat


7. Misalkan Y ∼ U (a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk men-dapatkan momen pusat

E ((Y − µY )2) = E Y −

a + b

2r


statmat

Documents