Statistikal Mekanik Uang

Tubagus A1, a, Nur Adhi1, b, Kiki Mulyadi1, Husni Habil1, Rosikhuna1, Hegy A1, Widison1

1Department of Physics, Institut Teknologi Bandung, Indonesia

a)Thebe.alfarisi@gmail.comb)nur.adhi21@gmail.com

Abstract. Didalam sebuah system ekonomi tertutup, uang dapat terbaharui. Dianalogikan dengan energi, titik equilibrium distribusi probabilitas uang juga harus mengikuti aturan eksponensial hokum Boltzmann-Gibbs yang ditunjukkan dengan temperature efektif sebanding dengan rata-rata banyaknya uang per agen. Disini didemonstrasikan bagaimana distribusi Boltzmann-Gibbs dapat diterapkan kedalam model ekonomi. Layaknya sebuah mesin kalor, dimana perbedaan temperature yang menyebabkan adanya kalor dapat diartikan sebuah keuntungan didalam bidang ekonomi. Disini juga dibahas tentang hutang piutang dan model dengan distribusi non-Boltzmann-Gibbs yang tidak simetrik balik-waktu. Kecepatan distribusi dari uang yang dimiliki oleh agen dipengaruhi oleh distribusi kekayaan dari sistem tempat agen tersebut bekerja. Dan yang terakhir dibahas adalah kekayaan material yang mana tidak dapat diperbaharui dan juga mungkin akan terdapat perbedaan pada distribusinya bila dibandingkan dengan bidang ekonomi sehari-hari.

PENDAHULUAN

Penerapan dari metoda fisika statistik pada ekonomi mengarahkan pada penyelesaian masalah yang tidak hubungannya dengan fisika. Baik mekanika statistik maupun ekonomi mempelajari satu hal yang hampir sama: kumpulan atom dan pelaku ekonomi. Hukum dasar dari hukum kesetimbangan statistika Boltzmann-Gibbs, menerangkan bahwa distribusi probabilitas energi ξ adalah P (ξ )=C e−ξ /T , dimana T adalah suhu dan C adalah kosntanta normalisasi. Inti dari penurunan hukum Boltzmann-Gibbs adalah sifat energi yang konservatif. Dengan demikian, dapat digeneralisasi bahwa setiap conserved quantity dalam sebuah sistem statistik yang besar memiliki distribusi probabilitas yang exponensial pada keadaan setimbang.

Contoh dari hukum Boltzmann-Gibbs adalah distribusi probabilitas gaya yang dialami oleh 'beads' dalam silinder yang ditekan oleh gaya eksternal. Karena sistem dalam keadaan diam, gaya total sepanjang sumbu silinder yang dialami oleh masing-masing lapisan butiran 'beads' adalah konstan dan terdistribusi secara acak antara 'beads' itu sendiri. Dengan demikian kondisi untuk menggunakan persamaan hukum Boltzmann-Gibbs terpenuhi untuk gaya, dibandingkan dengan energi, dan memang terbukti secara eksperimental.

Bisa dinyatakan bahwa, pada ekonomi sistem tertutup, jumlah total uang bersifat konservatif. Dengan demikian kesetimbangan distribusi probabilitas dari uang P(m) mengikuti hukum Boltzmann-Gibbs P (m )=C e−m /T.

Dimana m adalah uang dan T adalah temperatur efektif yang setara dengan rata-rata jumlah uang per pelaku ekonomi. Hukum konservatif dari uang mencerminkan sifat fundamental, tidak seperti kekayaan materi, bahwa uang tidak boleh diproduksi oleh pelaku ekonomi biasa, tetapi bisa dilakukan sistem barter antar pelaku. Namun, Hal ini hanya dianggap sebagai model dengan broken time-reversal symmetry, dimana biasanya tidak bisa menggunakan hukum Boltzmann-Gibbs.

Hal ini berguna untuk mengidentifikasi distribusi uang P(m) dengan distribusi kekayaan. Tapi, kita tidak bisa mengharapkan bahwa hukum Boltzmann-Gibbs ini bisa menyelesaikan masalah keuangan.

2. Distribusi Boltzmaan-Gibbs

Coba bayangkan sistem dari beberapa pelaku ekonomi N ≫1, dimana bisa berupa individu maupun perusahaan. Dalam hal ini hanya menyelesaikan kasus dimana bilangan bersifat konstan. Masing-masing pelaku i memiliki uang mi dan bertukar dengan pelaku yang lain. Diimplikasikan bahwa uang tersebut dipakai untuk

kegiatan ekonomi. Hasil interaksi dari aktivitas ekonomi Δm: [mi ,m j ]→ [mi ' , m j ' ]=[mi−Δm , m j+Δm ]. Anggap jumlah uang bersifat konservatif pada tiap transaksi mi+m j=mi

'+m j ' . Kejadian konservatif ini adalah

analogi dari sifat konservatif antara tumbukan atom. Diasumsikan pula bahwa sistem ekonomi bersifat tertutup, maksudnya gaya uang dari luar, dengan demikian total jumlah uang M di dalam sistem bersifat konservatif. Sama halnya dalam kejadian ini, diasumsikan tidak ada tambahan uang atau sistem pinjaman yang menyebabkan uang pengguna benilai negatif. Maka dari itu mi≥ 0 sama halnya dengan kondisi dari energi kinetik dari atom ξ i≥ 0.

Diketahui fungsi distribusi probabilitas dari uang P(m), didefinisikan jumlah agen dengan uang m dan m+dm

adalah NP (m) dm. Disini distribusi stasioner P(m) sesuai dengan keadaan kesetimbangan thermal. Pada keadaan

ini, uang sang pelaku ekonomi mi berubah dengan cepat, tetapi distribusi probabilitas P (m ) tidak berubah.

Fungsi kesetimbangan distribusi P(m) bisa diturunkan sama halnya dengan fungsi kesetimbangan distribusi

dari energi P(ξ ). Permasalahani dibagi menjadi 2 subsistem, yaitu subsistem 1 dan 2. Dimana uang bersifat

konservatif dan adiktif: m=mi+m j, sedangkan fungsi probabilitas berupa perkalian: P=P1 P2, disimpulkan

bahwaP(m1+m2)=P (m¿¿1) P(m¿¿2)¿¿. Solusi dari persamaan ini adalah P (m )=C e−m /T; dengan demikian kesetimbangan probabilitas dari uang serupa dengan bentuk Boltzmann-Gibbs. Bentuk dari kondisi

normalisasi ∫0

∞

P (m ) dm=1 dan ∫0

∞

mP (m ) dm=M /N , dimana C=1/T dan T=M / N . Dengan demikian

temperatur efektif T adalah rata-rata jumlah uang per pelaku.Distribusi Boltzmann-Gibbs bisa didapatkan dengan memaksimalkan entropy dari distribusi uang

S=−∫0

∞

dm P (m ) ln P (m) di bawah constrain dari uang yang konservatif. Mengikuti argumentasi dari

Boltzmann, Bagi sumbu uang 0 ≤ m≤ ∞ menjadi bagian kecil dm dan jumlah bagian kecil diberi index

b=1 ,2 ,…. Sebut jumlah agen dari index tersebut adalah Nb, jumlah totalnya menjadi N=∑b=1

∞

Nb. Masing-

masing agen memiliki uang mb, dan total uangnya adalah M=∑b=1

∞

mb Nb. Probabilitas realisasi dari jumlah

tertentu {Nb } proporsional dengan jumlah dari pelaku N yang bisa didistribusi dalam set {Nb }. Jumlahnya adalah

N !/ N1 ! N2! … Logaritma dari probabilitas adalah entropy ln N 1!−∑b=1

∞

ln N b!. Ketika nilai Nb besar dan

persamaan Stirling ln N !≈ N ln N dapat diaplikasikan, entropi per pelaku adalah S=¿, dimana Pb=N b/ N

adalah probabilitas dari pelaku yang memiliki uang mb. Dengan menggunakan metoda perkalian Lagrange untuk

memaksimalkan entropi S terhadap nilai {Nb } dengan fokus terhadap jumlah total uang M dan jumlah total pelaku

N menghasilkan distribusi Boltzmann-Gibbs untuk P (m ) .

Gambar 1. Histogram dan point: distribusi probabilitas stasioner dari uang P(m). Solid Curves: Sesuai dengan hukum Boltzmann-Gibbs

P (m )∝ exp (−m /T ). Garis vertikal: distribusi uang mula-mula

3. Simulasi Komputer

Awalnya, semua agen diberi jumlah uang yang sama: P (m )=δ (m− MN

), yang ditunjukkan pada Gambar 1

sebagai garis vertikal ganda. Sepasang agen dipilih secara acak pada satu waktu, kemudian salah satu agen diambil secara acak menjadi “pemenang” (agen lainnya menjadi “kalah”) dan sebesar Δm ≥ 0 ditransfer dari orang yang

kalah ke orang yang menang. Apabila orang yang kalah tidak memiliki cukup uang untuk membayar (mi<Δm) maka transaksi tidak terjadi dan melanjutkan untuk sepasang agen yang lain. Dengan demikian, para agen tidak diizinkan memiliki uang dengan nilai negatif. Syarat batas ini sangat penting dalam membuat distribusi stationer. Sebagai agen pertukaran uang, distribusi delta-fungsi awalnya akan menyebar secara simetris. Kemudian, rapat probabilitas akan menumpuk pada batas m=0. Akibatnya, distribusi menjadi asimetrik (miring) dan menjadi eksponensial stasioner seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Kami menggunakan beberapa aturan perdagangan dalam simulasi: pertukaran tetap (konstan) sebesar Δm=1, pertukaran fraksi acak (0 ≤ v ≤1) dari uang rata-rata

pasangan: Δm=v (mi+m j)/2, dan pertukaran fraksi v acak dari rata-rata uang dalam sistem: Δm=v M / N . Gambar-gambar dalam paper sebagian besar menunjukkan simulasi untuk aturan ketiga. Namun, distribusi

stasioner akhir ditemukan sama untuk semua aturan.Dalam proses evolusi, entropi (S) meningkat dalam waktu dan saturasi pada nilai maksimal untuk distribusi

Boltzmann-Gibbs.

Gambar 2. Evolusi waktu entropi. Kurva atas: untuk pertukaran acak fraksi v dari uang rata-rata sistem: Δm=v M / N . Kurva bawah:

untuk pertukaran konstan kecil sebesar Δm=1. Skala waktu untuk kurva bawah 500 kali lebih besar dari yang ditunjukkan, sehingga

sebenarnya berakhir saat 106.

Hal ini digambarkan oleh kurva atas pada Gambar 2 dihitung untuk aturan ketiga pertukaran. Kurva bawah pada Gambar 2 menunjukkan waktu evolusi entropi untuk aturan pertama pertukaran. Skala waktu untuk kurva ini 500 kali lebih besar dari kurva atas, sehingga kurva bawah berakhir pada saat 106. Plot tersebut menunjukkan, untuk aturan pertama pertukaran, pencampuran jauh lebih lambat dari yang ketiga. Namun, sekalipun untuk aturan pertama, sistem akhirnya mencapai kondisi Boltzmann-Gibbs entropi maksimal, walaupun dari waktu ke waktu lebih lama dari yang ditunjukkan Gambar 2.

Orang mungkin berpendapat bahwa pertukaran pasangan uang mungkin sesuai untuk pasar abad pertengahan tapi tidak untuk ekonomi modern. Dalam rangka membuat model yang lebih realistis, kami menggunakan perusahaan. Satu agen pada satu waktu menjadi “perusahaan”. Perusahaan meminjamkan modal K dari agen lain dan mengembalikannya dengan bunga rK, mempekerjakan agen L dan membayar mereka sebesar W, memproduksi barang Q dan menjualnya kea gen Q dengan harga R. Semua agen tersebut dipilih secara acak. Perusahaan menerima keuntungan F=RQ−LW−rK . Hasil akhirnya dalah pertukaran banyaknya uang yang masih memenuhi hukum kekekalan. Parameter model yang dipilih mengikuti prosedur yang dijelaskan dalam buku teks ekonomi. Agregat kurva permintaan-persediaan produk sebagai (Q )=V /Q ƞ , di mana Q merupakan banyaknya

orang yang akan membeli dengan harga R, dan ƞ = 0.5 dan V=100 merupakan konstanta. Fungsi produksi

perusahaan memiliki bentuk Cobb-Douglas: Q ( L, K )=Lβ K1− β, di mana β=0.8 adalah konstan. Dalam simulasi ini, kami mengatur W=10. Dengan memaksimalkan keuntungan perusahaan F dengan hubungan K dan L, kami menemukan nilai dari parameter lain: L=20, Q=10, R=32, dan F=68.

Namun, nilai-nilai sebenarnya dari parameter bukan masalah. Dari simulasi komputer menunjukkan bahwa distribusi probabilitas stasioner uang dalam model ini selalu memiliki bentuk umum Boltzmann-Gibbs yang independen dari parameter-parameter model.

4. Mesin Kalor

Seperti sudah disinggung dibagian sebelumnya bahwa kita harus membedakan antara distribusi uang (money) dan distribusi kekayaan (wealth). karena, pada kenyataannya, untuk membeli sesuatu kita perlu uang. Barang berharga jarang bisa (untuk saat ini) ditukar langsung, sebagai alat pembayaran, terhadap barang lain. Barang berharga biasanya dikoversi menjadi bentuk uang supaya bisa digunakan sebagai alat pembayaran dalam transaksi.

Misalkan sebuah vendor menjual produk (katakanlah, mobil) kepada agen-agen ekonomi dalam system tersebut pada harga p. Lalu misalkan sejumlah kecil f agen-agen perlu membeli prosuk tersebut pada satu waktu tertentu, dan setiap agen yang mampu akan membeli satu item produk tersebut. Asumsikan nilai f ini cukup kecil sehingga transaksi yang terjadi tidak mempengaruhi seluruh kondisi system secara signifikan, selain itu jumlah agen-agen dalam system tersebut juga cukup banyak sehingga secara statistic dapat dideskripsikan dan dikarakterisasi oleh distribusi Boltzmann-Gibbs. Pertukaran uang, karena transaksi pembayaran, terus berlangsung dalam system tersebut dengan permintaan terhadap produk yang terus diperbarui karena pembayaran produk dibatasi hanya boleh terjadi pada satu rentang waktu tertentu..

Pada harga berapa penghasilan (income) vendor akan maksimal? Untuk menjawabnya perlu diperkenalkan distribusi kumulatif dari kemampuan membayar (purchasing power) dalam suatu system

Ɲ (m )=N∫m

∞

P (m' ) d m'=N e−mT yang memberikan jumlah agen dengan kepemilikan uang lebih darim. .Dalam

hal ini P(m) harus diinterpretasikan sebagai kemampuan melakukan pembayaran (purchasing power) Penghasilan

vendor yaitu fpƝ ( p ) yang akan maksimal jika p=T , artinya harga optimal sama dengan nilai temperature system.

ketika p=T tercapai, ternyata hanya sejumlah fraksi Ɲ (T )

N=e−1=0.37 dari agen-agen yang ada mampu

membeli produk tersebut. Sekarang misalkan ada dua sistem ekonomi yang tidak terhubung dengan temperature T 1 dan T 2 dimana

T 1>T 2. Sebuah vendor bisa membeli barang dengan harga T 2 lalu menjualnya kemudian dengan harga T 1

sehingga menghasilkan keuntungan spekulatif T 1−T 2. Contoh ini memperlihatkan bahwa keuntungan spekulatif hanya mungkin terjadi jika system secara keseluruhan tidak berada dalam kondisi kesetimbangan. Ketika uang terus ditransfer dari dari “temperature” tinggi ke “temperature” yang lebih rendah, maka temperature kedua system tersebut akan terus saling berdekatan sehingga bisa jadi suatu saat akan sama. Keuntungan spekulatif ini tidak akan terjadi jika kedua temperatur system itu sama, yang kami sebut sebagai keadaan ”thermal death” dari kondisi ekonomi. Hal ini berhubungan dengan analogi dalam ekonomi ketika Negara miskin (Negara berkembang) terus melakukan ekspor kepada Negara kaya (Negara maju) sehingga suatu saat kondisi ekonomi kedua Negara tersebut menjadi sama.

5. Model dengan hutang

Gambar 3. Distribusi uang dengan dan tanpa hutang.

Sekarang kita akan membahas tentang agen yang memiliki hutang. Hutang bisa dianggap sebagai nilai negatif dari uang. Saat agen yang kalah tidak punya uang, mereka bisa meminjam uang dari penabung (reservoir) dan nilai uangnya menjadi negatif. Hukum konservatif energi dalam hal ini tidak akan terganggu karena jumlah uang dari pemenang dan yang kalah akan ditetapkan bernilai konstan. Kita asumsikan bahwa penabung tidak tertarik dengan uang pinjaman. Sehingga, karena penabung tidak sensitive terhadap uang pinjaman, maka kita membuat batasan pinjaman yaitu md sebagai batas maksimal pinjaman: mi > -md. Kondisi batas ini P(m < - md) = 0 menggantikan kondisi batas sebelumnya P(m < 0) = 0. Hasil dari komputer dengan md = 800 ditampilkan pada gambar diatas dengan kurva untuk md = 0. Semakin tinggi temperatur membuat distribusi uang menjadi semakin luas, yang artinya hutang bertambah antara agen.

Memaksakan cutoff yang tajam mungkin saja tidak akan real untuk kasus ini. Pada prakteknya, cutoff mungkin dapat dilebarkan pada daerah tertentu tergantung pada aturan kebangkrutan yang dipakai. Pada derah (range) ini, distribusi Boltzmann-Gibbs akan tidak teratur. Jadi kita akan membuat distribusi Boltzmann-Gibbs pada daerah diluar cutoff. Sehingga kita membuat distribusi Boltzmann-Gibbs untuk daerah intermediate bukan daerah ujung bawah ataupun ujung atas. Bagaimanapun, daerah ini yang paling relevan karena daerah ini mengcover paling banyak populasi.

Peminjaman dapat membuat banyaknya uang positif dan negatif menjadi seimbang. Pada definisi uang disini, kami menambahkan semua instrumen finansial dengan denominasi yang fix, seperti mata uang, IOU, dan bonds. Dengan definisi ini, uang menjadi konservatif, dan kita menginginkan distribusi Boltzmann-Gibbs pada keseimbangannya.

Kami menggunakan sebuah simulasi dengan model satu bank dan banyak agen. Para agen menyimpan uangnya di bank. Bank disini juga dapat meminjamkan uang ke para agen yang membutuhkan uang. Tetapi setiap kali para agen meminjam, mereka akan dikenakan charge per bulannya. Kami menemukan bahwa pada model ini, bahwa saat agen kehilangan uang nya pada bank dapat membuat temperature agen berkurang begitu pula sebalinya, saat bank kehilangan atau berkurang uangnya, temperature para agen akan naik.

6. Persamaan Boltzmann

Distribusi Boltzmann-Gibbs juga dapat diturunkan dari persamaan Boltzmann [10], yang menyatakan evolusi waktu dari fungsi distribusi P(m) karena interaksi pairwise:

dP (m )dt

= ∫ ∫ {−w [m, m' ] →[m−Δ ,m' +Δ ] P (m ) P (m' )+w [m−Δ ,m'+Δ] → [m,m' ] P (m−Δ ) P (m'+Δ )}d m' d Δ

(1)

Dengan w [m, m' ] →[ m−Δ , m'+Δ] merupakan laju transaksi uang Δ dari seorang agen yang memiliki uang m ke

seorang agen yang memiliki uang m '. Jika model yang digunakan memiliki simetri balik waktu (time-reverse), maka laju transisi proses langsung dengan proses terbalik, sehingga faktor w pada suku pertama dan kedua nilainya

sama. Lalu, distribusi Boltzmann-Gibbs P (m )=C exp (−m /T ) menjadikan suku kanan pada persamaan (1) nol

sehingga persamaan (1) menjadi: dP (m)/dt=0 [10].

Gambar 4. Histogram: distribusi probabilitas stasioner uang pada model transaksi acak multiplikatif yang dipelajari pada referensi [6]. Kurva merah: distribusi Boltzmann-Gibbs.

7. Distribusi non Boltzmann-GibbsJika simetri waktu dirusak, dua faktor w pada persamaan (1) bisa jadi tidak sama, dan sistem memiliki distribusi

non-Boltzmann-Gibbs atau tidak memiliki distribusi stasioner sama sekali. Contoh kasus ini dipelajari pada referensi [6]. Model ini disebut transaksi acak multiplikatif (multiplicative random exchange). Pada model ini dinyatakan bahwa transaksi uang yang terjadi berdasarkan jumlah uang yang dimiliki. Contoh dipilih secara sembarang seorang agen i yang merugi sejumlah persentase uang α dan agen j yang mendapat untung dari i:

[mi ,m j ]→ [ (1−α ) mi , m j+α mi ]. Jika kita balik proses ini sehingga j merugi sejumlah persentase α kepada agen

i: [ (1−α ) mi , m j+α mi ]→ [ (1−α ) mi+α (m j+α mi ) , (1−α ) (m j+α mi ) ]. Selain α=1/2, fungsi distribusinya

bukan distribusi stasioner. Bentuk fungsi distribusinya dapat dilihat pada gambar 4 untuk α=1/3 yang dihasilkan

dari simulasi numerik. Dengan nilai m tinggi grafik memiliki fungsi eksponensial. Pada nilai m rendah, nilai P(m) mendekati nol. Contoh lain yang serupa dipelajari pada referensi [11]. Pada model tersebut, agen menyimpan uang sebesar λ lalu menransaksikan persentase ϵ dari uang sisanya:

[mi ,m j ]→ [ λ mi+ϵ (1−λ ) (mi+m j ) , λ m j+ (1−ϵ ) (1−λ ) (mi+m j ) ].

Gambar 5. Histogram: distribusi probabilitas stasioner uang pada model transaksi acak multiplikatif dengan pajak dan subsidi. Kurva merah: distribusi Boltzmann-Gibbs.

Transaksi ini tidak kembali seperti semula jika dilakukan prosesnya dibalik. Fungsi distribusi P(m) pada model ini dapat dilihat pada referensi [11] yaitu berbentuk mirip dengan gambar 4.

Contoh lain yang menarik dari distribusi non-Boltzmann-Gibbs adalah model dengan pajak dan subsidi. Tinjau sebuah agen spesial bernama pemerintah. Pemerintah mengambil bagian tertentu dari setiap transaksi pada sistem (dikenal sebagai pajak). Uang yang terkumpul dari pajak akan dibagikan secara merata kepada seluruh agen pada sistem, sehingga setiap agen mendapat subsidi δm dengan frekuensi 1/τ s. Dengan mengasumsikan δm kecil dan

dengan mengaproksimasi integral tumbukan dengan waktu relaksasi τ r, didapat persamaan Boltzmann berikut,

∂ P (m)∂ x

+ δmτ s

∂ P (m )∂ m

=−P (m )−~

P (m)τ r

(2)

Dengan ~P (m ) adalah titik equilibrium fungsi Boltzmann-Gibbs. Suku kedua pada persamaan (2) analog dengan

gaya medan magnet luar yang bekerja pada elektron pada logam [10]. Aproksimasi solusi stasioner dari persamaan (2) adalah persamaan Boltzmann-Gibss yang “digeser”: P (m )=~

P ¿. Pergeseran posisi equilibrium dari distribusi

P (m )akan meninggalkan ruang kosong pada daerah sekitar m=0. Pada daerah ini diisi dengan interpolasi data

antara m=0 dengan m=(τ r /τ s)δm. Kurva yang didapatkan dari model ini menggunakan simulasi komputer ditunjukkan pada gambar 5. Bentuk kurva sesuai dengan yang diharapkan. Jumlah populasi dengan sedikit uang akan ditekan karena pemerintah bekerja sebagai gaya luar yang mendorong sistem keluar dari kesetimbangan termodinamika dan menekan jumlah populasi dengan sedikit uang. Ditemukan pula entropi keadaan stasioner dengan pajak dan subsidi sedikit lebih rendah daripada sistem tanpa pajak dan subsidi.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa distribusi Boltzmann-Gibbs tidak sepenuhnya universal karena tidak semua model dapat direpresentasikan. Namun distribusi ini bersifat universal pada asumsi-asumsi tertentu, untuk model apapun yang memiliki simetri waktu, distribusi stasionernya merupakan fungsi eksponensial dan tidak bergantung pada detail modelnya. Ketika simetrinya rusak, distribusinya akan bergantung pada detail model yang digunakan. Perbedaan antara 2 kelas model ini bisa sangat tipis. Contohnya, pada model multiplicative random exchange, ubah parameter yang menunjukkan persentase kerugian dari seorang agen menjadi persentase uang yang ditransaksikan terhadap total uang dua agen yang untung dan rugi. Modifikasi seperti ini tetap terdefinisi sebagai multiplicative random exchange karena bergantung pada jumlah uang, namun jika dihitung akan memiliki simetri balik waktu. Pada model dengan Δ m=1, perbedaan antara perumusan simetrik-waktu dan tidak simetrik-waktu akan berbanding dengan perbedaan dengan syarat-syarat batas pada m=0. Lebih lengkapnya model dengan

Δ m=1 akan didiskusikan di bagian berikutnya. Tidak seperti kasus-kasus fisis, pada kasus ekonomi tidak ada syarat fundamental yang menyebabkan interaksi memiliki simetri balik waktu. Dengan keterbatasan pengetahuan mengenai dinamika transaksi secara mendetail di dunia ekonomi nyata, distribusi Boltzmann-Gibbs dapat menjadi titik acuan awal.

Selain itu, penurunan distribusi Boltzmann-Gibbs dapat dilakukan hanya jika transisi w pada persamaan (1) secara eksplisit bergantung pada mdan m ' secara asimetrik. Pada simulasi lain, dipilih siapa yang rugi dan untung

untuk setiap pasangan agen (i , j). Pada kasus ini uang mengalir pada arah tertentu melalui agen-agen yang

berhubungan: i→ j → k, dan simetri balik waktu sudah pasti tidak ada. Model ini yang mendekati kenyataan ekonomi sebenarnya. Misalnya, seseorang mendapat gaji dari atasannya, lalu membelanjakannya di toko. Aliran uang dengan arah sebaliknya hampir tidak mungkin terjadi. Namun, distribusi Boltzmann-Gibbs berlaku pada model ini karena w tidak secara eksplisit bergantung pada m dan m '.

8. Persamaan Non Linear Boltzmann vs Persamaan Master LinearModel untuk agen yang bertukar secara random dan konstan sekitar Δm=1, persamaan Boltzmannnya adalah :

dPm

dt=Pm+1∑

n=0

∞

Pn+Pm−1∑n=1

∞

Pn−Pm∑n=0

∞

Pn−Pm∑n=1

∞

Pn

¿ ( Pm+1+Pm−1−2 Pm+1 )+P0 ( Pm−Pm−1 ) (4)

Kita ketahui nilai Pm ≡ P (m) dan kita bisa gunakan ∑m=0

∞

Pm = 1. Bentuk Pertama, bentuk difusi pada persamaan

(4) bertanggung jawab terhadap perluasan dari keadaan awal distribusi fungsi delta. Bentuk Kedua, pembagian/proporsi ke Po, berkaitan dengan distribusi Boltzmann Gibbs Pm = e -m/T (1 – e -1/T) menjadi solusi stasioner dari persamaan (4).

Jika kita anggap Po adalah konstanta, persamaan (4) akan terlihat seperti persamaan linear Fokker-Planck untuk Pm, dengan bentuk pertama menjelaskan difusi dan bentuk kedua menjelaskan sebuah gaya eksternal bagian dari Po. Persamaan (4) juga dapat dituliskan sebagai

dPm

dt=Pm+1−(2−Po)Pm+ (1−P0 ) Pm+1 (5)

Koefisien (1-Po) menunjukkan rasio peningkatan uang oleh Δm=1 dan koefisien 1 didepan Pm+1 menunjukkan pengurangan uang oleh Δm = -1.

Persamaan 4 dan 5 terlihat seperti persamaan linear, meskipun begitu persamaan Boltzmann (1) dan (3) adalah sebuah persamaan nonlinear. Persamaan tersebut berisi produk dari dua fungsi distribusi probabilitas P. Sebuah agen dapat mengubah uang dengan hanya berinteraksi dengan agen lainnya, dengan demikian penyelesaian masalah membutuhkan fungsi probabilitas dua partikel. Menggunakan hipotesa chaos molekular Boltzman, fungsi dua partikel difaktorisasi ke sebuah produk dari dua fungsi distribusi single partikel yang hasilnya dalam bentuk persamaan Boltzmann nonlinier. Penyimpanan uang cukup dengan menyatukan pendekatan secara dua-partikel dan keragaman dari distribusi Boltzmann Gibbs terlihat jelas.

KESIMPULANDi seluruh bagian paper ini, diasumsikan beberapa pertukaran uang terjadi secara acak. Hasil dari paper dapat

diaplikasikan ke distribusi probabilitas dari uang dalam komunitas penjudi tertutup. Dalam beberapa studi ekonomi, agen pengubah uang tidaklah acak namun mengikuti strategi deteministik seperti kesetimbangan mekanik dalam fisika yang tercapai dengan meminimalkan energi dan memaksimalkan utilitas. Saat heterogennya agen berinteraksi dan mengeluarkan variasi jumlah uang dari yang terkecil sampai yang terbesar, perubahan jumlah uang ternyata acak. Dalam paper ini, ekonomi dianalogikan sebagai dinamika molekul dalam fisika. Saat atom-atom bertumbukan, perubahan energi bersifat random berkaitan dengan kompleksitas sistem dan hasil menurut hukum Boltzmann Gibbs.

PUSTAKA

1. Dragulescu. A. and Yakovenko. V. M. “Statistical Mechanics of Money,” The European Physical Journal B, University of Maryland, 2000.

(3)