solusi uji coba olimpiade sains nasional 2012 1

Solusi Soal Uji Coba OSN Mat/22 Juli 2012

Blog: didiksarden.blogspot.com Email: [email protected]

SOLUSI UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012 JAKARTA

BIDANG : MATEMATIKA

Disusun Oleh: Didik Sadianto, S.Pd. BAGIAN PERTAMA 1. Misalkan ABC segitiga dengan 090BAC dan ACAB . Titik M dan N terletak pada sisi

BC sedemikian sehingga N terletak diantara M dan C dan 0222 NCMNBM . Buktikan bahwa .1tan MAN

SOLUSI: Dengan menggunakan Aturan Kosinus, Kita peroleh: MANANAMANAMMN cos.2222 (1)

Karena 2.222 ABBMABBMAM dan 2.2222 NCACNCACAN , hal ini berakibat bahwa:

ANAM

NCABBMABABMAN2

2.2.2cos2

(2)

Dilain Pihak, Kita peroleh: ACNBAMABCMAN

42.2.2 2 CNABMBABAB

(3)

Perhatikan bahwa:

MANANAMMAN sin.21

ANAM

CNABMBABABMAN.2

2.2.2sin2

(4)

Dari (2) dan (4), maka kita peroleh bahwa: 1tan MAN (terbukti) 2. Untuk bilangan positif n, misalkan f didefinisikan sebagai

1212144)(

2

nn

nnnf

Tentukan nilai dari

2012

1iifz .

SOLUSI:

Dari 1212

144)(2

nn

nnnf , maka

A

C B M N



1212

141212 222

nn

nnnnf

2

1212)(33

nnnf

Jadi, .2

1402440224024....351321 3

3333332012

1

iifz

3. Misalkan a, b, c, dan d bilangan real sehingga

22222 111 bdacdcba Buktikan bahwa 122 ba dan 122 dc . SOLUSI: Andaikan 221 bax dan 221 dcy adalah bilangan non-negatif. Perhatikan bahwa: 22222 111 bdacdcba 22224 bdacxy

22222 22 bdacydcxba

222222 2 yxyxyxyxdbca . Hal ini baerakibat: 22 24 yxyxxy atau 20 yx (Hal ini suatu kontradiksi).

Jadi, benar bahwa: untuk a, b, c, dan d bilangan real sehingga 22222 111 bdacdcba berlaku bahwa 122 ba dan 122 dc .

4. Tentukan semua bilangan bulat n, sedemikian sehingga 313116 234 nnnn merupakan

bilangan kuadrat sempurna. SOLUSI: Andaikan 313116 234 nnnnA merupakan kuadrat sempurna. Hal ini berarti bahwa: 10313 22 nnnA adalah kuadrat sempurna. Kasus (1): Jika n > 10, maka 2222 3,13 nnAnnA .

303313 2222 nnnnn atau 03132 2 nn (Tidak Mungkin). Kasus (2) Jika n = 10, maka 222 131110.310 A merupakan bilangan kuadrat sempurna. Kasus (3) Jika n < 10, maka 22 13 nnA : 1003 nataun

Maka 032 nn Jadi, 22 23 nnA , yakni 02792 2 nn

atau 34

33334

33337

n

Sehingga n = -6, -5, -4, -3, 0, 1, 2. Untuk nilai n ini maka nilai A berturut-turut: 409, 166, 67, 40, 31, 52, 145. Semua nilai A ini bukan kuadrat sempurna.



1,2 n , maka nilai A berturut-turut 37, 34. Ini juga bukan kuadrat sempurna. Jadi, nilai bilangan bulat n yang memenuhi hanya n = 10.

BAGIAN KEDUA 5. Lima buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kelima angka yang

muncul akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144 ?

SOLUSI: Perhatikan bahwa: 5.3.2180 22 , maka kemungkinan lima buah dadu yang memenuhi perkaliannya 180 adalah 5,4,3,3,1 , 6,5,3,2,1 , 6,6,5,1,1 , 5,3,3,2,2 yang berturut-turut banyaknya

kemungkinan tersebut adalah !2!.2

!5.!2!.2

!5!.5.!2!5 .

Peluang hasil kali mata dadu sama dengan 180 adalah 55 6240

6!2!5

!2!.2!5.

!2!.2!5!.5.

!2!5

.

Perhatikan bahwa: 24 3.2144 , maka kemungkinan lima mata dadu yang memeni perkaliannya = 144 adalah 6,3,2,2,2,4,3,3,2,2,4,4,3,3,1,6,4,3,2,1,6,6,2,2,1,6,6,4,1,1 yang secara berurutan banyaknya kemungkinan tersebut adalah

260!3!5.

!2!.2!5.

!2!.2!5!.5.

!2!.2!5.

!2!.2!5

Peluang hasil kali mata dadu sama dengan 144 adalah 56260 .

Jadi, peluang lebih besar adalah terjadinya hasil kali 144.

6. Barisan na memenuhi kondisi 121 aa dan 1

21

nnn a

aa . Tentukan nilai dari 2012a .

SOLUSI: Berdasarkan asusmsi pada soal, maka kita peroleh: .1112 nnnn aaaa (1)

Bentuk persamaan (1) berarti bahwa merupakan suatu barisan nn aa 1 aritmatika dengan beda 1 dan suku pertamanya juga 1. Sehingga kita peroleh bentuk: ,.....3,2,1,1 nnaa nn (2) Perhatikan bahwa dari (2) kita peroleh:

....,3,2,1,.1/

11

12

na

nn

ann

ana n

nnn

Hal ini berakibat bahwa:

20102011.

20082009.......

67.

45.

23

23.....

20082009.

20102011

.20082009.

20102011.

20102011

2

200820102012

a

aaa



7. Titik M berada di dalam daerah segitiga ABC. Misalkan titik D, E, F berturut-turut merupakan hasil proyeksi titik M terhadap sisi BC, CA, dan AB. Tentukan nilai minimum dari

.MFAB

MECA

MDBC

SOLUSI:

Jelas bahwa MF, ME, MD berturut-turut ruas garis yang tegak lurus terhadap sisi AB, AC, dan BC. Dan jelas bahwa: MBCMABMACABC MFABMEACMDBCABC ......2 (1)

Dengan menggunakan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz:

2... BCACABMFAB

MECA

MDBCMFABMEACMDBC

rp

Sp

MFAB

MECA

MDBC 2

22 2

,

dimana r, p, S berturut-turut menyatakan jari-jari lingkaran dalam segitiga, setengah keliling segitiga, dan luas segitiga ABC.

Jadi, nilai minimum MFAB

MECA

MDBC

sama dengan rp2 . Kesamaan ini tercapai pada saat:

MFABMFAB

MECAMEAC

MDBCMDBC

/.

/.

/.

yakni ketika MD = ME = MF, dengan kata lain bahwa M

merupakan pusat segitiga ABC.

8. Sebuah komite mengadakan 40 pertemuan dengan 10 orang anggota komite hadir pada masing-masing pertemuan. Setiap dua orang anggota komite menghadiri pertemuan secara bersamaan paling banyak satu kali. Tunjukkan banyaknya anggota komite tersebut lebih dari 60.

SOLUSI: Masing-masing pertemuan dihadiri oleh 10 orang. Maka banyaknya pasangan berbeda ada

45210 C pada masing-masing pertemuan. Tidak ada dua pasangan yang mengikuti lebih dari satu pertemuan. Karena ada 40 pertemuan maka sedikitnya 40.45 = 1800 pasangan berbeda. Misalkan banyaknya anggota komite adalah n.

Banyaknya pasangan berbeda yang bias dibuat adalah 121

2 nnCn , maka:

1800121

nn 60 n (terbukti)

B

C E

A

M

D F

solusi uji coba olimpiade sains nasional 2012 1

Documents