BUKU MATEMATIKA SMP KELAS VIIKURIKULUM 2013

(edisi revisi 2014)

Soal dan PembahasanLatihan 1.2 sampai Latihan 1.9

BAB IPokok Bahasan

BILANGAN

Wahyu8

Latihan 1.24. Tentukan hasil dari (tanpa menghitung satu persatu)

a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 99Jawab:Rumus jumlah dari n bilangan ganjil pertama.

1 =21 1

2 =

222

= 12

= 1

1 + 3 =21 3

2 =

242

= 22

= 1

1 + 3 + 5 =21 5

2 =

262

= 32

= 9

1 + 3 + 5 + 7 =21 7

2 =

282

= 42

= 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =21 9

2 =

2102

= 52

= 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 99 =21 99

2 =

21002

= 502

= 2.500

Jadi, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 99 = 2.500.b. 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 100

Jawab:

1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 100(1 + 3 + 5 + 7 + + 99) (2 + 4 + 6 + 8 + + 100)Dari sini kita stop dahulu, kita hitung.

1 + 3 + 5 + 7 + + 99 = 2.500Selanjutnya kita hitung 2 + 4 + 6 + 8 + + 100.

2 = 2 2 12 2 = 1 (1 + 1) = 1 2 = 2

2 + 4 = 4 4 12 2 = 2 (2 + 1) = 2 3 = 6

Wahyu8

2 + 4 + 6 = 6 6 12 2 = 3 (3 + 1) = 3 4 = 12

2 + 4 + 6 + 8 = 8 8 12 2 = 4 (4 + 1) = 4 5 = 1

2 + 4 + 6 + 8 + + 100 = 100 100 12 2

= 50 (50 + 1) = 50 51 = 2.550

Kembali lagi pada soal:

1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 100(1 + 3 + 5 + 7 + + 99) (2 + 4 + 6 + 8 + + 100)2.500 (2.550) = 2.500 2.550 = 50Jadi, 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 100 = 50

c. 100 99 98 2 1 0 + 1 + 2 + + 48 + 49 + 50Jawab:

100 99 98 2 1 0 + 1 + 2 + + 48 + 49 + 50Deret bilangan di atas akan disusun ulang manjadi:1 + 2 + + 48 + 49 + 50 0 1 2 98 99 1001 + 2 + + 48 + 49 + 50 0 1 2 49 50 51 52 98 99 100(1 + 2 + + 48 + 49 + 50) (1 + 2 + 49 + 50) (51 + 52 + 98 + 99 + 100) (51 + 52 + 98 + 99 + 100) (151 25) = (151 25) = 3.775Jadi, 100 99 98 2 1 0 + 1 + 2 + + 48 + 49 + 50 = 3.775

11. Dengan memperhatikan susunan bilangan berikut, jika kita melanjutkan hingga baris ke-12, tentukan:

a. Bilangan pertama pada baris ke- 12

Jawab:

1, 2, 4, 7,

12 3

4 5 67 8 9 10

Wahyu8

Coba kamu selidiki sampai berapa tingkat dicapai selisih konstan (tetap).Pola bilangan pertama ke-n dapat dicari dengan rumus:

1 12

n n =2

12

n n

Sehingga pada baris ke- 12:

12 12 1 12

= 6 11 + 1 = 67

Jadi, bilangan pertama pada baris ke- 12 adalah 67.

b. Jumlah dari bilangan-bilangan yang terdapat pada baris ke- 12

Jawab:

67 + 68 + 69 + + 78 = (66 12) + (1 + 2 + 3 + + 12)= 792 + 78

= 870

Jadi, jumlah dari bilangan-bilangan yang terdapat pada baris ke- 12 adalah 870.12. Isilah kotak-kotak pada persegi berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9

sedemikian sehingga jumlah bilangan pada susunan horisontal, vertikal dan diagonalnyasama. Satu bilangan hanya bisa diisikan satu kali.

Jawab:

4 3 8

9 5 1

2 7 6

13. Isilah lingkaran kosong pada segitiga berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, atau 6sedemikian sehingga jumlah bilangan pada setiap sisinya sama. Setiap bilangan hanyabisa digunakan sekali.

Jawab:

6

54 2

1 3

Wahyu8

14. Isilah lingkaran kosong pada segitiga berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9sedemikian sehingga jumlah bilangan pada setiap sisinya sama. Setiap bilangan hanyabisa digunakan sekali.

Jawab:

9

4 5

3 1

27 6 8

Wahyu8

Latihan 1.35. Astronomi. Edmund Halley (1656 - 1742) adalah orang yang pertama kali melihat

komet yang dinamakan Komet Halley pada tahun 1682. Ia dengan tepat memprediksibahwa komet tersebut akan muncul setiap 76 tahun.

a. Berdasar perhitungan Halley, tahun berapakah Komet Halley muncul di abad yanglalu? (1986)

b. Kapan Komet Halley diharapkan muncul kembali? (2062)c. Apakah Edmund Halley dapat melihat komet tersebut untuk kedua kalinya? (Tidak)

10. Tentukan:

a. Banyak angka 0 pada hasil bagi 201420142014 2014.Jawab:

2014201420142014

=201400000000 20140000 2014

2014

=201400000000 20140000 2014

2014 2014 2014

=2014 100.000.000 2014 10.000 2014

2014 2014 2014

= 100.000.000 + 10.000 + 1

= 100010001

Jadi, banyak angka 0 pada hasil bagi 201420142014 2014 adalah 6.b. Apabila angka 2, 1, 0, dan 4 masing-masing terdapat 300 angka seperti pola soal a,

berapakah hasil baginya ketika dibagi 2014?

Jawab:

3

201420142014

2014kali

= 100010001 =

2

100010001kali

4

2014201420142014

2014kali

= 1000100010001 =

3

1000100010001kali

Maka:

300

20142014 2014

2014kali

=

299

10001000 10001sebanyak kali

Wahyu8

13. Sandi merayakan hari ulang tahunnya yang ke- 25 pada hari jumat. Jika selama hidupSandi melewati 6 kali tahun kabisat, maka Sandi lahir pada hari apa? Jelaskan.

Jawab:Melewati 6 kali tahun kabisat, jadi ia berada di 19 kali tahun biasa.

6 5 4 3 2 1 7Sabtu Minggu Senin Selasa Rabu Kamis Jumat

1 tahun biasa = 365 hari

19 = 2 7 + 5365 = 52 7 + 119 365 5 1 = 51 tahun kabisat = 366 hari

6

366 = 52 7 + 26 366 6 2 = 12 1 7 + 55 + 5 = 10 1 7 + 3 (hari selasa)Jadi, Sandi lahir pada hari selasa.

14. Jika hari ini adalah hari selasa, maka 52000 lagi hari apa?

Jawab:

6 7 1 2 3 4 5Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

51 = 5 (hari minggu)52 = 25 = 3 7 + 4 (hari sabtu)53 = 125 = 17 7 + 6 (hari senin)54 = 625 = 89 7 + 2 (hari kamis)55 = 3125 = 446 7 + 3 (hari jumat)56 = 15625 = 2232 7 + 1 (hari rabu)57 = 78125 = 11160 7 + 5 = 56 51 1 5 = 5 (hari minggu)58 = 54 2 2 2 = 4 (hari sabtu)Dari percobaan didapat 5n hari berikutnya memiliki pola 6 perulangan:

Wahyu8

52000 = 5333 6 + 2

maka 52000 dapat ditemukan membagi pangkatnya (yaitu 2000) dengan 6 memberikansisa 2. Sehingga 52000 kemudian cukup mengambil 52 hari berikutnya yaitu hari sabtu.

Jadi, 52000 hari lagi adalah hari sabtu. (perbaikan)15. Jika hari ini adalah hari senin, maka 71000000 hari yang lalu hari apa?

Jawab:

7 1 2 3 4 5 6Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

6 5 4 3 2 1 7Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu Senin

Oleh karena 7n juga kelipatan 7, maka 71000000 hari yang lalu adalah hari senin.

Wahyu8

Latihan 1.42. Pada sebuah pertunjukan sirkus terdapat 3 buah lampu yaitu warna merah, kuning, dan

hijau. Mula-mula ketiga lampu itu menyala bersamaan. Kemudian lampu merah meyalasetiap 5 detik, lampu kuning menyala setiap 4 detik dan lampu hijau menyala setiap 8detik. Tiap berapa detik ketiga lampu itu menyala bersamaan?

Jawab:

Lampu merah 5Lampu kuning 4 = 22Lampu hijau 8 = 23KPK 5, 4, dan 8 adalah 5 23 = 40.Jadi, ketiga lampu itu menyala bersamaan setiap 40 detik.

14. Seorang peternak telur sedang memanen telur. Dia memasukkan telur-telur tersebutsecara rapi ke dalam kotak-kotak. Dia lupa menghitung banyak telur yang dimasukkankotak ketika itu. Yang dia ingat, jika diambil 2an maka tersisa 1, jika diambil 3an jugatersisa 1, jika diambil 4an, 5an, dan 6an juga tersisa 1. Tentukan banyak telur yangdipanen oleh peternak telur tersebut.

Jawab:2n + 1, 3n + 1, 4n + 1, 5n + 1, 6n + 1

Dengan n adalah KPK dari 2, 3, 4, 5, dan 6.

Sehingga:

2, 3, 22, 5, (2 3)Maka KPK dari 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah 22 3 5 = 60.Jadi, banyak telur yang dipanen oleh peternak terlur tersebut adalah 60 + 1 = 61.

Wahyu8

Latihan 1.82. Apakah 7 bilangan rasional? Jelaskan.

Jawab:Umumnya untuk membuktikan suatu akar adalah bilangan irasioanal mengunakanmetode kontradiksi.

Diasumsikan 7 adalah bilangan rasional yang berati 7 = ab

, dengan ab

dalam

bentuk yang paling sederhana, yaitu a dan b tidak mempunyai faktor prima bersama.

Diperoleh.2

27a

b 7b2 = a2

Itu berarti a2 mempunyai faktor prima 7 yang menyebabkan a juga mempunyai faktorprima 7 (mengapa?). Oleh karena itu a = 7k untuk suatu bilangan bulat positif k.Diperoleh:

7b2 = (7k)2 = 72k2

b2 = 7k2

Diketahui b juga mempunyai faktor prima 7. Jadi a dan b mempunyai faktor prima 7,padahal menurut asumsi a dan b tidak mempunyai faktor prima bersama. Kontradiksi.

3. Misal a bilangan bulat. Buktikan jika a genap maka a2 genap!Jawab:Diketahui a adalah bilangan genap, itu berati a = 2n untuk suatu bilangan bulat n makajelasa2 = (2n)2 = 22n2 juga merupakan bilangan genap.

4. Tentukan nilai p = 1 1 1 13 9 27 81

Jawab:

p = 1 1 1 13 9 27 81

3p = 1 1 1 113 9 27 81

p

3p = 1 + p

3p p = 1

2p = 1

Wahyu8

p = 12

= 0,5 artinya nilai p didekati/mendekati 0,5.

Soal di atas juga dapat dikerjakan dengan menggunakan rumus1

a

r dengan a adalahsuku pertama dan r adalah rasio.

5. Tentukan nilai y = x + 13 + x + 23 + x + 33 + + x + 1.003!Jawab:

y = x + 13 + x + 23 + x + 33 + + x + 1.003y =

100n

x x x x

+ 13 + 23 + 33 + + 1.003

y = 100x + (10 + 3 + 20 + 3 + 30 + 3 + + 1.000 + 3)y = 100x + (10 + 20 + 30 + + 1.000 + 3 + 3 + 3 + + 3)y = 100x + (10 + 20 + 30 + + 1.000) + (3 + 3 + 3 + + 3)y = 100x + 10 (1 + 2 + 3 + + 1.00) +

100

3 3 3 3n

y = 100x + 10 5.050 + 300y = 100x + 50.500 + 300 = 100x + 50.800

Jadi, y = x + 13 + x + 23 + x + 33 + + x + 1.003 = 100x + 50.800.6. Bilangan 23a23b habis dibagi 8 dan 9. Tentukan nilai dari a + b.

Jawab:Gunakan aturan keterbagian (divisibility rule) untuk 8 dan 9, sebagai berikut: Bilangan habis dibagi 8, jika 3 angka terakhirnya habis dibagi 8. Bilangan habis dibagi 9, jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.Bilangan 23a23b habis dibagi 8, jika 23b habis dibagi 8, diperoleh b = 2.Selanjutnya 23a232 habis dibagi 9, jika 2 + 3 + a + 2 + 3 + 2 = 12 + a habis dibagi 9,diperoleh a = 6.

Sehingga:

a + b = 8

7. Jika 0,201020102010 = xy

dengan x, y bilangan asli, maka nilai terkecil dari x + y

adalah ...

Jawab:

Wahyu8

Misal xy

= p

p = 0,201020102010 10.000p = 2010,20102010

10.000p = 2010,201020102010p = 0,201020102010

9.999p = 2010

p = 20109999

x = 2010 dan y = 9999

Sehingga:

x + y = 2010 + 9999 = 12009

8. Buktikan bahwa 1 3 5 2007 12 4 6 2008 2009 .

Jawab:

1 3 5 2007 12 4 6 2008 2009 1 3 5 2007 2009

2 4 6 2008 2009

1004

1

2 1 20092 2009in

n

Bentuk umumnya:

1

2 1 2 12 2 1

n

i

n n

n n

Akan dibuktikan dengan induksi matematika.

Step 1. Akan dibuktikan untuk n = 1

12 3

3

3 2 3 (hasil kali silang)9 12 (hasil kuadrat kedua ruas)Sifat 1. a < b a2 < b2 dengan a dan b bilangan real positif.Diperoleh:

12