soal tes 1 solusi1
TRANSCRIPT
Solusi Naskah Tes I/OSN/2015/Didik Sadianto
SOLUSI SOAL TES I –ONLINE (PROGRAM LIBURAN) CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA 2016
SMA DARUL ULUM 2 UNGGULAN BPPT JOMBANG
1. Misalkan dan bilangan real positif. Tunjukkan bahwa ( )( )( )
Jawaban
Dengan menggunakan AM-GM untuk x dan y, maka kita peroleh:
√ ( )
Dengan cara yang sama, maka kita peroleh:
√ ( )
√ ( )
Kalikan (1), (2), dan (3) maka
( )( )( ) ( )
2. Tentukan nilai a bilangan real sehingga persamaan | | | | | | | |
mempunyai tepat tiga solusi. Dimana | | menyatakan notasi nilai mutlak dari , didefinisikan
| | {
Jawaban
Misalkan ( ) | | | | | | | |
1) ( ) ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ) ( ) ( )
3) ( ) ( ) ( ) ( )
4) ( ) ( ) ( ) ( )
5) ( ) ( ) ( ) ( )
Dari uraian di atas maka diperoleh gambar grafik sbb:
Perhatikan bahwa dari gambar di atas, ( ) akan mempunyai tiga solusi ketika garis y=a
memotong kurva y=f(x) tepat di tiga titik. Dari grafik di atas jelas bahwa kondisi ini akan terjadi jika
3. Jika | | | | dan ( ) , maka tentukan nilai a.
Jawaban
Perhatikan bahwa | | | | | | | |
| | | | ( ) (*)
Dari (*) jelas bahwa .
Sehingga ( )
Solusi Naskah Tes I/OSN/2015/Didik Sadianto
4. Tentukan himpunan selesaian dari | |
Jawaban
Dari ketaksamaan pada soal, maka kita peroleh:
( )
Sehingga kita peroleh:
Jadi HP: * | +
5. Tentukan semua solusi bilangan real x, y, z untuk persamaan
Jawaban
Dari , maka kita peroleh;
( )
( ) ( ) ( ) (*)
Dari (*), maka kita peroleh data
Perhatikan bahwa:
. Atau ekuivalen dengan (**)
Dari (**) jelas bahwa solusinya adalah
Jadi solusi untuk soal ini adalah
6. Untuk , sehingga , tentukan nilai minimum untuk ( ) .
Jawaban
Dengan menggunakan AM-GM, maka
√(
)
(
)
(
)
√
( )
Karena , maka ( ) sehingga √
Jadi nilai minimum untuk adalah √
7. Find the least possible value of the expression
Jawaban
Perhatikan bahwa:
( )
( ) ( )
Karena ( ) ( ) sehingga ekspresi mempunyai
nilai terkecil sama dengan 7. Hal ini tercapai pada saat y = 1 dan x = 4.
8. Benar/Salah pernyataan “Persamaan | | memiliki tepat tiga solusi”? Berikan
argumen kamu.
Jawaban
Jelas bahwa .
Perhatikan bahwa:
( ) ( )
( )( ( ))
( )( )
Solusi Naskah Tes I/OSN/2015/Didik Sadianto
Sehingga( ) ( )
Dari ( ) maka diperoleh √
. Dan jelas bahwa
Dari ( ) maka diperoleh √
. Dan jelas bahwa
Sehingga | | mempunyai solusi sebanyak empat.
Jadi pernyataan di atas SALAH.
9. Jika ( ) merupakan sukubanyak berderajat tiga dengan ( ) ( ) ( ) dan
( ) . Tentukan nilai ( )
Jawaban
Misalkan ( ) ( ) .
Perhatikan bahwa karena P(x) berderajat tiga maka jelas bahwa H(x) juga berderajat tiga dan
( ) ( ) ( ) .
Sehingga ( ) ( )( )( ) untuk suatu konstanta c.
( ) ( )( )( )
Perhatikan bahwa: ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
10. Semua akar-akar dari adalah bilangan bulat positif lebih dari 2 dan koefisien
. Tentukan nilai
Jawaban
Misalkan akar-akar persamaan
Maka berdasarkan teorema vieta:
Sehingga kita memiliki
( ) ( )( )( )
Jadi, akar-akarnya adalah 8, 8, dan 42, sehingaa ( )