soal-soal fistat (1).pdf

Yangki Sulaeman 10209014

FISIKA STATISTIK SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature

keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan! b. Tentukan banyaknya keadaan kuantum dalam selang energi dan

c. Jika persamaan untuk kerapatan energi ( ⁄ dituliskan sebagai berikut :

∫ (

maka tentukanlah f( )!

d. Tentukan kebergantungan energi sistem ( ) terhadap temperature ( )! e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

(

)

maka tentukanlah !

(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan!

Potensial dari gas foton akan bernilai nol, hal ini diakibatkan akibat jumlah foton setelah mengalami interaksi tidaklah sama seperti jumlah sebelum mengalami interaksi (pada kasus radiasi benda hitam). Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_gas

http://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_potential

b. Banyaknya keadaan kuantum dalam selang energi dan dapat

ditentukan dengan menggunakan

(

http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_gas

http://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_potential


dengan

|

|

maka

(

)

mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka

(

maka dengan menggunakan

|

|

maka

( (

)


c. Jika persamaan untuk kerapatan energi ( ⁄ dituliskan sebagai berikut :

∫ (

maka tentukanlah f( )! dari soal 1b didapatkan

( (

)

(

maka bentuk dari kerapatan energi pada selang dan mempunyai bentuk

( ( ( dengan

(

(

)

yang merupakan fungsi probabilistik Bose-Einstein untuk gas foton maka didapatkan

(

(

(

)

(

(

(

)

maka

(

(

(

)


d. Tentukan kebergantungan energi sistem ( ) terhadap temperature ( )!

∫

(

(

)

∫

( (

(

( ( ∫

(

(

e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

(

)

maka tentukanlah ! Didapatkan

(

maka

(

)

(

sehingga


(

2. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukan a. Temperature permukaan matahari. b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari. c. Intensitas radiasi cahaya matahari.

(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu

(

(

(

)

dengan mengganti

maka didapatkan

(

(

)

dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap untuk mendapatkan maka didapatkan

yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka


a. Temperature permukaan matahari.

dengan didapatkan

b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari

karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka

(

(

(

)

c. Intensitas radiasi cahaya matahari.

Total energi yang berada pada benda tersebut adalah

∫ ( ∫

(

)

∫

(

)

∫

(

)

Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan

|

|


maka

(

)

∫

(

(

)

sehingga

(

)

dengan

maka

(

3. Tinjau sistem gas elektron dalam volume pada temperature a. Turunkan ungkapan ( , yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan

antara dan ! b. Turunkan ungkapan ( , yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara

dan ! c. Buat sketsa kurva ( terhadap pada temperature nol mutlak!

(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Turunkan ungkapan ( , yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan

antara dan ! Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga


maka dapat dibentuk suatu bola yang mempunyai jari-jari,

(

)

(

)

(

)

dengan volume

dan element volume yang dimiliki oleh bola tersebut, adalah

maka

(

) (

)

(

)

(

)

mengingat bahwa nilai , , dan merupakan bilangan bulat positif, maka

hanya diambil (

) bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai

dua keadaan spin, maka

( ( )

(

)

atau

(

(

)


(

(

)

(

(

)

(

(

)

yang merupakan rapat keadaan elektron pada selang energi dan per satuan volume, untuk mendapatkan ungkapan rapat keadaan elektron dengan kelajuan antara dan dapat digunakan hubungan

sehingga

(

(

)

(

)

(

(

)

b. Turunkan ungkapan ( , yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara

dan ! Dari point (a) didapatkan bahwa rapat keadaan elektron sebagai fungsi dari kecepatan adalah

(

(

)

Untuk elektron, statistik yang berkaitan adalah statistik Fermi-Dirac, yang mempunyai fungsi probabilitas statistik sebagai berikut

(

(

)


dengan merupakan energi elektron bebas dan merupakan energi Fermi

apabila mengganti ungkapan dengan

maka didapatkan

(

(

)

maka

( ( (

(

)

(

)

c. Buat sketsa kurva ( terhadap pada temperature nol mutlak!

(

(

)

Mempunyai nilai khusus untuk beberapa keadaan, salah satunya ketika T = 0 K, fungsi probabilitas FD akan bernilai

( {

dengan mengambil energi elektron yang dibawah energi Fermi maka

( ( ( (

(

)

dengan

(

)


maka

( yang akan memberikan kurva sebagai berikut

4. Menurut mekanika kuantum, energi osilator harmonic satu dimensi bernilai diskrit,

yaitu (

) , dengan adalah bilangan bulat dan adalah frekuensi osilator.

Energi terendah suatu osilator kuantum adalah sebesar

yang dinamakan zero-

point energy. Dengan statistic Maxwell-Boltzmann, fungsi partisi Z sistem ini adalah

∑ [ (

)

] (

) ( (

))

a. Buktikan bahwa energi rata-rata sebuah osilator kuantum adalah

[

( ⁄ )

]

b. Pada temperature tinggi

sehingga (

)

(

)

, tunjukkan bahwa nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic

N(v

)

v^2


kuantum pada temperature tinggi mendekati hasil yang diperoleh untuk osilator harmonic klasik!

(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Energi rata-rata mempunyai bentuk persamaan

(

)

dengan

(

⁄

( ⁄ )

(

⁄

( ⁄

( (

⁄

( ⁄ )

(

) (

( ⁄ )

( ⁄ )

) [(

)

(

)

(

)

(

)

]

(

)

[

(

)

]

(

) [

]


(

) [

]

sehingga

(

) [

(

)

] [

(

)

]

(terbukti)

b. nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic kuantum pada temperature tinggi

[

(

)

] [

]

[

] [

]

(terbukti)

5. Gas elektron dalam sodium memiliki energi Fermi sebesar pada

temperature nol mutlak. Hitunglah : a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak! b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini! c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini

( √ (

(Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012) Jawab a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan


Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga

Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang

dengan

(

)

Maka

(

)


hanya diambil (



( ( )

(

)

atau

(

(

)

(

(

)

kerapatan elektron dapat ditentukan melalui


( ( ( dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai ( yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, sehingga

( (

(

(

)

maka

∫

(

)

(

(

)

(

yang merupakan kerapatan gas elektron pada sodium pada temperature 0 K. b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini!

Temperature Fermi didapatkan dari persamaan

(

dengan

(

maka

c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini


( √ (

dengan

(

maka

( √

⁄


keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( ) a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan

, adalah

(

Dengan adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.

b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

(

)

maka tentukanlah !

d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( dinyatakan dalam kerapatan energinya

( ⁄ )!

(Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012 )


Jawab a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan

, adalah

(

dengan

dengan hubungan antara momentum dengan panjang

gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan

maka

|

|

sehingga didapatkan, (

)

melalui hubungan

|

|

maka, didapatkan

(


mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka

,

sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan per satuan volume adalah

(

(terbukti) b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya

( ( ( Dengan ( merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk

untuk gas Foton

(

(

)

(

(

)

dan

∫

(

)

dengan


maka

∫

(

)

(

( ∫

(

(

c. tentukanlah !

(

)

(

maka

(


( ⁄ )!

dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic

∫


keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( ) a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan

, adalah


(

Dengan adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.

b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

(

)

maka tentukanlah !


( ⁄ )!

(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan

, adalah

(

dengan



maka

|

|


)


melalui hubungan

|

|

maka, didapatkan

(


,


(

(terbukti) b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya

( ( ( Dengan ( merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk

untuk gas Foton

(

(

)


(

(

)

dan

∫

(

)

dengan

maka

∫

(

)

(

( ∫

(

(

c. tentukanlah !

(

)

(

maka

(


( ⁄ )!


dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic

∫

8. Tijau sistem gas elektron bebas dalam logam tembaga. Diketahui energi Fermi ( untuk elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak adalah . a. Tentukan kerapatan elektron bebas dalam logam tersebut! b. Hitunglah energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol

mutlak! c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi ( dan temperature Fermi ( sistem ini! d. Tentukan laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak! (Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan

Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga

Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang

dengan


(

)

Maka

(

)


hanya diambil (



( ( )

(

)

atau

(

(

)

(

(

)

kerapatan elektron dapat ditentukan melalui

( ( ( dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai ( yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, sehingga

( (

(

(

)

maka


∫

(

)

(

(

)

(

yang merupakan kerapatan gas elektron pada tembaga pada temperature 0 K. b. energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak

( (

karena pada suhu 0 K dan energi bebas elektron kurang dari energi Fermi, F( akan bernilai 1. maka

( ∫ ( (

∫ ( (

∫

(

)

(

∫

(

)

(

(

(

)

(

(

)

(

(

c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi ( dan temperature Fermi ( sistem ini! Untuk temperature Fermi

(

dengan

(

maka


Untuk kecepatan Fermi

( √ (

( √

d. laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak!

Ga dapet…mohon bantuannya

9. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang . Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukan a. Temperature permukaan matahari! b. Kerapatan energi radiasi matahari! (Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu

(

(

(

)

dengan mengganti

maka didapatkan

(

(

)


dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap untuk mendapatkan maka didapatkan

yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka

a. Temperature permukaan matahari.

dengan didapatkan

b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari

karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka

(

(

(

)

10. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( . Diberikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan , adalah

(

Dengan adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum. a. Tuliskan ( yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara

dan ! b. Tuliskan ( yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam

variable frequensi! c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan

( yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!


d. Jika menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature maka buktikan bahwa : dan tentukanlah !

(Pekerjaan Rumah 3 FI3202 Fisika Statistik) Jawab Radiasi EM dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan sebagai sistem gas foton yang menggunakan statistk Bose-Einstein, dengan fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi energi, yaitu

(

(

untuk gas foton maka nilai ,

, dan , maka didapatkan

bentuk lain dari fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi frequensi

(

(

)

Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan dapat ditentukan melalui

(



maka

|

|


)

melalui hubungan


|

|

maka, didapatkan

(


,


(

Sehingga a. Tuliskan ( yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara

dan !

( ( (

(

)

b. Tuliskan ( yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam

variable frequensi!

( ( (

(

(

(

)


c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan ( yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!

Persamaan untuk jumlah foton yang terpancar keluar melaui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu, adalah

(

(

[

(

)

]

(

)

Maka untuk energi yang terpancarnya adalah

( (

(

(

)

d. Jika menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda

bertemperature maka buktikan bahwa : dan tentukanlah !

Total energi yang berada pada benda tersebut adalah

∫ ( ∫

(

)

∫

(

)

∫

(

)

Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan


maka

(

)

∫

(

(

)

sehingga

(

)

dengan

11. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( ) a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelombang

dan adalah

(

b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang dan . Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk

menurunkan ⟨

⟩

c. Tentukan ungkapan yang menyatakan energi sistem gas foton. Jika pada saat itu sedang terdapat buah foton maka tentukan energi rata-rata sebuah foton pada saat tersebut dalam variable

(Quiz 2 FI3202 Fisika Statistik) Jawab


a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelombang dan adalah

(

Fungsi probabilitas statistik BE adalah

(

(

untuk gas foton,

(

(

)

(

(

)

Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan dapat ditentukan melalui

(



maka

|

|


)

maka

(



, sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan per satuan volume adalah

(

b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang

gelombang dan . Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk

menurunkan ⟨

⟩

Jumlah foton dalam selang panjang gelombang dan per satuan volume adalah

( ( (

(

)

Maka untuk mendapatkan ⟨

⟩

⟨

⟩

∫

(

)

∫

(

)

∫

(

)


|

|

(

)

∫ (

)

(

⟨

⟩

(

)

c. Tentukan ungkapan yang menyatakan energi sistem gas foton. Jika pada saat

itu sedang terdapat buah foton maka tentukan energi rata-rata sebuah foton pada saat tersebut dalam variable

Energi sistem gas foton akan mempunyai bentuk

( ( (

(

)

(

)

dan dengan menggunakan cara yang sama seperti pada nomor 10, didapatkan

(

)

Untuk energi rata-rata sebuah foton

(

)

soal-soal fistat (1).pdf

Documents