smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.2 rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan...

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11

2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK) + + =

Akar-Akar PK

1 =+24

2 atau 2 =

24

2

Jumlah Akar-Akar PK Hasil Kali Akar-Akar PK

1 + 2 =

12 =

Selisih Akar-Akar PK

|1 2| =24

=

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

1

2 22 = (1 2)

2 212

12 2

2 = (1 + 2)(1 2)

13 2

3 = (1 2)3 3(12)(1 2)

14 2

4 = (12 2

2)2 2(12)2

1

1

1

2=

1 212

1

12+

1

22=

12 + 2

2

(12)2

12

21

=1

2 22

12

Halaman 12 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menyusun bentuk simetri akar-akar PK Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan). Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

12 + 2

2 = . Penyelesaian: Ingat bentuk (1 + 2)

2 = 12 + 212 + 2

2, maka diperoleh: 1

2 + 22 = ( + )

2 2 Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

12 2

2 = . Penyelesaian: Ingat bentuk (1 2)

2 = 12 212 + 2

2, maka diperoleh: 1

2 22 = ( )

2 + 2 Atau ingat bentuk (1 + 2)(1 2) = 1

2 12, maka diperoleh:

12 2

2 = ( + )( ) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

13 + 2

3 = . Penyelesaian: Ingat bentuk (1 + 2)

3 = 13 + 31

22 + 3122 + 2

3

= 13 + 3(12)(1 + 2) + 2

3

maka diperoleh: 1

3 + 23 = ( + )

3 3()( + ) Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

14 + 2

4 = . Penyelesaian: Ingat bentuk (2 + 2

2)2 = 14 + 222 + 2

4, maka diperoleh:

14 + 2

4 = ( +

)2

2()2

= [( + )2 2]

2 2()2

Dan lain-lain .

Contoh: Persamaan kuadrat 22 + 3 2 = 0 memiliki akar-akar 1 dan 2, maka nilai 1

2 + 22 = ....

Penyelesaian: Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

+ =

=

3

2=

3

2

=

=

2

2= 1

Kedua, cari bentuk identik dari 1

2 + 22 yang memuat bentuk 1 + 2 dan 1

2 + 22.

1

2 + 22 = ( + )

2 2

= (3

2)

2 2(1)

=9

4 2

=1

4


Menyusun PK Baru

Diketahui: + + = adalah PK Lama

dan adalah akar-akar PK Lama dan adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan! Apakah dan identik atau tidak?

Jika dan identik Jika dan tidak identik Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama + dan

Substitusi ke PK Lama cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru

+ dan menggunakan nilai + dan

Rumus PK Baru adalah Rumus PK Baru adalah ()

2+ () + = 0 2 ( + ) + () = 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan artinya koefisien juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah 2 + + = 0, maka:

1. PK Baru yang akar-akarnya ( + ) dan ( + ) ( )2 + ( ) + = 0

2. PK Baru yang akar-akarnya ( ) dan ( ) ( + )2 + ( + ) + = 0

3. PK Baru yang akar-akarnya () dan () 2 + + = 0

4. PK Baru yang akar-akarnya (

) dan (

)

2 + + = 0

5. PK Baru yang akar-akarnya () dan () 2 + = 0


Contoh 1: Akar-akar persamaan kuadrat 32 12 + 2 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 2) dan ( + 2) adalah . Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru ( + 2) dan ( + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu ( + 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, ( + 2).

Invers dari ( + 2) adalah ( ). Ketiga, Substitusikan ( ) menggantikan variabel pada PK Lama:

3( )2 12( ) + 2 = 0

3(2 4 + 4) 12 + 24 + 2 = 0

32 12 + 12 12 + 24 + 2 = 0 32 24 + 38 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya ( + 2) dan ( + 2) adalah 32 24 + 38 = 0.

Contoh 2: Akar-akar persamaan kuadrat 22 4 + 8 = 0 adalah dan .

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

dan

adalah .

Penyelesaian: Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru

dan

, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

+ = 4

2= 2

=8

2= 4

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai + dan .

+

=

2 + 2

=( + )2 2

=2 2

=4 8

4

= 4

4= 1

= 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

2 (jumlah akar-akar PK baru) + hasil kali akar-akar PK baru = 0

2 (1) + 1 = 0

2 + + 1 = 0

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya

dan

adalah 2 + + 1 = 0.


Contoh 3 Akar-akar persamaan kuadrat 22 5 + 3 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( + 3) dan ( + 3) adalah . Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan ( 3). Jadi, PK Baru adalah: 2( 3)2 5( 3) + 3 = 0 Jabarkan sendiri ya!

Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat 32 + 12 1 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( 2) dan ( 2) adalah . Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan ( + 2). Jadi, PK Baru adalah: 3( + 2)2 + 12( + 2) 1 = 0 Jabarkan sendiri ya!

Contoh 5 Akar-akar persamaan kuadrat 42 + 2 7 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 dan 2 adalah . Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 42(20) + 2(21) 7(22) = 0 Jabarkan sendiri ya!

Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 72 5 + 13 = 0 adalah dan .

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

5 dan

5 adalah .

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK? Jadi, PK Baru adalah: 72(55) 5(51) + 13(50) = 0 Jabarkan sendiri ya!

Contoh 6 Akar-akar persamaan kuadrat 22 + 5 = 0 adalah dan .

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1

dan

1

adalah .

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 2 dengan konstanta. Jadi, PK Baru adalah: 52 + 2 = 0


Contoh 7 Akar-akar persamaan kuadrat 2 + 2 + 4 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah . Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien dikalikan (1). Jadi, PK Baru adalah: 2 + 2(1) + 4 = 0

2 2 + 4 = 0

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat 22 5 + 3 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2 3) dan (2 3) adalah . Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol, dilanjutkan dengan substitusi ( + 3). Jadi, PK Baru adalah: 22(20) 5(21) + 3(22) = 0

22 10 + 12 = 0

Dilanjutkan dengan substitusi ( + 3). 2( + 3)2 10( + 3) + 12 = 0 Jabarkan sendiri ya!


Berlawanan Berkebalikan = 0 =

Sifat-Sifat Akar-Akar PK

Perbandingan Selisih 2 = ( + 1)2 = ()2 Keterangan: Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.

Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya. TRIK SUPERKILAT Sifat akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0 yang mungkin keluar di soal:

1. Jika akar yang satu kelipatan dari akar yang lain (1 = 2), maka 2 = ( + 1)2

2. Jika selisih akar-akarnya adalah (|1 2| = ), maka = ()2

3. Jika akar-akarnya berlawanan (1 = 2 atau 1 + 2 = 0), maka = 0

4. Jika akar-akarnya berkebalikan (1 =1

2 atau 12 = 1), maka =

Contoh: Akar-akar persamaan kuadrat 22 + + 16 = 0 adalah dan . Jika = 2 dan , positif maka nilai = . Penyelesaian: Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu.

Karena = 2, maka jelas nilai = 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. 2 = ( + 1)2

22 = (2 + 1)2 2 16

2 = 32 42 = 12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

1 + 2 > 0

> 0

2> 0

< 0

Sehingga pilih nilai yang negatif. Jadi, = 12.


Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Akar-akar persamaan kuadrat 042 axx adalah p dan .q Jika ,82 22 aqpqp maka nilai a

....

A. 8 B. 4 C. 4 D. 6 E. 8

2. Persamaan kuadrat 05)1(2 xmx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika

,82 212

2

2

1 mxxxx maka nilai m ....

A. 3 atau 7 B. 3 atau 7 C. 3 atau 7 D. 6 atau 14 E. 6 atau 14

3. Persamaan kuadrat 0442 pxx mempunyai akar-akar 1x dan .2x Jika ,3222

1

2

21 xxxx maka nilai

p ....

A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 E. 8

Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

12 + 2

2 212 = 8

(1 + 2)2 412 = 8

( + 1)2 + 20 = 8

2 10 + 21 = 0 ( 3)( 7) = 0 3 = 0 atau 7 = 0 = 3 = 7

1 + 2 = + 1 1. 2 = 5

+ = . = 4

2 2 + 2 = 8

( + )2 4 = 8

2 + 16 = 8 2 8 + 16 = 0 ( 4)( 4) = 0 = 4

122 + 1

22 = 32

12(1 + 2) = 32 4(4) = 32 16 = 32

=32

16 = 2

1 + 2 = 4 1. 2 = 4

smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.2 rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan...

Documents