SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK

PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG

DIMODIFIKASI

SKRIPSI

Oleh

WAHYU HANDAYANI

155090400111002

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2018

SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK

PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG

DIMODIFIKASI

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Matematika

Oleh

WAHYU HANDAYANI

155090400111002

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2018 A

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK

PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG

DIMODIFIKASI

oleh:

Wahyu Handayani

155090400111002

Setelah dipertahankan di depan majelis penguji

pada tanggal 28 Desember 2018

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Matematika

Pembimbing

Prof. Dr. Agus Suryanto., M.Sc.

NIP. 196908071994121001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D.

NIP. 197509082000031003

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Wahyu Handayani

NIM : 155090400111002

Jurusan : Matematika

Penulis Skripsi berjudul : Skema Beda Hingga Tak Standar

untuk Persamaan Korteweg de

Vries yang Dimodifikasi

dengan ini menyatakan bahwa:

1. Isi skripsi yang saya buat adalah hasil dari pemikiran saya,

bukan hasil menjiplak dari tulisan orang lain. Rujukan-

rujukan yang tercantum pada Daftar Pustaka hanya

digunakan sebagai acuan. 2. Apabila di kemudian hari skripsi yang saya tulis terbukti

hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung segala

resiko akibat dari keadaan tersebut.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 28 Desember 2018

yang menyatakan,

Wahyu Handayani

NIM. 155090400111002

vii

SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK

PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES YANG

DIMODIFIKASI

ABSTRAK

Persamaan Korteweg de Vries yang dimodifikasi (mKdV) merupakan

salah satu persamaan diferensial parsial nonlinear yang

menggambarkan fenomena perambatan gelombang air. Pada Skripsi

ini dibahas penentuan solusi numerik persamaan mKdV menggunakan

skema beda hingga standar dan tak standar dengan metode theta.

Langkah pertama, dikonstruksi skema beda hingga standar dan tak

standar. Selanjutnya, ditentukan sifat kestabilan, kesalahan

pemotongan, dan kekonvergenan skema beda hingga tak standar.

Keakuratan skema beda hingga standar dan tak standar terhadap solusi

eksak diuji melalui simulasi numerik menggunakan ukuran langkah

yang berbeda-beda. Dengan melakukan simulasi numerik

menggunakan ukuran langkah tertentu, dapat ditunjukkan skema beda

hingga tak standar lebih akurat dibandingkan skema beda hingga

standar untuk ukuran langkah yang besar.

Kata Kunci: persamaan Korteweg de Vries yang dimodifikasi

(mKdV), skema beda hingga tak standar, metode theta.

ix

NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE SCHEME FOR

MODIFIED KORTEWEG DE VRIES EQUATION

ABSTRACT

Modified Korteweg de Vries equation is one of nonlinear partial

differential equations which describes water wave propagation

phenomena. In this final project, numerical solution of mKdV

equation is determined using standard and nonstandard finite

difference with theta method. First, we construct the standard finite

and nonstandard finite difference scheme. Furthermore, stability

conditions, truncation error, and convergence of nonstandard finite

difference scheme are determined. The accuracy of the standard and

nonstandard finite difference scheme are compared with the exact

solution through numerical simulation using different step sizes. It can

be shown from numerical simulations that nonstandard finite

difference scheme is more accurate than standard finite difference

scheme for large step sizes.

Keywords: modified Korteweg de Vries equation, nonstandard finite

difference scheme, theta method.

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat, karunia,

serta taufik dan hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi yang berjudul Skema Beda Hingga Tak Standar untuk

Persamaan Korteweg De Vries yang Dimodifikasi dengan baik

meskipun banyak kekurangan di dalamnya.

Skripsi ini tidak dapat diselesaikan dengan baik tanpa

bantuan, bimbingan, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena

itu, penulis menyampaikan terimakasih kepada

1. Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc selaku dosen pembimbing skripsi

atas segala bimbingan, saran, dan ilmu yang diberikan kepada

penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

2. Nur Shofianah, S.Si., M.Si., Ph.D dan Dr. Isnani Darti, S.Si.,

M.Si selaku dosen penguji atas segala saran yang diberikan untuk

perbaikan skripsi ini.

3. Nur Shofianah, S.Si., M.Si., Ph.D selaku dosen pembimbing

akademik atas arahan dan dukungan selama penulis menempuh

pendidikan S1 Program Studi Matematika di Universitas

Brawijaya.

4. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua

Jurusan Matematika, Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selaku Ketua

Program Studi Matematika, Bapak dan Ibu Dosen Jurusan

Matematika atas segala bantuan yang telah diberikan.

5. Ayah (Hari Pantoko), Ibu (Yunani), adik (Dewi Isnaini Febrianti

Mandiri) dan seluruh keluarga tercinta yang selalu mendoakan,

menguatkan, dan memberi dukungan kepada penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

6. Indira Kumaralalita, Cholida Usi Wardani, Rahilah, Rizka Abid

Fadhiilah, Rifka Anisa, dan Wahyu Khumairoh atas saran dan

motivasi dalam penulisan skripsi ini.

7. Keluarga Besar Matematika 2015 atas kebersamaan selama

menikmati proses perkuliahan.

8. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih

banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang

membangun sangat penulis harapkan. Kritik dan saran dapat dikirim

xii

melalui email handayaniwahyu619@gmail.com untuk perbaikan

dimasa yang akan datang. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi

semua pihak yang membutuhkan.

Malang, 28 Desember 2018

Penulis

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN SAMPUL ....................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ............................................... iii

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................... v

ABSTRAK ....................................................................................... vii

ABSTRACT ...................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ...................................................................... xi

DAFTAR ISI ................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................... xv

DAFTAR TABEL .......................................................................... xvii

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................... xix

BAB I PENDAHULUAN .................................................................. 1

1.1 Latar Belakang ................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................ 2

1.3 Tujuan............................................................................... 3

BAB II DASAR TEORI ..................................................................... 5

2.1 Persamaan Diferensial ...................................................... 5

2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa ............................... 5

2.1.2 Persamaan Diferensial Parsial ............................. 6

2.2 Deret Taylor ..................................................................... 7

2.3 Diskretisasi Domain ......................................................... 8

2.4 Metode Beda Hingga ........................................................ 9

2.4.1 Metode Beda Hingga Standar .............................. 9

2.4.2 Metode Beda Hingga Tak Standar ..................... 12

2.5 Analisis Kestabilan von Neumann ................................. 14

2.6 Konsistensi ..................................................................... 15

2.7 Konvergensi ................................................................... 15

2.8 Persamaan KdV dan Modifikasi KdV ............................ 15

2.9 Solusi Analitik Persamaan mKdV .................................. 17

BAB III PEMBAHASAN ................................................................ 21

3.1 Penurunan Skema Numerik ............................................ 21

3.2 Analisis Kestabilan Skema Theta Tak Standar .............. 29

3.3 Kesalahan Pemotongan dan Kekonvergenan Skema Tta

Tak Standar ............................................................................... 31 Theta Tak Standar ..........................................................

xiv

3.4 Simulasi Numerik ........................................................... 35

BAB IV PENUTUP .......................................................................... 41

4.1 Kesimpulan ..................................................................... 41

4.2 Saran ............................................................................... 41

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................... 43

LAMPIRAN ..................................................................................... 47

xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Diskretisasi domain 𝑥 .............................................. 8

Gambar 2.2 Diskretisasi domain (𝑥, 𝑡) ....................................... 9

Gambar 2.3 Penjalaran gelombang pada posisi 𝑥........................ 16

Gambar 3.1

Gambar 3.2

Gambar 3.3

Gambar 3.4

Solusi eksak dan NSFD dengan parameter 𝑞 = 0.3

dan 𝑟 = −0.05 serta ∆𝑥 = 0.5 dan ∆𝑡 = 0.001

pada domain −15 ≤ 𝑥 ≤ 15 dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 1:

(a) Solusi eksak; (b) NSFD saat 𝜃 = 0; (c) NSFD

saat 𝜃 = 1/2; (d) NSFD saat 𝜃 = 1

Absolut error NSFD dan NSFD untuk 𝑞 = 0.3, 𝑟 = −0.05 dengan 𝜃 = 0 dan ∆𝑡 = 0.01: (a) SFD

dengan ∆𝑥 = 2; (b) NSFD dengan ∆𝑥 = 2; (c) SFD

dengan ∆𝑥 = 0.5; (d) NSFD dengan ∆𝑥 = 0.5

Absolut error NSFD dan SFD untuk 𝑞 = 0.3, 𝑟 = −0.05 dengan 𝜃 = 1/2 dan ∆𝑡 = 0.01: (a) SFD

dengan ∆𝑥 = 2; (b) NSFD dengan ∆𝑥 = 2; (c) SFD

dengan ∆𝑥 = 0.5; (d) NSFD dengan ∆𝑥 = 0.5

Absolut error NSFD dan SFD untuk 𝑞 = 0.3, 𝑟 = −0.05 dengan 𝜃 = 1 dan ∆𝑡 = 0.01: (a) SFD

dengan ∆𝑥 = 2; (b) NSFD dengan ∆𝑥 = 2; (c) SFD

dengan ∆𝑥 = 0.5; (d) NSFD dengan ∆𝑥 = 0.5

........................ 35

........ 36

......... 37

......... 37

Gambar 3.1

Gambar 3.2

Gambar 3.3

Gambar 3.4

xvi

xvii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Nilai error maksimum ketika ∆x = 2 dan ∆x = 0.5 pada

saat T = 1 ....................................................................... 38

Tabel 3.2 Absolut error SFD dan NSFD saat (x, t) yang berbeda

-beda dengan ∆𝑥=2 dan ∆𝑡=0.01 ..................................... 39

Tabel 3.3 Nilai error maksimum pada saat T yang berbeda-beda

dengan ∆𝑥=2 dan ∆𝑡=0.01 ............................................... 40

xviii

xix

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Fungsi Denominator Φ dalam Skema Beda Hingga

Tak Standar.................................................................. 47

Lampiran 2 Fungsi Deniminator Φ dengan 𝜃 = 0.......................... 49

Lampiran 3 Fungsi Deniminator Φ dengan 𝜃 = 1/2...................... 55

Lampiran 4 Fungsi Deniminator Φ dengan 𝜃 = 1.......................... 61

Lampiran 5 Faktor Amplifikasi Pada Skema Theta Tak Standar.... 66

Lampiran 6 Program Simulasi Numerik Skema Theta Standar dan

Tak Standar.................................................................. 69

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Gelombang merupakan salah satu bahasan yang banyak

dipelajari di bidang fisika yang dituliskan dalam model persamaan

gelombang. Model persamaan gelombang banyak membantu peneliti

mengatasi berbagai masalah. Sebagai contoh, Kurtze dan Hong (1995)

menggunakan persamaan gelombang Korteweg de Vries untuk

memodelkan kemacetan lalu lintas. Ginting dan Riyanto (2013)

menggunakan persamaan gelombang air dangkal untuk simulasi

propagasi aliran banjir akibat keruntuhan bendungan sebagai upaya

untuk mitigasi bencana banjir yang mereka khususkan pada studi

kasus tertentu. Jamhuri (2014) menggunakan persamaan gelombang

air dangkal dalam simulasi perambatan gelombang tsunami.

Salah satu persamaan gelombang yang sering dijumpai dalam

fenomena fisika adalah persamaan Korteweg de Vries (KdV).

Persamaan KdV diperkenalkan pertama kali oleh Korteweg dan de

Vries pada tahun 1895 yang mendeskripsikan tentang perambatan

gelombang soliter pada permukaan air dangkal (Allen, 1997).

Persamaan KdV dituliskan sebagai berikut

𝑢𝑡 + 𝑞𝑢𝑢𝑥 + 𝑟𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0. (1.1)

Seiring berjalannya waktu, para peneliti menganalisis

persamaan KdV dalam model persamaan gelombang berikut

𝑢𝑡 + 𝑞𝑢2𝑢𝑥 + 𝑟𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0. (1.2)

Persamaan (1.2) merupakan modifikasi persamaan KdV (1.1) atau

sering disebut mKdV. Banyak peneliti menganalisis solusi analitik

maupun solusi pendekatan secara numerik, karena persamaan mKdV

memainkan peranan penting dalam studi fisika nonlinear seperti fisika

fluida.

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk membantu

menyelesaikan masalah persamaan diferensial biasa dan parsial secara

numerik adalah metode beda hingga tak standar. Skema beda hingga

tak standar telah terbukti menjadi salah satu pendekatan yang paling

efisien jika dibandingkan dengan skema beda hingga standar (Koroglu

dan Aydin, 2017). Penelitian tentang skema beda hingga tak standar

2

telah banyak dilakukan. Mickens (2003) menggunakan metode beda

hingga tak standar pada sistem Lotka-Volterra, ia menunjukkan bahwa

konstruksi skema beda hingga tak standar, konsisten terhadap

persamaan diferensial. Erdogan dan Ozis (2011) menggunakan skema

beda hingga tak standar untuk masalah kondisi batas nonlinear orde

dua. Hasil simulasi numerik mereka menunjukkan bahwa skema beda

hingga tak standar memberikan hasil yang lebih akurat ketika

dibandingkan dengan metode beda hingga standar. Hasil yang serupa

juga diperoleh Khalsaraei dan Khodadosti (2014) pada penelitian

skema beda hingga tak standar yang diterapkan pada persamaan

diferensial biasa dan parsial seperti model Predator-Prey dan

persamaan panas. Zhang, dkk. (2014) menggunakan skema beda

hingga eksak dan skema beda hingga tak standar untuk persamaan

Burgers dan Burgers-Fisher. Berdasarkan hasil simulasi numerik, nilai

error maksimum skema beda hingga tak standar lebih kecil

dibandingkan dengan nilai error maksimum pada metode

dekomposisi adomain.

Oleh karena itu, pada skripsi ini dikaji dan dianalisis kembali

tentang persamaan mKdV menggunakan skema beda hingga tak

standar dengan metode theta (Koroglu dan Aydin, 2017). Selanjutnya,

ditentukan orde kesalahan dari skema beda hingga tak standar dan

menganalisis kestabilan persamaan mKdV yang dilinearisasi. Pada

bagian akhir dibandingkan hasil simulasi numerik skema beda hingga

standar dan tak standar dengan solusi analitik persamaan mKdV.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang, rumusan masalah yang

dibahas pada skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana penurunan skema beda hingga standar dan tak

standar persamaan mKdV?

2. Bagaimana kestabilan skema beda hingga tak standar

persamaan mKdV?

3. Bagaimana kesalahan pemotongan dan kekonvergenan skema

beda hingga tak standar persamaan mKdV?

4. Bagaimana simulasi numerik skema beda hingga standar dan

tak standar persamaan mKdV?

5.

3

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan skripsi ini

adalah:

1. Mengonstruksi skema beda hingga standar dan tak standar

persamaan mKdV.

2. Menentukan sifat kestabilan skema beda hingga tak standar

persamaan mKdV.

3. Menentukan kesalahan pemotongan dan kekonvergenan skema

beda hingga tak standar persamaan mKdV.

4. Membandingkan simulasi numerik skema beda hingga standar

dengan tak standar persamaan mKdV.

43

DAFTAR PUSTAKA

Allen, J. E. 1998. The Early History of Solitons (Solitary Waves).

Physica Scripta. Vol 57. Hal 436-441.

Bekir, A. 2009. On Traveling Wave Solutions to Combined KdV-

mKdV Equations and Modified Burgers-KdV Equations.

Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation.

Vol 14. Hal 1038-1042.

Chapra, S. C. dan Canale, R. P. 2006. Numerical Methods for

Engineers, Fifth Edition. The McGraw-Hill Companies, Inc.

New York.

Debnath, L. 2005. Nonlinear Partial Differential Equations for

Scientists and Engineers Second Edition. Birkhvuser. Boston.

Erdogan, U. dan Ozis, T. 2011. A Smart Nonstandard Finite

Difference Scheme for Second Order Nonlinear Boundary

Value Problems. Journal of Computational Physics. Vol 230.

Hal 6464-6474.

Faires, J. D. dan Burden, R. L. 2002. Numerical Methods Third

Edition. Brooks Cole. Pacific Grove.

Finizio, N. dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan

Penerapan Modern Edisi Kedua. Erlangga. Jakarta.

Ginting, B. M dan Riyanto, B. A. 2013. Penerapan dan

Pengembangan Metode Volume Hingga untuk Pemodelan

Propagasi Aliran Banjir Akibat Keruntuhan Bendungan

Sebagai Salah Satu Upaya Dalam Mitigasi Bencana Studi

Kasus Situ Gintung [Laporan Akhir Penelitian]. Lembaga

Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat, Universitas

Katolik Parahyangan. Bandung.

Holmes, M. H. 2007. Introduction to Numerical Methods in

Differential Equations. Springer. New York.

Jamhuri, M. 2014. Simulasi Perambatan Tsunami menggunakan

Persamaan Gelombang Air Dangkal [Laporan Akhir Penelitian

Penguatan Program Studi]. Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri (UIN) Maliki. Malang.

44

Khalsaraei, M. M. dan Khodadosti, A. F. 2014. Nonstandard Finite

Difference Schemes for Differential Equations. Sahand

Communications in Mathematical Analysis (SCMA). Vol 1. No

2. Hal 47-54.

Konangi, S., Palakhurti, N. K., dan Ghia, U. 2017. Von Neumann

Stability Analysis of First-Order Accurate Discretization

Schemes for One-Dimensional (1D) and Two-Dimensional

(2D) Fluid Flow Equations. Computers and Mathematics with

Applications. Vol 75. Hal 643-665.

Koroglu, C. dan Aydin, A. 2017. An Unconventional Finite Difference

Scheme for Modified Korteweg-De Vries Equations. Advances

in Mathematical Physics. Vol 2017. Hal 1-9.

Kurtze, D. A dan Hong, D. C. 1995. Trafic Jams, Granular Flow, and

Soliton Selection. Physical Review E. Vol 52. Hal 218-221.

Lapidus, L. dan G. F. Pinder. 1999. Numerical Solution of Partial

Differential Equations in Science and Engineering. John Wiley

& Sons, Inc. New York.

Mickens, R. E. 1999. Applications of Nonstandard Finite Difference

Schemes. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore.

Mickens, R. E. 2003. A Nonstandard Finite-Difference Scheme for

The Lotka-Volterra System. Applied Numerical Mathematics.

Vol 45. Hal 309-314.

Mickens, R. E. 2005. Advances in the Applications of Nonstandard

Finite Difference Schemes. World Scientific Publishing Co. Pte.

Ltd. Singapore.

Nettel, S. 2009. Wave Physics Oscillations-Solitons-Chaos Fourth

Edition. Springer. Berlin.

Schvfer, M. 2006. Computational Engineering-Introduction to

Numerical Methods. Springer. Germany.

Suryanto, A. 2017. Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial

Biasa dan Aplikasinya dengan Matlab. Universitas Negeri

Malang. Malang.

45

Wazwaz, A. M. 2009. Partial Differential Equations and Solitary

Waves Theory. Springer. Beijing.

Zhang, L., Wang, L., dan Ding, X. 2014. Exact Finite

Difference Scheme and Nonstandard Finite Difference Scheme for

Burgers and Burgers-Fisher Equations. Journal of Applied

Mathematics. Vol 2014. Hal 1-14.