skad chapter 6.pdf

7/26/2019 SKAD CHAPTER 6.pdf

1/47

PROBABILITAS DAN VARIABEL ACAK

1

BAGIAN 6


6.1.

Kata PengantarSejauh ini kita telah membahas transmisi sinyal deterministik melalui

saluran,dan kita belum menekankan peran sentral yang dimainkan oleh konsep

pengacakandidalam komunikasi. Kata acak berarti terduga. Jika penerima padaakhir saluran tahu di output pesan dari sumber asal, tidak akan ada kebutuhan

untuk komunikasi. Jadi ada pengacakan dalam sumber pesan. Selain itu, sinyal

ditransmisikan oleh suara dalam sistem. Bentuk gelombang suara ini juga tak

terduga. Tujuan dari bab ini adalah untuk menyajikan latar belakang matematika

yang penting untuk studi komunikasi lebih lanjut.

6.2.

ProbabilitasA. Percobaan acak

Dalam studi probabilitas, proses pengamatan dirujuk sebagai percobaan.

Hasil pengamatan disebut hasil percobaan. Percobaan disebut percobaan acak jika

hasilnya tidak dapat diprediksi. Contoh percobaan acak adalah gulungan mati,

pelemparan koin, undian kartu dari dek, atau memilih sinyal pesan untuk

transmisi dari beberapa pesan.

B. Ruang sampel dan peristiwa

Dari semua kemungkinan hasil pecobaan acak disebut ruang sampel S.

Unsur S disebut titik sampel. Setiap hasil percobaan acak sesuai dengan titik

sampel. Satu set A disebut subset dari B, jika dilambangkan oleh jikasetiap elemen A juga elemen B. Himpunan bagian dari ruang sampel S disebut

peristiwa. A titik sampel dari S sering disebut sebagai dasar peristiwa. Keterangan

bahwa ruang sampel S adalah subset dari itu sendiri, yaitu . Karena S adalahhimpunan semua kemungkinan hasil, sering disebut peristiwa tertentu.

C. Aljabar peristiwa

1. Melengkapi peristiwa A, adalah peristiwa yang berisi semua sampel

poin di S tetapi tidak di A.

2. Union peristiwa A dan B, menandakan A u B, adalah peristiwa yang

berisi semua sampel poin baik A atau B atau keduanya.

3. Persimpangan peristiwa A dan B, menandakan A n B, adalah peristiwa

yang berisi semua sampel poin di keduanya A dan B.

4. Peristiwa yang tidak berisi sampel poin sampel disebut peristiwa null,

dilambangkan 0. 0 ini berkaitan dengan suatu peristiwa yang mustahil.

5. Dua peristiwa A dan B disebut Mutually Exclusive atau Disjoint jika

mereka mengandung titik sampel tidak umum, bahwa A n B = 0

Dengan ditetapkan definisi sebelumnya, maka kita mendapatkan

identitas berikut :


2/47


2

D. Probabilitas dari peristiwa

Tugas dari bilangan real untuk peristiwa-peristiwa yang didefinisikan pada

S dikenal sebagai ukuran probabilitas. Dalam definisi axiomatic, probabilitas P

(A) peristiwa A adalah bilangan real ditugaskan ke A yang memenuhi aksioma

tiga berikut :

axiom 1 : P(A) 0axiom 2 : P(S) = 1

axiom 3 : P(A B) = P(A) + P(B) if A B = Dengan aksioma sebelumnya, probabilitas properti dapat diperoleh sebagaiberikut :

1. P( ) = 1P(A)2. P( 3. P(A) 4.

P(A) 5. P(A

Perhatikan bahwa property 4 dapat dengan mudah berasal dari aksioma 2

dan properti 3. Karena A kita mempunyai :P(A)

Dengan demikian, kita menggabungkan dengan aksioma 1, kita memperoleh :

0 Property 5 menyiratkan bahwa :

P(A Karena P(A

Satu juga dapat menentukan P(A) secara intuitif, dalam hal frekuensi

relative, anggaplah bahwa percobaan acak diulang beberapa kali. Jika suatu

peristiwa terjadi beberapa kali maka P(A) probabilitas yang mendefinisikan

sebagai:

P(A) =


3/47


3

Perhatikan bahwa batas ini mungkin tidak ada.

E. Samasama Mungkin Peristiwa

Mempertimbangkan ruang sampel terbatas S dengan unsur unsur yangterbatas:

S = { }Dimana adalah elemen peristiwa. Lalu P() = . Kemudian :1. 0 i = 1,2.,n2.

= + +. + = 13. Jika A =

, dimana I adalah koleksi subscribe , kemuadian :

P(A) = ) = Ketika semua elemen peristiwa sama-sama mungkinperistiwa, inilah :

Kemudian dari Eq. (6.12) kita mempunyai :

Dan

Dimana n(A) adalah jumlah hasil milik peristiwa A dan n jumlah sampel poin

dalam S.

F. Kondisi Probabilitas

Kondisi probabilitas dari sebuah peristiwa A memberi peristiwa B,

dilambangkan dengan P(AB), didefinisikan :| Dimana P(Apoin probabilitas A dan B. demikian pula :

| Adalah kondisi probabilitas dari peristiwa B memberi peristiwa A. dari Eqs.

(6.16) dan (6.17) kita mempunyai:


4/47


4

| |Persamaan (6.18) ini sering sangat berguna dalam komputasi joint

probabilitas peristiwa. Dari persamaan (6.18) kita bias mendapatkan aturan bayes

berikut:

| | G. Peristiwa Independen

Dua peristiwa A dan B menjadi statistic independen jika

| | Kemudian bersama dengan persamaan (6.19) menyiratkan bahwa untuk dua

peristiwa statistic independen: Mungkin kita bisa juga memperpanjang definisi dari kebebasan untuk lebih

dari dua kejadian. Peristiwa A1,A2,....,An independen jika dan hanya jika untuk

setiap bagian {Ai1,Ai2,.....,Aik} (2kn) untuk kejadian ini.

(6.22)H. Peluang Total

Pada Kejadian A1,A2,....,An dinamakan pengganti ekslusif dan lengkap jika dan (6.23)Misal B kejadian di S, maka

| (6.24)Yang diketahui sebagai peluang total dari kejadian B (Prob. 6.13). Maka A=A1 dicontoh. (6.19); menggunakan contoh (6.24) kita simpulkan :

| | | (6.25)Catatan bahwa term pada ruas kanan dikondisikan pada kejadian A1, sedangkan

ruas kiri dikondisikan pada persamaan (6.25).

6.3. Peubah Acak

A. Peubah Acak

Percobaan acak dengan ruang sampel S. Sebuah peubah acak X() adalahnilai real tunggal yang menandai bilangan real disebuat nilai X() untuk setiaptitik sampel di S. Seringkali kita menggunakan X untuk fungsi ini pada tempat

X() dan menggunakan untuk menunjukkan peubah acak sebuah diagram.


5/47


5

Gambar 6-1 Variabel Acak X sebagai Fungsi

Ruang sampel S adalah didalam domain dari peubah acak X dan kumpulan

semua bilangan (nilai X()) adalah didalam range dari peubah acak x. Dengandemikian range dari x adalah subset dari kumpulan semua bilangan real dan

biasanya ditujukan oleh Rx. Catatan bahwa 2 atau lebih titik sampel yang berbeda

mungkin memberi nilai sama untuk X(). Tapi dua bilangan berbeda pada rangetidak dapat ditandai ke titik sampel yang sama peubah acak x induces peluangpada garis lengkung berikut.

Jika X bilangan yang dapat dihitung, kemuadian x disebut [[eubah acak

diskrit. Jika x dapat mengangsumsikan beberapa nilai diantara satu atau lebih

interval pada baris real, kemudian X disebut peubah acak lanjutan. Nomor telepon

yang masuk kantor pada waktu yang terbatas adalah contoh peubah acak yangdiskrit , dan waktu yang pasti dari arrival telepon adalah contoh peubah acak

lanjutan.

B. Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi atau dungsi distribusi kumulatif dari X adalah fungsi yang

didefinisikan oleh : (6.26)Fungsi dari Fx (x):

1.

(6.27a)

2. if x1 < x2 (6.27b)3. (6.27c)4. (6.27d)5.

(6.27e)Dari definisi (6.26) kita bisa menghitung probabilitas lain, yaitu : (6.28)

(6.29)

(6.30)


6/47


6

C. Peubah Acak Diskrit dan Fungsi Massa Peluang

Misal x adalah peubah acak diskrit dengan mod F krmudian Fadalah fungsi staricase. Dan F

mengubah nilai hanya pada loncatan-loncatan

dan constan diantara loncatan-loncatan.

Gambar 6-2

Andaikan loncatan-loncatan pada F

dari peubah acak diskrit. X muncul

pada titik X1,X2,...... dimana peluang muncul mungkin antara terhingga atau tak

terhingga yang dapat dihitung dan kita mengansumsikan xi


7/47


7

3. 4. (6.37c)

Mod

dari peubah acak kontinu x dapat diperoleh dengan

(6.38)6.4. Peubah Variabel Dua Dimensi

A. Fungsi Distribusi Gabungan

Misalkan S ruang sampel dari percobaan acak. Misal X dan Y adalah 2

peubah acak padaS didefinisikan,kemuadian pasangan (x,y) disebut peubah acak 2

dimensi. Jika setiap X dan Y mengaitkan bilangan Real dengan setiap elemen di

S. Hubungan fungsi distribusi kumulatif dari x dan y ditunjukkan oleh

.

Fungsinya didefinisikan oleh (6.39)Dua peubah acak x,y dinyatakan bebas jika

(6.40)Untuk setiap nilai x dan y.

B. Fungsi distribusi marginal

Sejak {X } dan {Y} kejadian pasti

Maka (6.41a) (6.41a)Fungsi distribusi kumulatif FX(x) dan FY(y), yang diperoleh dari persamaan

(6.41a) dan (6.41b), masing masing disebut sebagai fungsi distribusi kumulatifmarginal dariXdan Y.

C.

Fungsi Gabungan Probabilitas Massa:(X, Y) menjadi variabel acak diskrit dua dimensi dan(X, Y) mengambil nilai

(xi, yj) untuk beberapa bilangan bulat idanjyang diizinkan. SehinggaPXY(xi, yj) =P(X = xi, Y = yj) (6.42)

Fungsi PXY(xi, yj) disebut fungsi gabungan probabilitas massa (joint pmf)dari (X, Y). Sifat dariPXY(xi, yj):1. 0 PXY (xi, yj) 1

2. XY (xi, yj) = 1


8/47


8

Fungsi gabungan distribusi kumulatif dari variabel acak diskrit dua dimensi

(X,Y) diperoleh dari

FXY(x, y) =

XY (xi, yj) (6.44)

D. Fungsi Marginal Probabilitas Massa:

Misalkan untuk setiap nilai tetap X = xi, variabel acak Y hanya bisamengambil nilai yang mungkin yaituyj(j = 1,2,...,n).

Maka px(xi) = XY (xi, yj) (6.45a)Begitu juga py(yj) = XY (xi, yj) (6.45b)

Fungsi probabilitas massa Px(xi) dan Py(yj), yang diperoleh dari persamaan(6.45a) dan (6.45b), masing masing disebut sebagai fungsi probabilitas massamarginal dari X dan Y. Jika X dan Y adalah variabel acak yang berdiri sendiri,

makaPXY(xi, yj) =PX(xi)PY(yj) (6.46)

E. Fungsi Gabungan Probabilitas Kepadatan

(X, Y) menjadi variabel acak dua dimensi terus - menerus dengan fungsidistribusi kumulatifFXY(x, y) dan diperoleh

fXY(x, y) = (6.47)

Fungsi fXY(x, y) disebut fungsi gabungan probabilitas kepadatan (joint pdf)

dari (X, Y). Dengan mengintegrasikan persamaan (6.47), sehingga didapatFXY(x, y) = XY(,)d d (6.48)

Sifat darifXY(x, y):

fXY(x, y) 0 (6.49a) XY(x, y) dx dy = 1 (6.49b)F. Fungsi Marginal Probabilitas Kepadatan:

Dari persamaan (6.41a), (6.41b)dan definisi persamaan (6.36), diperoleh

fX(x) = XY(x, y) dy (6.50a)fY(y) = XY(x, y) dx (6.50b)Fungsi probabilitas kepadatanfX(x) danfY(y), yang diperoleh dari persamaan

(6.50a) dan (6.50b), masingmasing disebut sebagai fungsi marginal probabilitaskepadatan dari Xdan Y. Jika Xdan Y adalah variabel acak yang berdiri sendiri,maka

fXY(x, y) =fX(x)fY(y) (6.51)


9/47


9

Fungsi probabilitas kepadatan yang tergantung dariXyang diperoleh dari {Y=y} adalah

fX|Y(x|y) =

fY(y) 0 (6.52)

Dimanafy(y) adalah fungsi marginal probabilitas kepadatan dari Y.

6.5. Fungsi Dari Variabel Acak

A. Variabel Acak g(X):

Mengingat variabel acak Xdan fungsig(x), dinyatakanY =g(X) (6.53)

Definisi variabel acak Yyang baru dengan sejumlah y tertentu, merupakanDysubset dariRx(kisaran X) sehinggag(x

) y. Kemudian

(Y y) = [g(x) y] = (X Dy)

Dimana (X Dy) terdiri dari semua hasil , sehingga titik X() Dy. Olehkarena itu

FY(y) =P(Y y) =P[g(x) y] =P(X Dy) (6.54)

JikaXterus menerus adalah sebuah variabel acak dengan fungsi probabilitaskepadatanfx(x), maka

FY(y) =

X(x) dx (6.55)

Penentuanfy(y) darifx(x):Saat X secara terus - menerus adalah variabel acak dengan fungsi probabilitaskepadatan fx(x). Jika transformasi y = g(x) adalah satu lawan satu maka akanmemiliki transformasi inverse

x =g-1(y)=h(y) (6.56)

Maka fungsi probabilitas kepadatan dari Ydiperoleh dari (persamaan 6.30)

fY(y) =fX(x) =fX[h(y)] (6.57)Perhatikan bahwa jika g(x) selalu meningkat secara terus menerus atau

fungsi menurun, maka transformasiy=g(x) satu lawan satu. Jika transformasiy=g(x) bukan satu lawan satu,fy(y) akan diperoleh sebagai berikut:Yang menunjukkan akar nyata dariy=g(x) oleh xk, yaitu:

y = g(x1) = ... = g(xk) = ...

Maka fY(y) = || (6.58)Dimanag(x) adalah turunan darig(x).


10/47


10

B. Satu fungsi Dari Dua Variabel Acak

Mengingat dua variabel acakXdan Yadalah fungsig(x, y), dinyatakanZ =g(X, Y) (6.59)

Adalah variabel acak yang baru. Dengan sejumlah z tertentu, dilambangkandenganDzyang merupakan wilayah darixyplane sehinggag(x, y) z. Kemudian

[Z z] = {g(X, Y) z} = {(X,Y) Dz}

Dimana{(X, Y) Dz} terdiri dari semua hasil sehingga titik {X(),Y()}adalahDz. Oleh karena itu

FZ(z) =P(Z z) =P{(X,Y) Dz} (6.60)

JikaXdan Yadalah variabel acak secara terus menerus dengan joint pdffxy(x, y), maka

FZ(z) = XY(x, y) dx dy (6.61)C. Dua Fungsi Dari DuaVariabel Acak:

Mengingat dua variabel acak X dan Y dan dua fungsi g(x, y) dan h(x, y),dinyatakan

Z =g(X, Y) W =h(X, Y) (6.62)

Definisi dua variabel acak baru Zdan W. Dengan z dan w yang diberikanmenunjukkanDzwsubset dariRXY[kisaran dari (X, Y)] sehinggag(x, y) zdan h(x,

y) w. Kemudian(Z z, W w) = [g(x,y) z, h(x, y) w] = {(X,Y) Dzw}

Dimana {(X, Y) Dzw} terdiri dari semua hasil sehingga titik {X(), Y()} Dzw. Oleh karena itu

FZW(z, w) =P(Z z, W w) =P{(X,Y) Dzw} (6.63)

Secara terusmenerus didapatFZW(z, w) = XY(x, y) dx dy (6.64)

Penentuanfzw(z, w) darifxy(x, y):

Xdan Ymenjadi dua variabel acak dengan joint pdffxy(x, y). Jika transformasiz =g(x, y) w = h(x, y) (6.65)

Adalah satu lawan satu dan memiliki transformasi inverse

x = q(z, w) y = r(z,w) (6.66)

Maka joint pdfZdan Wditetntukan olehFZW(z, w) =fXY(x, y) |J(x, y) |

-1 (6.67)

Dimanax= q(z, w),y= r(z, w) dan


11/47


11

J(x, y) = = (6.68)

Yang merupakan transformasi Jacobian (6.65)

6.6. Rata-Rata Statistika

A. Harapan:

Harapan (atau rata-rata) dari r.v. X, dilambangkan dengan E(X) atau x,didefinisikan oleh : X : Diskrit

(6.69)

X : Kontinyu

Harapan dari Y=g(X) ditentukan oleh : (Kasus Diskrit) (6.70) (Kasus Kontinyu)

HarapandariZ = g(X, Y) ditentukan oleh :

(Kasus Diskrit)

(6.71) (Kasus Kontinyu)

Perhatikan bahwa operator harapan adalah linear, yaitu, (6.72) (6.73)

Dimana c adalah konstanta (Pers.6.45)

B. Momen:

Momen nth dari r.v.X ditentukan oleh X : Diskrit (6.74) X : Kontinyu

C. Perbedaan:

Perbedaan dari r.v.X, dilambangkan dengan

atau Var(X), didefinisikan

sebagai


12/47


12

(6.75)Jadi,

X : Diskrit

(6.76) X : KontinyuAkar kuadrat positif dari varians, atau X, disebut standar deviasi dari X.

Varians atau standar deviasi adalah ukuran dari "sebaran" nilai X dari rata-rata

x. Dengan menggunakan persamaan (6.72) dan (6.73), pernyataan dalam pers.

(6.75) dapat disederhanakan menjadi :

(6.77)

D. Kofarian dan Koefisien Korelasi:

Momen (k, n)thdari dua dimensi r.v. (X, Y) didefinisikan oleh :

X : Diskrit (6.78) X : Kontinyu

(1,1)th momen bersama (X, Y), (6.79)Disebut korelasi dari X dan Y. Jika E(X Y) = 0, kemudian kita sebut

bahwa X dan Yadalah ortogonal. Kovarians dari X dan Y, didefinisikan olehCov(X, Y) atau , didefinisikan oleh (6.80)

Memperluas Pers. (6.80), kita peroleh

(6.81)

Jika Cov(X, Y)= 0, kemudian kita peroleh X and Y tidak berkorelasi.DariPers. (6.81) kita lihat bahwaX and Y tidak berkorelasi jika (6.82)

Perhatikan bahwa jika X and Y adalah independen, maka dapatmenunjukkan bahwa mereka tidak berkorelasi (Pers. 6.66). Namun, secara umum

hal ini tidak benar, faktanya bahwa X dan Y adalah tidak berkorelasi tidakmengisyaratkaan bahwa mereka independen (Pers.6.67). Koefisien korelasi,

dilambangkan dengan (X,Y)atau

, Hal ini didefinisikan sebagai

(6.83)


13/47


13

Ini bisa dilihat pada (Pers. 6.53)|| atau (6.84)6.7. Distribusi Khusus

Ada beberapa distribusi yang sangat sering muncul di masalah komunikasi.Ini termasuk distribusi binomial, distribusi Poisson, dan normal, atau distribusi

Gaussian

A. Distribusi Binomial:

A r.v. X disebut binomial r.v dengan parameter (n,p) jika pmf diperolehdengan () (6.85)Dimana

dan

Yang dikenal sebagai koefisien binomial. Cdf yang sesuai denganX yaitu () (6.86)Rata-rata dan varians dari binomial r.v.X yaitu (6.87)

Variabel binomial acak X adalah variabel acak diskrit bilangan bulat yangterkait dengan percobaan berulang. Melakukan beberapa percobaan dan hanya

mengamati apakah kejadian A terjadi. Jika A terjadi, kita menyebut percobaantersebut sukses;jika iya tidak terjadi (kejadian ), kita sebut ia gagal. Misalkan

probabilitas kejadian A adalah ; karena, .Kami mengulangi percobaan ini hingga n kali (percobaan) dengan asumsi sebagai

berikut :

1. adalah konstan pada percobaan selanjutnya2.

Percobaan ke- n adalah independen.

Sebuah titik dalam sampel yaitu berurutan nA's dan 's.Titik dengan

dan akan diberi probabilitas . JikaX adalah variabel acak yangdikaitkan dengan jumlah kejadian A pada npercobaan, kemudian nilai X adalahbilangan bulat

Dalam studi komunikasi, distribusi binomial berlaku untuk transmisi digital

ketika X berdiri sebagai jumlah kesalahan pesan pada n digit. (Lihat Persamaan.6.17 dan 6.41.)


14/47


14

B. Distribusi Poisson:

A r.v. X disebut sebagai Poisson r.v. dengan parameter ( jika pmfdiberikan oleh

(6.88)Cdf dariXyang sesuai adalah (6.89)Rata-rata dan Poisson r.v.X yaitu (Pers. 6.42) (6.90)

Distribusi Poisson muncul dalam beberapa masalah yang melibatkan

perhitungan, contoh, pemantauan jumlah panggilan telepon yang masuk di

tombol pusat pada berbagai interval waktu. Pada komunikasi digital,

distribusi Poisson berhubungan dengan masalah transmisi banyak bit data pada

saat tingkat kesalahan rendah. Distribusi binomial tidak cocok untuk

menangani masalah tersebut. Namun, jika nilai rata-rata dari tingkat kesalahan

tetap dan sama dengan , kita bisa memperkirakan distribusi binomial dengan

distribusi Poisson. (Lihat Persamaan 6.19 dan 6.20.)

C. Distribusi Normal (atau Gaussian):

A r.v.X disebut normal (atau Gaussian) r.v. jika pdf-nya berbentuk :

(6.91)CdfX yang sesuai adalah (6.92)

Integral ini tidak dapat dievaluasi dalam bentuk tertutup dan harus

dievaluasi secara numerik. Hal ini mudah menggunakan fungsi Q (z) yangdidefinisikan sebagai

(6.93)

Persamaan.(6.92) bisa ditulis sebagai (6.94)Fungsi Q (z) dikenal sebagai fungsi kesalahan pelengkap atau

penyederhanaan fungsi Q. Fungsi Q(z) ditabulasi pada tabel C-I (App.C).Gambar 6-3 menggambarkan distribusi normal. Rata-rata dan varian X yaitu(Persamaan. 6.43)


15/47


15

Gambar 6-3 Distribusi Normal (6,95)Kami akan menggunakan notasi N( untuk menunjukkan bahwa X

adalah normal dengan nilai mean

dan varian

. Khususnya , X = N (0;1);

yaitu, nilai mean X nol dan satuan varian difinisikan sebagai standar normal r.v.Distribsi normal (gaussian) tugas yang bersignifikan dalam ilmu alam.

Memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam. Alasan lain distribusi normal

adalah teorema limit pusat (central- limit theorem). Teorema ini menyatakan

bahwa suatu variabel disebut variabel acak apabila varibel tersbut menghasilkan

nilai yang selelu berbeda pada setiap peristiwa (trial) dalam kondisi tertentu

dapaat didekati dengan distribusi normal.

PENYELESAIAN MASALAH

Probablity

6.1.

Gunakan axiom probabilitas, Buktikan persamaan (6,4)

S = and Maka penggunaan axiom 1 dan 3 menghasilkan

P(S) = 1 = P (A) + PA ()Jadi P() = 1P (A)

6.2. Buktikan persamaan (6.5)

A= and Jadi, dari axiom 3,P(A) = = P(A) + P

Dan kami menyimpulkan 6.3. Buktikan persamaan (6.6)

Diperoleh A B. kemudian dari diagram venn pada gambar.6-4 dapat kitalihat bahwa

and


16/47


16

Maka dari axiom 3

Karena dari axioms 1,

.

Gambar 6-4

6.4. Buktikan persamaan (6.8)

Dari diagram veen pada gambar.6-5, masing masing dan B dapadinyatakan sebagai berikut and Jadi, dari axiom 3,

(6.96)dan (6.97)

Dari persamaan (6.97) kita dapatkan

(6.98)Subtitusi persamaan (6.98) ke persamaan (6.96), kita memperoleh

Gambar 6-5

6.5. Diketahui P(A) = 0.9 dan P(B) = 0,8 Tunjukkan bahwa .Dari persamaan (6.8) kita dapatkan

Dari persamaan (6.9) 0 1. karenanya,

Dengan mensubstitusi nilai yang diberikan dari P (A) dan P (B)

dipersamaan (6.99), kia dapatkan


17/47


17

Persamaan (6.99) dikenal sebagai ketidaksetaraan Bonferroni

6.6. Tunjukkan bahwa

(6.100)Dari diagram venn pada gambar.6-6, kita melihat bahwa and (6.101)Jadi, dengan axiom 3 kita punya

Gambar 6-6

6.7. Pertimbangkan sumber telegraph menghasilkan dua simbol: dot dan dash,kami mengamati bahwa titik-titik mungkin terjadi sebagai tanda hubung.

Cari probabilitas dotdan dashini terjadi.Dari pengamatan, kita harus

Kemudian dari persamaan (6.12)

Jadi 6.8. Tunjukkan bahwa P(A|B) didefinisikan oleh persamaan (6.16) memenuhi

tiga axiom probabilitas, yaitu

P (A|B)

(b) P(S|B) = 1 and (c)

|

| |

(a)

Dari persamaan 1, Maka,|(b) Sebab kita dapatkan| (c) Sekarang

( Oleh karena itu, dari axiom 3


18/47


18

| | |6.9. Carilah P(A|B) if (a)

, (b)

dan (c)

(b) Jika then Didapat,

Gambar 6-7

P(A\B) = = = 0

(c) Jika A B , lalu AB =A dan

P(A\B) = =

(d) Jika B A, lalu AB = B dan

P(A/B) = = = 1

6.10.

Tunjukkan jika P(A\B) > P (A), lalu P(B\A) > P (B).Jika P(A/B) = >P(A), lalu P(A B) > P(A)P(B).

P(A/B) = > = P(B)

6.11.biarkan A dan B ada dalam contoh ruang S. Menunjukkan jika A dan B

berdiri sendiri, jadi (a) A dan B dan (b) dan B.

(a) dari persamaan (6.100) (kemungkinan 6.6). kita memperoleh

P(A) = P (A B) + P (A B)Sejak A dan B berdiri sendiri , menggunakan persamaan. (6.21) dan (6.4),

kita memperoleh...

P (A B) = P(A)-P (A B) = P(A) - P (A) P (B)= P(A) [1- P (B)] = P (A) P (B)

Kemudian, Dengan persamaan (6.21). A dan B berdiri sendiri.

(b) menukar A dan B dalam persamaan (6.102), kita memperoleh

P ( B ) = P(B)-P ()

Yang menandaibahwa dan B berdiri sendiri.


19/47


19

6.12.Letakkan A dan B yang di gambarkan dalam contoh ruang S. Menunjukkan

bahwa antara P(A) and P(B) keduanya nonzero (bernilai), dan meski A dan

B tidak saling berdiri antara satu sama lain dan berdiri sendiri.

Biarkan A dan B berbeda satu sama lain dan P(A)0,lalu P (A B) =

= 0 dan P(A)P(B)0, maka/ oleh karena itu

P (A B) P(A)P(B)Maka, A dan B tidak berdiri sendiri.

6.13.Buktikan persamaan (6.24).

Sejak B S= B {dan menggunakan persamaan (6.23) } , kita memiliki

B= B S = B (

)

= (B ) (B ) (B )Sekarang peristiwa B ^ A (k=1,2,.....n) sendirian satu sama lain, yang dapatdilihat dari diagram venn pada gbr. 6-8. Lalu dengan aksioma 3 dari

kemungkinan pengertian dan persamaan (6.18), kita memperoleh

P(B)= P ( B S) = =

Gambar. 6-8

6.14.Dalam sebuah sistem komunikasi biner (gbr. 6-9), a 0 atau 1 bisa

memancarkan. Karena kegaduhan saluran. A 0 bisa diterima sebagai a1 danbentuk buruk (vice versa). biarkan M0 dan M1 menunjukkan kejadian saat

menerima 0 dan 1, berturut-turut. Biarkan P(m) = 0,5, P(r1|m0) = P = 0.1,

dan P(r0|m1) = q = 0.2


20/47


20

Gambar. 6-9 sistem komunikasi biner

(a) Temukan P(r0) dan P (r1).

(b) Jika a0 telah diterima, kemungkinan apa yg telah dikirim a0 ?

(c) Jika a1 telah diterima, kemungkinan apa yang telah dikirim a1?

(d) Perhitungkan kemungkinan kesalahan dari Pe ?

(e)

Perhitungkan kemungkinan dari sinyal pemancar yg tebaca dengan benarpada oenerima.

(a) Dari gambar. 6-9, kita memiliki

P(M1)= 1- P(m0) = 10.5 = 0.5P(r0\M0)= 1- P(r1\m0) = 1p = 1 - 0.1 = 0.9P(r0\M0)= 1- P(r1\m0) = 1p = 1 - 0.2 = 0.8

Dengan menggunakan persamaan (6.24), kita memperoleh

P(r0)=P(r0|m0)P(m0)+P(r0|m1)P(m1)= 0.9(0.5)+ 0.2(0.5)= 0.55

P(r1)=P(r1|m0)P(m0)+P(r1|m1)P(m1)= 0.1(0.5)+ 0.8(0.5)= 0.45

(b)

Dengan menggunakan cara Baye (6.19), kita memiliki

P(m0|r0) =| = = 0.818

(c)

Cara yang sama

P(m1|r1) =| = = 0.889

(d) Pe=P(r1|m0)P(m0)+P(r0|m1)P(m1)= 0.1(0.5)+ 0.2(0.5)= 0.15

(e)

Kemungkinan bahwa sinyal pemancar yang terbaca dengan bengan padapenerima adalah

Pe=P(r0|m0)P(m0)+P(r1|m1)P(m1)= 0.9(0.5)+ 0.8(0.5)= 0.85

Catatan bahwakemungkinan kesalahan pada Pe adalah

Pe=1Pe = 10.85 = 0.15

6.15.Pertimbangkan sistem komunikasi biner pada gbr. 6-9 dengan P(ro|mo)=0.9,

P(r1|m1)=0.6. Untuk menentukan pesan mana yang terkirim dari respon yg

diamati r0 atau r1, kita menggunakan standar dibawah:

Jika r0 diterima:


21/47


21

Menentukan M0 jika p(m0|r0) > P(m1|r0)

Menentukan M1 jika p(m1|r0) > P(m0|r0)

Jika r1 diterima:

Menentukan M0 jika P(m0|r1) > P(m1|r1)

Menentukan M1 jika p (m1|r1)> p(m0|r1)

Standar tersebut dikenal sebagai Maximum A Posteriori Probability (MAP)

standar tujuan (lihat kemungkinan 9.1)

(a) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita

menentukan M0 jika r0 diterima

(b) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita

menentukan M1 jika r1 diterima

(c) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita

menentukan M0 tanpa mempersoalkan yg diterima(d) Temukan jarak dari P(M0) dalam standar ketentuan MAP saat kita

menentukan M1 tanpa mempersoalkan yg diterima.

(a) Sejak P(r1)= 1P (r0|m0)danP(r0|m1)= 1P(r1|m1) kita memilikiP (r0|m0)= 0.9 P (r1|m0)= 0.1 P (r1|m1)= 0.6 P (r0|m1)= 0.4

Dengan persamaan (6.24), kita memperoleh

P(r0)=P(r0|m0)P(m0)+P(r0|m1)P(m1)

= 0.9 P(m0)+ 0.4[1- P(m0)]= 0.5 P(m0) + 0.4

Menggunakan cara Baye (6.19), kita memiliki

| | | |

Sekarang dengan aturan pengambilan MAP, kita menentukan jika didapatkan jika

|>

|,yaitu

Atau

Jadi jangkauan kriteria MAP yang bahwa kita yang menentukan if

adalah


22/47


22

(b) Demikian juga, kita memiliki | |

| | Sekarang dengan aturan pengambilan MAP, kita menentukan jika didapatkan jika |> |, yaitu atau

Jadi jangkauan kriteria MAP yang bahwa kita yang menentukan if adalah

(c)

dari hasil (b) kita melihat bahwa jangkauan kita yang menentukan

if

adalah

Dengan mengkombinasikan dengan hasil (a), jangkauan kita yangmenentukan yang yang didapatkan oleh

(d) Demikian pula, dari hasil (a) kita melihat bahwa jangkauan kita yangmenentukanjika adalah

Dengan mengkombinasikan dengan hasil (b), jangkauan kita yangmenentukan yang yang didapatkan oleh

6.16.Mempertimbangkan untuk percobaan yang terdiri dari enam pengamatan

posisi pulse berturut-turut pada jalur komunikasi. Misalkan dimasing-masing enam posisipulsemungkin bisa adapulsepositif danpulse negatif,atau tidak ada pulse. Misalkan juga bahwa eksperimen individu yang

menentukan jenispulsepada setiap posisi yang mungkin adalah independen.


23/47


23

Mari kita menyumbangkan hal pulse positif oleh , bahwa ituadalah negatif , dan itu adalah nol , mengasumsi bahwa

(a) Carilah probabilitas bahwa semuapulsepositif.(b) Cari probabilitas dari tiga pulsa pertama bernilai positif, dua pulsa

selanjutnya bernilai nol, dan yang terakhir bernilai negatif.

(a) Jika percobaan yang dilakukan bersifat independent, dari persamaan (6.22)

maka probabilitas bahwa semua pulsa yang dihasilkan bernilai positif

adalah;

(b)

Berdasarkan asusmsi yang yang diberikan, bahwa

Dengan demikian, probabilitas dari tiga pulsa pertama bernilai positif, dua

pulsa selanjutnya bernilai nol, dan yang terakhir bernilai negatif adalah

sebagai berikut.

Random Variables

6.17.Sebuah sumber biner menghasilkan angka 0 dan 1 secara acak dengan

probabilitas masing-masing 0,6 dan 0,4.(a) Berapakah probabilitas bahwa angka kedua bernilai 1 dan angka ke tiga

bernilai 0 akan terjadi dalam urutan lima-digit?

(b) Berapakah probabilitas setidaknya terdapat tiga angka bernilai 1 akan terjadi

dalam urutan lima-digit?

(a) Misalkan X variabel acak yang menunjukkan jumlah nilai 1 yang dihasilkan

dalam urutan lima digit. Karena hanya ada dua hasil yang mungkin (1 atau

0) dan probabilitas menghasilkan nilai 1 adalah konstan yang terdapat pada

lima-digit angka, jelas bahwa X memiliki distribusi binomial yang

dijelaskan oleh Persamaan. (6.85) dengan n = 5 dan k = 2. Maka


24/47


24

probabilitas bahwa angka kedua bernilai 1 dan angka ke tiga bernilai 0 akan

terjadi dalam urutan lima-digit adalah.

(b) Probabilitas bahwa setidaknya terdapat tiga angka bernilai 1 akan terjadi

dalam urutan lima-digit adalah

Dimana, () Maka,

6.18.

Misalkan X menjadi random variabel binomial dengan parameter (n.p).tunjukkan bahwa px(k) dihasilkan dari Persamaan (6.33c).

Ingat bahawa persamaan ekspansi binomial dihasilkan oleh

Dengan demikian, dari Persamaan (6.85),

6.19.Tunjukkan bahwa ketika n sangat besar (n > k) dan p sangat kecil (p < 1),

distribusi binomial [Persamaan (6.85)] dapat menggunakan pendekatan

distribusi poisson berikut [Persamaan (6.88)]:

Dari Persamaan (6.85)

Ketika n > k dan p < 1, maka


25/47


25

Substitusikan dengan Persamaan (6.104), diperoleh

6.20.Sebuah saluran transmisi dengan noise memiliki probabilitas eror (pe) per-

digit = 0,01.

(a) Hitunglah probabilitas jumlah eror lebih dari satu pada 10 digit yang

diterima.

(b) Ulangi (a), menggunakan pendekatan poisson, Persamaan (6.103)

(a) Misalkan X merupakan variabel acak binomial yang menunjukkan jumlah

eror dalam 10 digit yang diterima. kemudian dengan menggunakan

Persamaan. (6.85), diperoleh

(b) Menggunakan Persamaan (6.103) dengan npe = 10(0.01) = 0.1, diperoleh

6.21.

Misalkan X merupakan variabel acak Poisson dengan sebuah parameter,tunjukkan bahwa px(k) yang dihasilkan dari Persamaan (6.88) memenuhi

Persamaan (6.33c).

Dari persamaan (6.88),

6.22.Verifikasi Persamaan (6.35).

Dari Persamaan (6.6) dan (6.28), didapat Untuk setiap c > 0. Sebagai fx (x) secara kontinu, pada sisi kanan nilai 0

sebagai = 0. Jadi, P (X = x) = 0.6.23.Pdf dari variabel acak X yang diberikan oleh:

, Dimana k adalah sebuah konstanta.


26/47


26

(a) Tentukan nilai k.

(b) Misalnya a = -1 dan b = 2. Hitung P(|X| < c ) jika c = 0.5.

(a) Berdasarkan properti 1 dari fx (x) [Persamaan. (6.37a)], k harus konstan

positif. Sedangkan properti 2 dari fx (x) [Persamaan. (6.37b)]

Dimana didapat k = 1/(b-a). Maka,

Sebuah variabel acak X memiliki pdf variabel seragam.

(b) Dengan a = -1 dan b = 2 didapat

Dari Persamaan (6.37c)

|| 6.24.Pdf dari X didapat dari

Dimana a adalah sebuah konstanta positif. Tentukan konstanta k. Dengan

nilai 1 dari fx(x) [Persamaan (6.37a)], dengan k > 0 dari nilai fx(x)

[Persamaan (6.37b)]

Diperoleh k = a. Maka,

Sebuah variabel acak X dengan pdf yang diberikan oleh Persamaan. (6,106)

disebut variabel acak eksponensial dengan parameter a.


27/47


27

6.25.All Semua perangkat manufaktur dan mesin gagal bekerja cepat atau

lambat. Jika tingkat kegagalan konstan, waktu untuk kegagalan T

dimodelkan sebagai variabel acak eksponensial. Misalkan kelas tertentu dari

chip memori komputer telah ditemukan memiliki hukum kegagalan

eksponensial dari Persamaan. (6,106) per-jam.

(a) Tunjukkan pengukuran bahwa probabilitas waktu untuk kegagalan melebihi

104 jam (h) untuk chip di kelas diberikan adalah e-1(0.368). Hitunglah nilaiparameter untuk kasus ini.

(b) Menggunakan nilai parameter yang ditentukan pada bagian (a), hitunglah

waktu t0 sehingga probabilitas 0,05 bahwa waktu untuk kegagalan kurang

dari t0.

(a)

Gunakan Persamaan (6.38) dan (6.106), kita melihat bahwa fungsi distribusi

dari T didapat dari

Sekarang

( ()) (())

Maka didapatlah a = 10-4.

(b) Didinginkan

Karena, () Atau ( )dari mana kita mendapatkan

6.26.Pada bersama X dan Y diberikan oleh

Yang mana a dan b adalah konstanta posiif. Menetukan nilai konstan K .

nilai K di entukan oleh Eq (6,49b), yaitu


28/47


28

Karenanya K=ab

6.27.Dari mana kita mendapatkan

( ) (a) menemukan marjinal pdf (b) yang X dan Y independen?

(a) oleh eqs . (6.50a) dan (6.50) kita memiiliki

( )

Karena simetris terhadap x dan y interchanging x dan y dapatdiperoleh

(b) dari dapat di simpulkan bahwa x dan y independen6.28.Variabel acak x dan y dikatakan sama atau normal jika variabel acak dapat

diperoleh seperti

{

}(a)

menemukan pdf marjinal x dan y

(b)

menunjukkan bahwa x dan y independen ketika (a)

oleh Eq (6.50a) pdf marjinal x adalah


29/47


29

Dengan menyelesaikan tahapan tahapan di exsponen yang Eq (6.107) maka

kita memperoleh

* + { }

* +

{ } Membandingkan integran dengan Eq (6.91) kita melihat bahwa integran

adalah pdf normal dengan berarti

Dan varians

Dengan demikian, integral harus kesatuan, dan dapat diperoleh

Dengan cara yang sama, pdf marjinal y adalah

(b) Ketika maka mengurangi { }

Oleh karena itu,Xdan Y independen


30/47


30

6.29.jika X adalah kemudian menunjukkan bahwa adalah normal standart rayani r.v.; yaitu N(o;1).

Cdf of Z adalah

Dengan perubahan variabel kita memperoleh

dan

6.30.Memverifikasi Eq (6.57)

Berasumsi bahwa adalah fungsi monotonically meningkat terus-menerus [gambar 6-10(a)] maka dari itu invers yang menujukkan oleh

kemudian

dan

Menerapkan aturan rantai diferensiasi ungkapan ini mengkasilkan

Yang dapat di tulis sebagai

Jika monotonically menurun [gambar. 6-10(b)], kemudian


31/47


31

Menggabungkan Esq,(6.111) dan (6.113) kami memperoleh

Yang masih berlaku untuk terus menerus (peningkatan atau penurunan)

fungsi y=g(x).

6.31.biarkan y = 2 x+3 jika x variabel acak merata atas [-1,2],menemukan taDari Eq (6.105) (prob.6.23), kita memiliki

Persamaan y=g(x)=2x+3 memiliki solusi tunggal x 1 =(y=3)/2, kisaran y

adalah [1,7], dan g(x)=2

Dengan demikian, dan oleh Eq (6,58)

6.32.Jika Y=

Buktikan bahwa

maka

.Persamaan mempunyai solusi tunggal dan Batas y adalah seperti persamaan (6.58) || (6.114)

Karena lihat persamaan di (6.91)

* + (6.115)


32/47


32

Seperti, persamaan di (6.114)

||

|| * + (6.116)Yang mana pada pdf dari jika maka

6.33.Buktikan Temukan Jika Jika dan persamaan tidak punya solusi yang pasti, maka

Jika kemudian punya dua solusi/penyelesaian Sekarang, dan sepeti persamaan di (6.58)

[( ) ()] (6.117)Karena dari hasil (6.91), kita memiliki

(6.118)Laluadalah sebuah fungsi lengkap dari hasil persamaan (6.117), kitamemiliki

() (6.119)6.34.Masukan pada sebuah noisi saluran komunikasi adalah variabel acak biner

X dengan

Keluaran dari saluran

diberikan

dimana

adalah pengenalan noise tambahan oleh saluran.

Asumsikan bahwa X dan Y adalah independent dan tentukanfungsi ZGunakan persamaan (6.24) dan (6.26), kita memiliki

| | Karena

| | Seperti,


33/47


33

| | Seperti Karena

Dan

* + (6.120)6.35.Transformasi sebenarnya

(6.121)Tentukan fungsi kepadatan dengan syarat Jika maka sistem ini

Hanya memiliki satu solusi:

Dimana Seperti [Persamaan (6.68)]

Seperti persamaan (6.67) hasilnya

|| (6.122)6.36.Jika Cari pdf dari adalah variabel acak

independent.

Kami berikan sebuah bantuan variabel acak W, didefinisikan dengan

Dengan cara memiliki solusi tunggal :


34/47


34

Karena

Persamaan (6.67) hasilnya [atau dengan aturan dan pada persamaan (6.122)

(6.123)Seperti, persamaan di , didapatkan

(6.124)

Jikadan adalah independent, maka (6.125)Yang mana konvulusi dari fungsi ini

6.37.Andai X dan Y adalah variabel acak normal. Tentukan fungsi kepadatan Z =

X + Y.

Fungsi kepadatan dari X dan Y adalah

Kemudian, lihat persamaan di (6.125), kita memiliki


35/47


35

Buktikan Kemudian

Karena integrasi dari integral ini satu kesatuan, dan kita dapatkan (6.126)Yang mana ada di pdf dari ( )Dengan demikian, Z, adalah variabel acak yang normal dengan arti nol dan

varian6.38.

Tranformasi sebenarnya (6.127)Cari dalam persamaan Kita asumsikan bahwa Dengan asumsi sistem ini

Mempunyai solusi tunggal:

Seperti [persamaan di (6.68)]

Pers. (6.67) Hasil

6.39.Tegangan V adalah fungsi dari waktu t dan diperoleh dari

Yang mana adalah konstanta frukuensi angular dan X = Y = N(0;2) danmerupakan fariabel bebas.

(a) Rumus V(t) dapat dilihat pada persamaan berikut

(b)

Diketahui fungsi densitas dari R dan , adalah berdiri sendiri


36/47


36

(a)

Dimana

(b)

Jika X = Y = N(0;2) dan berdiri sendiri, dari Pers. (6.51) dan (6.91)

Demikian, penggunaan hasil dari analisa 6.38 [Pers. (6.128)], kita

mempunyai

Menggunakan pers. (6.50a) dan (6.50b) terkadang

Dan

Karena, R dan berdiri sendiriCatatan bahwa 0 adalah bentuk variabel acak, dan R di sebut a bagian

variabel acak.


37/47


37

Rata-Rata Statistik

6.40.Variabel acak X ambil nilai 0 dan 1 dengan probabilitas dan = 1 ,berturut-turut menemukan arti dan fariasi dari X.

Memakai Pers.(6.69) dan (6.70) kita miliki

Dari pers. (6.77)

6.41.

Data biner dipancarkan di atas saluran komunikasi noise di dalam sebuahblok dari 16 digit biner. Peluang bhawa penerimaan digit adalah dalam

kondisi error antara saluran noise 0.01. Asumsi bahwa kesalahan terjadi

dalam digit bervariasi yang terletak dalam sebuah blok adalah bebas.

(a)

Carilah sebuah rata-rata kesalahan per blok

(b)

Carilah variasi dari angka kesalahan per blok

(c) Carilah peluang bahwa angka kesalahan per blok paling besar dari atau

sama untuk 4

(a)

Biarkan X menjadi variabel bebas yang mewakili angka kesalahan per blok.Selanjutnya X memiliki sebuah distribusi binomial dengan n= 16 dan p=

0.01. dari persamaan (6,87) angka rata-rata kesalahan per blok adalah

E(X) = np = (16)(0.01) = 0.16

(b) Dari pers. (6.87)

2X= np(1p) = (16)(0.01)(0.99) = 0.158

(c)

P(X 4) = 1- P(X 3)

dengan menggunakan pers. (6.86), kita memiliki

P(X 3) ( ) = 0.986karena itu, P(X 4) = 1 - 0.986 = 0.014


38/47


38

6.42.Verifikasi pers. (6.90)

Dari pers. (6.69)

X= E [X] =

dengan cara yang sama,

E[X(X-1)] = =

Atau E [X2X] = E [X2]E[X] = E [X2] = 2

selanjutnya, E[X2] = 2 + setelah menggunakan pers. (6.77) diperoleh

2X= E[X2](E[X])2= (2 + ) - 2 =

6.43.Verifikasi pers. (6.95)

Substitusi pers. (6.91) ke dalam pers. (6.69), kita memiliki

X= E[X] =

Dengan mengganti variabel dari integrasi pada y = (x - ) / , kita memiliki

E [X] =

=

Integral pertama adalah nol, semenjak itu integrasi tersebut adalah sebuah

fungsi ganjil. Integrasi kedua adalah persatuan, oleh karena itu integrasi

tersebut adalah pdf dari N (0;1). Jadi,

X = E[X] =

Dari sifat yang kedua dari fx(x) [pers. (6.37b)], kita memiliki

Turunan dengan respek untuk , kita memperoleh


39/47


39

Perkalian dua sisi dari 2/

, kita memiliki

6.44.Biarkan X= N(0;2). Oleh karena itu

Mn= E[Xn] = {

X = N(0;2)fX(x) =

Momen ganjil m2k+1 dari X adalah 0 karena fX(-x) = . fX(-x)Turunan dari

identitas

k waktu dengan respek untuk ketika n= 2k, kita mendapatkan

Pengaturan = 1/(22) , kita memiliki

M2k = E[X2k] =

= 13 (2k1)2k

6.45.Verifikasi persamaan (6.72)

Biarkan fXY (x,y) menjadi fungsi kelipatan dari X dan Y. Selanjutnya

menggunakan pers. (6.71), kita memiliki

E[X+ Y] = =

Dengan menggunakan Pers. (6.50 a) dan (6.69), didapatkan

[ ]


40/47


40

Dengan cara yang sama, didapatkan

Dengan demikian 6.46.Jika X dan Y independen, ditunjukkan bahwa (6.140)

Dan (6.141)

Jika X dan Y independen, maka dengan menggunakan Pers. (6.51) dan

(6.71), didapatkan

Dengan cara yang sama

6.47.Tentukan konvarian X dan Y jika (a) X dan Y independen ( maksudnya Xdan Y independen) dan (b) Y berelasi ke X dengan

(a) Jika X dan Y independen, maka dengan menggunakan Pers. (6.81) dan

(6.140)

(6.142)

(b)

Dengan demikian (6.143)


41/47


41

Catatan hasilnya yaitu (a) keadaan jika X dan Y independen, maka X dan Y

tidak berkorelasi, tetapi konversnya tidak selalu benar (lihat kemungkinan

6.49)

6.48.Misalkan

, dimana a dan b sebarang konstant. Tunjukkan

bahwa jika X dan Y independen, maka

(6.144)Dengan menggunakan Pers. (6.72) dan (6.73)

Dengan menggunakan Pers. (6.75)

(6.145)

Karena X dan Y independen, dengan menggunakan Pers. (6.141)

Oleh karena itu 6.49.Misalkan X dan Y didefinisikan dengan

and Dimana variabel acak atas distribusi uniform

(a) Tunjukkan bahwa X dan Y tidak berkorelasi

(b)

Tunjukkan bahwa X dan Y tidak independen

(a) Dari Pers. (6.105)

Dengan menggunakan Pers. (6.69) dan (6.70), didapatkan


42/47


42

Dengan cara yang sama

Dan Dengan demikian, Dari Pers. (6.82), X dan Y tidak berkorelasi

(b)

Oleh karena itu Jika X dan Y independen, maka dengan menggunakan Pers. (6.141)

dedapatkan . Sebab itu X dan Y tidak independen.6.50.Jika

untuk

maka ditunjukkan bahwa untuk sebarang

(6.146)Dimana . Merupakan ketidaksamaan MarkovDari pers. (6.37c) Karena for ,

Oleh karena itu 6.51.Untuk sebarang ,

|| (6.147)Dimana dan adalah varian X. Ini merupakan ketidaksamaanChebyshev.

Dari pers (6.37c)


43/47


43

| | ||

Dengan menggunakan persamaan (6.75) |||| Oleh karena itu, || Atau ||

6.52.Misalkan X dan Y variabel random bilangan real dengan moment kedua

bilangan (finite). Tunjukkan bahwa (6.148)Ini merupakan ketidaksamaan Cauchy-Schwarz.

Karena rata-rata nilai kuadrat variabel acak tidak pernah negatif,

Untuk sebarang nilai

perluasannya, didapatkan

Pilih nilai untuk sisi kiri ketidaksamaan.

Yang mana akan menghasilkan pertidaksamaan berikut :

atau

6.53.Pembuktian dari persamaan 6.84.

Dari pertidaksamaan Cauchy-Schwarz pada persamaan 6.148, didapatkan :

[() ( )] Atau


44/47


44

Kemudian Dari persamaan diatas diketahui bahwa :

|| Contoh Permasalahan6.54.Pada sebuah keadaan yang meliputi A, B, dan C, menunjukka bahwa :

Petunjuk : penulisan kemudian terapkan pada

persamaan 6.8.

6.55.Diketahui P(A)=0.9, P(B)=0.8, P(A B)=0.75Ditanya :

a) b)

c)

Jawab : a) 0.95 b) 0.15 c) 0.05

6.56.Diketahui bahwa A dan B berdiri sendiri, maka

Petunjuk : gunakan persamaan 6.102 dan hubungan 6.57.Misal A dan B didefinisikan sebagai himpunan S. maka jika P(A)danP(B)

tidak ama dengan nol, berarti A dan B tidak bisa dikatakan mutuallyexclusive (himpunan yang saling lepas) dan independent (himpunan yang

saling bebas)

Petunjuk : buktikan bahwa kondisi 6.21 tidak akan beratahan selamanya

6.58.Sebuah computer tidak bisa menyala jika komponen A dan B tidak bekerja.

Probabilitas komponen A tidak bekerja(rusak) adalah 0.01, dan probabilitas

komponen B tidak bekerja(rusak) adalah 0.005. Namun probabilitas

kerusakan komponen B bisa meningkat ketika dipengaruhi oleh 3 faktor

dimana keadaan komponen A sudah rusak terlebih dahulu

a) Menghitung probabilitas bahwa computer tidak akan bekerja

b) Cari probabilitas komponen A rusak, jika komponen B telah rusak

terlebih dahulu

Jawab : a) 0.00015 b) 0.03


45/47


45

6.59.Sebuah system binari PCM mentransmisi dua binary X = +1, X = -1 dengan

probabilitas yang sama. Namun karena adanya gangguan pada saluran,

penerima membuat pesan error. Jadi akibat dari penyimpangan saluran,

penerima bisa kehilangan kekuatan sinyal yang diperlukan untuk menetukan

kondisi. Dengan demikian ada tiga keadaan yang memungkinkan : Y = +1,

Y = 0 dan Y= -1 dimana Y =0 sesuai dengan loss of signal. Asumsinya | | dan | | (a) Cari probabilitas and (b) Cari probabilitas | AND |

Jawaban:

(a)

(b)

| |

6.60.Misalkan 10000 digits yang dikirim memiliki probabiltas error sebanyak . /digits. Cari probabilitas dimana tidak akan ada kesalahanlebih dari 2 digits

Jawab : 0,9856

6.61.Tampilkan persamaan 6.91 mendefinisikan sebuah probabilitas yang benar.

Kususnya menunjukan bahwa persamaan ini

. Ubah variable dan tampilkan

Yang dapt dibuktikan dengan memasukan nilai I2 dengan menggunkan

kordinat polar.

6.62.Sebuah resisitor menghasilkan tegangan Vn (t). At t = t1, tingkat padagangguan X = Vn (t1). Diketahui sebagai variabel acak gauss dengandensitas.

Hitung probabilitas ketika || untuk k = 1, 2, 3Jawaban :

|| || ||


46/47


46

6.63.Perhitungkan transformasi Y = 1/ X(a) Caridengan kondisi(b) Jika

Cari

Jawab :

(a) (b)

Diketahui bahwa X dan Y adalah variabel acak cauchy

6.64.Misal X dan Y adalah 2 variabel acak independen dengan :

Cari fungsi density dariZ = X + YJawaban :

6.65.Misal X adalah sebuah variable acak seragam yang di distribusikan

tterhadap [a,b]. cari rata-rata dan selisih dari X.

Jawab : x = , 6.66.Misal (X,Y) adalah bivariate r.v. jika X dan Y adalah bilangan yang dapat

berdiri sendiri, buktikan bahwa X dan Y tidak berhubungan.

Petunujuk : gunakan persamaan (6.78) dan (6.51)

6.67.Misal (X,Y) adalah bivariate r.v. sesuai dengan pdf

Buktikan bahwa X dan Y tidak berdiri sendiri atau berhubungan

Petunjuk : gunakan persamaan (6.50) dan (6.51)

6.68.Bahwasanya X adalah variable acak yakni x dan x2, cari transformasilinear dari Y = aX + b ketika x= 0 dan x2= 1Jawab : ,

6.69.Buktikan bahwa variable acak dari Z and W dari

,


47/47


Dimana a adalah bilangan real. Determinan a ketika Z dan W adalah

orthogonal

Jawab :

6.70.Turunan fungsi X adalah pembuktian dari

[] Dimana

adalah bilangan real, kemudian

, dimana |

a)

Cari turunan fungsi X yang sama pada (a,b)

b) Gunakan hasil a untuk mencari E[X] , E[X2], DAN E[X3]

Jawab:

a)

b) 6.71.Buktikan jika X dan Y adalah 0 sama halnya dengan variabel acak, lalu

Petunjuk : gunakan turunan function X dan Y yang didapat dari

[]

skad chapter 6.pdf

Documents