sistem persamaan aljabar linear

Sistem Persamaan Aljabar Linear

Persamaan LinearPersamaan berikut adalah bentuk persamaan linear:

dimana: a1, a2,…, an, dan b adalah konstanta dan x1, x2,…, xn adalah variabel yang tidak diketahui.

System persamaan Aljabar LinearSystem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear dalam variabel x1, x2,…, xn .

Barisan bilangan s1, s2,… sn adalah solusi system persamaan linear apabila x1= s1 , x2= s2 … xn =sn memenuhi setiap persamaan linear dalam system.

bxaxaxa nn 2211

S0262 Analisis Numerik

Sistem Persamaan Linear Note: Ada tiga kemungkin tentang solusi SPL yaitu

mempunyai hanya 1 set solusi, tidak mempunyai solusi, atau mempunyai banyak solusi

Contoh:

493

134

321

321

xxx

xxxSuatu system yg mempunyai banyak solusi

diantaranya: x1=1, x2=2, and x3=-1

1

3

21

21

xx

xx

3

4

21

21

xx

xx

Suatu system yg mempunyai hanya 1 solusi

yaitu: x1=2, and x2=1

Suatu system yg tidak mempunyai solusi

Bentuk umum m persamaan dan n yang tidak diketahui

System persamaan Linear dlm Augmented Matricesmnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211


Contoh 3 pers., 3 yg tdk diketahui

Metode untuk menyelesaikan SPL adalah dgn mengubah system yg ada menjadi system yg lebih sederhana. Secara umum langkah2 nya diberikan di bawah ini.

1. Mengalikan satu atau lebih dari persamaan yg ada dengan suatu pengali2. Mempertukarkan letak persamaan3. Menambah suatu persamaan dengan persamaan yg lain

Note: Langkah-langkah diatas akan berlaku juga terhadap Matriks AUGMENTED dari persamaan tersebut.

03563

1342

92

21

321

321

xxx

xxx

xxx

0563

1342

9211Augmented matrix


Operasi Baris dlm mencari solusi SPL:

0563

1342

92

321

321

321

xxx

xxx

xxx

0563

1342

9211

1. Kurangkan 2 kali baris 1 dari baris kedua dan 3 kali baris 1 dari baris ketiga

27113

1772

92

32

32

321

xx

xx

xxx

271130

17720

9211

2. Kalikan baris kedua dengan 1/2., maka akan diperoleh

3

2

1

3

2

1

x

x

x

3100

2010

1001


Eliminasi Gauss(EG)• EG adalah prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL

dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL tsb ke dalam bentuk yg lebih sederhana:

Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk row-echelon (Echelon baris).

Bentuk Row-echelon :1. Unsur (entri) yang bukan nol pertama pada setiap barisnya

adalah angka 1 yang disebut dengan angka-1 pemimpin (leading 1)

2. Setiap baris yang mempunyai unsur seluruhnya angka-0 diletakkan dibaris bawah

3. Angka-1 pemimpin pada baris yang lebih bawah akan terletak kesebelah kanan angka-1 pemimpin pada baris diatasnya.


Eliminasi Gauss-Jordan(EGJ)• Sebagaimana halnya pada eliminasi Gauss (EG), EGJ

adalah juga prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL.

Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk Echelon baris yang disederhanakan.

Bentuk Echelon baris yang disederhanakan.Matriks dalam bentuk echelon baris yang

disederhanakan adalah matriks echelon baris dimana pada setiap kolom yang telah mengandung angka-1 pemimpin maka setiap entri lain dalam kolom yang sama hanya diisi oleh angka-0.


Matriks Bentuk Echelon-baris

Contoh:

Matriks Bentuk Echelon-baris yg disederhanakan

Contoh:

000

010

011

;

5100

2610

7341

100

010

001

;

1100

7010

4001


Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss

1. Tuliskan sistim persamaan aljabar linear yang akan diselesaikan dalam bentuk matriks augmented

2. Jika diperlukan pertukarkan baris paling atas dari matriks tsb dengan baris yang lain sehingga angka-0 bukan merupakan angka pertama dalam baris paling atas tersebut

3. Jika entri pertama dalam baris-1 bukan angka-0 kalikan/bagikan semua entri pada baris tersebut dengan suatu bilangan tertentu untuk menghasilkan angka-1 pemimpin.

4. Lakukan operasi baris (penjumlahan/pengurangan) pada baris-baris dibawahnya untuk mendapatkan seluruh entri dibawah angka-1 pemimpin seluruhnya angka-0.

5. Lakukan langkah 2, 3, dan 4 sampai diperoleh suatu matriks dalam bentuk echelon-baris

6. Dari matriks yang diperoleh pada langkah-5 diatas lakukan subsitusi balik untuk mendapatkan harga variabel yang dicari


Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss-Jordan1. Lakukan langkah-langkah 1, 2, 3, 4 dan 5 pada Eliminasi

Gauss diatas

2. Biasanya dimulai dari baris yang paling bawah, lakukan operasi baris sedemikian sehingga seluruh entri diatas angka-1 pemimpin semuanya menjadi angka-0.

3. Ulangi langkah 2 diatas untuk baris-baris yang lebih atas sehingga menghasilkan matriks dalam bentuk echelon-baris yang disederhanakan.


Contoh Soal:

Selesaikan sistim persamaan linear di bawah ini dengan Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan :

12563627342

zyxzyx

zyx

6184862

515105

1342562

0223

65421

643

654321

5321

xxxxx

xxx

xxxxxx

xxxx


Jawab: Eliminasi Gauss Matriks Augmented

30113019720

6211

1256373426211

125636211

7342133;12221 bbbbbb


Jawab: Eliminasi Gauss (sambungan, lihat hal. sebelumnya)

23

21

219

27233

219

272/2

0010

6211

30113010

6211

30113019720

6211bbb

33100

1062112

192

7)2(3

zb

Subsitusi balik:

Baris ke-2 y-7/2 z = 19/2 y= 19/2 –21/2=-1

Baris ke-1 x + y + 2z=-6x=-6-y-2 z=1

Solusi: x=1; y=-1; dan z=-3


Jawab: Eliminasi Gauss-Jordan

Dari hasil Eliminasi Gauss:

310010

62112

192

7

21321;32

219

27

31001010

0011

310010

62112

7 bbbbbb

3;1;131001010

1001

zyx

Latihan: Kerjakan soal no. 2 pada lembaran sebelumnya dengan mengikuti prosedur yang sama

ATURAN CRAMER

Teori 8: Solusi dari sistem pers. linear yg terdiri dari n pers. Linear dng n yang tdk diketahui Ax=b (det(A)0) adalah sbb:

dimana Aj diperoleh dari matriks A dgn mengganti kolom ke- j dengan matriks

)det(

)det(,

)det(

)det(,

)det(

)det( 12

11 A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n

nb

b

b

b2

1


ATURAN CRAMER

Contoh/Latihan: Gunakan aturan Cramer untuk menyelesakan sistem persamaan linear berikut:

Jawab:

83230643

62

321

321

31

xxxxxx

xx


8306

;321643201

83230643

62

321

321

31bA

xxxxxx

xx

8213043601

;3816303261

;3286430206

321 AAA

A

Ax

A

Ax

A

Ax

AAAA

33

22

11

321

;;

;;;;

Metode Gauss-SeidelMisalkan sistim persamaan aljabar linear tsb dapat ditulis sbb:


nn

nn

nn

nn

nnnnnn

nn

nn

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

a

xaxaxabx

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

1

3132121111

13

121211113

12

131311122

11

131321211

2211

22222121

11212111

Metode Gauss-SeidelPersamaan sebelumnya dapat diselesaikan dapat dikerjakan

secara iteratif dengan menggunakan harga tebakan awal. Untuk mudahnya harga tebakan awal dapat dianggap bahwa harga semua x1, x2, …., xn=0. Harga ini dapat diperbaharui dengan menggunakan persamaan sebelumnya misalkan akan diperoleh x1=b1/a11; dan harga ini akan dimasukkan pada persamaan berikutnya untuk mendapatkan harga x2, dst. Prosedur iteratif ini akan diulangi sampai diperoleh ketelitian yang diinginkan menurut kriteria kesalahan relatif yang telah dibicarakan sebelumnya:


sik

ik

ik

x

xx

%1001

Metode Gauss-SeidelContoh/Latihan: Gunakan Metode Gauss-Seidel untuk

menyelesakan sistem persamaan linear berikut, kesalahan relatif <5%.


3/)28(4/)6330(

26

83230643

62

213

312

31

321

321

31

xxxxxx

xx

xxxxxx

xx

Gunakan tebakan awal x1=x2=x3=0 Harga ini akan diperbaharui sbb:

338

32468

341830

21 ;12;6 xxxItersai berikutnya akan diperoleh:

dst;;;6 32358

376

1 xxx

sistem persamaan aljabar linear

Documents