AR (Autoregressive)

Autoregressive adalah nilai sekarang suatu proses dinyatakan sebagai jumlah tertimbang nilai-nilai yang lalu ditambah satu sesatan (goncangan random) sekarang. Jadi dapat dipandang Xt diregresikan pada p nilai X yang lalu (Soejoeti,1987)

Model AR (Autoregressive) pada orde p menyatakan bahwa suatu model dimana pengamatan pada waktu ke-t berhubungan linear dengan pengamatan waktu sebelumnya t-1, t-2, t-p.

Model umum runtun waktu autoregressiveXt = a1Xt-1 + a2Xt-2 + . . . + apXt-p + e1

Keterangan :• Xt = data periode ke-t

• Ap = parameter autoregressive

• Xt-1, . . . , Xt-p = variabel bebas (nilai masa lalu deret waktu yang bersangkutan

• e1 = nilai kesalahan pada saat t

Persamaan tersebut dapat ditulis dengan :a(B)Xt = et

Dimana a(B) = 1-a1B – a2B2 - . . . – apBp

mengalikan kedua sisi persamaan AR(p) dengan Xt-kuntuk mencari fungsi autokovariansi dan nilai harapan. Sehingga :

Xt-kXt = a1Xt-kXt-1 + a2Xt-kXt-2 + . . . + apXt-kXt-p + Xt-ke1

Untuk k > 0, makaɣK = a1ρk-1 + . . . + apρk-p

Dimana nilai E(Xt-ke1) = 0 untuk k > 0,

Dengan membagi persamaan diatas dengan ɣ0 diperoleh fungsi autokorelasinya ρk = a1ρk-1 + . . . + apρk-p untuk k > 0.

fungsi autokorelasi parsial untuk AR(p) adalah akk = 0 untuk k > p

Autokorelasi parsial akan nol setengah lag p atau kurva akan terputus setelah suku ke-p untuk setiap proses. Kurva estimasi akan dipandang berturut-turut model AR(k), k = 1,2, . . . , k yang digunakan pada data (Soejoeti,1987)

ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)

Proses ARIMA berarti suatu runtun waktu non stasioner yang telah diambil selisih dari lag tertentu atau dilakukan pembedaan menjadi stasioner yang mempunyai model AR derajat p dan MA derajat q.

Model ARIMA (p,d,q) dinyatakan dalam rumus sebagai berikut :

ap(B)(1-B)dXt = b0 + bq(B)et

dimana ap(B) = 1-a1B – . . . – apBp

Merupakan operator AR yang stasioner

bq(B) = 1 – b1B - . . . - bqBq

Merupakan operator MA yang invertibel

Jika p = 0, maka model ARIMA (p,d,q) disebut juga integrated moving average model dinotasikan IMA(d,q), jika q = 0 maka model ARIMA (p,d,q) disebut juga auto regressive integrated dinotasikan ARI(p,d)

Model dasar yang digunakan dalam analisis runtun waktu adalah ARIMA yang dapat dinyatakan oleh kombinasi linear data peubah pengamatan dan peubah acak bebas yang terdistribusi normal sebagai berikut :

Wt - ᴓ1 Wt-1 - . . . - - ᴓp Wt-p = at – Ɵp at-1 - . . . – Ɵqat-q

Wt = VdZt (VZt = zt-zt-1)

dengan : • Zt = data pengamatan

• at = peubah acak bebas

• ᴓp = autokorelasi parsial model ARIMA

• Ɵq = autokorelasi parsial peubah acak bebas• T = interval waktu

Persamaan diatas dapat ditulis menggunakan operator geser B seperti dibawah ini ᴓ ƟΔ

ᴓ(B) ΔdZt = Ɵ(B)at

Dengan BZt = Zt-1,

BmZt = Zt-m

ᴓ(B) = 1 - ᴓ1B - . . . - ᴓ2Bp,

Ɵ(B) = 1 – Ɵ1B - . . . - ƟqBp