serentak modulasi

7/18/2019 SerenTak Modulasi

http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 1/16

CONTOH PENGGUNAAN METODE GAUSS

Terdapat 3 persamaan dengan 3 variabel yang tidak diketahui

berikut ini:

2a−4bc=1

a3b−2c=2

3a−2b4c=4

maka metode penyelesaian menggunakan metode Gauss Naif dapat

dilakukan sebagaimana prosedur berikut ini

1. SUSUN MATRIK

a b c F

2 -4 1 1

1 3 -2 2

3 -2 4 4

2. LAKUKAN PEMBUATAN SEGITIGA ATAS

a. Kolom a

Gunakan (a11 = 2) sebagai pivot

Eliminasi baris ke-2 dengan cara:

! "encari faktor m # a2$a # $2

2! Eliminasi suku baris 2 dengan baris sebagai pivot:

a! - m % 2 # & '!)2 # '

b! 3 & m )(-*+ # 3 & '!)(-*+ #

c! (-2+ & m) # (-2+ & '!) # -2!

d! 2 & m) # 2 & '!) # !

3! ,apatkan matrik berikut:

a b c F

2 -4 1 1

0 5 -2.5 1.5

3 -2 4 4




! "encari faktor m2 # a3$a # 3$2


a! 3 - m2 % 2 # 3 & !)2 # '

b! (-2+ & m2 )(-*+ # (-2+ & !)(-*+ # *

c! * & m2) # * & !) # 2!

d! * & m2) # * & !) # 2!


a b c F

2 -4 1 1

0 5 -2.5 1.5

0 4 2.5 2.5

b. Kolom b



! "encari faktor m3 # a32$a22 # *$

2! Eliminasi suku baris 3 dengan baris 2 sebagai pivot:

a! ' - m3 %' # ' & '!)' # '

b! * & m3 )(+ # * & '!)(+ # '

c! (2!+ & m3)(-2!+ # (2!+ & '!)(-2!+ # *!

d! 2! & m3)! # 2! & '!)! # !3


a b c F

2 -4 1 1

0 5 -2.5 1.5

0 0 4.5 1.3

3. LAKUKAN SUBTITUSI BALIK

a! . # !3$*! # '!2/

b! 0 # (! - (-2!+)'!2/+$ # '!****

c! 1 # ( & ()'!2/+ - (-*+)'!****+$2 # !2**



CATATAN

! ika dalam pena!"an #a$%o! ditemukan pemba&"an 'en&an (

maka dapat dilakukan p!o)e) pe!%*$a!an ba!")

2! ika dalam proses pembagian faktor ditemukan bilangan

yang )an&a% be)a! ataupun )an&a% $e"l maka dii4inkan

proses pen)$alaan yaitu men&al"$an )e%"ap )*$* 'alam

ba!") %e!)eb*% 'en&an )*a%* $on)%an%a!



GAUSS JORDAN

Metode Gauss Jordan mirip dengan metode Gauss Naif. Perbedaannya

adalah pada bentuk matrik akhir nya. Jika pada Gauss Naif dihasilkan

matrik Segitiga Atas, maka pada Gauss Jordan dihasilkan bentuk matrik

Identitas.

Contoh

2a−4bc=1

a3b−2c=2

3a−2b4c=4

dengan teknik Gauss Jordan akan dihasilkan matrik berikut

LANGKAH PENGGUNAAN

1. BUAT MATRIK SEGITIGA ATAS

a. Kolom +



! "encari faktor m # a2$a # 5


a! - m % 2 # & '!)2 # '

b! 3 & m )(-*+ # 3 & '!)(-*+ #

c! (-2+ & m) # (-2+ & '!) # -2!

2 & m) # 2 & '!) # !

3!,apatkan matrik berikut:

X Y Z F

2 -4 1 1

0 5 -2.5 1.5

3 -2 4 4

X Y Z F

2 -4 1 1

1 3 -2 2

3 -2 4 4




! "encari faktor m2 # a3$a # 3$2


a! 3 - m2 % 2 # 3 & !)2 # '

b! (-2+ & m2 )(-*+ # (-2+ & !)(-*+ # *

c! * & m2) # * & !) # 2!

d! * & m2) # * & !) # 2!


b. Kolom ,



! "encari faktor m3 # a32$a22 # *$


a! ' - m3 %' # ' & '!)' # '

b! * & m3 )(+ # * & '!)(+ # 'c! (2!+ & m3)(-2!+ # (2!+ & '!)(-2!+ # *!

d! 2! & m3)! # 2! & '!)! # !3


2. NORMALISIR SEMUA SUKU DIAGONAL

Normalisir tiap baris dengan !ara membagi setiap suku dalam baris

tersebut dengan nilai suku diagonalnya. "engan !ara ini akan didapatkan

matrik berikut

1 -2 0.5 0.5

0 1 -0.5 0.3

0 0 1 0.2889

2 -4 1 1

0 5 -2.5 1.5

0 4 2.5 2.5

2 -4 1 1

0 5 -2.5 1.5

0 0 4.5 1.3



3. BUAT MATRIK IDENTITAS dengan CARA ELIMINASI

SUKU MATRIK ATAS

a. Kolom -

Gunakan (a 33 = 1) sebagai pivot


! "encari faktor m* # a23$a33 # -'!$ # -'!


a! ('+ - m* % ' # ('+ & (-'!+)' # '

b! (+ - m* % ' # (+ & (-'!+)' #

c! (-'!+ - m* % # (-'!+ & (-'!+) # '

d! ('!3+ - m* % '!2/ # ('!3+ & (-'!+)'!2/ # '!****


Eliminasi baris ke- dengan cara:

! "encari faktor m # a3$a33 # '!$ # '!

2! Eliminasi suku baris dengan baris 3 sebagai pivot:

a! (+ - m % ' # (+ & ('!+)' #

b! (-2+ - m % ' # (-2+ & ('!+)' # -2

c! ('!+ - m % # ('!+ & ('!+) # '

d! ('!+ - m % '!2/ # ('!+ & ('!+)'!2/ # '!36,apatkan matrik berikut:

X Y Z

1 -2 0.5 0.5

0 1 0 0.4444

0 0 1 0.2889

X Y Z

1 -2 0 0.3556

0 1 0 0.4444

0 0 1 0.2889



b. Kolom ,



! "encari faktor m6 # a2$a22 # -2$ # -2

2! Eliminasi suku baris dengan baris 3 sebagai pivot:

a! (+ - m6 % ' # (+ & (-2+) ' #

b! (-2+ - m6 % # (-2+ & (-2+) # '

c! ('+ - m6 % ' # ('+ & (-2+)' # '

d! ('!36+ - m6%'!**** # ('!36+&(-2+)'!**** # !2***


"engan ditemukannya matrik Identitas diatas, maka nilai #ariabel $, % dan

& dapat ditentukan sebagai

$ ' (.)*** % ' +.****

& ' +.)-

X Y Z

1 0 0 1.2444

0 1 0 0.4444

0 0 1 0.2889



CONTOH APLIKASI

Sensor suhu dari enis /M01 mempunyai respon suhu (+m23oC dan

digunakan untuk mengukur suhu antara (+oC sampai *+oC. 4an!ang

pengkondisi sinyal agar mempunyai spesi5kasi tegangan yang memenuhi

spesi5kasi tegangan masukan A"C 6+.7 2 sampai *.128.

S9/:SI

(. Asumsikan respon /M01 linier dan berkisar pada tegangan (++m2

sampai *++m2.

). Asumsikan model matematis dari pengkondisi sinyal adalah

Vadc = m(Vin) + b

0. ;abel hubungan 2ad! dan 2in adalah

Vin Vadc

100mV 0.7V

400mV 4.5V

Sehingga bentuk persamaan serentaknya adalah

+.(<m = b ' +.7

+.*<m = b ' *.1*. "engan metode Gauss Jordan akan didapatkan nilai m dan b sebagai

berikut

Sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut.

Vadc 12.!!"# V$ % &.'!!!"

1. "engan bantuan Mat/ab akan dapatkan diagram berikut ini

1 0 12.66667

-3.33333 0 -3 1.7

1 0 12.66667

0 1 -0.56667

m b y

0.1 1 0.7

0.4 1 4.5



%**************************************************

% Simulasi hasil kombinasi 2 fungsi

%**************************************************

clear;

clc;

Vin = 0.1:0.01:0.4;

Vadc = 12.6667.*Vin - 0.56667;

plot(Vin, Vadc); grid;

"engan bantuan 94CA", maka pers. Matematis tersebut dapat

di>uudkan dalam bentuk rangkaian 9pAmp dan mempunyai respon

sebagaimana diagram berikut

0 .1 0 .15 0 .2 0 .25 0 .3 0 .35 0 .4 0 .45 0 .50 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

4

4 .5

5

V in

V

a

d

c



7 8 7 *

' ' m 7 ' m 7 2 ' ' m 7 2 ' m 7 3 ' ' m 7 3 ' m 7 * ' ' m 7

7 ( 9 2 : 9 T +

' 7

2 ! 7

! ' 7



INTERPOLASI

Adalah suatu teknik untuk mendapatkan suatu nilai yang terletak

diantara tabulasi nilai?nilai yang didapatkan dari hasil pengukuran

sebelumnya.

"alam pengukuran kadangkala kita mendapatkan suatu data yang

berbentuk tabulasi. "ata?data tersebut umumnya merupakan tabulasi dari

nilai?nilai rangsang yang diberikan 6#ariabel bebas @ 8 dengan respon

sistem yang diukur 6y8. Sebagai misal tabulasi nilai suhu dengan nilai

tegangan pada sensor /M01. :ntuk dapat menentukan nilai (egangan

yang ($da) (e*da+a( dalam daftar tabulasi akan tetapi ,a-$ da/a,

*ange +eng0)0*an, dapat digunakan teknik Interpolasi.

INTERPOLASI LINIER

;eknik interpolasi dengan me?linierkan hubungan ) nilai tabulasi

yang mengapit nilai yang diinginkan sebagaimana Gambar (. berikut ini

Gambar (. Interpolasi /inierSumber Choiron,???(B

Jika terdapat ) buah pasangan nilai, maka nilai antara dari kedua

pasangan nilai tersebut dapat di!ari dengan

( )1

1

n nn n

n n

y y y y x x

x x

+

+

−= + − −



dengan

yn ' nilai y disebelah kiri nilai yang diinginkan

yn=( ' nilai y disebelah kanan nilai yang diinginkan

n ' nilai disebelah kiri nilai yang diinginkan

n=( ' nilai disebelah kanan nilai yang didinginkan

, y ' pasangan nilai yang diinginkan

C9N;9

"alam pengukuran tegangan didapatkan pasangan nilai sebagai berikut

Vin Vout

1 0.4

2 0.6

Carilah tegangan 2out untuk 2in ' (.+1 2olt

SOLUSI

2outn ' +.*D 2outn=( ' +.BD 2inn ' (D 2inn=( ' )

INTERPOLASI LAGRANGE

Adalah teknik untuk mendapatkan suatu nilai dengan merumuskan

terlebih dahulu persamaan polinom berdasarkan tabulasi nilai yang

didapat. Jadi konsep utamanya adalah mendapatkan dahulu persamaan

polinom dari nilai?nilai sebelumnya, kemudian menghitung nilai yang

diinginkan berdasarkan polinom tersebut.

Se!ara umum persamaan polinom yang dimaksud dalam teknik

interpolasi ini adalah

dimana yo sampai yn adalah nilai y 6#ariabel bebas8 dalam tabulasi.

( )( 1 . 0 5 )0 . 6 0 . 40 . 4 1 . 0 5 1

2 1

0 . 4 1

V o u t − = + − −

=

( ) 1 1 2 2( ) ( ) ( ) . . . . ( )n o o n n P x y b x y b x y b x y b x= + + + +



Jika dapat dibuat agar Pn6i8 ' yi maka nilai b dapat di!ari dengan

persamaan berikut

dimana

sehingga Polinom lengkapnya dapat dituliskan sebagai

CONTOH:

Carilah y6+.)18

SOLUSI

y(0.25) = 1.158

( )

( )( )

0 1 2

1 1 0 2

2 2 0 1 3

( ) ( ) . . . . . ( )

( ) ( ) . . . . . ( )( ) ( ) ( ) . . . . . ( )

o n

n

n

b x C x x x x x x

b x C x x x x x xb x C x x x x x x x x

= − − −

= − − −

= − − − −

0

1 2

1

0 2

2

1 3

1

( ) ( ) . . . . . ( )

1

( ) ( ) . . . . . ( )

1

( ) ( ) . . . . . ( )

n

n

n

C x x x x x x

C x x x x x x

C x x x x x x

=− − −

=− − −

= − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

0 1 1 1

. . . . . .

. . . . . .

no j j n

n j

j j o j j j j j j n

x x x x x x x x x x P x y

x x x x x x x x x x

− +

= − +

− − − − −=

− − − − −∑

n X Y0 0.2 1

1 0.3 1.2

2 0.4 1.35

3 0.5 1.4

4 0.6 1.2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 4

0 . 2 5

1 2 3 4

0 2 3 4

1

0 2 3 4

0 1 3 4

2

0 1 3 4

0 1 2

3

0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5

0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 20 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5

0 . 3 0 . 3 0 . 3 0 . 3

0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5

0 . 4 0 . 4 0 . 4 0 . 4

0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5

o

x x x x y y

x x x x x x x x

y x x x x

x x x x y

x x x x

x x x x y

− − − −=

− − − −

− − − −+

− − − −

− − − −+

− − − −

− − − −+

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

0 1 2 4

0 1 2 3

4

0 1 2 3

0 . 5 0 . 5 0 . 5 0 . 5

0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5

0 . 6 0 . 6 0 . 6 0 . 6

x x x x

x x x x y

x x x x

− − − −

− − − −+

− − − −



CURVE FITTING

Curve Fitting adalah suatu et!de untu" enda#at"an #ersaaaan ateatis dari

suatu deretan data $ang saling ber#asangan.

%et!de ini ban$a" diguna"an dala suatu e"s#erien $ang enuntut "ita untu"

enda#at"an ruusan uu dari deretan data tersebut &biasan$a hasil #engu'ian(.

LINIER CURVE FITTING

)i"a suatu deretan hasil #erc!baan dirasa"an ebentu" garis lurus atau

tersebar dise"itar suatu garis lurus ba$angan* a"a da#at diguna"an et!de Curve

Fitting linier. +andang sebaran data dala bentu" "aresian beri"ut ini

,abar 1. ebaran data dise"itar garis lurus ba$angan

engan eandang ,abar 1* a"a da#at di"ata"an bah/a !del ateatis dari

sebaran data diatas adalah

engan et!de "uadrat ter"ecil*a"a nilai da#at dicari dengan #ersaaan

dan b da#at dicari dengan

i i y xa b y b x

n n= − = −∑ ∑

( ) 22

i i i i

i i

n x y x yb

n x x

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

y a b x= +



CURVE N!NLINIER

#abila bentu" sebaran data tersebut ebentu" leng"ungan &bu"an garis

lurus(* a"a da#at diguna"an te"ni" linierisasi sebagai beri"ut

1. +ersaaan berbentu" y " #bx a"a da#at diguna"an te"ni" beri"ut ini

,abar 2. +r!ses linierisasi "urva e"s#!nen "e linier

a. a"u"an !#erasi Ln #ada su"u disebelah "iri dan "anan #ada #ersaaan $

aebx sehingga dida#at"an #ersaaan ln$ ln a &b(ln&e( atau Y b

sebagaiana ,abar 2

b. ,una"an te"ni" #encarian nilai $ dan b sebagaiana te"ni" sebelun$a.

i $i Yi n $i i Yi i2

1 $1 Y1 ln $1

2 $2 Y2 ln $2

. .

n $n

Σn Σ$n ΣYn Σn$n Σn2

c. 6!ralisir nilai dengan " #$

i iY xa b

n n= −∑ ∑

( ) 22

i i i i

i i

n x Y x Y b

n x x

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑



2. +ersaaan berbentu" y " %b

a. a"u"an #r!ses ln #ada "edua ruas dala #ersaaan tersebut sehingga

dida#at"an #ersaaan ln $ ln &a( b ln&( atau Y bX

b. engan te"ni" curve linier da#at"an nilai $ dan b

i $i Yi n $i Xi ln i XiYi Xi2

1 $1 Y1 ln $1 X1 ln 1

2 $2 Y2 ln $2 X2 ln 2

. . .

n $n

Σn Σ$n ΣYn ΣXn ΣXnYn ΣXn2

c. 6!ral"an nilai dengan " #$

3. +ersaaan dengan y " 0 & 1% & 2%2 & '. & ( %

(

ala te"ni" ini sebaran data $ang ada din$ata"an sebagai sebuah #!lin!. 6ilai a 0*

a1 .. ar dari #!lin! tersebut dida#at"an dengan en$elesai"an atri" beri"ut ini

engan te"ni" ,auss )!rdan atau#un ,auss 6ai7* a"a nilai a0* a1 .. ar da#at

diteu"an.

2

2 3 1

1

22 3 4 2

2

1 2

. .

. .

. .... . . . . .

... . . . . .

. .

r ioi i i

r i ii i i i

r

i ii i i i

r r r r r n

i ir i i i i

yan x x x

x ya x x x x

x ya x x x x

x ya x x x x

+

+

+ + +

=

∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑ ∑

( ) 22

i i i i

i i

n X Y X Y b

n X X

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

i iY X a b

n n= −∑ ∑

serentak modulasi

Documents