Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Analisis Rangkaian Listrikdi Kawasan Fasor”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

4

Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Fasor

diaplikasikan untuk Rangkaian dengan sinyal sinusoidal dalam keadaan mantap

yang biasa disebut pulaRangkaian Arus Bolak-Balik

Isi Kuliah:

1. Fasor2. Pernyataan Sinyal Sinus dalam Fasor3. Konsep Impedansi4. Hukum dan Kaidah Rangkaian dalam

Fasor5. Teorema Rangkaian dalam Fasor6. Metoda Analisis dalam Fasor7. Sistem Satu Fasa8. Analisis Daya9. Penyediaan Daya10.Sistem Tiga-fasa Seimbang

5

6

FasorMengapa Fasor?

Dalam sesi pertama ini akan dibahas tentang

7

Sebagaimana kita ketahui, analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral,

karena hubungan arus-tegangan elemen-elemen adalah

dt

diLv L

L

dt

dvCi C

C

dtiC

v CC1

8

Energi listrik, dengan daya ribuan kilo watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Dalam banyak rangkaian, bentuk gelombang sinus sangat luas

digunakan

9

)cos( tAySudut fasa

Frekuensi sudutAmplitudo

Di kawasan waktu bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai

Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika operasi-

operasi diferensial dapat dihindarkan.

Hal ini dapat dicapai dengan menyatakan gelombang sinus ke dalam bentuk fasor

(mentransformasi bentuk sinus ke dalam bentuk fasor)

Bagaimana transformasi itu dilakukan?

10

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu

sendiri, yaitu

Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial dan integral akan terhindarkan karena operasi-

operasi matematik ini akan menghasilkan fungsi eksponensial juga

Fungsi Eksponensial

xx

edx

de x

x

Aedx

dAe

11

Pernyataan ke dalam bentuk fasor dari sinyal sinus itu dimungkinkan karena

ada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu

xjxe jx sincos

Ini adalah fungsi eksponensial kompleks

Berikut ini kita akan melihat ulang tentang

bilangan kompleks

Ini adalah bagian nyata dari pernyataan fungsi kompleks

Identitas EulerIdentitas ini adalah

Bagian inilah yang digunakan untuk menyatakan sinyal sinus

12

Pengertian Tentang Bilangan Kompleks

012 s

Tinjau Persamaan:

js 1

Akar persamaan adalah:

Ini bilangan khayal (imajiner)

00.5

11.5

22.5

33.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

x

Tak ada nilai untuk yang negatifx x

Bilangan Kompleks

13

jbas dengan a dan b adalah bilangan nyata

bagian nyata dari s Re(s) = a

bagian imajiner dari s Im(s) = b

Re (sumbu nyata)

Im(sumbu imajiner)

a

s = a + jbjb

Bilangan kompleks didefinisikan sebagai

Dengan membuat sumbu koordinat yang sumbu mendatarnya menunjukkan bilangan nyata dan sumbu tegaknya menunjukkan bilangan imajiner, maka kita dapat menggambarkan posisi suatu bilangan kompleks

Bidang dengan sumbu koordinat ini disebut

bidang kompleks

14

|S|cosθ = Re (S)

|S| sinθ = Im (S)

θ = tan1(b/a)

22 baS

bagian nyata dari Sbagian imaginer dari S

S : bilangan kompleks

S = |S|cosθ + j|S|sinθ

a Re

Im

S = a + jbjb

(sumbu nyata)

(sumbu imajiner)

Re

Im

S = a + jb

| S

|

jb

a

Dengan demikian suatu bilangan kompleks dapat direpresentasi secara grafis di bidang kompleks sebagai suatu vektor

|S| = nilai mutlak dari S

15

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Re

Im

4

3

2

1

-1

-2

-3

3 + j4 = 5cos + j5sin

5

Contoh

16

Penjumlahan bilangan kompleks

jbas 1

)()(21 qbjpass

jqps 2

jbas 1

jqps 2

)()(21 qbjpass +

--

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan

Kompleks

Pengurangan bilangan kompleks

Perkalian bilangan kompleks

))(())(( 21 jqpjbass

Pembagian bilangan kompleks

jqp

jba

s

s

2

1

)()( bpaqjbqap

22

)()(

qp

aqbpjbqap

jqp

jqp

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan

Kompleks

17

jbas 1

jqps 2

18

43dan 32 21 jsjs

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

32

22

2

1

jj

j

j

j

j

s

s

75)43()32(21 jjjss

11)43()32(21 jjjss

176)98()126(

)43)(32())(( 21

jj

jjss

diketahui:

maka:

Contoh

19

)( js ee

Fungsi eksponensial kompleks didefinisikan sebagai

e adalah fungsi eksponensial riil

sincos je j

Ini identitas Euler

Bentuk sudut siku dan bentuk polar

Jika adalah bilangan kompleks js

)sin(cos

je

ee j

jbaS

)sin(cos22 jbaS

jebaS 22

Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai:

Penulisan bilangan kompleks ini disebut penulisan dalam bentuk sudut siku

dapat dituliskan sebagai:

20

yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

21

|S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad S = 10 e j0,5 Bentuk Polar:

8,48,8)48,088,0( 10

)5,0sin5,0(cos 10

jj

jS

Bentuk Sudut Siku

rad 93,03

4tan 1

S = 3 + j4 543 || 22 SBentuk Sudut Siku:

S = 5e j 0,93Bentuk Polar

543 || 22 S

rad 93,03

4tan 1 S

S = 3 j4 Bentuk Sudut Siku:

S = 5e j 0,93Bentuk Polar

Contoha)

b)

c)

22

S = a + jb

S* = a jb

Re

Im

Re

Im

Bilangan kompleks S mempunyai konjugat S*

S* = p + jq

S = p jq

Kompleks Konjugat

Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb

Secara grafis, bilangan kompleks dan konjugatnya dijelaskan sebagai berikut:

* atau ||* 2 SS|S|SSS

**2121 SSSS *

*

**

1

1

2

1

S

S

S

S

**2121 SSSS *

Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

23

24

Dalam Bentuk Fasor

Pernyataan Sinyal Sinus

25

Fungsi sinus di kawasan waktu adalah:

)cos( tAv

Mengingat relasi Euler ini maka fungsi sinus bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks

sehingga dapat kita tuliskan

Fasor

Sementara itu relasi Euler, memberikan

A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)}

)( Re)cos( )( tjAetAv

Jika kita tetapkan bahwa memang bagian nyatalah yang kita ambil dari bilangan kompleks, maka penulisan Re tidak diperlukan lagi

hanya amplitudo A dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena diketahui sama untuk seluruh sistem

Jika seluruh sistem atau seluruh rangkaian mempunyai nilai yang sama maka ejt bernilai tetap sehingga tak perlu selalu

dituliskan dalam pernyataan fungsi sinus di atas.

)cos( tAv

Inilah yang disebut Fasor

26

Jika pernyataan Re tidak ditulis lagi, dan ejt juga tidak dituliskan, maka sinyal sinus dapat kita tuliskan dalam bentuk eksponensial

kompleks, sebagai

jAeV

Pernyataan tegangan tidak lagi menggunakan huruf kecil tetapi dengan huruf besar cetak tebal dan garis di atasnya, untuk menyatakan bahwa

ini adalah fasor

27

A

Ae j

V

V

dituliskan

sincos jAAAV

a

bbajba 122 tanV

Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan maka

Penulisan dan Penggambaran

Fasor

|A|

Im

Rea

jb V

28

Penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor

07,707,7)45sin(10)45cos(10

atau 4510oo

1

o1

jj

V

V

)45500cos(10)( o1 ttv

)30500cos(15)( o2 ttv

5,799,12)30sin(15)30cos(15

atau 3015oo

2

o2

jj

V

V

menjadi:

menjadi:

Pada frekuensi = 500

Contoh

b).

Pada frekuensi = 500

a).

1000cos4)( 1 tti

4)0sin(4)0cos(4

atau 04oo

1

o1

jI

I

)901000cos(3)( o2 tti

3)90sin(3)90cos(3

atau 903oo

2

o2

jj

I

I

menjadi:

menjadi:

Pada frekuensi = 1000

29

b).

a).

Pada frekuensi = 1000

30

Im

Re

Jika AA

A*A

180

180 o

o

A

AAmaka negatif-nya adalah

dan konjugat dari A adalah

jba A

jba *A

jba A Jika

Fasor Negatif dan Fasor

Konjugat

|A|

a

A

|A|

a

jb A

jb *A

31

Perkalian

)( 21 ABBA

)( 212

1

B

A

B

A

B

APembagian

2121

2121

sinsincoscos

sinsincoscos

BAjBA

BAjBA

BA

BA

Penjumlahan dan Pengurangan

2BB1AAJika diketahui :

maka :

Operasi-Operasi

Fasor

32

343004213 jjj III

o1223 9,216 5

4

3tan)3()4(

I

ooo*111 4540 )04()4510( IVS

ooo*222 12045)903()3015( IVS

oo

o

2

22 1205

903

3015

I

VZ

oo

o

1

11 455.2

04

4510

I

VZ

o1 4510 V

o2 3015V

o1 04I

o2 903 I

Diketahui:

maka :

Re

I3

-4

-3

Im216,9o

5

Contoh

33

Kuliah TerbukaAnalisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor

Sesi 1

Sudaryatno Sudirham