Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Analisis Rangkaian Listrikdi Kawasan s”

2

Disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Sesi 4Tanggapan Frekuensi

Rangkaian Orde-1

4

Kita akan membahas tanggapan frekuensi dari rangkaian orde-1 dan

orde-2

Persoalan tanggapan rangkaian terhadap perubahan nilai frekuensi

tanggapan rangkaian terhadap sinyal yang tersusun dari banyak

frekuensi

atau

timbul karena impedansi satu macam rangkaian mempunyai nilai yang berbeda

untuk frekuensi yang berbeda

5

Dalam analisis rangkaian di kawasan s kita lihat bahwa pernyataan di kawasan s dari sinyal di

kawasan waktu)cos()( tAtx

22

sincos)(

s

sAsX

adalah

Jika T(s) adalah fungsi alih dari suatu rangkaian, maka tanggapan rangkaian tersebut adalah

)())((

sincos

)(sincos

)()()(22

sTjsjs

sA

sTs

sAssTs

XY

Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap

6

memberikan pole paksa

memberikan pole alami

)())((

sincos

)(sincos

)()()(22

sTjsjs

sA

sTs

sAssTs

XY

n

n

ps

k

ps

k

ps

k

js

k

js

ks

2

2

1

1*

)(Y

Tanggapan rangkaian ini dapat kita tuliskan

komponen transien yang biasanya berlangsung hanya

beberapa detik

komponen mantap yang kita

manfaatkan Dengan menghilangkan komponen transien kita peroleh tanggapan mantap di kawasan s yaitu

js

k

js

ks

*

)(Y

7

js

k

js

ks

*

)(Y

Nilai k persamaan ini dapat kita cari dari

)(2

sincos

)()(

sincos)()(

jTj

A

sTjs

sAsjsk

jsjs

Y

)())((

sincos)()()( sT

jsjs

sAssTs

XY

sehingga )()(2

)(2

jjj

ejTA

ejTe

Ak

Ini adalah suatu pernyataan kompleks yang dapat ditulis

jejTjT )()(

8

jse

jTA

jse

jTA

ejs

jTAe

js

jTA

js

k

js

ks

jj

jj

1

2

)(1

2

)(

)(

2

)(

2

)(

)()(

)()(

*

Y

Tanggapan keadaan mantap rangkaian di kawasan s menjadi

Dari tabel transformasi Laplace kita lihat

assF

1)(Jika f(t) = eat maka

Oleh karena itu tanggapan mantap di kawasan t menjadi

tjTA

eejTA

ejTA

ejTA

ty

tjtj

tjtjtm

cos)(

2

)(

2

)(

2

)( )(

9

Persamaan tanggapan di kawasan waktu ini menunjukkan bahwa rangkaian yang mempunyai fungsi alih T(s) dan

mendapat masukan sinyal sinus, akan memberikan tanggapan yang:

Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi sinyal masukan tetapi amplitudo maupun

sudut fasanya berubah dan perubahan ini tergantung dari frekuensi

berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi amplitudo sinyal berubah dengan faktor |T(j)| sudut fasa sinyal berubah sebesar sudut dari T(j), yaitu

.

tjTAtytm cos)( )(

10

Carilah sinyal keluaran keadaan mantap dari rangkaian di samping ini jika masukannya adalah vs = 102cos(50t + 60o) V.

CONTOH:

Penyelesaian:

Transformasi rangkaian ke kawasan s

Fungsi alih rangkaian ini

50

50

1002

100)(

sssTV

Karena = 50 , makao

1

45

)50/50(tan22 2

1

5050

50

5050

50)50( j

jV e

ejjT

Jadi keluaran keadaan mantap:

)1550cos(10)456050cos(2

210)( ooo

o tttv

11

Fungsi Gain dan Fungsi Fasa

Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(j)| disebut fungsi gain

Pengubah fasa disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ()

Baik fungsi gain maupun fungsi fasa merupakan fungsi frekuensi

Jadi kedua fungsi tersebut menunjukkan bagaimana amplitudo dan sudut fasa sinyal sinus

dari tanggapan rangkaian berubah terhadap perubahan frekuensi atau dengan singkat disebut

sebagai

tanggapan frekuensi

12

Pernyataan Tanggapan Frekuensi

Selidikilah perubahan gain dan sudut fasa terhadap perubahan frekuensi dari rangkaian orde pertama di samping ini

Penyelesaian:

1000

500)( : rangkaian alih fungsi

ssTV

Berikut ini kita gambarkan perubahan gain dan perubahan sudut fasa

1000

500)( : fungsi

22 jTgain V

1000tan)( : fasa fungsi 1

1000

500)(

jjTV

CONTOH:

13

Pada frekuensi rendah terdapat gain tinggi yang relatif konstan;

pada frekuensi tinggi, gain menurun dengan cepat

Pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah tetapi

kemudian cepat menurun mulai suatu frekuensi tertentu

-90

-45

01 10 100 1000 10000 1E+05

[o]

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain

1000

500)( :

22 jTgain V

1000tan)( : fasa 1

Perhatikan bahwa sumbu frekuensi dibuat dalam skala logaritmik

14

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain passband stopband

C

0.5/2

Gain tinggi di daerah frekuensi rendah pada contoh ini

menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami

perubahan amplitudo dengan faktor tinggi

Gain rendah di frekuensi tinggi menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi tinggi mengalami

perubahan amplitudo dengan faktor rendah

Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggi disebut passband sedangkan daerah frekuensi

dimana terjadi gain rendah disebut stopband

Nilai frekuensi yang menjadi batas antara passband dan stopband disebut frekuensi

cutoff , C. Nilai frekuensi cutoff biasanya diambil nilai frekuensi dimana gain menurun dengan faktor

1/2 dari gain maksimum pada passband.

Gain

15

Dalam contoh di atas, rangkaian mempunyai satu passband

yaitu dari frekuensi = 1 sampai frekuensi cuttoff C ,

dan satu stopband

yaitu mulai dari frekuensi cutoff ke atas

Dengan kata lain rangkaian ini mempunyai passband di daerah frekuensi rendah saja sehingga

disebut low-pass gain.

Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika passband berada hanya di daerah frekuensi tinggi saja seperti pada

contoh berikut ini

16

Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di samping ini

Penyelesaian:

Fungsi alih rangkaian adalah

2

25

10

5,0)(

10

5,0

1000/10

500)(

j

jjT

s

s

ssT

V

V

0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05

0.5/2

C

Gain stopband passband

0

45

901 10 100 1000 10000 100000

[o]

; 10

5,0)(

42

jTV

21o

10tan90)(

CONTOH:

17

Gain biasanya dinyatakan dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai

)(log20 dB dalamGain jT

Pernyataan gain dalam dB dapat bernilai nol, positif, atau

negatif

Gain dalam dB akan nol jika |T(j)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak diperkuat ataupun diperlemah; jadi

gain 0 dB berarti amplitudo sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan.

Gain dalam dB akan positif jika |T(j)| >1, yang berarti sinyal diperkuat.

Gain akan bernilai negatif jika |T(j)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.

Decibel

18

Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/2 = 0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada

frekuensi cutoff, nilai gain adalah

dB 3)(

2log)(log20)(2

1log20

dB

maks

maksmaks

jT

jTjT

Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah

frekuensi di mana gain telah turun sebanyak 3 dB

19

Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K kali , jika K = 1; 2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ? Dan berapa nilai gain jika terjadi pelemahan dimana K = 1/2 ; 1/2 ; 1/10; 1/30; 1/100; 1/1000 ? Penyelesaian:

Untuk sinyal yang diperkuat K kali,

KjTjTKgain log20)(log20)(log20

dB 601000log20 : 1000

dB 40 100log20 : 100

dB 30 30log20 : 30

dB 20 10log20 : 10

dB 6 2log20 : 2

dB 3 2log20 : 2

dB 0 1log20 : 1

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

dB 60 : 1000/1

dB 40 : 100/1

dB 30 : 30/1

dB 20 : 10/1

dB 6 : 2/1

dB 3 : 2/1

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

gainK

Penguatan Pelemahan

CONTOH:

20

Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik; jika gain dinyatakan dalam dB yang juga

merupakan bilangan logaritmik sebagaimana didefinisikan, maka kurva gain akan berbentuk garis-

garis lurus

Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass gain pada contoh sebelumnya adalah seperti terlihat pada ganbar di samping ini. Gain hampir konstan 6 dB di daerah frekuensi rendah, sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan kemiringan yang hampir konstan pula.

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain [dB]

6

C

9

Kurva Gain Dalam Decibel

21

High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gain pada contoh sebelumnya adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir konstan 6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir konstan pula

Gain [dB]

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

6

C

9

Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula, sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita memiliki karakteristik band-pass gain.

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain [dB]

3

C

Frekuensi cutoff pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua

frekuensi cutoff disebut bandwidth (lebar pita)

22

Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde-2 yang akan kita pelajari lebih lanjut. Walaupun demikian kita akan melihat rangkaian

orde-2 berikut ini sebagai contohCONTOH:

Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde-2 di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

+

+Vo(s)

Vin(s) 1100

s 105/s

Penyelesaian:

)1000)(100(

1100

101100

1100

/101100

1100)(

525

ss

s

ss

s

sssTV

2222 1000100

1000)(

)1000)(100(

1100)(

jT

jj

jjT

V

V

23

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 1E+05

Gain [dB]

3

C

Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan diperoleh adalah

0

0.7

1.4

1 10 100 1000 10000

Gain

11/2

passbandstopband stopband

24

CONTOH:Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

Penyelesaian:

28226

62

642

62

642

62

5

5

10)10(

10)(

1010

10)(

1010

10

/101,0

/101,010

10)(

jT

jjT

ss

s

ss

sssT

V

V

V

passband stopband passband

0

0.7

1.4

1 100 10000 1000000

11/2

Gain

Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada antara 100 10000 dan dua passband masing-masing di daerah

frekuensi rendah dan tinggi

Karakteristik gain seperti ini disebut band-stop gain. 25

Kita lihat Low-Pass Gain

Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik low-pass gain adalah:

s

KsTV )(

Tentang tetapan K kita memahaminya sebagai berikut: K yang bernilai positif kita fahami sebagai K dengan sudut K = 0o K yang bernilai negatif kita fahami sebagai K dengan sudut K = 180oTentang pole dari suatu

fungsi alih, kita ingat diagram posisi pole seperti di samping ini:Jika rangkaian yang kita tinjau adalah rangkaian stabil maka ia harus memiliki pole dengan bagian riil negatif karena hanya pole yang demikian ini yang dapat membuat rangkaian stabil. Komponen transiennya menuju nol untuk t . Hanya rangkaian stabil saja yang kita tinjau dalam analisis tanggapan frekuensi.

Bode Plot

26

/1)( maka

j

K

j

KjT

Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah

)/(tan)(dan )/(1

/)( 1

2

KVK

jT

Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi

2

dB)/(1log20/log20)( KjTV

Komponen-pertama fungsi gain ini

bernilai konstan untuk seluruh

frekuensi

Komponen-kedua fungsi gain Ini tergantung dari frekuensi

Komponen-kedua ini pula yang menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (/) =1 dimana

komponen ini mencapai nilai 20log2 3 dB

Jika fungsi alih rangkaian yang kita tinjau adalah:

Komponen-kedua inilah yang menyebabkan gain berkurang dengan

naiknya frekuensi

s

KsTV )(

Pendekatan Garis Lurus dari Kurva Gain

27

Jadi frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari pole fungsi alih, yaitu

C

Perubahan nilai komponen-kedua dari gain sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan = 1000 adalah sebagai berikut

Untuk frekuensi rendah, (/) << 1 atau << , komponen kedua dapat didekati dengan 01log20)/(1log20 2

/log201)/(log20 2

Untuk frekuensi tinggi, (/)>>1 atau >>, komponen kedua tesebut didekati dengan

dB

[rad/s]

-60

-40

-20

0

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

C

log((/)2+1)

pendekatan garis lurus

Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis nol untuk 1<< dan garis lurus 20 dB per dekade untuk

>. Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu

pada (/) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff. 28

Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa

Pendekatan Garis Lurus Kurva Fungsi Fasa

)/(tan)( 1 K

Komponen-pertama fungsi ini bernilai konstan.

Komponen-kedua memberi pengurangan fasa yang juga

menjadi penentu pola perubahan tanggapan fasa

[rad/s]

-90

-45

0

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

[o]

tan1(/)

pendekatan garis lurus

C

Pada (/)=1 (frekuensi cutoff) tan1(/)=45o.

Pada =0,1C tan1(/)≈0o.

Pada =10C tan1(/)≈90o;

Untuk >10C tan1(/)=90o.

Jadi dalam selang 0.1C<<10C

perubahan fasa dapat dianggap linier 45o per dekade.

29

Dengan pendekatan garis lurus, baik untuk fungsi gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan

tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai seperti tercantum dalam dua tabel di bawah ini.

Gain Frekuensi

C =

=1 1<< >

Komponen 1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)

Komponen 2 0 0 20dB/dek

Total 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20dB/dek

Frekuensi

C = =1 0,1<<10 >10

Komponen 1 K K K

Komponen 2 0 45o/dek 0

Total K K 45o/dek K

Perhatikanlah bahwa nilai komponen-pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen-kedua

mempunyai nilai hanya pada rentang frekuensi tertentu. 30

Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa ini, dengan mengambil = 1000

adalah sebagai berikut

[rad/s]

-40

-20

0

201

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

Gain [dB]

20log(|K|/)

20dB/dek

C =

[rad/s]

-135

-90

-45

0

45

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

[o]

45o/dek

0.1C 10C

K

Perhatikan bahwa penurunan gain dimulai dari C sedangkan penurunan sudut fasa terjadi antara 0,1C

dan 10C 31

Kita lihat High-Pass Gain

Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass gain adalah

/1)( sehingga )(

j

Ks

j

KsjT

s

KssT

Fungsi alih ini mempunyai zero pada s = 0.

Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah

)/(tan90)(dan

)/(1

/)( 1o

2

K

KjT

)/(1log20log20/log20)( 2dB

KjT

Dengan menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut

Gain dalam dB:

32

Gain FrekuensiC =

  =1 1<< >Komponen 1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(/1)+20dB/dekKomponen 3 0 0 20dB/dekTotal 20log(|K|/) 20log(|K|/)+20dB/dek 20log(|K|/)+20log(/1)

Gain FrekuensiC =

  =1 1<< >Komponen 1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(/1)+20dB/dekKomponen 3 0 0 20dB/dekTotal 20log(|K|/) 20log(|K|/)+20dB/dek 20log(|K|/)+20log(/1)

-45

0

45

90

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6

[o]

[rad/s]

45o/dek

0.1C

10C

K

K+90o

-40

-20

0

20

40

1

10

10

0

10

00

10

00

0

1E

+0

5

1E

+0

6Gain [dB]

20log(|K|/)

+20dB/dek

C = [rad/s]

33

CONTOH:Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari rangkaian yang mempunyai fungsi alih:

100

20)(1

ssT

Penyelesaian:

21dB1

211

)100/(1log20)2.0log(20)(log20)(

)100/(1

2.0)(

100/1

2.0

100

20)(

jTjT

jTjj

jT

Gain FrekuensiC = 100 rad/s

  =1 1<<100 >100Komponen 1 14 dB 14 dB 14 dBKomponen 2 0 0 20dB/dekTotal 14 dB 14 dB 14 dB 20dB/dek

-60

-40

-20

0

20

40

1

10

10

0

10

00

10

00

0

[rad/s]

Gain [dB]

C

Komp-1Komp-2

Gain

34

[rad/s]

-60

-40

-20

0

20

40

1

10

10

0

10

00

10

00

0

Gain [dB]

Komp-2

Komp-1 Komp-3

Gain

CONTOH:Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari rangkaian yang mempunyai fungsi alih:

Penyelesaian:100

202

s

s(s)T

2dB2

222

)100/(1log20)log(20)2.0log(20)(

)100/(1

2.0)(

100/1

2,0

100

20)(

jT

jTj

j

j

jjT

Gain FrekuensiC = 100 rad/s

  =1 1<<100 >100Komponen 1 14 dB 14 dB 14 dBKomponen 2 0 20 dB/dek 40+20 dB/dekKomponen 3 0 0 20 dB/dekTotal 14 dB 14 dB +20 dB/dek 26 dB

35

Kita lihat Band-Pass Gain

Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde pertama dengan menjaga agar rangkaian

yang di belakang (rangkaian kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama). Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass

gain sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.

Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai kaidah

rantai dan akan berbentuk

s

K

s

sKTTT 21

21

22

21

2121

/1 /1

/)(

/1/1

)()()(

KKjT

j

K

j

jK

j

K

j

jKjT

)/(1log20)/(1log20

log20/log20)(

22

21dB

KKjT

Dengan membuat >> maka akan diperoleh karakteristik band-pass gain dengan frekuensi cutoff C1

= dan C2 = . 36

Kuliah TerbukaAnalisis Rangkaian Listrik di Kawasan s

Sesi 4

Sudaryatno Sudirham

37