Vektor di ruang-2 dan ruang-3Oleh: Lailatul Husniah, S.ST

Page *

Tujuan Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu :Menjelaskan konsep vector Menjelaskan definisi Ruang Vektor (R2 dan R3)Menghitung vektor berdimensi n Anak Ruang

Page *

Chapter ContentsIntroduction to Vectors (Geometric)Norma sebuah Vector & Ilmu Hitung Vektor Perkalian titik (Dot Product); ProyeksiRuang-n Euclidis

Introduction to Vectors (Geometric)

Page *

BesaranContoh : suhu, massa, tinggi, waktu, gaya, kecepatan dllBesaran dibagi 2 Besaran skalar : diukur besarnyaBesaran vektor : diukur besar dan arah

Page *

Geometric VectorsVektor dinotasikan oleh huruf kecil tebal : a, k, v, w, dan x Skalar dinotasikan oleh huruf kecil biasa : a, k, v, w, dan x Titik awal (initial point)Titik akhir(terminal point)

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero vector) dan dinotasikan dengan 0 dan ditetapkan mempunyai sembarang arah.

negatif v, adalah vektor yang mempunyai panjang sama tapi arah yang berlawanan.

Page *

DefinisiJika v dan w adalah sembarang 2 vektor, maka jumlah v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Posisi titik awal vektor w berimpit dengan titik akhir dari v. Vektor v+w dinyatakan oleh panah dari titik awal dari v ke titik akhir dari w.

Page *

DefinisiJika v dan w adalah sembarang 2 vektor, maka pengurangan w dari v didefinisakn oleh:v w = v + (-w)

Page *

DefinisiJika v adalah nonzero vector dan k adalah bilangan riel tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang dari v dan arahnya:Sama seperti arah dari v jika k>0Berlawanan dengan arah v jika k

Norma sebuah vektor &Ilmu hitung vektorOleh: Lailatul Husniah, S.ST

Page *

Theorem 3.2.1Properties of Vector ArithmeticJika u, v dan w adalah vektor dalam ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini akan berlaku

Page *

Norm of a Vector (1/2)Panjang sebuah vektor u seringkali disebut norma dari u dan dinotasikan oleh .

Gambar (a): Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka norma dari sebuah vektor dalam ruang-2 adalah

Gambar (b): adalah sebuah vektor dalam ruang-3, maka

Page *

Norm of a Vector (2/2)Jika adalah dua titik dalam ruang-3, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena

Similarly in 2-space:

Panjang dari vektor ku :

Page *

Contoh 1Finding Norm and Distance

Perkalian titik (Dot Product) & Proyeksi

Page *

Sudut antara VektorMisalkan u dan v adalah vektor tak nol dalam ruang-2 atau ruang-3, dan asumsikan bahwa vektor-vektor ini memiliki posisi dimana titik-titik awalnya berimpit. Yang diartikan sebagai sudut di antara u and v, adalah sudut yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 .

Page *

Jika u dan v adalah vektor tak nol dalam ruang-2 atau ruang-3, dan adalah sudut antara u dan v, maka perkalian titik (Dot product) u.v didefinisikan oleh: ||u|| ||v|| cos ,jika u 0 dan v 0u . v = 0 ,jika u = 0 atau v = 0

Catatan :u dan v saling tegak lurus ( = 90o & cos = 0) u . v = 0Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonalDefinisi

Page *

ContohSeperti yang terlihat seperti gambar di bawah ini, maka sudut antara vektor u = (0, 0, 1) dan vektor v = (0, 2, 2) adalah 450. jadi,

Page *

Perkalian titik: u . v = skalarVektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan vCatatan: u, v Ruang-2 u = (u1, u2), v = (v1, v2) u, v Ruang-3 u = (u1, u2 , u3), v = (v1, v2 , v3)

Formula lain untuk u . V jika = 0 :Ruang-2: u . v = u1v1 + u2v2Ruang-3: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Komponen dari Perkalian Titik (dot product)

Page *

Finding the Angle Between VectorsJika u dan v adalah nonzero vectors maka

dan dapat dituliskan menjadi:

Page *

1.Misal u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)Maka u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3

Dari soal no 1, hitunglah sudut antara u dan vMaka :Contoh

Page *

Vektor Ortogonal

Definisi:Dua vektor u dan v disebut sebagai vektor-vektor ortogonal (dituliskan u v) jika u.v = 0

Page *

Proyeksi OrtogonalJika u dan v adalah vektor tak nol dalam ruang-2 atau ruang-3, maka

Dimana w1 adalah kelipatan skalar dari v, dan w2 tegaklurus kepada v.Vektor w1 dinamakan proyeksi ortogonal dari u pada v Vektor w2 dinamakan komponen dari u yang ortogonal kepada v.Vektor u adalah jumlah dari w1 dan w2, dimana w1 paralel ke v dan w2 tegaklurus ke v.

Page *

catatan

Rumus-rumus pada vektor ruang-2 dan ruang-3 berlaku juga untuk vektor ruang ke-n

Page *

ReferensiLeon, Steven J., Aljabar Linier dan Aplikasinya, Edisi kelima, Jakarta: Erlangga, 2001 Anton, Howard, Elementary Linier Algebra, 8th ed, United States of America: John Wiley and Sons, Inc, 2000Anton, Howard; Rorres, Chris, Elementary Linear Algebra.ppt

**********************************