ruang sampel dan peristiwa

STIMIK ASIA Statistika Probabilitas Arif Kamar Bafadal Modul 1

Ruang Sampel Dan Perisriwa

RUANG SAMPEL DAN PERISTIWA

Referensi :Walpole, RonaldWalpole. R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye,

K. 1996. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Prentice Hall. London.

Halaman-1


Ruang Sampel Dan Perisriwa 2

RUANG SAMPEL

• Bisa membayangkan kemungkinan-kemungkinan

• Kemampuan imajinasi

• Jumlah kemungkinan bisa di hitung dan tidak dapat dihitung



Nilai akhir mata kuliah ???????

• A, B, C, D, E ………• A, B+, B, C+, C, D, E ……• A, A-, B+, B, B-, C+, C, C-, D, E ……..• ………. BISA DIHITUNG JUMLAHNYA



Nilai Akhir Ujian (N=140)



Penghasilan Buruh



Penjualan HP



10 UNIT / SALES PROMOTION

Jumlah terjual ………………………..????????• Tidak ada yang terjual …• Terjual 1 unit ….• Terjual 2 unit …• Terjual 3-6 unit ……• Terjual 7-9 unit …• Terjual semua ……….



JUMLAH TEAM YANG BISA TERJADI ?• SATU TEAM 2 ORANG• ADA LAKI-LAKI DAN ADA PEREMPUAN

L1

L2

L3

L4

L5

W1 W2

W3

W4

W5



RUANG SAMPEL• Statistika Inferensial: Mengambil kesimpulan, inferensi atau

generalisasi tentang suatu populasi berdasarkan informasi yang diperoleh dari sampel.

• Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.


Apakah yang Anda pikirkan tentang Probabilitas?

• Kondisi Tidak Pasti (uncertainty) v.s. Acak (randomness)

• Frekuensi Relatif (relative frequency) v.s. Derajat Yakin/Pasti (plausibility)

Apakah orang ini berhasil memasukkan bola golf????


Renungan 1• Ketika Anda melemparkan uang logam (coin), terdapat

dua kemungkinan hasil: “gambar “dan “angka”.• Hasil tersebut tidak pasti atau acak?

• Kita mengganggap uang logam tersebut seimbang. Sehingga probabilitas hasil berupa “gambar” adalah 0,5.

• Bila uang tersebut dilempar 10 kali, yakinkah akan muncul 5 kali gambar dan 5 kali angka?

• Untuk ilustrasi ini, apakah yang Anda pikirkan ketika mengatakan probabilitas gambar yang muncul adalah 0,5?


Renungan 2• Anda berdiri dibawah pohon, dan seseorang

bertanya: “Berapa banyak daun yang ada pada pohon?”

• Jawabannya “Tidak Pasti” atau “Acak”.

• Setelah Anda melihat pohon, lalu, menjawab: “probabilitas jumlah daun lebih dari 1000 adalah 0,1”.

• Dengan demikian, Apakah yang dimaksud dengan Probabilitas menurut Anda?


Kondisi Acak – Frekuensi Relatif• Kondisi acak adalah satu kondisi dimana hasil atau

keadaan tidak dapat diprediksi.

• Jika dilakukan percobaan maka akan memberikan hasil yang berbeda dari waktu ke waktu.

• Sehingga pada renungan 1, probabilitas 0,5 merupakan frekuensi relatif bahwa hasil lemparan berupa gambar.



• Eksperimen (percobaan, trial): Prosedur yang dijalankan pada kondisi yang sama dan dapat diamati hasilnya (outcome).

• Ruang sampel (semesta, universe: Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen.

• Peristiwa (kejadian, event): Himpunan bagian dari suatu ruang sampel.



Contoh • Eksperimen : Pelemparan sebuah mata uang logam dua kali

• Hasil : Sisi mata uang yang tampak

• Ruang sampel : S = {AA,AG,GA,GG} dengan A: sisi angka dan G: sisi gambar

• Peristiwa : A = paling sedikit muncul satu sisi gambar = {AG,GA,GG}B = muncul sisi yang sama = {AA,GG}



Dadu seimbang bermata lebih dari 6!!!


22

– Ruang Sample : memuat lengkap seluruh peristiwa

– Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sample.

10/9/01

A

Ruang Sample, S

Peristiwa A



Pengamatan pada sejumlah mahasiswa

• A = Semester > 4• B = IPK > 3,00• C = Aktif organisasi kemahasiswaan• D = Menguasai minimal 1 bahasa asing



Lingkaran A berarti : Semester > 4, IPK 3,00, tidak aktif organisasi kemahasiswaan, tidak ada bahasa asing yang dikuasai.

Lingkaran B berarti : IPK > 3,00 Semester 4, tidak aktif organisasi kemahasiswaan, tidak ada bahasa asing yang dikuasai.

A B

C D



Semester > 4, IPK > 3,00, aktif organisasi kemahasiswaan, ada bahasa asing yang dikuasai

AB

C D

Semester <= 4, IPK > 3,00, tidak aktif organisasi kemahasiswaan, tidak ada bahasa asing yang dikuasai


26

– Gabungan peristiwa A, B

– Irisan peristiwa A, B

– Komplemen peristiwa A

10/9/01

Hubungan Peristiwa


27

– Komplemen dari peristiwa A, dengan notasi A’ atau Ac adalah semua anggota S yang tidak ada dalam peristiwa A

10/9/01

S

AA’


28

• Gabungan peristiwa A, B adalah anggota S yang ada di A atau di B atau keduaya– Union,

10/9/01

AB A B


29

• Irisan peristiwa A, B adalah semua anggota S yang ada di peristiwa A dan B saja– Intersection

10/9/01

A B

AB


30

• Gabungan dua peristiwa bersifat mutually exclusive apabila tidak dijumpai adanya irisan di dalamnya– Mutually exclusive

10/9/01

A B

Mutually exclusive



Beberapa hubungan peristiwa :



Perhatikan anggota sampel berikut :Hitung anggota sampel :

A C !

B’ A !

A B C !

(A B) C’ !



M = Mobil MogokT = Kena tilangV = Tidak menginap di Villa

Suatu rombongan keluarga berangkat rekreaksi ke kota Batu. Dalam perjalanan mungkin saja akan berjumpa dengan peristiwa M, T, V.

Tunjukkan daerah bahwa perjalanan tidak menyenangkan !

Tunjukkan daerah bahwa perjalanan menyenangkan !



TITIK SAMPEL• Jumlah anggota dalam ruang sampel atau peristiwa

• Diperlukan agar bisa diterapkan dalam perhitungan probabilitas

• Ada yang dapat dihitung jumlahnya tetapi ada pula yang tidak dapat dihitung

• Pendekatan rumus untuk menghitung titik sampel adalah : permutasi dan kombinasi



NIM. _ _ _ _ _ X X X

• Ada berapa kemungkinan NIM yang terbentuk?

• Kemungkinan : 000, 001, 002, …….., 999Ada 1000 kemungkinan, apabila NIM dengan angka belakang 000 adalah tidak mungkin, maka NIM yang terbentuk adalah 999.



NIM. _ _ _ _ _ X X X

• Ketiga angka hanya bisa diisi dengan nilai 1-5. NIM mahasiswa akan menjadi nomor cantik bila nomornya berbeda dan nomor di belakangnya lebih tinggi. Ada berapa kemungkinan?



No pertama = 1

• Nomor kedua bisa : 2,3,4,5• Bila no kedua = 2, maka no ketiga = 3,4,5 (3 titik)• Bila no kedua = 3, maka no ketiga = 4,5 (2 titik)• Bila no kedua = 4, maka no ketiga = 5 (1 titik)• Bila no kedua = 5, adalah tidak mungkin karena

5 adalah angka tertinggi• Total titik sampel = 3 + 2 + 1 = 6 titik• Yaitu : 123 ; 124; 125 ; 134 ; 135 ; 145



No pertama = 2

• Nomor kedua bisa : 3,4,5• Bila no kedua = 3, maka no ketiga = 4,5 (2 titik)• Bila no kedua = 4, maka no ketiga = 5 (1 titik)• Bila no kedua = 5, adalah tidak mungkin

karena 5 adalah angka tertinggi• Total titik sampel = 2 + 1 = 3 titik• Yaitu : 234 ; 235; 245



No pertama = 3

• Nomor kedua bisa : 4,5• Bila no kedua = 4, maka no ketiga = 5 (1 titik)• Bila no kedua = 5, adalah tidak mungkin

karena 5 adalah angka tertinggi• Total titik sampel = 1 titik• Yaitu : 345



No pertama = 4

• Nomor kedua bisa : 5• Bila no kedua = 5, nomor ketiga tidak mungkin

ada karena 5 adalah angka tertinggi• Total titik sampel = 0 titik• Begitu pula bila no pertama = 5, titik sampel =

0.


41

Multiplication Rule• Jika suatu operasi dapat berlangsung dalam n1 cara, dan

dari masing-masing cara ini dilakukan operasi kedua yang dapat berlangsung dalam n2 cara, maka kedua operasi dapat dilakukan secara bersama dalam n1n2 cara. Secara umum teorema ini berlaku juga pada k operasi berturutan, yaitu k operasi ini dapat dilakukan dalam n1n2…nk

• Hasil dua pelemparan uang logam dapat muncul dalam 4 cara. Pelemparan uang logam pertama memiliki 2 cara kemunculan dan pelemparan uang logam kedua memiliki 2 cara kemunculan, sehingga secara keseluruhan terdapat 4 (= 2 x 2) cara kemunculan hasil pelemparan 2 kali uang logam.



Kemungkinan hasil akhir dari jawaban atas 3 soal, D = benar dan N = salah


BILANGAN FAKTORIAL

Bilangan faktorial ditulis n!Rumus :

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1dimana : 0! = 1 dan 1! = 1

Contoh :5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.1 =120


45

• Permutasi adalah suatu penyusunan atas semua kemungkinan dengan “mementingkan urutan”.

• Jumlah permutasi dari n buah obyek yang berbeda adalah sejumlah n!

• Contoh: Dari tiga judul buku dapat disusun pada rak sejumlah 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutasi (Coba sebutkan apa saja!!)



Kata : arif – makan – bakso - malang

• Susunlah secara permutasi 4 kata tersebut• arif makan bakso malang• bakso malang makan arif• arif malang makan bakso• bakso makan arif malangAda beberapa kemungkinan susunan dengan arti

yang berbeda !!!!



Ruang sampel S = (A, B, C, D)

• Susunlah secara permutasi 2 huruf dari 4 huruf yang ada dalam S !

• AB ; AC ; AD• BA ; BC ; BD• CA ; CB ; CD• DA ; DB ; DCTerdapat 12 titik



Ruang sampel S = (A, B, C, D)

• Susunlah secara permutasi 3 huruf dari 4 huruf yang ada dalam S !

• ABC ; ABD ; ACB ; ACD ; ADB ; ADC• BAC ; BAD ; BCA ; BCD ; BDA ; BDC• CAB ; CAD ; CBA ; CBD ; CDA ; CDB• DAB ; DAC ; DBA ; DBC ; DCA ; DCBTerdapat 24 titik


49

• Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda yang diambil sejumlah r pada suatu waktu adalah:

nPr = )!(!rn

n


50

• Pada contoh susun 2 huruf dari 4 huruf secara permutasi. Maka n = 4 dan r = 2 :

• Pada contoh susun 3 huruf dari 4 huruf secara permutasi. Maka n = 4 dan r = 3 :

121.21.2.3.4

!2!4

)!24(!4

24

P

2411.2.3.4

!1!4

)!34(!4

34

P



• Berapa permutasi dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 sehingga dapat terbentuk suatu bilangan 3 digit (setiap bilangan dipakai sekali)?

• Jawab : 5P3

• Bagaimana dengan 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 sehingga dapat terbentuk suatu bilangan 3 digit (setiap bilangan dipakai sekali)?

• Jawab : 6P3


52

• Jumlah permutasi dari n objek berbeda yang disusun secara sirkular adalah (n-1)!

• Jumlah permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari n objek yang terdiri atas n1 objek dari jenis pertama, n2 objek dari jenis kedua, dan seterusnya sampai nk objek dari jenis ke-k adalah :

!!!!

21 knnnn


53

Latihan • Dalam satu barisan terdapat 3 orang alumni TI, 3 orang

alumni teknik lainnya, dan 2 orang alumni MIPA. Dalam berapa cara kedelapan orang itu dapat membentuk barisan yang berbeda berdasarkan latar belakang pendidikannya?

• Jawab : • Susunan blok barisan berdasarkan pendidikan = 3!• Susunan dalam blok TI = 3!, susunan dalam Teknik =

3!, susunan dalam MIPA = 2!• Total susunan barisan yang bisa terjadi = 3! 3! 3! 2!


54

• Jumlah cara membagi suatu kumpulan n objek ke dalam r sel dengan jumlah elemen n1 pada sel pertama, n2 pada sel kedua, dan seterusnya sampai nk elemen pada sel ke-k adalah:

di mana n1+ n2 + … + nr = n.

!!!!

,,, 2121 kr nnnn

nnnn


55

Latihan• Contoh:Sebuah rombongan 6 orang mahasiswa

menyewa 3 kamar hotel berukuran double. Ada berapa cara pembagian ruangan yang mungkin dilakukan?

• Jawaban :


56

Kombinasi

• Sering kali kita tertarik pada cara memilih r objek dari sejumlah n objek tanpa memperhatikan urutan yang terbentuk. Cara pemilihan ini disebut dengan kombinasi.

• Jumlah kombinasi dari n objek yang berbeda yang diambil sejumlah r dalam satu waktu adalah:

)!(!!

rnrn

rn

Crn



Es Teh Manis

Teh

Gula

Air

Es



Es Teh Manis

Gula

Es

Air

Teh



CONTOH LAIN

Campuran warna dasar (Merah, Kuning, Biru)• Merah + Kuning + Biru dicampur langsung =

Hitam• (Merah + Kuning) dicampur rata, baru

ditambahkan Biru = Hitam• (Merah + Biru) dicampur rata, baru ditambahkan

Kuning = Hitam• Urutan campuran tidak mempengaruhi hasil akhir

dari warna


60

Latihan

Contoh:Di kelas sistem manufaktur terdapat 12 orang lulusan TI, 8 lulusan teknik lainnya, dan 4 lulusan MIPA. Jika ingin dibentuk sebuah kelompok beranggotakan 6 orang dengan komposisi 3 lulusan TI, 2 lulusan teknik lainnya, dan 1 MIPA, ada berapa cara yang bisa dilakukan?

ruang sampel dan peristiwa

Documents